10.5 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分

1、四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2005http:/ Revised March 2006 Surface Integrals 10.5 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2005http:/ Revised March 2006 一、一、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì)對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì) 曲面的側(cè)曲面的側(cè): 雙側(cè)曲面和單側(cè)曲面雙側(cè)曲面和單側(cè)曲面 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2005http:/ Revised March 2006 雙側(cè)曲面：雙側(cè)曲面： 可定向可定向 外側(cè)外側(cè) 上側(cè)上側(cè) 下側(cè)下側(cè) 右側(cè)右側(cè) 左側(cè)左側(cè) 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2

2、005http:/ Revised March 2006 曲面分曲面分上上側(cè)和側(cè)和下下側(cè)側(cè)封閉曲面分封閉曲面分內(nèi)內(nèi)側(cè)和側(cè)和外外側(cè)側(cè) 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2005http:/ Revised March 2006 并非所有曲面都是雙側(cè)的并非所有曲面都是雙側(cè)的 有的曲面只有一側(cè)有的曲面只有一側(cè) 稱為單側(cè)曲面稱為單側(cè)曲面 單側(cè)曲面并不多單側(cè)曲面并不多 一個(gè)著名單側(cè)曲面是：一個(gè)著名單側(cè)曲面是： Mbius帶帶 Mbius Strip 莫比烏斯帶莫比烏斯帶 Mbius 1790-1868 德國數(shù)學(xué)家德國數(shù)學(xué)家 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2005http:/ Revised March

3、2006 柱面：雙側(cè)曲面柱面：雙側(cè)曲面 A B C D A B C D AC B D 我們來現(xiàn)場(chǎng)制作一條我們來現(xiàn)場(chǎng)制作一條莫比烏斯帶莫比烏斯帶 請(qǐng)準(zhǔn)備一張紙條請(qǐng)準(zhǔn)備一張紙條 卷過來卷過來 再接上再接上 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2005http:/ Revised March 2006 莫比烏斯帶莫比烏斯帶：?jiǎn)蝹?cè)曲面：?jiǎn)蝹?cè)曲面 A B C D A B C D A B C D 將紙條的一端旋轉(zhuǎn)將紙條的一端旋轉(zhuǎn)180180度度 請(qǐng)檢查一下它的確只有一面請(qǐng)檢查一下它的確只有一面 A B C D 卷過來卷過來 再接上再接上 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2005http:/ Revised M

4、arch 2006 莫比烏斯帶莫比烏斯帶著名的單側(cè)曲面著名的單側(cè)曲面: 播放播放 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2005http:/ Revised March 2006 Mbius帶帶 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2005http:/ Revised March 2006 with(plots): x_axis:=plot3d(u,0,0,u=0.5,v=0.0.01,thickness=2): y_axis:=plot3d(0,u,0,u=0.5,v=0.0.01,thickness=2): z_axis:=plot3d(0,0,u,u=0.2,v=0.0.01,thickness=

5、2): zuobiaoxi:=display(x_axis,y_axis,z_axis): qumian:=plot3d(5+u*cos(v/2)*cos(v),(5+u*cos(v/2)*sin(v),u*sin(v/2),u=- ,v=0.2*Pi,numpoints=800,style=patchcontour): display(qumian,zuobiaoxi,orientation=35,60,title=March_2004_XuXZ); (5cos )cos 2 (5cos )sin 2 sin 2 v xuv v yuv v zu 莫比烏斯帶莫比烏斯帶 Mbiu

6、s strip 11 02 u v 莫比烏斯帶是有邊界的單側(cè)曲面莫比烏斯帶是有邊界的單側(cè)曲面 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2005http:/ Revised March 2006 另一個(gè)著名的單側(cè)曲面是：另一個(gè)著名的單側(cè)曲面是： Klein 瓶瓶 Klein Bottle Klein瓶是沒有邊界的單側(cè)曲面瓶是沒有邊界的單側(cè)曲面 Felix Klein 德國數(shù)學(xué)家德國數(shù)學(xué)家 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2005http:/ Revised March 2006 克萊因瓶的演變過程克萊因瓶的演變過程 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2005http:/ Revised March 200

7、6 克萊因瓶在三維空間無法實(shí)現(xiàn)克萊因瓶在三維空間無法實(shí)現(xiàn) 只有在四維空間才能實(shí)現(xiàn)只有在四維空間才能實(shí)現(xiàn) 這是我們?nèi)S空間的人難以理解的這是我們?nèi)S空間的人難以理解的 正如正如 這個(gè)繩子的疊放在二維空間無法實(shí)現(xiàn)這個(gè)繩子的疊放在二維空間無法實(shí)現(xiàn) 只有在三維空間才能實(shí)現(xiàn)只有在三維空間才能實(shí)現(xiàn) 這是二維空間的人無法理解的這是二維空間的人無法理解的 要剪斷嗎要剪斷嗎? 二維空間的人：當(dāng)然二維空間的人：當(dāng)然 三維空間的人：不必三維空間的人：不必 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2005http:/ Revised March 2006 要剪斷，才能穿過去嗎要剪斷，才能穿過去嗎? ? 二維空間的人：當(dāng)然！否

8、則二維空間的人：當(dāng)然！否則 如何穿得過去？如何穿得過去？ 三維空間的人：不必！從上三維空間的人：不必！從上 面繞過去就行了。面繞過去就行了。 要敲破，才能穿進(jìn)去嗎要敲破，才能穿進(jìn)去嗎? ? 三維空間的人：當(dāng)然！否則如何三維空間的人：當(dāng)然！否則如何 穿得進(jìn)去？穿得進(jìn)去？ 四維空間的人：不必！從第四維四維空間的人：不必！從第四維 空間（如時(shí)間隧道）穿過去就行空間（如時(shí)間隧道）穿過去就行 了。了。 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2005http:/ Revised March 2006 單側(cè)曲面是不可定向的單側(cè)曲面是不可定向的 Mbius帶帶不可定向不可定向 它的它的“這面這面”也是也是“那面那面

9、” Klein 瓶瓶不可定向不可定向 它的它的“內(nèi)側(cè)內(nèi)側(cè)”也是也是“外側(cè)外側(cè)” 無內(nèi)外之分無內(nèi)外之分 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2005http:/ Revised March 2006 ()dS V n 在單位時(shí)間流過曲面在單位時(shí)間流過曲面 的流量為的流量為 dS Vn 回憶：流速場(chǎng)回憶：流速場(chǎng)( , , )x y zPQRVijk 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2005http:/ Revised March 2006 dS Vn 設(shè)單位法向量設(shè)單位法向量 =coscoscosnijk 又又 則則 ( coscoscos )PQRdS ()dS V n ( , , )x y zPQ

10、RVijk 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2005http:/ Revised March 2006 dS ( coscoscos )PQRdS cosPdS cosQdS cosRdS cos dS是面積元素是面積元素dS 在在 xOy 上的有向投影：上的有向投影： n cos dS 有向投影可正可負(fù)有向投影可正可負(fù) 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2005http:/ Revised March 2006 0 2 cos0dS 2 cos0dS 2 cos0dS dS n cos0dScos0dS dS n 有有 向向 投投 影影 可可 正正 可可 負(fù)負(fù) n cos0dS dS 四川大學(xué)

11、數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2005http:/ Revised March 2006 dS Vn def dS A n 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的定義對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的定義 定義定義向量場(chǎng)向量場(chǎng) ( , , )( , , )( , , )( , , )x y zP x y zQ x y zR x y zijk 的曲面積分的曲面積分 d S 其中其中 n 是曲面是曲面 指向正向一側(cè)的單位法向量指向正向一側(cè)的單位法向量 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2005http:/ Revised March 2006 cosQdS cosRdS cosPdS d ASdS A n =coscoscosnijk 設(shè)設(shè)

12、 ( , , )cosP x y zdS ( , , )P x y z dydz 定義對(duì)坐標(biāo)的曲面積分定義對(duì)坐標(biāo)的曲面積分 對(duì)坐標(biāo)對(duì)坐標(biāo)y, z 的曲面積分的曲面積分 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2005http:/ Revised March 2006 ( , , )cosQ x y zdS ( , , )Q x y z dzdx 對(duì)坐標(biāo)對(duì)坐標(biāo) z, x 的曲面積分的曲面積分 ( , , )cosR x y zdS ( , , )R x y z dxdy 對(duì)坐標(biāo)對(duì)坐標(biāo) x, y 的曲面積分的曲面積分 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2005http:/ Revised March 200

13、6 ( , , )( , , )( , , )P x y z dydzQ x y z dzdxR x y z dxdy ( coscoscos )PQRdS ( , , ),( , , ), ( , , ) ,P x y z Q x y z R x y zdydz dzdx dxdy d AS , cos ,cos,cos P Q RdS dS A n ,ddydz dzdx dxdySdSn cos,cos,cosdSdSdS 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2005http:/ Revised March 2006 cosdydzdS cosdzdxdS cosdxdydS 分別是面積元素

14、分別是面積元素 dS 在在 三個(gè)坐標(biāo)面的有向投影三個(gè)坐標(biāo)面的有向投影 dS dydz dxdy dzdx n 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2005http:/ Revised March 2006 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的物理意義對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的物理意義 在單位時(shí)間流過曲面在單位時(shí)間流過曲面 的流量：的流量： 流速場(chǎng)流速場(chǎng)( , , )x y zPQRVijk PdydzQdzdxRdxdy d S Vn 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2005http:/ Revised March 2006 n 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的性質(zhì)對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的性質(zhì) 12 d AS 1 d AS 2 d AS d

15、AS d AS 物理解釋？物理解釋？ 流過曲面的流量流過曲面的流量 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2005http:/ Revised March 2006 二、二、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的的計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的的計(jì)算 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2005http:/ Revised March 2006 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分可以化為二重積分來計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲面積分可以化為二重積分來計(jì)算 ( , )x yD :( , )zz x y D 是有界閉區(qū)域是有界閉區(qū)域 D 是曲面在是曲面在 xOy 面面 上的投影區(qū)域上的投影區(qū)域 :( , )zz x y D 上側(cè)上側(cè) n 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May

16、 2005http:/ Revised March 2006 :( , )zz x y n 22 1 ,1 1 xy xy zz zz n 單位法向量：?jiǎn)挝环ㄏ蛄浚?22 1 cos 1 xy zz cos ,cos,cos ( , , )R x y z dxdy c( , , ) osR x ySzd 22 22 1( , , ( , ) 1 1 ) xy y D x z R x y zzz dxdx yy z p. 44 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2005http:/ Revised March 2006 :( , )zz x y D n ( , , )R x y z dxdy c(

17、 , , ) osR x ySzd 22 22 1( , , ( , ) 1 1 ) xy y D x z R x y zzz dxdx yy z ( , , ( , ) D dxR x y z x ydy ( , , )R x y z dxdy ( , , ( , ) D dxR x y z x ydy 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2005http:/ Revised March 2006 如果取如果取 的下側(cè)的下側(cè) :( ,)zz x y D n 22 1 , 1 1 xy xy zz zz n 單位法矢：?jiǎn)挝环ㄊ福?22 1 cos 1 xy zz cos ,cos,cos ( ,

18、, )R x y z dxdy ( , , ( , ) D R x ydxdyz x y p. 44 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2005http:/ Revised March 2006 ( , , )R x y z dxdy ( , , ( , ) D R x ydxdyz x y 取上（下）側(cè)時(shí)，取正（負(fù)）號(hào)取上（下）側(cè)時(shí)，取正（負(fù)）號(hào) :( ,)zz x y D n :( ,)zz x y D n 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2005http:/ Revised March 2006 同理同理 :( , ),xx y z with(plots): qumian:=implici

19、tplot3d(x=2-y2-z2,x=0.2,y=-2.2,z=-1.2.2,grid=15,15,15): display(qumian,orientation=23,66,scaling=constrained); ( , ) yz y zD yz D ( , , )P x y z dydz ( ( , ), , ) D P x y zydydzz 取前（后）側(cè)時(shí)，取正（負(fù)）號(hào)取前（后）側(cè)時(shí)，取正（負(fù)）號(hào) yz D 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2005http:/ Revised March 2006 :( , ),yy z x( , ) xz z xD ( , , )Q x y z

20、 dzdx ( , ( , ), ) D Q x y z x z dzdx 取右（左）側(cè)時(shí)，取正（負(fù)）號(hào)取右（左）側(cè)時(shí)，取正（負(fù)）號(hào) zx D zx D 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2005http:/ Revised March 2006 若要計(jì)算若要計(jì)算PdydzQdzdxRdxdy 則要分別計(jì)算三個(gè)積分：則要分別計(jì)算三個(gè)積分： Pdydz Qdzdx Rdxdy :( ,)zz x y D n zx D yz D 須向三個(gè)坐標(biāo)面投影須向三個(gè)坐標(biāo)面投影比較麻煩比較麻煩 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2005http:/ Revised March 2006 :( ,)zz x y D

21、 當(dāng)當(dāng)( , )x yD :( , ),zz x y 時(shí)，我們有以下公式：時(shí)，我們有以下公式： PdydzQdzdxRdxdy () D zz PQR dxdy xy 取上（下）側(cè)時(shí)，取正（負(fù)）號(hào)取上（下）側(cè)時(shí)，取正（負(fù)）號(hào) 三三 合合 一一 公公 式式 詳見詳見學(xué)習(xí)手冊(cè)學(xué)習(xí)手冊(cè)288頁，頁，10.6.3 計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的“三合一三合一”公式公式 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2005http:/ Revised March 2006 這個(gè)公式的方便之處在于：這個(gè)公式的方便之處在于： 只須將曲面往坐標(biāo)面只須將曲面往坐標(biāo)面 xOy 投影投影 不必將曲面往其它兩個(gè)坐標(biāo)

22、面投影不必將曲面往其它兩個(gè)坐標(biāo)面投影 :( ,)zz x y D PdydzQdzdxRdxdy () D zz PQR dxdy xy 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2005http:/ Revised March 2006 公式的推導(dǎo)公式的推導(dǎo) 22 1 ,1 1 xy xy zz zz n PdydzQdzdxRdxdy , P Q RdS n , D P Q R 22 ,1 1 xy xy zz zz 22 1 xy zz dxdy , D P Q R ,1 xy zzdxdy () D zz PQR dxdy xy :( , )zz x y D 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 20

23、05http:/ Revised March 2006 例例 1 計(jì)算計(jì)算 zdxdy 解解 只有一部分，直接計(jì)算只有一部分，直接計(jì)算 222 zaxy 投影區(qū)域：投影區(qū)域： 222 :D xya 的上側(cè)的上側(cè) a zdxdy 222 D axy dxdy 2 22 00 a dar rdr 3 2 3 a 其中其中 是上半球面是上半球面 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2005http:/ Revised March 2006 例例 2 計(jì)算計(jì)算()xy dxdy 解解 123 1 3 3 2 1 1 22 1 :1 (03)xyz 外側(cè)外側(cè) 22 2 :0 (:1)zD xy下側(cè)下側(cè) 22

24、 3 :3 (:1)zD xy上側(cè)上側(cè) 其中其中 是圓柱體是圓柱體 22 1 , 03xyz 的整個(gè)表面的外側(cè)。的整個(gè)表面的外側(cè)。 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2005http:/ Revised March 2006 1 3 3 2 1 1 22 1 :1 (03)xyz 因?yàn)樵谝驗(yàn)樵?xOy 面上的投影為零：面上的投影為零： 22 1 , ,0,x y xy ncos0 1 ()0 xy dxdy 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2005http:/ Revised March 2006 1 3 3 2 1 1 2 ()xy dxdy () D xy dxdy 3 ()xy dxdy

25、() D xy dxdy 1 ()xy dxdy 2 ()xy dxdy 3 ()xy dxdy 0() D xy dxdy () D xy dxdy 0 ()xy dxdy 22 :1D xy 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2005http:/ Revised March 2006 例例 3 計(jì)算計(jì)算 解解 22 1 :(), 2 zxy 02z 在在 xOy 面上的投影區(qū)域?yàn)椋好嫔系耐队皡^(qū)域?yàn)椋?22 :4D xy 2 ()zx dydzzdxdy 下側(cè)下側(cè) with(plots): qumian:=implicitplot3d(z=y2+x2,x=-1.1,y=- 1.1,z=0.1,

26、grid=15,15,15,color=yellow,scaling=constrai ned): display(qumian,orientation=23,66); 2 其中其中 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2005http:/ Revised March 2006 由由“三合一三合一”公式公式 22 :4D xy 22 1 (:) 2 zxy 2 ()0 D zz zxdxdy xy z 下側(cè)取下側(cè)取 負(fù)號(hào)負(fù)號(hào) 2 ()zx dydzzdxdy 22222 11 ()() 2 ( 4 D xyx xxydxdy 222 1 () 4 D xyxdxdy 222 1 () 2 D xx

27、ydxdy PdydzQdzdxRdxdy () D zz PQR dxdy xy 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2005http:/ Revised March 2006 關(guān)于關(guān)于x為奇為奇 函數(shù)函數(shù) 積分為零積分為零 22 :4D xy 22 1 (:) 2 zxy 2 ()zx dydzzdxdy 222 1 () 4 D xyxdxdy 22 22 00 1 ( cos ) 2 drrrdr 222 1 () 2 D xxydxdy 8 點(diǎn)評(píng)：教材在這個(gè)例子中間接地使用了點(diǎn)評(píng)：教材在這個(gè)例子中間接地使用了 “三合一三合一”公式公式 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2005http:/

28、 Revised March 2006 習(xí)習(xí) 題題 (對(duì)坐標(biāo)的曲面積分）對(duì)坐標(biāo)的曲面積分） 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2005http:/ Revised March 2006 莫比烏斯帶莫比烏斯帶著名的單側(cè)曲面著名的單側(cè)曲面: 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2005http:/ Revised March 2006 莫比烏斯帶莫比烏斯帶著名的單側(cè)曲面著名的單側(cè)曲面: 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2005http:/ Revised March 2006 莫比烏斯帶莫比烏斯帶著名的單側(cè)曲面著名的單側(cè)曲面: 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2005http:/ Revised March 2006 莫比烏斯帶莫