136.參數(shù)曲線的快速生成算法畢業(yè)設(shè)計(jì)

1、 江 南 大 學(xué)畢 業(yè) 設(shè) 計(jì) 論 文論文題目：參數(shù)曲線的快速生成算法姓 名： 學(xué) 院：信息工程學(xué)院專 業(yè)：計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)指導(dǎo)老師： 日 期：2003年6月摘 要本畢業(yè)設(shè)計(jì)主要研究參數(shù)曲線的直接快速生成，要直接生成參數(shù)曲線就需對(duì)參數(shù)方程x=f(t),y=g(t),(0t1)的參數(shù)t每次增加一個(gè)步長(zhǎng)，然后計(jì)算該點(diǎn)的x和y坐標(biāo)值并繪制該點(diǎn)。要逐點(diǎn)地生成參數(shù)曲線，就要求參數(shù)t每次增加的步長(zhǎng)要使曲線前進(jìn)的幅度不得超過(guò)一個(gè)象素長(zhǎng)度，否則有可能跨過(guò)一個(gè)中間象素而產(chǎn)生斷點(diǎn)。為了提高曲線生成算法的速度，本畢業(yè)設(shè)計(jì)針對(duì)如何選擇最佳的步長(zhǎng)進(jìn)行比較討論，以使曲線前進(jìn)的幅度在不超過(guò)一個(gè)象素的前提下，選擇盡量大的步長(zhǎng)

2、。為了進(jìn)一步提高算法的速度，在前面討論的最佳步長(zhǎng)的基礎(chǔ)上又采用了雙步逐點(diǎn)曲線生成算法，即將上述得到的步長(zhǎng)增加一倍，以使算法的循環(huán)次數(shù)減少一半。由于步長(zhǎng)增加一倍，這樣當(dāng)曲線前進(jìn)一步時(shí)，其幅度有時(shí)會(huì)大于一個(gè)象素的長(zhǎng)度，這時(shí)我們通過(guò)插值的方法來(lái)確定跨過(guò)的那個(gè)中間象素。通過(guò)上述討論的算法能夠比較快速的逐點(diǎn)生成曲線，為了實(shí)現(xiàn)上述算法，本畢業(yè)設(shè)計(jì)使用visual c+6.0為工具并以三次bezier曲線、普通參數(shù)曲線x=f(t)=x3t3+x2t2+x1t+x0, y=g(t)=y3t3+y2t2+y1t+y0，以及導(dǎo)師所給的一個(gè)特殊的曲線方程為例編程實(shí)現(xiàn)上述算法。關(guān)鍵詞：參數(shù)曲線，逐點(diǎn)，雙步，visua

3、l c+6. 0 作者： 二零零三年 六月abstract this graduation project main reseach the direct born of the parameter curve x=f(t),y=g(t),0= t loadstandcursor(idc_cross)初始化該變量，該語(yǔ)句的作用是取得windows標(biāo)準(zhǔn)鼠標(biāo)形狀句柄并賦給m_hcross，然后就可以通過(guò)classwizard添加鼠標(biāo)動(dòng)作的消息處理函數(shù)。例如，要為程序添加鼠標(biāo)左鍵單擊消息處理函數(shù)，首先在打開(kāi)的classwizard對(duì)話框中的class name組合框中選擇view類，然后在objec

4、t ids列表框選中第一行，并在message列表框中選中wm_lbuttondown一行，最后單擊add function按鈕即可。類似的還可以為程序添加wm_rbuttondown（鼠標(biāo)右鍵單擊）消息處理函數(shù)。因?yàn)樾枰瘘c(diǎn)地生成曲線，因此在程序中需要使用到mfc（microsoft fundation class）中的cdc（設(shè)備上下文）類的成員函數(shù)setpixel（）來(lái)實(shí)現(xiàn)在屏幕上畫(huà)點(diǎn)，cdc類主要用于在指定設(shè)備上下文上（如窗口客戶區(qū)、打印機(jī)）進(jìn)行繪圖、顯示文本等操作。第二章 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中常用的算法2.1 常用直線的算法 畫(huà)直線的算法有很多，例如數(shù)值微分法，中點(diǎn)畫(huà)線法，bresenha

5、m化線算法等。在這里只介紹一個(gè)比較方便常用的中點(diǎn)畫(huà)線法。為了討論方便，本小節(jié)假定直線斜率在0、1之間。其他情況可參照下述討論進(jìn)行處理。如圖所示，若直線在x方向增加一個(gè)單位，則在y方向上的增量只能在0、1之間。假設(shè)x坐標(biāo)為xp的各象素點(diǎn)中，與直線最近者已確定，為(xp,yp)，用實(shí)心小圓表示。那么，下一個(gè)與直線最近的象素只能是正右方的p1(xp+1,yp)或右上方的p2(xp+1,yp+1)兩者之一，用空心小圓表示。再以m 表示p1、p2的中點(diǎn)，即m=(xp+1,yp+0.5）。又設(shè)想q是理想直線與垂直直線x=xp+1的交點(diǎn)。顯然，若m在q的下方，則p2離直線近，應(yīng)取為下一個(gè)象素；否則應(yīng)取p1。

6、這就是中點(diǎn)畫(huà)線法的基本原理。 p2qmp1p=（xp，yp）中點(diǎn)畫(huà)線算法每步迭代涉及的象素和中點(diǎn)示意圖下面來(lái)討論上述算法的實(shí)現(xiàn)。假設(shè)直線的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別是(x0,y0)，(x1,y1)。則直線的方程為 f(x,y) = ax + by + c=0其中，a = y0-y1，b = x1-x0，c = x0yi-x1y0。對(duì)于直線上的點(diǎn)，f(x,y)=0；對(duì)于直線上方的點(diǎn)，f(x,y)0；而對(duì)于直線下方的點(diǎn)f(x,y)0。因此，欲判斷前述q在m的上方還是下方，只要把m代入f(x,y)，并判斷它的符號(hào)。構(gòu)成判別式 d=f(m)=f(xp+1,yp+0.5)=a(xp+1) + b(yp+0.5) +

7、 c當(dāng)d0時(shí)，則應(yīng)取正右方的p1。當(dāng)d=0時(shí)，二者一樣合適，可以隨便取一個(gè)。我們約定取正右方的p1。對(duì)每一個(gè)象素計(jì)算判別式d，根據(jù)它的符號(hào)確定下一個(gè)象素。至此可以寫(xiě)出完整的算法。但是注意到d是xp和yp的線形函數(shù)，可采用增量計(jì)算，提高運(yùn)算效率。在d0的情況下，取正右方象素p1，欲判斷再下一個(gè)象素應(yīng)取哪個(gè)，應(yīng)計(jì)算 d1=f(xp+2，yp+0.5) =a(xp+2) + b(yp+0.5)+ c= d + a故d 的增量為a。而若d0，則右上方的象素p2，欲判斷再下一個(gè)象素，則要計(jì)算d2=f(xp+2，yp+1.5)=a(xp+2)+b(yp+1.5)+ c = d + a + b故在第二種情況

8、，d 的增量為a+b。再看d的初值。顯然，第一個(gè)象素應(yīng)取左端點(diǎn)(x0,y0)，相應(yīng)的判別式為 d0=f(x0+1,y0+0.5)=a(x0+1)+ b(y0+0.5) + c = ax0+by0+a+c+0.5b = f(x0，y0)+ a+0.5b但由于(x0,y0)在直線上，故f(x0,y0)=0。因此，d的初值為d0= a+0.5b。 由于使用的只是d 的符號(hào)，而且d的增量都是整數(shù)，只是其初值包含小數(shù)。因此我們可以使用2d代替d，來(lái)擺脫小數(shù)，寫(xiě)出僅包含整數(shù)的算法：midpointline(x0,y0,x1,y1,color)int x0,y0,x1,y1,color; int a,b,d

9、elta1,delta2,d,x,y; a= x0- y1; b=x1- x0; delta1=2*a; delta2=2*(a+b); x= x0; y=y0 ; drawpixel(x,y,color); while(x x1) if(d0) x+;y+;d+= delta2;elsex+;d+= delta1;drawpixel(x,y,color); 2.2 常用的參數(shù)曲線的繪制算法常用的參數(shù)曲線有許多，如bezier，b樣條，非均勻有理b樣條、圓錐曲線等。本小節(jié)將以bezier曲線為代表，講解其繪制算法。bezier曲線的公式 ：給定空間n+1個(gè)點(diǎn)的位置矢量pi，bezier曲線上各

10、點(diǎn)坐標(biāo)的插值公式是：c(t) =, 0t1pi構(gòu)成該曲線的特征多邊形，是bernstein基函數(shù)，也是曲線上各點(diǎn)位置矢量的調(diào)和函數(shù)。=ti(1-t)n-i=cti(1-t)n-i i=0,1,2,n首先，討論三次bezie曲線的繪制由上述公式可以推出三次bezier曲線形式：當(dāng)n=3時(shí),c(t)= = p0(1t)3 + 3p1t (1t)2 + 3p2 t2 (1t) + p3t3 0t1可以將其改寫(xiě)為如下的形式：c3(t) = ( cs p0+ ct p1)s+ct2 p2 )s+ ct3p3其中，s=1-t，則可以通過(guò)如下程序繪制曲線：float hornbez(degree,coeff

11、,t)/* input:degree:曲線的次數(shù)coeff:保存曲線的系數(shù)t: 參數(shù)的值 output: 該參數(shù)的坐標(biāo)值*/int degree;float coeff;float t; int i,n_choose_i; float fact,t1,aux; t1=1.0-t; fac=1.0; n_choose_i=1; aux=coeff0*t1; /*開(kāi)始循環(huán)計(jì)算坐標(biāo)值*/ for(i=1idegree;i+) fact = fact*t;n_choose_i= n_choose_i*(degree-i+1)/i;aux=(aux+fact* n_choose_i*coeffi*t1;

12、 aux=aux+fact*t*coeffdegree; return aux;下面來(lái)討論n次bezier曲線的繪制。在前面我們介紹了一個(gè)程序用于計(jì)算相應(yīng)曲線上的諸點(diǎn)，但其只適用于三次bezie曲線，既不通用而且計(jì)算量較大。用如下cas-teljau算法產(chǎn)生曲線上的點(diǎn)列相對(duì)要簡(jiǎn)單許多。cas-teljau算法：給定空間n+1個(gè)點(diǎn)pi(i=0,1,2,n)及參數(shù)t，則有：(t)=(1-t)(t)+ t(t)r=1,2.n, i=0,1.n-r, 0t1其中(t)即為pi, (t)是曲線上具有參數(shù)t的點(diǎn)。 當(dāng)n=3時(shí)，用cas-teljau算法遞推出的(t)呈直角三角形，對(duì)應(yīng)如下所示： 該三角形垂

13、直邊上的點(diǎn)p0，p1，p2， p3是曲線p(t)在0t1內(nèi)的控制點(diǎn)，斜邊上的點(diǎn)是p(t)在0t1/2內(nèi)的控制點(diǎn)，水平直角邊上的點(diǎn)是p(t)在1/2t1內(nèi)的控制點(diǎn)。這種用分割bezier曲線控制多邊形的方法為離散化的曲線提供了方便。用cas-teljau算法繪制bezier曲線的程序如下：void bez_to_points(degree,npoints,coeff,points)/*input :degree:曲線的次數(shù)npoint:控制點(diǎn)的數(shù)目coeff:控制點(diǎn)的坐標(biāo)output: 曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)*/int degree,npointes; float coeff,points; float

14、 t,delt; int i; float decas(); delt=1.0/(float)npoints; /*步長(zhǎng)*/ t=0.0; for(i=0;i=npoints;i+) pointsi=decas(degree,coeff,t);t=t+delt; float decas(degree,coeff,t)float coeff;float t;int degree; int r,i; float t1; float coeffa10; t1=1.0-t; for(i=1;i=degree;i+) coeffai=coeffi; /*計(jì)算(t)地值 for(r=1;r=degree;

15、r+) for(i=1;r=degree-r;i+) coeffai=t1*coeffai+t*coeffat+1; return(coeffa0); 第三章 參數(shù)曲線的快速生成算法及實(shí)現(xiàn)3.1 普通參數(shù)曲線生成算法的介紹本畢業(yè)設(shè)計(jì)所研究的參數(shù)曲線生成算法要具備直接、逐點(diǎn)、快速的特點(diǎn)。要直接生成參數(shù)曲線就需要對(duì)曲線的參數(shù)每次增加一個(gè)步長(zhǎng)，然后計(jì)算該點(diǎn)的坐標(biāo)值x和y并繪制該點(diǎn)。要逐點(diǎn)地生成參數(shù)曲線，就要求參數(shù)每次增加的步長(zhǎng)要使曲線前進(jìn)的幅度不得超過(guò)一個(gè)象素的長(zhǎng)度，否則有可能跨過(guò)一個(gè)中間象素而產(chǎn)生斷點(diǎn)。要快速生成曲線則要求在不產(chǎn)生斷點(diǎn)的情況下盡量減少畫(huà)點(diǎn)次數(shù)以及不重復(fù)畫(huà)一個(gè)象素點(diǎn)來(lái)達(dá)到加快曲線的生

16、成速度。根據(jù)參考文獻(xiàn)可以得到一個(gè)滿足上述要求的逐點(diǎn)生成參數(shù)曲線的整數(shù)算法。設(shè)曲線的參數(shù)方程為：首先討論第一個(gè)方程x=f( t ),首先把曲線分成n 段（限定t取i/n，其中0in。）根據(jù)拉格朗日中值定理：f(x+x)f( x )=f()(x)，當(dāng)n 滿足n時(shí)，可以得到如下公式：=1 （3.1）根據(jù)公式3.1，可以使得算法中每次循環(huán)，即每步前進(jìn)不超過(guò)1個(gè)象素，從而保證了曲線的連續(xù)性。為了只使用整數(shù)運(yùn)算，可將方程x=f(t)乘一正整數(shù)n，使其轉(zhuǎn)換成整數(shù)方程： nxi =( i ) + zi ， 其中( i )=nf(),它和xi (x坐標(biāo)的整數(shù)位置)及其余數(shù)zi ()均為整數(shù)。各個(gè)量的含義如下圖所

17、示。xi表示與計(jì)算出的值f()最近的象素點(diǎn)的x坐標(biāo)。余數(shù)zi 表示xif(i/n)xixi f(i/n)(a) (b) 圖1-1 xi與 f()兩者的關(guān)系 與f()的差距（當(dāng)然為了整數(shù)化，也乘了一個(gè)n值）。若是圖（a）的情況，則zi為負(fù)值，即取曲線左邊的象素點(diǎn)；若是圖（b）的情況，則 zi為正值，即取曲線右邊的象素點(diǎn)。算法逐點(diǎn)計(jì)算曲線上的象素。設(shè)當(dāng)前象素點(diǎn)的x坐標(biāo)是xi，則下一點(diǎn)的x坐標(biāo)xi+1應(yīng)該滿足 n xi+1 = (i+1) + zi+1，其中 (i+1)=( i )+( i )=nxizi +( i )根據(jù)3.1式有：=nn，而，所以n。因此，xi+1的可能取值為xi1，xi 或xi

18、 +1。這樣就得到了xi+1和zi+1的計(jì)算公式：xi+1 zi+1這樣，就得到了x坐標(biāo)和余數(shù)z的遞推計(jì)算公式。y坐標(biāo)的計(jì)算公式可以根據(jù)以上的討論同理得到。步長(zhǎng)大?。?/n）的確定是非常重要的。確定步長(zhǎng)的標(biāo)準(zhǔn)是：在使曲線前進(jìn)的幅度不超過(guò)一個(gè)象素長(zhǎng)度的前提下，選擇盡量大的步長(zhǎng)（即小的n值），以便算法提高速度。如果步長(zhǎng)選得太小，則在繪制曲線時(shí)造成取點(diǎn)過(guò)密，因而重復(fù)繪制了很多象素點(diǎn)，浪費(fèi)了大量的計(jì)算也降低了算法的速度。在參考文獻(xiàn)提出的算法中，取n的值為： n = max (nx，ny)其中nx和ny分別對(duì)于x坐標(biāo)和y坐標(biāo)選擇的n的值，為nx= m ny= m 其中m為曲線的次數(shù)。而該參考文獻(xiàn)又對(duì)n

19、x和ny值進(jìn)行了進(jìn)一步的優(yōu)化，減小了n 的值，?。?nx= m ny= m 其中x和y是曲線第i個(gè)控制點(diǎn)的坐標(biāo)?？梢宰C明這樣選擇的n值滿足上述的條件n。3.2 最佳的步長(zhǎng)值根據(jù)參考文獻(xiàn)中對(duì)上述算法進(jìn)行編程和分析運(yùn)行結(jié)果，發(fā)現(xiàn)該算法在繪制曲線時(shí)每次循環(huán)使曲線前進(jìn)的幅度的最大值往往不能接近于1（多數(shù)在0.6至0.8之間）。這說(shuō)明在上一小節(jié)介紹的算法中的n的取值并沒(méi)有達(dá)到最佳值。從理論上分析，我們的目標(biāo)是要找到滿足條件n的最小的n值，即尋找的最小上界。上述的m 雖然是的一個(gè)上界，但并不是其最小上界。下面將討論如何求出的最小上界以及最佳的n值。的最小上界顯然應(yīng)該出現(xiàn)在f(t)的極值點(diǎn)處或曲線的端點(diǎn)處，

20、即當(dāng)參數(shù)t = 0或 t =1處，因此應(yīng)該以在曲線的兩端點(diǎn)處和其在兩端點(diǎn)之間的極值點(diǎn)處的函數(shù)值中的最大者作為其最小上界。由于我們采用了求函數(shù)的最大極值作為其上界，因此它是最小上界，因?yàn)樵撋辖缇驮谇€上，如果它再小一點(diǎn)則必有曲線上的一點(diǎn)大于它。下面我們將以三次bezier曲線為例描述最佳n的計(jì)算過(guò)程。對(duì)于三次bezier曲線：f( t ) = x0(1t)3 + 3x1t (1t)2 + 3x2 t2 (1t) + x3t3對(duì)其求導(dǎo),得 f ( t )=3(x1x0)(1t)2 + 2(x2 x1)(1t)t + (x3x2) t2=3x3x22(x2x1)+x1x0 t2+2(x22x1+x0

21、) t + x1x0，要求f(t)的極值點(diǎn)就要將其對(duì)t 再次求導(dǎo)并另其導(dǎo)函數(shù)為0，得：6x33(x2x1)x0 t + x22x1 + x0= 0 設(shè)v= x22x1 + x0，w= x33(x2x1)x0；由上式得，當(dāng)t=時(shí)，f( t )取到極值3x1x0。顯然，在端點(diǎn)處( t = 0 和t = 1)的值分別為3和3。所以，nx的取值為當(dāng)0，1時(shí) nx = 3）當(dāng)0，1時(shí)，nx = 3）同理，根據(jù)ny來(lái)求得ny 的值。最后取 n = max(nx,ny)，從而得到了最佳的n值。 由上面的討論可知，n值決定了算法的循環(huán)次數(shù)，n值愈小，算法的速度愈快。在上面計(jì)算得到的n值已經(jīng)比較理想了，那么，是

22、否還可以再進(jìn)一步減小n值呢？下面提出一個(gè)雙步逐點(diǎn)曲線生成算法來(lái)進(jìn)一步減小n值。3.3 雙步逐點(diǎn)曲線生成算法從上一小節(jié)的描述可知，新算法通過(guò)求極值已經(jīng)找到了滿足條件n的最小n值。如果再進(jìn)一步減小n的值，則在曲線上可能出現(xiàn)斷點(diǎn)，即曲線前進(jìn)的幅度大于了一個(gè)象素的長(zhǎng)度，從而漏過(guò)了一個(gè)中間的象素。在前面求得的最小n值的基礎(chǔ)上，本小節(jié)提出雙步逐點(diǎn)曲線生成算法，其基本思想是，將n 值減小二分之一（即將步長(zhǎng)增加一倍）。這樣當(dāng)曲線前進(jìn)一步時(shí)，其幅度有時(shí)會(huì)大于一個(gè)象素的長(zhǎng)度。為了不使曲線出現(xiàn)漏點(diǎn)，我們通過(guò)插值的方法來(lái)確定跨過(guò)的那個(gè)中間象素。用此方法可使上一小節(jié)提出的算法的循環(huán)次數(shù)減少一半，并大大提高了參數(shù)曲線的生

23、成速度。下面將具體描述雙步逐點(diǎn)曲線生成算法的思想。設(shè)n 仍是上節(jié)計(jì)算出的單步算法的n 值。為了保證算法的雙步特性，將3.1式（拉格朗日中值定理）=1乘2，得= 2該式保證了雙步算法在將步長(zhǎng)增加一倍（即n值減小二分之一）時(shí)，曲線每次前進(jìn)的幅度不會(huì)大于兩個(gè)象素的長(zhǎng)度。我們還是先討論x坐標(biāo)的情況，y坐標(biāo)與x坐標(biāo)同理。設(shè)當(dāng)前點(diǎn)坐標(biāo)xi已經(jīng)確定，則下一點(diǎn)的x 坐標(biāo)xi+1應(yīng)該滿足nxi+1 = (i+1) + zi+1 ,其中 (i+1)=( i ) +( i )= nxizi +( i )由第一小節(jié)中的等式=nn可知：= n=（）2n，而，所以 n可以看出，xi+1的可能取值為xi2，xi1，xi，x

24、i +1和xi +2。由上面的討論就得到了xi+1的計(jì)算公式： 當(dāng) (k)n (i)zi fillrect(&rect,&brush);long u=3,n,n;long f0,f1,f2,f3,g0,g1,g2,g3;long a1,a2,a3,b1,b2,b3;long v,w,m,t; /計(jì)算nx的值long nx=labs(x1-x0)labs(x3-x2)?labs(x1-x0):labs(x3-x2);v=x2-2*x1+x0;w=x3+3*(x1-x2)-x0;t=-v/w;if(t0 & t1)m=x1-x0+v*t;if(mnx) nx=m; /計(jì)算ny的值long ny=l

25、abs(y1-y0)labs(y3-y2)?labs(y1-y0):labs(y3-y2);v=y2-2*y1+y0;w=y3+3*(y1-y2)-y0;t=-v/w;if(t0 & t1)m=y1-y0+v*t;if(mny) ny=m;nx=u*nx;ny=u*ny;n=nxny?nx:ny;/將n的值減小1/2n=n1;/使f0, f1, f2, f3,g0,g1,g2,g3都為整數(shù)n=n*n*n;/計(jì)算當(dāng)t=0，t=1/n，t=2/n，t=3/n時(shí)f與g的值f0=n*x0;f1=x0*(n-1)*(n-1)*(n-1)+3*x1*(n-1)*(n-1)+3*x2*(n-1)+x3;f2

26、=x0*(n-2)*(n-2)*(n-2)+6*x1*(n-2)*(n-2)+12*x2*(n-2)+8*x3;f3=x0*(n-3)*(n-3)*(n-3)+9*x1*(n-3)*(n-3)+27*x2*(n-3)+27*x3;g0=n*y0;g1=y0*(n-1)*(n-1)*(n-1)+3*y1*(n-1)*(n-1)+3*y2*(n-1)+y3;g2=y0*(n-2)*(n-2)*(n-2)+6*y1*(n-2)*(n-2)+12*y2*(n-2)+8*y3;g3=y0*(n-3)*(n-3)*(n-3)+9*y1*(n-3)*(n-3)+27*y2*(n-3)+27*y3;/ a1，

27、a2，a3和b1，b2，b3分別表示f和g的一、二、三階差分a1=f1-f0;a2=f2-2*f1+f0;a3=f3-3*f2+3*f1-f0;b1=g1-g0;b2=g2-2*g1+g0;b3=g3-3*g2+3*g1-g0;long x=x0,y=y0;long z1=0,z2=0; /畫(huà)曲線的第一個(gè)點(diǎn)int fx=0,fy=0;pdc-setpixel(x,y,rgb(10,20,20); /循環(huán)畫(huà)點(diǎn)for(int i=0;i=n;i+)/xi+1=xi-2時(shí)的情況 if(2*(a1-z1)-n)if(2*(a1-z1)setpixel(x,y,rgb(10,20,20);fx=0; /

28、xi+1=xi-2時(shí)yi+1=yi-2的情況 if(2*(b1-z2)-n) if(2*(b1-z2)setpixel(x,y,rgb(10,20,20); pdc-setpixel(x-1,y-1,rgb(10,20,20); pdc-setpixel(x-2,y-2,rgb(10,20,20); y=y-2; z2=z2-b1-2*n; else /xi+1=xi-2時(shí)yi+1=yi-1的情況 if(b1-2*z2-n) /*b1-2*z2-n即b1/2-z2setpixel(x,y,rgb(10,20,20); pdc-setpixel(x-1,y-1,rgb(10,20,20); fx=1; else pdc-setpixel(x-1,y,rgb(10,20,20); pdc-setpixel(x-2,y-1,rgb(10,20,20)