第五篇-單因素實驗設(shè)計及實驗因素水平確定方法

1、實驗因素與水平實驗因素與水平實驗因素與水平實驗因素與水平單因素優(yōu)選法單因素優(yōu)選法主要內(nèi)容主要內(nèi)容實驗因素與水平實驗因素與水平因素：在實驗中，影響試驗考核指標(biāo)的量稱為因素。因素：在實驗中，影響試驗考核指標(biāo)的量稱為因素。水平：水平是試驗中各因素的不同取值。水平：水平是試驗中各因素的不同取值。實際中一般試驗實際中一般試驗設(shè)計的因素水平設(shè)計的因素水平均取均取2 2或或3 3水平。水平。一般用一般用“+ +”，“- -”號或號或1 1，2 2，33來表示因來表示因素的不同水平。當(dāng)因素只有高低兩個水平時，素的不同水平。當(dāng)因素只有高低兩個水平時，用用“+ +”號代表高，號代表高，“- -”號代表水平。當(dāng)因素

2、號代表水平。當(dāng)因素有有3 3個以上水平時，用個以上水平時，用1 1，2 2，3 3來依次表示從低來依次表示從低到高的水平，在同一試驗表中，只能出現(xiàn)同類到高的水平，在同一試驗表中，只能出現(xiàn)同類符號，而不可混用。符號，而不可混用。因素的選取因素的選?。? 1）選擇依據(jù)：專業(yè)知識、以往的研究結(jié)論、經(jīng)驗教訓(xùn)；）選擇依據(jù)：專業(yè)知識、以往的研究結(jié)論、經(jīng)驗教訓(xùn)；最重要的是在閱讀文獻(xiàn)基礎(chǔ)上結(jié)合自身實際情況選擇。最重要的是在閱讀文獻(xiàn)基礎(chǔ)上結(jié)合自身實際情況選擇。（2 2）一般原則：盡可能全面地考慮到影響試驗指標(biāo)的各個）一般原則：盡可能全面地考慮到影響試驗指標(biāo)的各個因素，根據(jù)實驗要求和盡量少選因素因素，根據(jù)實驗要求

3、和盡量少選因素（3 3）首先）首先選對試驗指標(biāo)影響大的因素、尚未完全掌握其規(guī)選對試驗指標(biāo)影響大的因素、尚未完全掌握其規(guī)律的因素和未曾被考察研究過的因素律的因素和未曾被考察研究過的因素。那些對試驗指標(biāo)影。那些對試驗指標(biāo)影響較小的因素，對試驗指標(biāo)影響規(guī)律已完全掌握的因素，響較小的因素，對試驗指標(biāo)影響規(guī)律已完全掌握的因素，應(yīng)當(dāng)少選或不選，但要作為可控的條件因素參加試驗。應(yīng)當(dāng)少選或不選，但要作為可控的條件因素參加試驗。（4 4）在初步篩選因素時，可以考慮多安排一些因素。）在初步篩選因素時，可以考慮多安排一些因素。因因 素素p在試驗設(shè)計時，試驗因素（輸入變量）有兩種，一種是在試在試驗設(shè)計時，試驗因素（輸

4、入變量）有兩種，一種是在試驗時我們可以人為進(jìn)行控制的驗時我們可以人為進(jìn)行控制的可控因素可控因素；一種是人為無法控；一種是人為無法控制的制的噪聲（隨機(jī)）因素。噪聲（隨機(jī)）因素。p可控因素是在試驗過程中我們可以設(shè)置和保持其在一個希望可控因素是在試驗過程中我們可以設(shè)置和保持其在一個希望的水平上的因子，它應(yīng)具有以下特征：的水平上的因子，它應(yīng)具有以下特征： 1 1、根據(jù)經(jīng)驗和以往數(shù)據(jù)可以確信其對指標(biāo)、根據(jù)經(jīng)驗和以往數(shù)據(jù)可以確信其對指標(biāo)Y Y有重要影響。有重要影響。 2 2、在試驗過程中可以比較容易地進(jìn)行人為改變。、在試驗過程中可以比較容易地進(jìn)行人為改變。p可控因子對可控因子對Y Y的影響愈大，則潛在的改

5、善機(jī)會愈大。的影響愈大，則潛在的改善機(jī)會愈大。p噪聲因素是試驗過程中可使試驗結(jié)果發(fā)生偏差，且無法對噪聲因素是試驗過程中可使試驗結(jié)果發(fā)生偏差，且無法對其進(jìn)行控制的因子。它具有以下特征：其進(jìn)行控制的因子。它具有以下特征： 1 1、使試驗結(jié)果偏離目標(biāo)。、使試驗結(jié)果偏離目標(biāo)。 2 2、無法或很難人為控制。、無法或很難人為控制。p當(dāng)試驗中存在噪聲因素時，有兩種方法可以進(jìn)行改善。當(dāng)試驗中存在噪聲因素時，有兩種方法可以進(jìn)行改善。 1 1、首先確認(rèn)此因素對指標(biāo)、首先確認(rèn)此因素對指標(biāo)Y Y的影響程度，如影響大，則須對的影響程度，如影響大，則須對其進(jìn)行中和（即直接控制或降低其對其進(jìn)行中和（即直接控制或降低其對Y

6、Y的影響）。的影響）。 2 2、通過、通過重復(fù)精確試驗重復(fù)精確試驗來確定可控因素的來確定可控因素的最佳水平最佳水平，當(dāng)可控因，當(dāng)可控因素的水平足夠好時，即可得到可靠的設(shè)計（對噪聲因素不敏感）。素的水平足夠好時，即可得到可靠的設(shè)計（對噪聲因素不敏感）。因因 素素可控因素可控因素噪聲因素噪聲因素（1 1）水平有兩種：量的變化（數(shù)量因素）和質(zhì)的變化（質(zhì)）水平有兩種：量的變化（數(shù)量因素）和質(zhì)的變化（質(zhì)量因素）。量因素）。（2 2）數(shù)量因素水平水平范圍要）數(shù)量因素水平水平范圍要足夠?qū)?，否則就可出現(xiàn)縮小足夠?qū)挘駝t就可出現(xiàn)縮小甚至抵削變量影響甚至抵削變量影響，同時也看不出因素間交互作用對輸出，同時也看不出

7、因素間交互作用對輸出的影響。的影響。（3 3）水平設(shè)置）水平設(shè)置也不可過寬，否則同樣可能縮小此因素的影也不可過寬，否則同樣可能縮小此因素的影響，或?qū)⑵渌蛩氐挠绊懷谏w掉。響，或?qū)⑵渌蛩氐挠绊懷谏w掉。過寬還可能超出允許操過寬還可能超出允許操作范圍，造成意外損失。一般要求作范圍，造成意外損失。一般要求3 3個以上。個以上。（4 4）依據(jù)：專業(yè)知識、以往的研究結(jié)論、經(jīng)驗教訓(xùn)；最重）依據(jù)：專業(yè)知識、以往的研究結(jié)論、經(jīng)驗教訓(xùn)；最重要的是在閱讀文獻(xiàn)基礎(chǔ)上結(jié)合自身實際情況選擇。要的是在閱讀文獻(xiàn)基礎(chǔ)上結(jié)合自身實際情況選擇。水平的選取水平的選取水水 平平確定實驗因素：確定實驗因素： 在對實驗背景、實驗條件、實

8、驗預(yù)期結(jié)果充分了在對實驗背景、實驗條件、實驗預(yù)期結(jié)果充分了解的基礎(chǔ)上結(jié)合自身研究內(nèi)容、現(xiàn)實條件、預(yù)期效果解的基礎(chǔ)上結(jié)合自身研究內(nèi)容、現(xiàn)實條件、預(yù)期效果確定實驗因素。方法：確定實驗因素。方法：大量閱讀文獻(xiàn)及總結(jié)大量閱讀文獻(xiàn)及總結(jié)。確定實驗因素水平：確定實驗因素水平： 文獻(xiàn)結(jié)合實際文獻(xiàn)結(jié)合實際！參考單因素優(yōu)選法！參考單因素優(yōu)選法！p 優(yōu)選法優(yōu)選法就是根據(jù)生產(chǎn)和科研中的不同問題，利用數(shù)學(xué)就是根據(jù)生產(chǎn)和科研中的不同問題，利用數(shù)學(xué)原理，合理地安排試驗點，原理，合理地安排試驗點，減少試驗次數(shù)，迅速地找減少試驗次數(shù)，迅速地找到最佳點的一類科學(xué)方法到最佳點的一類科學(xué)方法。p 優(yōu)選法可以解決那些試驗指標(biāo)與因素間

9、優(yōu)選法可以解決那些試驗指標(biāo)與因素間不能用數(shù)學(xué)形不能用數(shù)學(xué)形式表達(dá)，或雖有表達(dá)式但很復(fù)雜的那些問題式表達(dá)，或雖有表達(dá)式但很復(fù)雜的那些問題。 p 假定假定f(x)f(x)是定義在區(qū)間是定義在區(qū)間aa，bb上的函數(shù)，上的函數(shù)，但但f(x)f(x)的表的表達(dá)式是并不知道的達(dá)式是并不知道的，只有從試驗中才能得出在某一點，只有從試驗中才能得出在某一點x x0 0的數(shù)值的數(shù)值f(xf(x0 0) )。應(yīng)用單因素優(yōu)選法，就是用盡量少的。應(yīng)用單因素優(yōu)選法，就是用盡量少的試驗次數(shù)來確定試驗次數(shù)來確定f(x)f(x)的最佳點。的最佳點。 單因素優(yōu)選法單因素優(yōu)選法均分均分法法平分法平分法黃金分割法黃金分割法單因素優(yōu)選

10、法單因素優(yōu)選法分?jǐn)?shù)法分?jǐn)?shù)法拋物線法拋物線法分批試驗法分批試驗法1 1 均分法均分法n 在試驗范圍在試驗范圍a, ba, b內(nèi)，根據(jù)精度要求和實際情況，均內(nèi)，根據(jù)精度要求和實際情況，均勻地排開試驗點，在每一個試驗點上進(jìn)行試驗，并相勻地排開試驗點，在每一個試驗點上進(jìn)行試驗，并相互比較，以求得最優(yōu)點?；ケ容^，以求得最優(yōu)點。 n 作法：作法：如試驗范圍如試驗范圍L Lb ba a，試驗點間隔為，試驗點間隔為N N，則試驗，則試驗點點n n為為( (包含兩個端點包含兩個端點) )：1Nab1NLn例例2-1 對采用新鋼種的某零件進(jìn)行磨削加工，砂輪轉(zhuǎn)速范對采用新鋼種的某零件進(jìn)行磨削加工，砂輪轉(zhuǎn)速范圍為圍為

11、420轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/分分720轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/分，擬經(jīng)過試驗找出能使光潔度最佳分，擬經(jīng)過試驗找出能使光潔度最佳的砂輪轉(zhuǎn)速值。的砂輪轉(zhuǎn)速值。N = 30 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/分分 n = + 1 = +1 = 11 b - a N 720 - 420 30試驗轉(zhuǎn)速：試驗轉(zhuǎn)速：420420，450450，480480，510510，540540，570570，600600，630630，660660，690690，7207201 1 均分法均分法使用范圍：使用范圍： 這種方法的特點是對所試驗的范圍進(jìn)行這種方法的特點是對所試驗的范圍進(jìn)行“普查普查”，常常常應(yīng)用于對目標(biāo)函數(shù)的性質(zhì)沒有掌握或很少掌握的情常應(yīng)用于對目標(biāo)函數(shù)的性質(zhì)沒有掌握

12、或很少掌握的情況。況。即假設(shè)目標(biāo)函數(shù)是任意的情況，其試驗精度取決即假設(shè)目標(biāo)函數(shù)是任意的情況，其試驗精度取決于試驗點數(shù)目的多少。于試驗點數(shù)目的多少。 1 1 均分法均分法 適用于試驗范圍適用于試驗范圍(a,b)(a,b)內(nèi)，目標(biāo)函數(shù)為單調(diào)（連續(xù)或內(nèi)，目標(biāo)函數(shù)為單調(diào)（連續(xù)或間斷）的情況下，求最優(yōu)點的方法。間斷）的情況下，求最優(yōu)點的方法。 前提是有一個具體指標(biāo)作為標(biāo)準(zhǔn)。前提是有一個具體指標(biāo)作為標(biāo)準(zhǔn)。a bf(x)圖圖2-2 間斷單調(diào)間斷單調(diào)a b圖圖2-1 連續(xù)單調(diào)連續(xù)單調(diào)f(x)2 2 平分法平分法每次選取因素所在試驗范圍（每次選取因素所在試驗范圍（a, ba, b）的中點處）的中點處C C做試驗

13、。做試驗。計算公式：計算公式： C = （ a + b ) 2 d = （ c + b ) 2abcd每試驗一次，試驗范圍縮每試驗一次，試驗范圍縮小一半，重復(fù)做下去，直小一半，重復(fù)做下去，直到找出滿意的試驗點為止。到找出滿意的試驗點為止。根據(jù)試驗結(jié)果，如下次試驗根據(jù)試驗結(jié)果，如下次試驗在高處（取值大些），就把在高處（取值大些），就把此試驗點（中點）以下的一此試驗點（中點）以下的一半范圍劃去；如下次試驗在半范圍劃去；如下次試驗在低處（取值小些），就把此低處（取值小些），就把此試驗點（中點）以上的一半試驗點（中點）以上的一半范圍劃去。范圍劃去。 2 2 平分法平分法 本方法是在試驗范圍本方法是在試

14、驗范圍a, ba, b內(nèi)，首先安排兩個試驗內(nèi)，首先安排兩個試驗點，再根據(jù)兩點試驗結(jié)果，留下好點，去掉不好點所點，再根據(jù)兩點試驗結(jié)果，留下好點，去掉不好點所在的一段范圍，再在余下的范圍內(nèi)尋找好點，去掉不在的一段范圍，再在余下的范圍內(nèi)尋找好點，去掉不好的點，如此繼續(xù)地作下去，直到找到最優(yōu)點為止。好的點，如此繼續(xù)地作下去，直到找到最優(yōu)點為止。 3 3 黃金分割法（黃金分割法（0.6180.618法）法） 黃金分割黃金分割 ：510.61803398872 0.6180.618法要求試驗結(jié)果目標(biāo)函數(shù)法要求試驗結(jié)果目標(biāo)函數(shù)f(x)f(x)是是單峰函單峰函數(shù)數(shù)，即在試驗范圍內(nèi)只有一個最優(yōu)點，即在試驗范圍內(nèi)

15、只有一個最優(yōu)點 d d，其，其效果效果f(d)f(d)最好，比最好，比 d d 大或小的點都差，且距大或小的點都差，且距最優(yōu)點最優(yōu)點 d d 越遠(yuǎn)的試驗效果越差。越遠(yuǎn)的試驗效果越差。 3 3 黃金分割法（黃金分割法（0.6180.618法）法） 設(shè)設(shè)x x1 1 和和x x2 2 是因素范圍是因素范圍a,ba,b內(nèi)的任意兩個試點，內(nèi)的任意兩個試點，C C點為問題的最優(yōu)點，并把兩個試點中效果較好的點稱點為問題的最優(yōu)點，并把兩個試點中效果較好的點稱為為好點好點，把效果較差的點稱為，把效果較差的點稱為差點差點。則：。則：最優(yōu)點與好最優(yōu)點與好點必在差點同側(cè)點必在差點同側(cè)，因而我們把因素范圍被差點所分成

16、，因而我們把因素范圍被差點所分成的兩部分中好點所在的那部分稱為的兩部分中好點所在的那部分稱為存優(yōu)范圍存優(yōu)范圍。即可以。即可以去掉不包含好點的一段，只留下存優(yōu)范圍。去掉不包含好點的一段，只留下存優(yōu)范圍。 如何安排兩個試驗點？如何安排兩個試驗點？ 合理地縮小存優(yōu)范圍合理地縮小存優(yōu)范圍 3 3 黃金分割法（黃金分割法（0.6180.618法）法）由由來來 安排兩個試點時應(yīng)該使兩個試點關(guān)于因素范圍的中點安排兩個試點時應(yīng)該使兩個試點關(guān)于因素范圍的中點對稱對稱-對稱原則對稱原則。 則無論哪點差，劃去的長度都一樣。則無論哪點差，劃去的長度都一樣。 最好每次舍去的區(qū)間都能占舍去前全區(qū)間同樣的比例最好每次舍去的

17、區(qū)間都能占舍去前全區(qū)間同樣的比例數(shù)（數(shù)（“成比例地舍去成比例地舍去”原則原則）。）。 由由來來3 3 黃金分割法（黃金分割法（0.6180.618法）法） 兩個試驗點位置的確定：兩個試驗點位置的確定： 設(shè)第一次舍去的長度為設(shè)第一次舍去的長度為 x x ，則：，則：)( 21度去掉第一段后剩余的長即第二次總長度即第二次舍去的長度即第一次總長度即第一次舍去的長度x)ab(xx)xa ()xb(axxxabx1213 3 黃金分割法（黃金分割法（0.6180.618法）法）由由來來)(x)ab(xx)xa ()xb(abx21度去掉第一段后剩余的長即第二次總長度即第二次舍去的長度即第一次總長度即第一

18、次舍去的長度 它的左邊是第一次舍去的比例數(shù)，右邊是第二次舍它的左邊是第一次舍去的比例數(shù)，右邊是第二次舍去的比例數(shù)。對這個等式進(jìn)行變形可得去的比例數(shù)。對這個等式進(jìn)行變形可得0)()(322abxabx整理可得整理可得 x x0.382(b0.382(ba) a) 0.6180.618或或(1(10.618)0.618)0.3820.382這正是黃金分割常數(shù)。這正是黃金分割常數(shù)。 3 3 黃金分割法（黃金分割法（0.6180.618法）法）由由來來 第一個試驗點第一個試驗點x x1 1設(shè)在范圍（設(shè)在范圍（a a，b b）的）的0.6180.618位置上，第位置上，第二個試驗點二個試驗點x x2 2

19、取成取成x x1 1的對稱點，則：的對稱點，則： x x1 1( (大小大小) )0.6180.618小小(b(ba)a)0.6180.618a a x x2 2( (大小大小) )第一點第一點( (即前一點即前一點) )(b(ba)a)x x1 1 第三個試驗點的安排有三種情形：第三個試驗點的安排有三種情形：3 3 黃金分割法（黃金分割法（0.6180.618法）法）做做法法 (1)(1) x x1 1是好點是好點 ，則劃去（，則劃去（a,xa,x2 2），保留（），保留（x x2 2,b,b）。）。x x1 1的對稱點的對稱點x x3 3，在，在x x3 3安排第三次試驗。安排第三次試驗。

20、x x3 3大小前一點大小前一點 b bx x2 2x x1 1 由由來來3 3 黃金分割法（黃金分割法（0.6180.618法）法）26 (2)(2) x x2 2是好點是好點 ，則劃去（，則劃去（x x1 1,b,b），保留（），保留（a,xa,x1 1）。）。第三個試驗點第三個試驗點x x3 3應(yīng)是好點應(yīng)是好點x x2 2的對稱點。的對稱點。 x x3 3大小前一點大小前一點 x x1 1a ax x2 2 3 3 黃金分割法（黃金分割法（0.6180.618法）法） (3)(3) 如果如果f(xf(x1 1) )和和f(xf(x2 2) )一樣，則應(yīng)該具體分析，看最一樣，則應(yīng)該具體分析

21、，看最優(yōu)點可能在哪邊，再決定取舍。一般情況下，可以同優(yōu)點可能在哪邊，再決定取舍。一般情況下，可以同時劃掉（時劃掉（a,xa,x2 2）和（）和（x x1 1,b,b），僅留中點的），僅留中點的(x(x2 2,x,x1 1) )，把，把x x2 2看成新看成新a a，x x1 1看成新看成新b b，然后在范圍（，然后在范圍（x x2 2,x,x1 1）內(nèi)）內(nèi)0.3820.382、0.6180.618處重新安排兩次試驗試驗。處重新安排兩次試驗試驗。 3 3 黃金分割法（黃金分割法（0.6180.618法）法） 無論何種情況，在新的范圍內(nèi)，又有兩次試驗可以比無論何種情況，在新的范圍內(nèi)，又有兩次試驗可

22、以比較。根據(jù)試驗結(jié)果，再去掉一段或兩段試驗范圍，在較。根據(jù)試驗結(jié)果，再去掉一段或兩段試驗范圍，在留下的范圍中再找好點的對稱點，安排新的試驗。留下的范圍中再找好點的對稱點，安排新的試驗。 這個過程重復(fù)進(jìn)行下去，直到找出滿意的點，得出比這個過程重復(fù)進(jìn)行下去，直到找出滿意的點，得出比較好的試驗結(jié)果；較好的試驗結(jié)果； 或者留下的試驗范圍已很小，再做下去，試驗差別不或者留下的試驗范圍已很小，再做下去，試驗差別不大時也可終止試驗。大時也可終止試驗。 3 3 黃金分割法（黃金分割法（0.6180.618法）法） 例：煉某種合金鋼，需添加某種化學(xué)元素以增加強(qiáng)度，加例：煉某種合金鋼，需添加某種化學(xué)元素以增加強(qiáng)度

23、，加入范圍是入范圍是1000100020002000克，求最佳加入量?？耍笞罴鸭尤肓?。 第一步第一步 先在試驗范圍長度的先在試驗范圍長度的0.6180.618處做第（處做第（1 1）個試驗）個試驗x x1 1 ( (大小大小) )0.6180.618小小 a a(b(ba)a)0.6180.61810001000(2000(20001000)1000)0.6180.61816181618克克 第二步第二步 第（第（2 2）個試驗點由公式）個試驗點由公式x x2 2大小第一點大小第一點20002000100010001618161813821382克克3 3 黃金分割法（黃金分割法（0.618

24、0.618法）法）x x1 116181618克克x x2 213821382克克 第三步第三步 比較（比較（1 1）與（）與（2 2）兩點上所做試驗的效果，現(xiàn)在）兩點上所做試驗的效果，現(xiàn)在假設(shè)第（假設(shè)第（1 1）點比較好，就去掉第（）點比較好，就去掉第（2 2）點，即去掉）點，即去掉1000,13821000,1382那一段范圍。留下那一段范圍。留下1382,20001382,2000，則：，則：x x3 3大小第一點大小第一點13821382200020001618161817641764克克 第四步第四步 比較在上次留下的好點，即第（比較在上次留下的好點，即第（1 1）處和第（）處和第（

25、3 3）處的試驗結(jié)果，看那個點好，然后就去掉效果差的那個處的試驗結(jié)果，看那個點好，然后就去掉效果差的那個試驗點以外的那部分范圍，留下包含好點在內(nèi)的那部分試驗點以外的那部分范圍，留下包含好點在內(nèi)的那部分范圍作為新的試驗范圍，范圍作為新的試驗范圍，如此反復(fù)，直到得到較好如此反復(fù)，直到得到較好的試驗結(jié)果為止。的試驗結(jié)果為止。 3 3 黃金分割法（黃金分割法（0.6180.618法）法） 可以看出每次留下的試驗范圍是上一次長度的可以看出每次留下的試驗范圍是上一次長度的0.6180.618倍，隨著試驗范圍越來越小，試驗越趨于最優(yōu)點，直倍，隨著試驗范圍越來越小，試驗越趨于最優(yōu)點，直到達(dá)到所需精度即可。到達(dá)

26、到所需精度即可。 3 3 黃金分割法（黃金分割法（0.6180.618法）法）適用范圍適用范圍： 試驗要求預(yù)先給出試驗總數(shù)試驗要求預(yù)先給出試驗總數(shù)( (或者知道或者知道試驗范圍和精試驗范圍和精確度確度，這時試驗總數(shù)就可以算出來，這時試驗總數(shù)就可以算出來) )。在這種情況下。在這種情況下，用分?jǐn)?shù)法比，用分?jǐn)?shù)法比0.6180.618法方便，且同樣適合單峰函數(shù)的法方便，且同樣適合單峰函數(shù)的方法。方法。 裴波那契數(shù)列裴波那契數(shù)列： 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144, 用用F F0 0、F F1 1、F F2 2、

27、依次表示上述數(shù)串，它們滿足遞推依次表示上述數(shù)串，它們滿足遞推關(guān)系：關(guān)系：F Fn nF Fn-1n-1F Fn-2n-2 (n2) (n2)4 4 分?jǐn)?shù)法分?jǐn)?shù)法 所有可能的試驗總數(shù)正好是某個所有可能的試驗總數(shù)正好是某個F Fn n-1-1： 第一步第一步：先在第先在第F Fn-1n-1、F Fn-2n-2點上做試驗。點上做試驗。 比較這兩個試驗的結(jié)果，如果第比較這兩個試驗的結(jié)果，如果第F Fn-1n-1點好，劃去第點好，劃去第F Fn-2n-2點以下的試驗范圍；點以下的試驗范圍；如果第如果第F Fn-2n-2點好，劃去點好，劃去F Fn-1n-1點以上的試驗范圍。點以上的試驗范圍。 4 4 分

28、數(shù)法分?jǐn)?shù)法 所有可能的試驗總數(shù)正好是某個所有可能的試驗總數(shù)正好是某個F Fn n-1-1： 第二步第二步：在留下的試驗范圍中，還剩下在留下的試驗范圍中，還剩下F Fn-1n-11 1個試驗點，個試驗點，重新編號，其中第重新編號，其中第F Fn-2n-2和和F Fn-3n-3個分點，有一個是剛好留個分點，有一個是剛好留下的好點，另一個是下一步要做的新試驗點，兩點比下的好點，另一個是下一步要做的新試驗點，兩點比較后同前面的做法一樣，從壞點把試驗范圍切開，短較后同前面的做法一樣，從壞點把試驗范圍切開，短的一段不要，留下包含好點的長的一段，這時新的試的一段不要，留下包含好點的長的一段，這時新的試驗范圍

29、就只有驗范圍就只有F Fn-2n-21 1試驗點。試驗點。 以后以后：以后的試驗，照上面的步驟重復(fù)進(jìn)行，直到試：以后的試驗，照上面的步驟重復(fù)進(jìn)行，直到試驗范圍內(nèi)沒有應(yīng)該做的好點為止。驗范圍內(nèi)沒有應(yīng)該做的好點為止。 4 4 分?jǐn)?shù)法分?jǐn)?shù)法 例：卡那霉素生物測定培養(yǎng)溫度試驗。例：卡那霉素生物測定培養(yǎng)溫度試驗。 卡那霉素發(fā)酵液測定，國內(nèi)外都規(guī)定培養(yǎng)溫度為卡那霉素發(fā)酵液測定，國內(nèi)外都規(guī)定培養(yǎng)溫度為373711，培養(yǎng)時間在，培養(yǎng)時間在16h16h以上。某制藥廠為縮短時間，決定進(jìn)行以上。某制藥廠為縮短時間，決定進(jìn)行試驗，試驗范圍為試驗，試驗范圍為29295050，精確度要求，精確度要求11，中間試，中間試驗

30、點共有驗點共有2020個，用分?jǐn)?shù)法安排試驗。個，用分?jǐn)?shù)法安排試驗。 解：由題意可知，試驗總次數(shù)為解：由題意可知，試驗總次數(shù)為2020次，正好等于次，正好等于F F7 71 1。4 4 分?jǐn)?shù)法分?jǐn)?shù)法卡那霉素發(fā)酵液測定，國內(nèi)外都規(guī)定培養(yǎng)溫度為卡那霉素發(fā)酵液測定，國內(nèi)外都規(guī)定培養(yǎng)溫度為3737 11，培養(yǎng)時間在，培養(yǎng)時間在16h16h以上。某制藥廠為縮短時間，決定進(jìn)行試驗，試驗范圍為以上。某制藥廠為縮短時間，決定進(jìn)行試驗，試驗范圍為29502950，精確度要求，精確度要求 11，中間試驗點共有，中間試驗點共有2020個，用分?jǐn)?shù)法安排試驗。個，用分?jǐn)?shù)法安排試驗。 (1) (1) 第個試驗點選在第個試驗

31、點選在1313個分點個分點4242；第個試驗點在第；第個試驗點在第8 8個個分點分點3737。發(fā)現(xiàn)點好，劃去。發(fā)現(xiàn)點好，劃去8 8分點以下的，再重新編號；分點以下的，再重新編號；(2) (2) 和比較，好，劃去和比較，好，劃去8 8分點以上的，再重新編號；分點以上的，再重新編號；(3) (3) 和比較，好，劃去和比較，好，劃去3 3分點以下的，再重新編號；分點以下的，再重新編號；(4) (4) 和比較，好，劃去和比較，好，劃去2 2分點以下的，再重新編號；分點以下的，再重新編號；(5) (5) 和比較，好，試驗結(jié)束，定下和比較，好，試驗結(jié)束，定下434311，只需，只需8 810h10h。說明

32、：說明：F F7 72121，因而最多只需做，因而最多只需做7 71 16 6次試驗。次試驗。 4 4 分?jǐn)?shù)法分?jǐn)?shù)法 所有可能的試驗總數(shù)大于某個所有可能的試驗總數(shù)大于某個F Fn n-1-1而小于而小于F Fn+1n+1-1-1： 只在要試驗范圍之外虛設(shè)幾個試驗點，湊成只在要試驗范圍之外虛設(shè)幾個試驗點，湊成F Fn+1n+11 1個個試驗。試驗。 對于虛設(shè)點，并不真正做試驗，直接判斷其結(jié)果比其對于虛設(shè)點，并不真正做試驗，直接判斷其結(jié)果比其他點都壞，試驗往下進(jìn)行，很明顯，這種虛設(shè)點，并他點都壞，試驗往下進(jìn)行，很明顯，這種虛設(shè)點，并不增加實際試驗次數(shù)。不增加實際試驗次數(shù)。4 4 分?jǐn)?shù)法分?jǐn)?shù)法 例例

33、 假設(shè)某混凝沉淀試驗，所用的混凝劑為某陽離子假設(shè)某混凝沉淀試驗，所用的混凝劑為某陽離子型聚合物與硫酸鋁，硫酸鋁的投入量恒定為型聚合物與硫酸鋁，硫酸鋁的投入量恒定為10mg/L10mg/L，而某陽離子聚合物的可能投加量分別為而某陽離子聚合物的可能投加量分別為0.100.10、0.150.15、0.200.20、0.250.25、0.30mg/L0.30mg/L，試?yán)梅謹(jǐn)?shù)法來安排試驗，試?yán)梅謹(jǐn)?shù)法來安排試驗，確定最佳陽離子型聚合物的投加量。確定最佳陽離子型聚合物的投加量。 4 4 分?jǐn)?shù)法分?jǐn)?shù)法 解：根據(jù)題意可知，可能的試驗總次數(shù)為解：根據(jù)題意可知，可能的試驗總次數(shù)為5 5次。由裴波次。由裴波那契

34、數(shù)列可知，那契數(shù)列可知， F F5 51 18 81 17 7 F F4 41 15 51 14 4 故故F F4 41 14 4 5 5 F F5 51 17 7 (1)(1)首先需要增加兩個虛設(shè)點，使其可能的試驗總次數(shù)首先需要增加兩個虛設(shè)點，使其可能的試驗總次數(shù)為為7 7次，虛設(shè)點可以安排在試驗范圍的一端或兩端。假次，虛設(shè)點可以安排在試驗范圍的一端或兩端。假設(shè)安排在兩端，即一端一個虛設(shè)點，如下圖所示。設(shè)安排在兩端，即一端一個虛設(shè)點，如下圖所示。4 4 分?jǐn)?shù)法分?jǐn)?shù)法4 4 分?jǐn)?shù)法分?jǐn)?shù)法 (2)(2)第個試驗點選在第第個試驗點選在第5 5個分點個分點0.25mg/L0.25mg/L；第個試；第

35、個試驗點在第驗點在第3 3個分點個分點0.15mg/L0.15mg/L。假設(shè)點好，劃去。假設(shè)點好，劃去3 3分點分點以下的，再重新編號；以下的，再重新編號； (3)(3)和比較，假設(shè)好，劃去和比較，假設(shè)好，劃去2 2分點以下的，再重分點以下的，再重新編號；新編號； (4)(4)此時第個試驗點為虛設(shè)點，直接認(rèn)定它的效果此時第個試驗點為虛設(shè)點，直接認(rèn)定它的效果比差，即好。試驗結(jié)束，定下該陽離子型聚合物比差，即好。試驗結(jié)束，定下該陽離子型聚合物的最佳投加量為的最佳投加量為0.30mg/L0.30mg/L。 分?jǐn)?shù)法與分?jǐn)?shù)法與0.6180.618法的區(qū)別只是用法的區(qū)別只是用F Fn-1n-1和和F Fn

36、-2n-2代替代替0.6180.618和和0.3820.382來確定試驗點，以后的步驟相同。來確定試驗點，以后的步驟相同。 一旦用一旦用F Fn-1n-1確定了第一個試驗點，則以后根據(jù)公式確確定了第一個試驗點，則以后根據(jù)公式確定其余的試驗點，也會得出完全一樣的試驗序列來。定其余的試驗點，也會得出完全一樣的試驗序列來。 4 4 分?jǐn)?shù)法分?jǐn)?shù)法 不管是不管是0.6180.618法，還是分?jǐn)?shù)法，都只是比較兩個試驗法，還是分?jǐn)?shù)法，都只是比較兩個試驗結(jié)果的好壞，而不考慮試驗的實際值，即結(jié)果的好壞，而不考慮試驗的實際值，即目標(biāo)函數(shù)值目標(biāo)函數(shù)值。拋物線法是根據(jù)已得的三個試驗數(shù)據(jù)，找到這三點。拋物線法是根據(jù)已得

37、的三個試驗數(shù)據(jù)，找到這三點的拋物線方程，然后求出該拋物線的極大值，作為下的拋物線方程，然后求出該拋物線的極大值，作為下次試驗的根據(jù)。次試驗的根據(jù)。 5 5 拋物線法拋物線法 (1) (1) 在三個試驗點：在三個試驗點：x x1 1、x x2 2、x x3 3，且，且x x1 1x x2 2x x3 3，分別，分別得試驗值得試驗值y y1 1、y y2 2、y y3 3，根據(jù)拉格朗日插值法可以得到，根據(jù)拉格朗日插值法可以得到一個二次函數(shù)。一個二次函數(shù)。 (2) (2) 設(shè)上述二次函數(shù)在設(shè)上述二次函數(shù)在x x4 4取得最大值，這時：取得最大值，這時： 323132123212311312132y)

38、xx)(xx()xx)(xx(y)xx)(xx()xx)(xx(y)xx)(xx()xx)(xx(y)xx(y)xx(y)xx(y)xx(y)xx(y)xx(y21x21313232122213212322322145 5 拋物線法拋物線法 (3) (3) 在在x xx x4 4處做試驗，得試驗結(jié)果處做試驗，得試驗結(jié)果y y4 4。如果假定。如果假定y y1 1，y y2 2，y y3 3，y y4 4中的最大值是由中的最大值是由x x4 4給出的，除給出的，除x x4 4之外，在之外，在x x1 1，x x2 2，x x3 3和和x x4 4中取較靠近中取較靠近x x4 4的左右兩點，將這三

39、點記為的左右兩點，將這三點記為x x1 1 ，x x2 2 ，x x3 3 ，此處，此處x x1 1 x x2 2 x x3 3 ，若在，若在x x1 1 ，x x2 2 ，x x3 3 處的函數(shù)值分別為處的函數(shù)值分別為y y1 1 ，y y2 2 ，y y3 3 ，則根據(jù)這三點又，則根據(jù)這三點又可得到一條拋物線方程，如此繼續(xù)下去，直到找到函可得到一條拋物線方程，如此繼續(xù)下去，直到找到函數(shù)的極大點數(shù)的極大點( (或它的充分鄰近的一個點或它的充分鄰近的一個點) )被找到為止。被找到為止。 5 5 拋物線法拋物線法47 某離心泵效率與流量之間關(guān)系曲線的試驗中，已經(jīng)測某離心泵效率與流量之間關(guān)系曲線的

40、試驗中，已經(jīng)測得三組數(shù)據(jù)如下表所示，求流量為多大時，效率最高得三組數(shù)據(jù)如下表所示，求流量為多大時，效率最高？ 看拋物線法做的過程：看拋物線法做的過程：流量流量Q(L/s)82032效率效率(%)5075705 5 拋物線法拋物線法三個試驗點得到一條拋物線三個試驗點得到一條拋物線49該拋物線有一極值點，可根據(jù)拋物線方程求出該極值點該拋物線有一極值點，可根據(jù)拋物線方程求出該極值點X X座標(biāo)：座標(biāo)：X X4 4，該流量處對應(yīng)效率，該流量處對應(yīng)效率可能可能是最大的。是最大的。50在在X X4 4對應(yīng)流量處安排試驗，測定其效率。假定測得效率對應(yīng)流量處安排試驗，測定其效率。假定測得效率值為值為78%78%

41、，即，即X X4 4流量對應(yīng)效率最大，則流量對應(yīng)效率最大，則下一步試驗下一步試驗？X X4 4對應(yīng)流量最大，因而取較靠近對應(yīng)流量最大，因而取較靠近X X4 4的左右兩點，再做拋的左右兩點，再做拋物線，即以三點物線，即以三點(20(20，75)(24,78)(32,70)75)(24,78)(32,70)做拋物線。做拋物線。求得一極值點。求得一極值點。 何時試驗結(jié)束？何時試驗結(jié)束？ 粗略地說，如果窮舉法（在每個試驗點上都做試驗）粗略地說，如果窮舉法（在每個試驗點上都做試驗）需要做需要做n n次試驗，對于同樣的效果，黃金分割法只要次試驗，對于同樣的效果，黃金分割法只要數(shù)量級數(shù)量級lgnlgn次就可

42、以達(dá)到，拋物線法，效果更好些，次就可以達(dá)到，拋物線法，效果更好些，只要數(shù)量級只要數(shù)量級lglgnlglgn次。原因就在于黃金分割法沒有較次。原因就在于黃金分割法沒有較多地利用函數(shù)的性質(zhì)，做了兩次試驗，比一比大小，多地利用函數(shù)的性質(zhì)，做了兩次試驗，比一比大小，就把它舍掉了，拋物線法則對試驗結(jié)果進(jìn)行了數(shù)量方就把它舍掉了，拋物線法則對試驗結(jié)果進(jìn)行了數(shù)量方面的分析。面的分析。5 5 拋物線法拋物線法 拋物線法常常用在拋物線法常常用在0.6180.618法或分?jǐn)?shù)法取得一些數(shù)據(jù)的法或分?jǐn)?shù)法取得一些數(shù)據(jù)的情況，這時能收到更好的效果。情況，這時能收到更好的效果。 此外，建議做完了此外，建議做完了0.6180.

43、618法或分?jǐn)?shù)法的試驗后，用最法或分?jǐn)?shù)法的試驗后，用最后三個數(shù)據(jù)按拋物線法求出后三個數(shù)據(jù)按拋物線法求出x x4 4，并計算這個拋物線在，并計算這個拋物線在點點x xx x4 4處的數(shù)值，預(yù)先估計一下在點處的數(shù)值，預(yù)先估計一下在點x x4 4處的試驗結(jié)果處的試驗結(jié)果，然后將這個數(shù)值與已經(jīng)試得的最佳值作比較，以此，然后將這個數(shù)值與已經(jīng)試得的最佳值作比較，以此作為是否在點作為是否在點x x4 4處再做一次試驗的依據(jù)。處再做一次試驗的依據(jù)。5 5 拋物線法拋物線法 在生產(chǎn)和科學(xué)實驗中，為加速試驗的進(jìn)行，常常采用在生產(chǎn)和科學(xué)實驗中，為加速試驗的進(jìn)行，常常采用一批同時做幾個試驗的方法，即一批同時做幾個試驗

44、的方法，即分批試驗法分批試驗法。 若可同時做多個試驗，則一次做一個好，還是一次同若可同時做多個試驗，則一次做一個好，還是一次同時做幾個好？一個試驗后試驗范圍縮小多少？時間時做幾個好？一個試驗后試驗范圍縮小多少？時間？成本？成本？ 以下介紹的幾種方法同樣適用于單峰函數(shù)以下介紹的幾種方法同樣適用于單峰函數(shù)6 6 分批實驗法分批實驗法（1 1）預(yù)給要求法）預(yù)給要求法 預(yù)給要求法是分批試驗的一種方法。如能預(yù)先確定總預(yù)給要求法是分批試驗的一種方法。如能預(yù)先確定總的可能的試驗個數(shù)的可能的試驗個數(shù)( (換句話說，知道了試驗范圍和要換句話說，知道了試驗范圍和要求的精密度求的精密度) )，或事先限定試驗的批數(shù)和

45、每批的個數(shù)，或事先限定試驗的批數(shù)和每批的個數(shù)，就可以采用這種方法。，就可以采用這種方法。 （1 1）預(yù)給要求法）預(yù)給要求法每批做偶數(shù)個試驗每批做偶數(shù)個試驗 若只做一批試驗，每批兩個試驗，把試驗范圍平分若只做一批試驗，每批兩個試驗，把試驗范圍平分3 3等份，在每個分點上做試驗，如下所示：等份，在每個分點上做試驗，如下所示： 若做兩批試驗，每批兩個試驗，把試驗范圍分為若做兩批試驗，每批兩個試驗，把試驗范圍分為7 7等等份，在第份，在第3 3、4 4兩點做第一批試驗。如第兩點做第一批試驗。如第4 4點好，再做點好，再做5 5、6 6兩點；如第兩點；如第3 3點好，則做點好，則做1 1、2 2兩點。兩

46、點。 若做三批試驗，每批兩個試驗，把試驗范圍分為若做三批試驗，每批兩個試驗，把試驗范圍分為1515等等份，在第份，在第7 7、8 8兩點做第一批試驗。如第兩點做第一批試驗。如第7 7點好，則把點好，則把第第8 8點以上的范圍劃去；如第點以上的范圍劃去；如第8 8點好，則把點好，則把7 7點以下的點以下的劃去，在余下的部分做第二批試驗，如下所示：劃去，在余下的部分做第二批試驗，如下所示： 依此可以推出做更多批數(shù)試驗的情形來。依此可以推出做更多批數(shù)試驗的情形來。 （1 1）預(yù)給要求法）預(yù)給要求法每批做偶數(shù)個試驗每批做偶數(shù)個試驗 每批做每批做4 4個、個、6 6個或更多個試驗的情形原理相同。容易推個或更多個試驗的情形原理相同。容易推出，若每批做出，若每批做2k2k個試驗，共作個試驗，共作 n n 批，則應(yīng)將試驗范圍批，則應(yīng)將試驗范圍等分等分 份。份。 第一批試驗點是：第一批試驗點是： , , , , , , ， , , 。 試驗結(jié)果的