2.1曲線(xiàn)的凹向、拐點(diǎn)與漸近線(xiàn)ppt課件

1、編編curvilinear cave to with turn to order with asymptote經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)基基礎(chǔ)礎(chǔ)三、小結(jié)三、小結(jié) 思考題思考題二、曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)二、曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)一、曲線(xiàn)的凹向與拐點(diǎn)一、曲線(xiàn)的凹向與拐點(diǎn)微微積積分分學(xué)學(xué)2/25一、曲線(xiàn)的凹向與拐點(diǎn)一、曲線(xiàn)的凹向與拐點(diǎn)1.11.1、問(wèn)題的提出、問(wèn)題的提出1.21.2、曲線(xiàn)凹向的定義、曲線(xiàn)凹向的定義1.31.3、曲線(xiàn)凹向的判定、曲線(xiàn)凹向的判定1.41.4、曲線(xiàn)的拐點(diǎn)及其求法、曲線(xiàn)的拐點(diǎn)及其求法二、曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)二、曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)2.12.1、漸近線(xiàn)的定義、漸近線(xiàn)的定義1.51.5、有關(guān)拐點(diǎn)的若干話(huà)題、有關(guān)拐點(diǎn)的若干話(huà)題

2、2.22.2、分類(lèi)、分類(lèi)作業(yè)：作業(yè)：p1963 (1,2,6);4 (1,3)2.22.2、有關(guān)漸近線(xiàn)的認(rèn)識(shí)、有關(guān)漸近線(xiàn)的認(rèn)識(shí)三、小結(jié)三、小結(jié)練習(xí)：練習(xí)：p195 1,23 (3,4,5);4 (2,4)3/25同樣是單調(diào)上升的曲線(xiàn)同樣是單調(diào)上升的曲線(xiàn), , 但卻但卻有不同的彎曲方向有不同的彎曲方向, , 如何研究如何研究曲線(xiàn)的彎曲方向？曲線(xiàn)的彎曲方向？xyoxyo1x2x)(xfy xyo)(xfy 1x2x曲線(xiàn)向上彎曲的弧段曲線(xiàn)向上彎曲的弧段位于其上任一點(diǎn)處切位于其上任一點(diǎn)處切線(xiàn)的上方線(xiàn)的上方, 稱(chēng)為上凹稱(chēng)為上凹.ABC1.11.1、問(wèn)題的提出、問(wèn)題的提出曲線(xiàn)向下彎曲的弧段曲線(xiàn)向下彎曲的弧

3、段位于其上任一點(diǎn)處切位于其上任一點(diǎn)處切線(xiàn)的下方線(xiàn)的下方,稱(chēng)為下凹稱(chēng)為下凹.4/25定義定義4.34.31.21.2、曲線(xiàn)凹向的定義、曲線(xiàn)凹向的定義 若在某個(gè)區(qū)間內(nèi)若在某個(gè)區(qū)間內(nèi), 曲線(xiàn)弧位于其上任一曲線(xiàn)弧位于其上任一點(diǎn)的切線(xiàn)上方點(diǎn)的切線(xiàn)上方, 則稱(chēng)曲線(xiàn)在該區(qū)間內(nèi)是上凹的則稱(chēng)曲線(xiàn)在該區(qū)間內(nèi)是上凹的; 若若曲線(xiàn)弧位于其上任一點(diǎn)的切線(xiàn)下方曲線(xiàn)弧位于其上任一點(diǎn)的切線(xiàn)下方, 則稱(chēng)曲線(xiàn)在該則稱(chēng)曲線(xiàn)在該區(qū)間內(nèi)是下凹的區(qū)間內(nèi)是下凹的.注注: 上凹簡(jiǎn)稱(chēng)凹上凹簡(jiǎn)稱(chēng)凹, 也稱(chēng)下凸也稱(chēng)下凸; 下凹簡(jiǎn)稱(chēng)凸下凹簡(jiǎn)稱(chēng)凸, 也稱(chēng)上凸也稱(chēng)上凸.xyo)(xfy xyo)(xfy abAB遞遞增增)(xf abBA0 y遞遞減減

4、)(xf 0 y圖形分析圖形分析結(jié)論結(jié)論: 利用一階導(dǎo)數(shù)符號(hào)來(lái)研究函數(shù)的增減性利用一階導(dǎo)數(shù)符號(hào)來(lái)研究函數(shù)的增減性; 利用二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)研究函數(shù)的凹凸性利用二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)研究函數(shù)的凹凸性.5/251.31.3、曲線(xiàn)凹向的判定、曲線(xiàn)凹向的判定證明略。證明略。例例1 1.3的凹向性的凹向性判斷曲線(xiàn)判斷曲線(xiàn)xy 解解定理定理4.10 4.10 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)f(x)在在(a,b)(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù), ,若對(duì)若對(duì)x(a,b),x(a,b),有有f(x)0,f(x)0,則曲線(xiàn)則曲線(xiàn)y=f(x)y=f(x)在在(a,b)(a,b)內(nèi)上凹內(nèi)上凹; ;若對(duì)若對(duì)x(a,b),x(a,

5、b),有有f(x)0,f(x)0,f(x)0,則為上凹區(qū)間則為上凹區(qū)間; f(x)0, ; f(x)0, 則為下凹區(qū)間則為下凹區(qū)間; ; 若上述各點(diǎn)是不同凹向區(qū)間分界點(diǎn)若上述各點(diǎn)是不同凹向區(qū)間分界點(diǎn) , , 則與該點(diǎn)對(duì)則與該點(diǎn)對(duì) 應(yīng)的曲線(xiàn)上的點(diǎn)就是拐點(diǎn)應(yīng)的曲線(xiàn)上的點(diǎn)就是拐點(diǎn); ; 反之則不是拐點(diǎn)反之則不是拐點(diǎn). .8/25例例3 3.14334的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)及及凹凹、凸凸的的區(qū)區(qū)間間求求曲曲線(xiàn)線(xiàn) xxy解解),(: D,121223xxy ).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,(),32()32, 0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐點(diǎn)拐

6、點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn))1 , 0()2711,32().,32,32, 0,0 ,(凹凸區(qū)間為凹凸區(qū)間為xyO119/25例例4 4.3的拐點(diǎn)的拐點(diǎn)求曲線(xiàn)求曲線(xiàn)xy 解解,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,3132 xy,9435 xy.,0均不存在均不存在是不可導(dǎo)點(diǎn)是不可導(dǎo)點(diǎn)yyx , 0,)0 ,( y內(nèi)內(nèi)但但在在;0 ,(上上是是凹凹的的曲曲線(xiàn)線(xiàn)在在 , 0,), 0( y內(nèi)內(nèi)在在.), 0上上是是凸凸的的曲曲線(xiàn)線(xiàn)在在 .)0 , 0(3的拐點(diǎn)的拐點(diǎn)是曲線(xiàn)是曲線(xiàn)點(diǎn)點(diǎn)xy xyo3xy 10/25例例5.5.求曲線(xiàn)求曲線(xiàn) 的凹向區(qū)間及拐點(diǎn)的凹向區(qū)間及拐點(diǎn). . xxey )1(xexeeyxxx 解：解：),()(

7、yD)2()1( xeexeyxxx20 xyyx+上凹上凹下凹下凹y )2 ,( 2), 2( 022 e故故 上凹區(qū)間：上凹區(qū)間： 下凹區(qū)間：下凹區(qū)間： 拐點(diǎn)拐點(diǎn)), 2( )2 ,()2 , 2(2 exxey 11/25解解),()( yD35) 1(92 xy列表考察一階、二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)列表考察一階、二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)yxy y )0 ,(0)1 , 0(1)2 , 1(), 2( 2例例6 6 求求 增減、凹向區(qū)間、極值與拐點(diǎn)增減、凹向區(qū)間、極值與拐點(diǎn). .3/13xxy ,31)1(3132 xy2, 00 xxy,x = 1 不可導(dǎo)不可導(dǎo)點(diǎn)點(diǎn) + + 00不可導(dǎo)不可導(dǎo)+ 1 3/1

8、3/1 故函數(shù)的單增區(qū)間為故函數(shù)的單增區(qū)間為(0,2)(0,2)，單減區(qū)間為，單減區(qū)間為 上凹區(qū)間上凹區(qū)間 , ,下凹區(qū)間下凹區(qū)間 , ,極小值極小值 極大值極大值 ， 拐點(diǎn)拐點(diǎn) ), 2(),0 ,( )1 ,( ), 1( 1)0( y3/1)2( y)3/1, 1( 12/250)( af假設(shè)假設(shè)(a ,f(a)(a ,f(a)為曲線(xiàn)為曲線(xiàn) y=f(x) y=f(x) 的拐點(diǎn)的拐點(diǎn), ,則其必在曲線(xiàn)上；則其必在曲線(xiàn)上；若若y=f(x)y=f(x)二階可導(dǎo)二階可導(dǎo), ,且且(a ,f(a)(a ,f(a)為拐點(diǎn)為拐點(diǎn), ,則必有則必有 ; ; 的點(diǎn)稱(chēng)駐點(diǎn)，的點(diǎn)稱(chēng)駐點(diǎn)， 的點(diǎn)無(wú)名份的點(diǎn)無(wú)名份

9、, ,二者間切莫混二者間切莫混. .0 y0 y1.51.5、有關(guān)拐點(diǎn)的若干話(huà)題、有關(guān)拐點(diǎn)的若干話(huà)題13/25假設(shè) ,函數(shù)單增假設(shè) ,函數(shù)單減0 y0 y 增減區(qū)間 凹向區(qū)間求 或 不存在的點(diǎn)0 yy 求 或 不存在的點(diǎn)0 yy 上述各點(diǎn)分定義域?yàn)槿舾蓞^(qū)間,考察各 符號(hào)y 上述各點(diǎn)分定義域?yàn)槿舾蓞^(qū)間,考察各 符號(hào)y 假設(shè) ,曲線(xiàn)上凹假設(shè) ,曲線(xiàn)下凹0 y0 y求增減區(qū)間求增減區(qū)間 與凹向區(qū)間方法比較與凹向區(qū)間方法比較 寫(xiě)出函數(shù)的定義域 寫(xiě)出函數(shù)的定義域綜上可知：增減凹向四步曲綜上可知：增減凹向四步曲, ,率先當(dāng)推定義域率先當(dāng)推定義域; ; 求得界點(diǎn)列出表求得界點(diǎn)列出表, , 考察符號(hào)全無(wú)敵考察

10、符號(hào)全無(wú)敵. .14/25 極值點(diǎn)與拐點(diǎn)比較極值點(diǎn)與拐點(diǎn)比較假設(shè) 的兩側(cè) 異號(hào) 為拐點(diǎn)假設(shè) 的兩側(cè) 異號(hào) 為函數(shù)極值點(diǎn)求 或 不存在的點(diǎn)求 或 不存在的點(diǎn) 同左 函數(shù)的定義域 拐點(diǎn) 極值點(diǎn)0 yy 0 x0 yy 0 xy 0 xy 1x1x)(,(11xfx綜上可知：一階導(dǎo)數(shù)知升降，二階導(dǎo)數(shù)曉凹向；綜上可知：一階導(dǎo)數(shù)知升降，二階導(dǎo)數(shù)曉凹向； 極值拐點(diǎn)有區(qū)別，靈活運(yùn)用細(xì)思量。極值拐點(diǎn)有區(qū)別，靈活運(yùn)用細(xì)思量。Back15/252.12.1、漸近線(xiàn)的定義、漸近線(xiàn)的定義 若曲線(xiàn)若曲線(xiàn)y=f(x)y=f(x)上的動(dòng)點(diǎn)上的動(dòng)點(diǎn)P P沿曲線(xiàn)無(wú)限遠(yuǎn)離坐標(biāo)沿曲線(xiàn)無(wú)限遠(yuǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，該點(diǎn)原點(diǎn)時(shí)，該點(diǎn)P P與某條

11、定直線(xiàn)與某條定直線(xiàn)L L的距離趨于零，則稱(chēng)的距離趨于零，則稱(chēng)該定直線(xiàn)該定直線(xiàn)L L為曲線(xiàn)為曲線(xiàn)y=f(x)y=f(x)的一條漸近線(xiàn)的一條漸近線(xiàn). . 2.22.2、分類(lèi)、分類(lèi)水平漸近線(xiàn)水平漸近線(xiàn))(軸軸的的漸漸近近線(xiàn)線(xiàn)平平行行于于 x.)()()(lim)(lim的的一一條條水水平平漸漸近近線(xiàn)線(xiàn)就就是是那那么么為為常常數(shù)數(shù)或或如如果果xfybybbxfbxfxx 例如例如,arctanxy 有水平漸近線(xiàn)兩條有水平漸近線(xiàn)兩條: :.2,2 yy xyo 16/25注注: : 設(shè)曲線(xiàn)設(shè)曲線(xiàn) y=f(x) y=f(x) 的定義區(qū)間為無(wú)限區(qū)間，的定義區(qū)間為無(wú)限區(qū)間，假設(shè)假設(shè) 則曲線(xiàn)向左無(wú)限延伸時(shí)，以直

12、線(xiàn)則曲線(xiàn)向左無(wú)限延伸時(shí)，以直線(xiàn) y=b1y=b1為其一條水平漸近線(xiàn)；為其一條水平漸近線(xiàn)；假設(shè)假設(shè) 則曲線(xiàn)向右無(wú)限延伸時(shí)，以直線(xiàn)則曲線(xiàn)向右無(wú)限延伸時(shí)，以直線(xiàn) y=b2y=b2為其一條水平漸近線(xiàn)；為其一條水平漸近線(xiàn)；假設(shè)假設(shè) 則曲線(xiàn)向左右無(wú)限延伸時(shí)，都以則曲線(xiàn)向左右無(wú)限延伸時(shí)，都以直線(xiàn)直線(xiàn) y=by=b為其水平漸近線(xiàn)為其水平漸近線(xiàn). . bxfx )(lim1)(limbxfx 2)(limbxfx xyo xyo1xy 2 xy21 xyoxy1 17/25例例8. 8. 求求 的水平漸近線(xiàn)的水平漸近線(xiàn)xxeey 1解解: :01lim xxxee故曲線(xiàn)向左延伸以故曲線(xiàn)向左延伸以 y=0 y=0

13、 為水平漸近線(xiàn)為水平漸近線(xiàn)1lim1lim xxxxxxeeee曲線(xiàn)向右延伸，以曲線(xiàn)向右延伸，以 y=1y=1為為水平漸近線(xiàn)水平漸近線(xiàn)Oxy1 y22)1 ()1 ()1 (xxxxxxxeeeeeeey 3)1/()1(xxxeeey 18/25鉛垂?jié)u近線(xiàn)鉛垂?jié)u近線(xiàn))(軸軸的的漸漸近近線(xiàn)線(xiàn)垂垂直直于于 x如果函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x=ax=a處間斷，且處間斷，且 ,)(lim,)(lim,)(lim xfxfxfaxaxax或或或或則曲線(xiàn)向上方或下方無(wú)限延伸時(shí)，以直線(xiàn)則曲線(xiàn)向上方或下方無(wú)限延伸時(shí)，以直線(xiàn)x=ax=a為鉛垂?jié)u近線(xiàn)為鉛垂?jié)u近線(xiàn). .注意：注意：若若x=a x

14、=a 是函數(shù)的無(wú)窮間斷點(diǎn)，必為曲線(xiàn)的鉛是函數(shù)的無(wú)窮間斷點(diǎn)，必為曲線(xiàn)的鉛垂?jié)u近線(xiàn)；垂?jié)u近線(xiàn)；無(wú)窮大有正、負(fù)無(wú)窮大之分，具體解題無(wú)窮大有正、負(fù)無(wú)窮大之分，具體解題應(yīng)分清應(yīng)分清. .例如例如,)3)(2(1 xxy有鉛直漸近線(xiàn)兩條有鉛直漸近線(xiàn)兩條: :. 3, 2 xxxyO32 19/25例例9 9 求求 的水平漸近線(xiàn)和鉛垂?jié)u近線(xiàn)的水平漸近線(xiàn)和鉛垂?jié)u近線(xiàn)xey/1 解解1lim0/1 eexx曲線(xiàn)向左右延伸以曲線(xiàn)向左右延伸以 y=1y=1為水平為水平漸近線(xiàn)漸近線(xiàn)x=0為函數(shù)的間斷點(diǎn)，又因?yàn)闉楹瘮?shù)的間斷點(diǎn)，又因?yàn)?xxe/10lim故故x=0 x=0為曲線(xiàn)的為曲線(xiàn)的一條鉛垂?jié)u近線(xiàn)一條鉛垂?jié)u近線(xiàn)xy0

15、1 y1。20/25 例例10.10.求求 的鉛垂?jié)u近線(xiàn)的鉛垂?jié)u近線(xiàn). .12322 xxxy解：解： 為間斷點(diǎn)為間斷點(diǎn)1 x2/1232lim123lim1221 xxxxxxx故故 x=1 不是鉛垂?jié)u近線(xiàn)，不是鉛垂?jié)u近線(xiàn)，故故 x=-1 是鉛垂?jié)u近線(xiàn)是鉛垂?jié)u近線(xiàn)注意注意: : 由于由于xx時(shí)時(shí), y1;, y1;故故y=1y=1是水平漸近線(xiàn)是水平漸近線(xiàn). . 123lim221xxxx21/25斜漸近線(xiàn)斜漸近線(xiàn).)(),( 0)()(lim0)()(lim的的一一條條斜斜漸漸近近線(xiàn)線(xiàn)就就是是那那么么為為常常數(shù)數(shù)或或若若xfybaxybabaxxfbaxxfxx 斜漸近線(xiàn)求法斜漸近線(xiàn)求法:

16、:,)(limaxxfx .)(limbaxxfx .)(的一條斜漸近線(xiàn)的一條斜漸近線(xiàn)就是曲線(xiàn)就是曲線(xiàn)那么那么xfybaxy 注意注意: :;)(lim1不不存存在在如如果果xxfx .)(lim,)(lim2不存在不存在但但存在存在axxfaxxfxx .)(不不存存在在斜斜漸漸近近線(xiàn)線(xiàn)可可以以斷斷定定xfy 注意：在同一個(gè)方向上，若曲線(xiàn)有水平漸近線(xiàn)，注意：在同一個(gè)方向上，若曲線(xiàn)有水平漸近線(xiàn)，則必?zé)o斜漸近線(xiàn)，反之亦然則必?zé)o斜漸近線(xiàn)，反之亦然. .22/25例例11. 11. 求求 的斜漸近線(xiàn)的斜漸近線(xiàn)1 xxy 解解xyO, 1)1(lim)(lim2 xxxfaxx0lim)(lim1 x

17、axxfbxx故故 y=x y=x 為曲線(xiàn)的斜漸近線(xiàn)為曲線(xiàn)的斜漸近線(xiàn)注：關(guān)于漸近線(xiàn)我們要防止如下的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)：注：關(guān)于漸近線(xiàn)我們要防止如下的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)： 漸近線(xiàn)與曲線(xiàn)不能相交漸近線(xiàn)與曲線(xiàn)不能相交? 是可以相交的！如是可以相交的！如xOyxyO23/25例例1212.1)3)(2(2)(的漸近線(xiàn)的漸近線(xiàn)求求 xxxxf解解)., 1()1 ,(: D )(lim1xfx, )(lim1xfx, .1是是曲曲線(xiàn)線(xiàn)的的鉛鉛直直漸漸近近線(xiàn)線(xiàn) x xxfx)(lim又又)1()3)(2(2lim xxxxx, 2 2)1()3)(2(2limxxxxxx 1)1(2)3)(2(2lim xxxxxx, 4 1124lim xxx.42是是曲曲線(xiàn)線(xiàn)的的一一條條斜斜漸漸近近線(xiàn)線(xiàn) xy的兩條漸近線(xiàn)如圖的兩條漸近線(xiàn)如圖1)3)(2(2)( xxxxfxyO22 24/25漸近線(xiàn)都是直線(xiàn)漸近線(xiàn)都是直線(xiàn), ,但斜率不同但斜率不同 水平漸近線(xiàn)平行于水平漸