因式分解概念

1、因式分解（因式分解（1）案例分析）案例分析 李超 北京市海淀區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校 1因式分解的主題簡介 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 版） 明確指出：數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，面向全體學(xué)生，注重啟發(fā)式和因材施教。因式分解這一節(jié)是解析式的一種恒等變形，這種恒等變形與小學(xué)學(xué)習(xí)的分解質(zhì)因數(shù)在概念、原理、作用等方面有極大的相似性。這部分的學(xué)習(xí)是學(xué)生體會從數(shù)到式、發(fā)展學(xué)生數(shù)感、符號意識的重要載體，也是理解運(yùn)算法則和運(yùn)算律等算理，培養(yǎng)運(yùn)算能力的有效載體。 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 版） 還強(qiáng)調(diào)：在課程設(shè)計(jì)和教學(xué)活動中，應(yīng)同時(shí)兼顧知識技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決、情感態(tài)度四個(gè)方面的目標(biāo)。

2、在知識技能目標(biāo)方面，學(xué)生在利用提公因式法、公式法進(jìn)行因式分解的過程中，鞏固必要的運(yùn)算技能；在問題解決方面，學(xué)生經(jīng)歷歸納因式分解概念的過程，嘗試從不同角度尋求分析問題和解決問題的方法，體驗(yàn)解決問題方法的多樣性；在情感態(tài)度方面，在運(yùn)用數(shù)學(xué)表達(dá)和解決問題的過程中，認(rèn)識數(shù)學(xué)具有抽象、嚴(yán)謹(jǐn)、應(yīng)用廣泛的特點(diǎn)，體會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)。 2因式分解的內(nèi)容分析 因式分解是人教版八年級上第 14 章整式的乘除與因式分解第 3 節(jié)的內(nèi)容。它是學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)歷了整式的乘除后，安排的一節(jié)教學(xué)內(nèi)容。從內(nèi)容上看，因式分解是整式乘法的一種相反的變形，這是因式分解的概念和各類因式分解的基礎(chǔ)，并由此推導(dǎo)出來。從學(xué)習(xí)方法來看，學(xué)生可以類比

3、分解質(zhì)因數(shù)，從數(shù)到整式，從具體、簡單的問題出發(fā)，經(jīng)歷歸納、總結(jié)出因式分解的概念，然后再用歸納得出的因式分解的概念，進(jìn)一步指導(dǎo)因式分解的方法，這種學(xué)習(xí)循序漸進(jìn)的方法，符合現(xiàn)階段學(xué)生的認(rèn)識水平。從思想方法來看，因式分解是整式乘法的一種逆變形，這種逆向變形，學(xué)生雖然經(jīng)歷了加與減、乘與除、乘方與開方等類經(jīng)歷，但是這種逆向變形的技巧和思考問題的方法本身對學(xué)生來說是一個(gè)難點(diǎn)，同時(shí)它的變化技巧較高，對學(xué)生來說具有較大的挑戰(zhàn)。從后續(xù)學(xué)習(xí)來看，因式分解是分式和二次根式、方程、函數(shù)等知識的基礎(chǔ)，也是有式的變形、計(jì)算等基本問題解決的基礎(chǔ)，對數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)等學(xué)科學(xué)習(xí)的有重要意義。 3學(xué)習(xí)因式分解的學(xué)情分析 從知識上

4、看，在小學(xué)期間，已經(jīng)學(xué)習(xí)過分解質(zhì)因數(shù)的相關(guān)知識，在簡便計(jì) 算的過程中，已經(jīng)有類似的變形經(jīng)歷；在初中階段，學(xué)生經(jīng)歷了有理數(shù)、整式運(yùn)算的的學(xué)習(xí)過程，對式的變形有一定的認(rèn)識；在學(xué)法上，可以遷移分解質(zhì)因數(shù)的方法，結(jié)合整式乘法的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，類比、歸納得到因式分解的方法；但是學(xué)生對于這部分的學(xué)習(xí)還存在一些困難，特別是對因式分解的概念和整式乘法的關(guān)系的 理解，缺少從逆用整式乘法法則和乘法公式的角度思考問題的意識。 4學(xué)習(xí)目標(biāo) 基于以上關(guān)于因式分解的主題、教學(xué)內(nèi)容、學(xué)情分析，確定本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)是： 1學(xué)生通過多種背景的問題解決，體會因式分解必要性與重要性，歸納出因式分解的概念； 2學(xué)生逆用分配律、整式乘法運(yùn)算

5、性質(zhì)得出提公因式法，體會因式分解是整式乘法的一種逆變形。 5學(xué)習(xí)重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)：因式分解的概念； 難點(diǎn)：因式分解是整式乘法的逆變形的理解。 6教學(xué)過程設(shè)計(jì) 環(huán)節(jié) 1 1 從數(shù)到式，歸納得出因式分解的感念 引言：前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了整式的乘除，大家看看下面的問題的解決，思考與你已有的哪些知識之間，有什么關(guān)系? 問題 1 1： （1）分解質(zhì)因數(shù):78？ 39999 是哪些數(shù)的倍數(shù)；2（） （3）求值： 2a5x3)(7x4a()3x7 ，其中， ）的過程，回顧分解質(zhì)因數(shù)的概 1 老師提出問題，學(xué)生在回答問題（師生活動：念和方法，體會分解因數(shù)的關(guān)鍵點(diǎn)是把整數(shù)化為幾個(gè)整數(shù)乘積的過程，作用是可以確定某個(gè)

6、數(shù)的因數(shù)；在回答問題（1）的過程中，思考式子變形如何變形和變形的依據(jù)，具體變形有下面幾種： 39999但是學(xué)生會發(fā)現(xiàn)這再思考這個(gè)是哪些數(shù)的倍數(shù)， ） 直接計(jì)算的值是 970200， （1 個(gè)數(shù)比較大，解決起來并不容易；39999 （2） 2199)(99逆用乘法分配率 99(991)(991)逆用乘法乘法公式 9910098 學(xué)生在解決的過程中，觀察式子進(jìn)行第(1)的變形,但是第(2)變形對部分學(xué)生來說,還存在一定的困難、學(xué)生引導(dǎo)才能聯(lián)想得到。另外，為了讓學(xué)生體會這是乘法的一種逆變形，每步都會通過提問來強(qiáng)化，增強(qiáng)學(xué)生逆變形的認(rèn)識。另外學(xué)生還提出，問題（2）的真正解決，還需要繼續(xù)分解到質(zhì)因數(shù)，這

7、都便于學(xué)生進(jìn)一步理解分解因式作了很好的鋪墊。 問題（3）的解決的方法主要有以下三種： （1） 直接帶入數(shù)值求； （2） 利用整式的乘法運(yùn)算，先化簡在求值； （3） 把式子化為整式乘積的形式，再帶人求值 通過這三種不同的解法，體會因式分解的重要作用及式子變形是根據(jù)運(yùn)算需求而進(jìn)行的變形。最后通過以上的式子，歸納得到因式分解概念。 設(shè)計(jì)意圖設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過分解質(zhì)因數(shù)、倍數(shù)問題、計(jì)算等多種背景的問題解決，體會因式分解必要性與重要性，歸納出因式分解的概念，為下面的因式分解的理解和 方法的得出都作了很扎實(shí)的鋪墊。 環(huán)節(jié) 2 2 探究因式分解探究因式分解 總結(jié)方法總結(jié)方法 問題 2 2： 請依據(jù)因式分解的

8、概念，嘗試對下列式子進(jìn)行因式分解： 2323 3） (1) ；（2） （c2x18x128ababcmbmam6(x2)x(2x)2a(bc)3(bc) (5) ）4（2; (7) (6) c3b2ac3ab2)(x2x(6x12)師生活動：師生活動：學(xué)生先獨(dú)立嘗試、然后師生互動、評析。在評析的過程中，依據(jù)因式分解的概念，判斷每個(gè)步驟的變形進(jìn)行是否是因式分解，并說出變形的依據(jù)，探索、歸納得出提公因式法。 在問題 2 中，聚焦下面兩個(gè)問題： 1如何進(jìn)行因式分解？ 2變形的依據(jù)是什么？ 通過問題 2 中的練習(xí)(1) 、 （2） 、 （3） ，總結(jié)出提公因式法進(jìn)行因式分解方法，體會提公因式法進(jìn)行因式

9、分解的本質(zhì)就是逆用乘法分配律，關(guān)鍵是如何確定公因式，難點(diǎn)是公因式是不是最大公因式；其次練習(xí)（4） 、 （5） 、 （6） （7） ，從不同角度鞏固和提高學(xué)生對公因式理解和的認(rèn)識。最后，學(xué)生舉出因式分解的例子評估學(xué)生對因式分解的理解。 設(shè)計(jì)意圖：通過依據(jù)因式分解的概念，嘗試進(jìn)行式的變形，在已有的知識框架的基礎(chǔ)上構(gòu)建提公因式法的方法；通過不同層次的問題解決，逐步感悟公因式的概念，為進(jìn)一步理解因式分解是整式乘法的一種逆變形提供載體。 環(huán)節(jié)環(huán)節(jié) 3 歸納小結(jié)歸納小結(jié) 教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)的主要內(nèi)容，并請同學(xué)回答以下問題： （1） 本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些主要內(nèi)容？ （2） 你是怎樣理解因式分解的？ 設(shè)

10、計(jì)意圖：設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生從知識內(nèi)容和學(xué)習(xí)過程兩個(gè)方面總結(jié)自己的收獲，把握本節(jié)課的核心內(nèi)容-因式分解和提公因式法，進(jìn)一步體會數(shù)式通性和因式分解的概念與作用，總結(jié)應(yīng)用提公因式法因式分解的步驟，建立知識間的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。 6核心活動課堂教學(xué)實(shí)錄及點(diǎn)評分析核心活動課堂教學(xué)實(shí)錄及點(diǎn)評分析 課堂片斷 1 引課 在前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過整式的乘除，下面我們繼續(xù)學(xué)習(xí)。首先，請先看活動 1，現(xiàn)在給 2 分鐘，思考 PPT 中的問題。 師：問題（1）：分解質(zhì)因數(shù):78？ ；3978=2，所以 2=3978，得：2 可以除以 78 生：師：學(xué)生知道分解質(zhì)因數(shù)，需要把數(shù)分解成幾個(gè)整數(shù)乘積的形式，你認(rèn)為這

11、是最終結(jié)果嗎？ 生：不是，39 可以拆成 313，所以 78=239=2313 點(diǎn)評：剛才這個(gè)回答可以看出，分解質(zhì)因數(shù)，不僅需要分解成乘積形式，還需要分解成質(zhì)因數(shù)。 師：大家思考一下第一個(gè)分解形式與第二個(gè)分解形式有什么不同？ 生：第一個(gè)還可以繼續(xù)分，第二個(gè)不能在分解，分解到了質(zhì)因數(shù)的形式。 師：那么分解成質(zhì)因數(shù)有什么好處呢？ 生：分解質(zhì)因數(shù)把因數(shù)拆成了最小化，對解決一些問題會有幫助，比如，下面問：是哪些數(shù)的倍數(shù)，就可以用這些質(zhì)因數(shù)組合，比如：23、213、313等。 點(diǎn)評：在這個(gè)追問環(huán)節(jié)，幫助學(xué)生理解為什么需要分解成質(zhì)因數(shù)，為因式分解不徹底做好鋪墊，學(xué)生可以從分解質(zhì)因數(shù)類比得到分解因式。 課堂

12、片斷 2 39999 是哪些數(shù)的倍數(shù)；師：問題（2） 生：提取公因數(shù) 99，再利用平分差公式， 39999 21)9999( . 提取公因數(shù) 99 .利用平分差公式 )99199(991)(師: 那么什么是平方差公式? 22ba)(ab)(ab 是: 生師：大家觀察這個(gè)變形是否是應(yīng)用平方差公式，有沒有區(qū)別？ 22的形式，這里是逆用。 ，而這里是生：倒著用，公式左邊是ba)(ab)(ab 乘法公式 22 ba)ab(ab)( 逆用師：上一步變形依據(jù)是什么？ 生：乘法分配律 師：乘法分配律是什么？ 分配律mbma )(mba 逆用點(diǎn)評：在講析的過程中，通過從形式的不同，體會因式分解是整式的乘法的關(guān)

13、系，突出本節(jié)課的學(xué)習(xí)重點(diǎn)和思維難點(diǎn)。 7持續(xù)性評價(jià)設(shè)計(jì)持續(xù)性評價(jià)設(shè)計(jì) 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 版） 在評價(jià)建議中強(qiáng)調(diào)：評價(jià)不僅要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果，更要關(guān)注學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的發(fā)生發(fā)展；不僅需要關(guān)注基礎(chǔ)知識和基本技能的評價(jià)，也要關(guān)注數(shù)學(xué)思考和問題解決的評價(jià)，要求體現(xiàn)評價(jià)主體的多元化和評價(jià)方式的多樣性。 基于以上關(guān)于評價(jià)的建議，本節(jié)課的評價(jià)主體包括：教師、同學(xué)及學(xué)生本人，評價(jià)方式包括課堂獨(dú)立思考、口頭回答問題、課堂收獲反饋、書面檢測。具體要求如下： 1 檢查、評估課堂記錄情況； 2 學(xué)生課堂回答問題和提出問題的情況； 3 結(jié)合本節(jié)課，學(xué)生獨(dú)立完成的課堂收獲反饋，可以從學(xué)習(xí)過程、知識發(fā)展、最大感受等

14、角度，選擇對你最有啟發(fā)的點(diǎn)，進(jìn)行簡單闡釋； 4 書面檢測（附） 8教學(xué)反思教學(xué)反思 因式分解本節(jié)課，是學(xué)生學(xué)習(xí)完整式的乘除之后安排學(xué)習(xí)的一個(gè)內(nèi)容，從形式上看，好像是在重復(fù)前面學(xué)習(xí)的知識，但是從式的變形的角度來看，確實(shí)完全不同的兩個(gè)方向，這種相似性，既是學(xué)生學(xué)習(xí)的支撐點(diǎn)，又是學(xué)生理解的節(jié)點(diǎn)。本節(jié)課的設(shè)計(jì)重點(diǎn)突出了以下兩點(diǎn)： 1教學(xué)設(shè)計(jì)注重所學(xué)知識的持續(xù)性。 以往的教學(xué)設(shè)計(jì)，容易把這節(jié)課設(shè)計(jì)成因式分解的習(xí)題課，老師告知概念，學(xué)生照貓畫虎，通過一些辨析、練習(xí)等形式來學(xué)習(xí)。這樣的設(shè)計(jì)，學(xué)生會感覺概念突兀、容易混淆，被老師牽著走，因式分解的方法，更多的是訓(xùn)練，學(xué)生在模仿、試錯(cuò)，再構(gòu)建，澄清誤解的過程中實(shí)

15、現(xiàn)。而新課程標(biāo)準(zhǔn)的基本理念強(qiáng)調(diào)：數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，不僅僅是數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。這給我提出了很大的挑戰(zhàn)，我也嘗試換一個(gè)角度來設(shè)計(jì)這個(gè)課程。 在這一節(jié)課的設(shè)計(jì)的基本理念是：因式分解從形式上看，好像是已經(jīng)學(xué)習(xí)過我們又需要利用這種相那么我們就需要思考為什么會產(chǎn)生這樣的認(rèn)識，的內(nèi)容，似性，來設(shè)計(jì)這節(jié)課。首先，從形式看，因式分解是一種整式的變形，它是整式乘法的逆向變形的過程，這一點(diǎn)也是學(xué)生理解因式分解的重點(diǎn)，這是因?yàn)檫@是因式分解的理論基礎(chǔ)，各種因式分解的方法都由此作為基礎(chǔ)而推導(dǎo)出來的；同時(shí)也是一個(gè)難點(diǎn)，這是因?yàn)橥瑢W(xué)會忽視或混淆他們之間的區(qū)別的心理認(rèn)識。其次，從式子變形的

16、作用來看，因式分解的作用與分解質(zhì)因數(shù)在計(jì)算或其他問題解決中的作用及其相似，可以類比分解質(zhì)因數(shù)學(xué)習(xí)因式分解?；谝陨蟽牲c(diǎn)的思考，本節(jié)課的設(shè)計(jì)突出了下面的特點(diǎn)：從分解質(zhì)因數(shù)類比學(xué)習(xí)，通過整除、簡便計(jì)算等多種背景的問題解決，體會因式分解必要性與重要性，歸納出因式分解的概念。 2教學(xué)設(shè)計(jì)體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的形成過程、重視問題解決的能力培養(yǎng)與發(fā)展 新課標(biāo)要求：在設(shè)計(jì)一些新知識的學(xué)習(xí)活動時(shí)，應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，通過任務(wù)引導(dǎo)，注重知識的生發(fā)過程，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，調(diào)動學(xué)生的積極性，鼓勵(lì)他們的創(chuàng)造性思維。在環(huán)節(jié) 2 中，通過設(shè)計(jì)任務(wù)型問題引導(dǎo)學(xué)生充分調(diào)動已有知識、嘗試、探究、提升、最后總結(jié)出

17、提公因式法進(jìn)行因式分解的一般方法與步驟，通過問題的不同層級從系數(shù)、字母、系數(shù)等角度體會公因式確定需要考慮的因素，最后還設(shè)計(jì)了不同類型的、利用整體思想，更加廣泛意義的提取公因式的方法進(jìn)行因式分解。這樣的設(shè)計(jì)避免了老師的告知，更多的是在自己已有的經(jīng)驗(yàn)、知識體系中，構(gòu)建因式分解這種變形的方法，同時(shí)這個(gè)過程也是更好的理解因式分解概念的有效載體，并且能充分體會數(shù)式通性和運(yùn)算律在整式變形中的作用。 最后，這節(jié)課在設(shè)計(jì)與實(shí)施過程中還存在一些需要進(jìn)一步改善的地方。比如，對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，同學(xué)之間在理解和應(yīng)用已有知識存在著較大的差異，而這一節(jié)的引入和問題解決需要調(diào)用學(xué)生已有知識的信息較多，對于那些已由知識不太扎實(shí)的學(xué)習(xí)者來說，會增加他們思考問題的思維量，那么這樣，會不會影響他們的學(xué)習(xí)這部分知識的效果，有沒有更加普適的方法可以借鑒。還有，這一節(jié)課，學(xué)生注重師生互動，更多的是關(guān)注到回答問題的同學(xué)的思維過程，那么對于沒有及時(shí)回答問題的同學(xué)，如何更進(jìn)有效他們的思考問題的程度，了解他們的思維節(jié)點(diǎn)，評價(jià)他們的