2.1曲線的凹向、拐點與漸近線ppt課件

1、編編curvilinear cave to with turn to order with asymptote經(jīng)經(jīng)濟濟數(shù)數(shù)學學基基礎礎三、小結三、小結 思考題思考題二、曲線的漸近線二、曲線的漸近線一、曲線的凹向與拐點一、曲線的凹向與拐點微微積積分分學學2/25一、曲線的凹向與拐點一、曲線的凹向與拐點1.11.1、問題的提出、問題的提出1.21.2、曲線凹向的定義、曲線凹向的定義1.31.3、曲線凹向的判定、曲線凹向的判定1.41.4、曲線的拐點及其求法、曲線的拐點及其求法二、曲線的漸近線二、曲線的漸近線2.12.1、漸近線的定義、漸近線的定義1.51.5、有關拐點的若干話題、有關拐點的若干話題

2、2.22.2、分類、分類作業(yè)：作業(yè)：p1963 (1,2,6);4 (1,3)2.22.2、有關漸近線的認識、有關漸近線的認識三、小結三、小結練習：練習：p195 1,23 (3,4,5);4 (2,4)3/25同樣是單調(diào)上升的曲線同樣是單調(diào)上升的曲線, , 但卻但卻有不同的彎曲方向有不同的彎曲方向, , 如何研究如何研究曲線的彎曲方向？曲線的彎曲方向？xyoxyo1x2x)(xfy xyo)(xfy 1x2x曲線向上彎曲的弧段曲線向上彎曲的弧段位于其上任一點處切位于其上任一點處切線的上方線的上方, 稱為上凹稱為上凹.ABC1.11.1、問題的提出、問題的提出曲線向下彎曲的弧段曲線向下彎曲的弧

3、段位于其上任一點處切位于其上任一點處切線的下方線的下方,稱為下凹稱為下凹.4/25定義定義4.34.31.21.2、曲線凹向的定義、曲線凹向的定義 若在某個區(qū)間內(nèi)若在某個區(qū)間內(nèi), 曲線弧位于其上任一曲線弧位于其上任一點的切線上方點的切線上方, 則稱曲線在該區(qū)間內(nèi)是上凹的則稱曲線在該區(qū)間內(nèi)是上凹的; 若若曲線弧位于其上任一點的切線下方曲線弧位于其上任一點的切線下方, 則稱曲線在該則稱曲線在該區(qū)間內(nèi)是下凹的區(qū)間內(nèi)是下凹的.注注: 上凹簡稱凹上凹簡稱凹, 也稱下凸也稱下凸; 下凹簡稱凸下凹簡稱凸, 也稱上凸也稱上凸.xyo)(xfy xyo)(xfy abAB遞遞增增)(xf abBA0 y遞遞減減

4、)(xf 0 y圖形分析圖形分析結論結論: 利用一階導數(shù)符號來研究函數(shù)的增減性利用一階導數(shù)符號來研究函數(shù)的增減性; 利用二階導數(shù)的符號來研究函數(shù)的凹凸性利用二階導數(shù)的符號來研究函數(shù)的凹凸性.5/251.31.3、曲線凹向的判定、曲線凹向的判定證明略。證明略。例例1 1.3的凹向性的凹向性判斷曲線判斷曲線xy 解解定理定理4.10 4.10 設函數(shù)設函數(shù)f(x)f(x)在在(a,b)(a,b)內(nèi)具有二階導數(shù)內(nèi)具有二階導數(shù), ,若對若對x(a,b),x(a,b),有有f(x)0,f(x)0,則曲線則曲線y=f(x)y=f(x)在在(a,b)(a,b)內(nèi)上凹內(nèi)上凹; ;若對若對x(a,b),x(a,

5、b),有有f(x)0,f(x)0,f(x)0,則為上凹區(qū)間則為上凹區(qū)間; f(x)0, ; f(x)0, 則為下凹區(qū)間則為下凹區(qū)間; ; 若上述各點是不同凹向區(qū)間分界點若上述各點是不同凹向區(qū)間分界點 , , 則與該點對則與該點對 應的曲線上的點就是拐點應的曲線上的點就是拐點; ; 反之則不是拐點反之則不是拐點. .8/25例例3 3.14334的的拐拐點點及及凹凹、凸凸的的區(qū)區(qū)間間求求曲曲線線 xxy解解),(: D,121223xxy ).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,(),32()32, 0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐點拐

6、點拐點拐點)1 , 0()2711,32().,32,32, 0,0 ,(凹凸區(qū)間為凹凸區(qū)間為xyO119/25例例4 4.3的拐點的拐點求曲線求曲線xy 解解,0時時當當 x,3132 xy,9435 xy.,0均不存在均不存在是不可導點是不可導點yyx , 0,)0 ,( y內(nèi)內(nèi)但但在在;0 ,(上上是是凹凹的的曲曲線線在在 , 0,), 0( y內(nèi)內(nèi)在在.), 0上上是是凸凸的的曲曲線線在在 .)0 , 0(3的拐點的拐點是曲線是曲線點點xy xyo3xy 10/25例例5.5.求曲線求曲線 的凹向區(qū)間及拐點的凹向區(qū)間及拐點. . xxey )1(xexeeyxxx 解：解：),()(

7、yD)2()1( xeexeyxxx20 xyyx+上凹上凹下凹下凹y )2 ,( 2), 2( 022 e故故 上凹區(qū)間：上凹區(qū)間： 下凹區(qū)間：下凹區(qū)間： 拐點拐點), 2( )2 ,()2 , 2(2 exxey 11/25解解),()( yD35) 1(92 xy列表考察一階、二階導數(shù)的符號列表考察一階、二階導數(shù)的符號yxy y )0 ,(0)1 , 0(1)2 , 1(), 2( 2例例6 6 求求 增減、凹向區(qū)間、極值與拐點增減、凹向區(qū)間、極值與拐點. .3/13xxy ,31)1(3132 xy2, 00 xxy,x = 1 不可導不可導點點 + + 00不可導不可導+ 1 3/1

8、3/1 故函數(shù)的單增區(qū)間為故函數(shù)的單增區(qū)間為(0,2)(0,2)，單減區(qū)間為，單減區(qū)間為 上凹區(qū)間上凹區(qū)間 , ,下凹區(qū)間下凹區(qū)間 , ,極小值極小值 極大值極大值 ， 拐點拐點 ), 2(),0 ,( )1 ,( ), 1( 1)0( y3/1)2( y)3/1, 1( 12/250)( af假設假設(a ,f(a)(a ,f(a)為曲線為曲線 y=f(x) y=f(x) 的拐點的拐點, ,則其必在曲線上；則其必在曲線上；若若y=f(x)y=f(x)二階可導二階可導, ,且且(a ,f(a)(a ,f(a)為拐點為拐點, ,則必有則必有 ; ; 的點稱駐點，的點稱駐點， 的點無名份的點無名份

9、, ,二者間切莫混二者間切莫混. .0 y0 y1.51.5、有關拐點的若干話題、有關拐點的若干話題13/25假設 ,函數(shù)單增假設 ,函數(shù)單減0 y0 y 增減區(qū)間 凹向區(qū)間求 或 不存在的點0 yy 求 或 不存在的點0 yy 上述各點分定義域為若干區(qū)間,考察各 符號y 上述各點分定義域為若干區(qū)間,考察各 符號y 假設 ,曲線上凹假設 ,曲線下凹0 y0 y求增減區(qū)間求增減區(qū)間 與凹向區(qū)間方法比較與凹向區(qū)間方法比較 寫出函數(shù)的定義域 寫出函數(shù)的定義域綜上可知：增減凹向四步曲綜上可知：增減凹向四步曲, ,率先當推定義域率先當推定義域; ; 求得界點列出表求得界點列出表, , 考察符號全無敵考察

10、符號全無敵. .14/25 極值點與拐點比較極值點與拐點比較假設 的兩側(cè) 異號 為拐點假設 的兩側(cè) 異號 為函數(shù)極值點求 或 不存在的點求 或 不存在的點 同左 函數(shù)的定義域 拐點 極值點0 yy 0 x0 yy 0 xy 0 xy 1x1x)(,(11xfx綜上可知：一階導數(shù)知升降，二階導數(shù)曉凹向；綜上可知：一階導數(shù)知升降，二階導數(shù)曉凹向； 極值拐點有區(qū)別，靈活運用細思量。極值拐點有區(qū)別，靈活運用細思量。Back15/252.12.1、漸近線的定義、漸近線的定義 若曲線若曲線y=f(x)y=f(x)上的動點上的動點P P沿曲線無限遠離坐標沿曲線無限遠離坐標原點時，該點原點時，該點P P與某條

11、定直線與某條定直線L L的距離趨于零，則稱的距離趨于零，則稱該定直線該定直線L L為曲線為曲線y=f(x)y=f(x)的一條漸近線的一條漸近線. . 2.22.2、分類、分類水平漸近線水平漸近線)(軸軸的的漸漸近近線線平平行行于于 x.)()()(lim)(lim的的一一條條水水平平漸漸近近線線就就是是那那么么為為常常數(shù)數(shù)或或如如果果xfybybbxfbxfxx 例如例如,arctanxy 有水平漸近線兩條有水平漸近線兩條: :.2,2 yy xyo 16/25注注: : 設曲線設曲線 y=f(x) y=f(x) 的定義區(qū)間為無限區(qū)間，的定義區(qū)間為無限區(qū)間，假設假設 則曲線向左無限延伸時，以直

12、線則曲線向左無限延伸時，以直線 y=b1y=b1為其一條水平漸近線；為其一條水平漸近線；假設假設 則曲線向右無限延伸時，以直線則曲線向右無限延伸時，以直線 y=b2y=b2為其一條水平漸近線；為其一條水平漸近線；假設假設 則曲線向左右無限延伸時，都以則曲線向左右無限延伸時，都以直線直線 y=by=b為其水平漸近線為其水平漸近線. . bxfx )(lim1)(limbxfx 2)(limbxfx xyo xyo1xy 2 xy21 xyoxy1 17/25例例8. 8. 求求 的水平漸近線的水平漸近線xxeey 1解解: :01lim xxxee故曲線向左延伸以故曲線向左延伸以 y=0 y=0

13、 為水平漸近線為水平漸近線1lim1lim xxxxxxeeee曲線向右延伸，以曲線向右延伸，以 y=1y=1為為水平漸近線水平漸近線Oxy1 y22)1 ()1 ()1 (xxxxxxxeeeeeeey 3)1/()1(xxxeeey 18/25鉛垂?jié)u近線鉛垂?jié)u近線)(軸軸的的漸漸近近線線垂垂直直于于 x如果函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)y=f(x)在點在點x=ax=a處間斷，且處間斷，且 ,)(lim,)(lim,)(lim xfxfxfaxaxax或或或或則曲線向上方或下方無限延伸時，以直線則曲線向上方或下方無限延伸時，以直線x=ax=a為鉛垂?jié)u近線為鉛垂?jié)u近線. .注意：注意：若若x=a x

14、=a 是函數(shù)的無窮間斷點，必為曲線的鉛是函數(shù)的無窮間斷點，必為曲線的鉛垂?jié)u近線；垂?jié)u近線；無窮大有正、負無窮大之分，具體解題無窮大有正、負無窮大之分，具體解題應分清應分清. .例如例如,)3)(2(1 xxy有鉛直漸近線兩條有鉛直漸近線兩條: :. 3, 2 xxxyO32 19/25例例9 9 求求 的水平漸近線和鉛垂?jié)u近線的水平漸近線和鉛垂?jié)u近線xey/1 解解1lim0/1 eexx曲線向左右延伸以曲線向左右延伸以 y=1y=1為水平為水平漸近線漸近線x=0為函數(shù)的間斷點，又因為為函數(shù)的間斷點，又因為 xxe/10lim故故x=0 x=0為曲線的為曲線的一條鉛垂?jié)u近線一條鉛垂?jié)u近線xy0

15、1 y1。20/25 例例10.10.求求 的鉛垂?jié)u近線的鉛垂?jié)u近線. .12322 xxxy解：解： 為間斷點為間斷點1 x2/1232lim123lim1221 xxxxxxx故故 x=1 不是鉛垂?jié)u近線，不是鉛垂?jié)u近線，故故 x=-1 是鉛垂?jié)u近線是鉛垂?jié)u近線注意注意: : 由于由于xx時時, y1;, y1;故故y=1y=1是水平漸近線是水平漸近線. . 123lim221xxxx21/25斜漸近線斜漸近線.)(),( 0)()(lim0)()(lim的的一一條條斜斜漸漸近近線線就就是是那那么么為為常常數(shù)數(shù)或或若若xfybaxybabaxxfbaxxfxx 斜漸近線求法斜漸近線求法:

16、:,)(limaxxfx .)(limbaxxfx .)(的一條斜漸近線的一條斜漸近線就是曲線就是曲線那么那么xfybaxy 注意注意: :;)(lim1不不存存在在如如果果xxfx .)(lim,)(lim2不存在不存在但但存在存在axxfaxxfxx .)(不不存存在在斜斜漸漸近近線線可可以以斷斷定定xfy 注意：在同一個方向上，若曲線有水平漸近線，注意：在同一個方向上，若曲線有水平漸近線，則必無斜漸近線，反之亦然則必無斜漸近線，反之亦然. .22/25例例11. 11. 求求 的斜漸近線的斜漸近線1 xxy 解解xyO, 1)1(lim)(lim2 xxxfaxx0lim)(lim1 x

17、axxfbxx故故 y=x y=x 為曲線的斜漸近線為曲線的斜漸近線注：關于漸近線我們要防止如下的錯誤認識：注：關于漸近線我們要防止如下的錯誤認識： 漸近線與曲線不能相交漸近線與曲線不能相交? 是可以相交的！如是可以相交的！如xOyxyO23/25例例1212.1)3)(2(2)(的漸近線的漸近線求求 xxxxf解解)., 1()1 ,(: D )(lim1xfx, )(lim1xfx, .1是是曲曲線線的的鉛鉛直直漸漸近近線線 x xxfx)(lim又又)1()3)(2(2lim xxxxx, 2 2)1()3)(2(2limxxxxxx 1)1(2)3)(2(2lim xxxxxx, 4 1124lim xxx.42是是曲曲線線的的一一條條斜斜漸漸近近線線 xy的兩條漸近線如圖的兩條漸近線如圖1)3)(2(2)( xxxxfxyO22 24/25漸近線都是直線漸近線都是直線, ,但斜率不同但斜率不同 水平漸近線平行于水平漸