2014電大高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)考試小抄(可編輯)

1、 高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)歸類(lèi)復(fù)習(xí)一、單項(xiàng)選擇題1-1下列各函數(shù)對(duì)中,( C )中的兩個(gè)函數(shù)相等.A. , B. ,C.,D. ,1-設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?則函數(shù)的圖形關(guān)于(C )對(duì)稱(chēng). A. 坐標(biāo)原點(diǎn)B. 軸 C. 軸 D 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?則函數(shù)的圖形關(guān)于(D )對(duì)稱(chēng). A B. 軸 C. 軸 D. 坐標(biāo)原點(diǎn) .函數(shù)的圖形關(guān)于( A )對(duì)稱(chēng). A 坐標(biāo)原點(diǎn) B 軸C 軸D 1-下列函數(shù)中為奇函數(shù)是( B ). A BC D 下列函數(shù)中為奇函數(shù)是(A ). A BC D 下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是( D). AB C D 2-1 下列極限存計(jì)算不正確的是( D).A B CD2-2當(dāng)時(shí),變量( C)是無(wú)窮小量.

2、 ABC D當(dāng)時(shí),變量( C )是無(wú)窮小量.A B C D當(dāng)時(shí),變量(D )是無(wú)窮小量.AB C D下列變量中,是無(wú)窮小量的為( B ) AB CD.3-1設(shè)在點(diǎn)x1處可導(dǎo),則( D ). A BC D 設(shè)在可導(dǎo),則( D ). A B CD 設(shè)在可導(dǎo),則( D ). A BCD 設(shè),則( A )AB CD3-2. 下列等式不成立的是(D ).A. B C D.下列等式中正確的是(B ).A B C D.4-1函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是( D ).A B C D 函數(shù)在區(qū)間內(nèi)滿足(A ).A. 先單調(diào)下降再單調(diào)上升 B. 單調(diào)下降 C. 先單調(diào)上升再單調(diào)下降 D. 單調(diào)上升.函數(shù)在區(qū)間(-5,5)內(nèi)

3、滿足( A ) A 先單調(diào)下降再單調(diào)上升B 單調(diào)下降C先單調(diào)上升再單調(diào)下降 D 單調(diào)上升函數(shù)在區(qū)間內(nèi)滿足(D ). A. 先單調(diào)下降再單調(diào)上升B. 單調(diào)下降 C. 先單調(diào)上升再單調(diào)下降D. 單調(diào)上升5-1若的一個(gè)原函數(shù)是,則(D ). A B CD .若是 的一個(gè)原函數(shù),則下列等式成立的是( A )。 AB C D5-2若,則( B ). ABC D 下列等式成立的是(D ).A B C D( B ). A BC D( D ) ABC D -3若,則( B ). A BCD補(bǔ)充: , 無(wú)窮積分收斂的是 函數(shù)的圖形關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)。二、填空題 函數(shù)的定義域是 (3,+) . 函數(shù)的定義域是(2,

4、3) (3,4 函數(shù)的定義域是 (-5,2) 若函數(shù),則 1 .2若函數(shù),在處連續(xù),則 e .函數(shù)在處連續(xù),則 2 函數(shù)的間斷點(diǎn)是 x0 . 函數(shù)的間斷點(diǎn)是x3 。 函數(shù)的間斷點(diǎn)是x0 3-曲線在處的切線斜率是 1/2 . 曲線在處的切線斜率是1/4 . 曲線在(0,2)處的切線斜率是1. .曲線在處的切線斜率是3.3-2 曲線在處的切線方程是 y 1 .切線斜率是0 曲線y sinx 在點(diǎn) 0,0處的切線方程為 y x切線斜率是 14.函數(shù)的單調(diào)減少區(qū)間是 (-,0 ) . 函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是 (0,+) . .函數(shù)的單調(diào)減少區(qū)間是 (-,-1 ) . .函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是 (0,+)

5、. 函數(shù)的單調(diào)減少區(qū)間是 (0,+) .5-1 . . tan x +C . 若,則 -9 sin 3x .5-23. 0 . 0 下列積分計(jì)算正確的是( B ). ABCD 三、計(jì)算題(一)、計(jì)算極限(1小題,11分)(1)利用極限的四則運(yùn)算法則,主要是因式分解,消去零因子。(2)利用連續(xù)函數(shù)性質(zhì):有定義,則極限類(lèi)型1: 利用重要極限, , 計(jì)算1-1求.解: 1-2 求解: 1-3 求 解:類(lèi)型2: 因式分解并利用重要極限 , 化簡(jiǎn)計(jì)算。2-1求. 解: 2-2解: 2-3解: 類(lèi)型3:因式分解并消去零因子,再計(jì)算極限3-1 解: 3-2 3-3解其他:, ,(0807考題)計(jì)算. 解:

6、(0801考題. )計(jì)算.解 (0707考題.)(二) 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分(1小題,11分)(1)利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則 (2)利用導(dǎo)數(shù)基本公式和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式 類(lèi)型1:加減法與乘法混合運(yùn)算的求導(dǎo),先加減求導(dǎo),后乘法求導(dǎo);括號(hào)求導(dǎo)最后計(jì)算。1-1 解:=1-2 解:1-3 設(shè),求. 解: 類(lèi)型2:加減法與復(fù)合函數(shù)混合運(yùn)算的求導(dǎo),先加減求導(dǎo),后復(fù)合求導(dǎo)2-1 ,求 解:2-2 ,求 解:2-3 ,求, 解:類(lèi)型3: 乘積與復(fù)合函數(shù)混合運(yùn)算的求導(dǎo),先乘積求導(dǎo),后復(fù)合求導(dǎo) ,求 。 解:其他:,求。 解:0807.設(shè),求 解:0801.設(shè),求 解:0707.設(shè),求解:0701.設(shè),求 解:(三)積

7、分計(jì)算:(2小題,共22分) 湊微分類(lèi)型1: 計(jì)算 解:0707.計(jì)算. 解: 0701計(jì)算. 解: 湊微分類(lèi)型2:.計(jì)算. 解: 0807.計(jì)算. 解:0801.計(jì)算解: 湊微分類(lèi)型3:, 計(jì)算解:.計(jì)算 解: 定積分計(jì)算題,分部積分法類(lèi)型1:計(jì)算 解: , 計(jì)算 解: , 計(jì)算 解:, 08070707 類(lèi)型2(0801考題)類(lèi)型3: 四、應(yīng)用題(1題,16分)類(lèi)型1: 圓柱體上底的中心到下底的邊沿的距離為l,問(wèn)當(dāng)?shù)装霃脚c高分別為多少時(shí),圓柱體的體積最大? 解:如圖所示,圓柱體高與底半徑滿足 圓柱體的體積公式為 求導(dǎo)并令 得,并由此解出. 即當(dāng)?shù)装霃?高時(shí),圓柱體的體積最大.類(lèi)型2:已知體

8、積或容積,求表面積最小時(shí)的尺寸。2-1(0801考題) 某制罐廠要生產(chǎn)一種體積為V的有蓋圓柱形容器,問(wèn)容器的底半徑與高各為多少時(shí)用料最省?解:設(shè)容器的底半徑為,高為,則其容積 表面積為 , 由得,此時(shí)。 由實(shí)際問(wèn)題可知,當(dāng)?shù)装霃脚c高 時(shí)可使用料最省。一體積為V的圓柱體,問(wèn)底半徑與高各為多少時(shí)表面積最小? 解: 本題的解法和結(jié)果與2-1完全相同。生產(chǎn)一種體積為V的無(wú)蓋圓柱形容器,問(wèn)容器的底半徑與高各為多少時(shí)用料最省?解:設(shè)容器的底半徑為,高為,則無(wú)蓋圓柱形容器表面積為 ,令 ,得 , 由實(shí)際問(wèn)題可知,當(dāng)?shù)装霃脚c高 時(shí)可使用料最省。2-2欲做一個(gè)底為正方形,容積為32立方米的長(zhǎng)方體開(kāi)口容器,怎樣做

9、法用料最省?(0707考題)解:設(shè)底邊的邊長(zhǎng)為,高為,用材料為,由已知, 表面積 , 令,得, 此時(shí)2 由實(shí)際問(wèn)題可知,是函數(shù)的極小值點(diǎn),所以當(dāng),時(shí)用料最省。 欲做一個(gè)底為正方形,容積為62.5立方米的長(zhǎng)方體開(kāi)口容器,怎樣做法用料最省? 解: 本題的解法與2-2同,只需把V62.5 代入即可。類(lèi)型3 求求曲線上的點(diǎn),使其到點(diǎn)的距離最短. 曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離平方為 ,3-1在拋物線上求一點(diǎn),使其與軸上的點(diǎn)的距離最短. 解:設(shè)所求點(diǎn)P(x,y),則滿足 ,點(diǎn)P 到點(diǎn)A 的距離之平方為 令,解得是唯一駐點(diǎn),易知是函數(shù)的極小值點(diǎn), 當(dāng)時(shí),或,所以滿足條件的有兩個(gè)點(diǎn)(1,2)和(1,-2)3-2求曲線

10、上的點(diǎn),使其到點(diǎn)的距離最短. 解:曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)A(2,0) 的距離之平方為 令,得, 由此, 即曲線上的點(diǎn)(1,)和(1,)到點(diǎn)A(2,0)的距離最短。08074求曲線上的點(diǎn),使其到點(diǎn)A(0,2)的距離最短。 解: 曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)A(0,2)的距離公式為 與在同一點(diǎn)取到最大值,為計(jì)算方便求的最大值點(diǎn), 令 得,并由此解出, 即曲線上的點(diǎn)()和點(diǎn)()到點(diǎn)A(0,2)的距離最短高等數(shù)學(xué)(1)學(xué)習(xí)輔導(dǎo)一第一章 函數(shù)理解函數(shù)的概念;掌握函數(shù)中符號(hào)f 的含義;了解函數(shù)的兩要素;會(huì)求函數(shù)的定義域及函數(shù)值;會(huì)判斷兩個(gè)函數(shù)是否相等。兩個(gè)函數(shù)相等的充分必要條件是定義域相等且對(duì)應(yīng)關(guān)系相同。了解函數(shù)的主要性質(zhì),即

11、單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性。若對(duì)任意,有,則稱(chēng)為偶函數(shù),偶函數(shù)的圖形關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)。若對(duì)任意,有,則稱(chēng)為奇函數(shù),奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。掌握奇偶函數(shù)的判別方法。掌握單調(diào)函數(shù)、有界函數(shù)及周期函數(shù)的圖形特點(diǎn)。熟練掌握基本初等函數(shù)的解析表達(dá)式、定義域、主要性質(zhì)和圖形?；境醯群瘮?shù)是指以下幾種類(lèi)型:常數(shù)函數(shù):冪函數(shù):指數(shù)函數(shù):對(duì)數(shù)函數(shù):三角函數(shù):反三角函數(shù):了解復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)的概念,會(huì)把一個(gè)復(fù)合函數(shù)分解成較簡(jiǎn)單的函數(shù)。如函數(shù)可以分解,。分解后的函數(shù)前三個(gè)都是基本初等函數(shù),而第四個(gè)函數(shù)是常數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的和。會(huì)列簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系式。例題選解 一、填空題設(shè),則 。解:設(shè),則,得故。函數(shù)的定義

12、域是 。解:對(duì)函數(shù)的第一項(xiàng),要求且,即且;對(duì)函數(shù)的第二項(xiàng),要求,即。取公共部分,得函數(shù)定義域?yàn)?。函?shù)的定義域?yàn)?則的定義域是 。解:要使有意義,必須使,由此得定義域?yàn)?。函?shù)的定義域?yàn)?。解:要使有意義,必須滿足且,即成立,解不等式方程組,得出,故得出函數(shù)的定義域?yàn)椤ＴO(shè),則函數(shù)的圖形關(guān)于 對(duì)稱(chēng)。解:的定義域?yàn)?,且有即是偶函數(shù),故圖形關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)。 二、單項(xiàng)選擇題 下列各對(duì)函數(shù)中,( )是相同的。 A.; B.;C.; D.解:A中兩函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同, , B, D三個(gè)選項(xiàng)中的每對(duì)函數(shù)的定義域都不同,所以A B, D都不是正確的選項(xiàng);而選項(xiàng)C中的函數(shù)定義域相等,且對(duì)應(yīng)關(guān)系相同,故選項(xiàng)C正確。 設(shè)

13、函數(shù)的定義域?yàn)?則函數(shù)的圖形關(guān)于( )對(duì)稱(chēng)。解:設(shè),則對(duì)任意有即是奇函數(shù),故圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。選項(xiàng)D正確。 3.設(shè)函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù),則函數(shù)是( ). A.單調(diào)減函數(shù); B.有界函數(shù);解:A, B, D三個(gè)選項(xiàng)都不一定滿足。設(shè),則對(duì)任意有即是偶函數(shù),故選項(xiàng)C正確。函數(shù)( ) A.是奇函數(shù); B. 是偶函數(shù);C.既奇函數(shù)又是偶函數(shù); D.是非奇非偶函數(shù)。解:利用奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行驗(yàn)證。所以B正確。若函數(shù),則() A.; B. ;C.; D. 。解:因?yàn)樗詣t,故選項(xiàng)B正確。第二章 極限與連續(xù) 知道數(shù)列極限的“”定義;了解函數(shù)極限的描述性定義。理解無(wú)窮小量的概念;了解無(wú)窮小量的運(yùn)算性質(zhì)及其與無(wú)

14、窮大量的關(guān)系;知道無(wú)窮小量的比較。無(wú)窮小量的運(yùn)算性質(zhì)主要有:有限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和是無(wú)窮小量;有限個(gè)無(wú)窮小量的乘積是無(wú)窮小量;無(wú)窮小量和有界變量的乘積是無(wú)窮小量。熟練掌握極限的計(jì)算方法:包括極限的四則運(yùn)算法則,消去極限式中的不定因子,利用無(wú)窮小量的運(yùn)算性質(zhì),有理化根式,兩個(gè)重要極限,函數(shù)的連續(xù)性等方法。求極限有幾種典型的類(lèi)型(1)(2)(3) 熟練掌握兩個(gè)重要極限: (或) 重要極限的一般形式: (或)利用兩個(gè)重要極限求極限,往往需要作適當(dāng)?shù)淖儞Q,將所求極限的函數(shù)變形為重要極限或重要極限的擴(kuò)展形式,再利用重要極限的結(jié)論和極限的四則運(yùn)算法則,如理解函數(shù)連續(xù)性的定義;會(huì)判斷函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性;會(huì)求

15、函數(shù)的連續(xù)區(qū)間;了解函數(shù)間斷點(diǎn)的概念;會(huì)對(duì)函數(shù)的間斷點(diǎn)進(jìn)行分類(lèi)。間斷點(diǎn)的分類(lèi):已知點(diǎn)是的間斷點(diǎn),若在點(diǎn)的左、右極限都存在,則稱(chēng)為的第一類(lèi)間斷點(diǎn);若在點(diǎn)的左、右極限有一個(gè)不存在,則稱(chēng)為的第二類(lèi)間斷點(diǎn)。理解連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商(分母不為0)及復(fù)合仍是連續(xù)函數(shù),初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)的結(jié)論,知道閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的幾個(gè)結(jié)論。典型例題解析 一、填空題 極限 。解:注意:(無(wú)窮小量乘以有界變量等于無(wú)窮小量),其中1是第一個(gè)重要極限。函數(shù)的間斷點(diǎn)是 。解:由是分段函數(shù),是的分段點(diǎn),考慮函數(shù)在處的連續(xù)性。因?yàn)?所以函數(shù)在處是間斷的,又在和都是連續(xù)的,故函數(shù)的間斷點(diǎn)是。設(shè),則 。解:,故函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間

16、是 。 二、單項(xiàng)選擇題 函數(shù)在點(diǎn)處( ). A.有定義且有極限; B.無(wú)定義但有極限;解:在點(diǎn)處沒(méi)有定義,但(無(wú)窮小量有界變量無(wú)窮小量)故選項(xiàng)B正確。 下列函數(shù)在指定的變化過(guò)程中,( )是無(wú)窮小量。 A.; B.;C. ; D.解:無(wú)窮小量乘以有界變量仍為無(wú)窮小量,所以而A, C, D三個(gè)選項(xiàng)中的極限都不為0,故選項(xiàng)B正確。三、計(jì)算應(yīng)用題 計(jì)算下列極限: (4)解: 題目所給極限式分子的最高次項(xiàng)為分母的最高次項(xiàng)為,由此得(4)當(dāng)時(shí),分子、分母的極限均為0,所以不能用極限的除法法則。求解時(shí)先有理化根式在利用除法法則和第一個(gè)重要極限計(jì)算。 2.設(shè)函數(shù) 問(wèn)(1)為何值時(shí),在處有極限存在?(2)為何值

17、時(shí),在處連續(xù)?解:(1)要在處有極限存在,即要成立。因?yàn)樗?當(dāng)時(shí),有成立,即時(shí),函數(shù)在處有極限存在,又因?yàn)楹瘮?shù)在某點(diǎn)處有極限與在該點(diǎn)處是否有定義無(wú)關(guān),所以此時(shí)可以取任意值。(2)依函數(shù)連續(xù)的定義知,函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù)的充要條件是 于是有,即時(shí)函數(shù)在處連續(xù)。第三章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分這一章是我們課程的學(xué)習(xí)重點(diǎn)之一。在學(xué)習(xí)的時(shí)候要側(cè)重以下幾點(diǎn):理解導(dǎo)數(shù)的概念;了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義;會(huì)求曲線的切線和法線;會(huì)用定義計(jì)算簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù);知道可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。在點(diǎn)處可導(dǎo)是指極限存在,且該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是這個(gè)極限的值。導(dǎo)數(shù)的定義式還可寫(xiě)成極限 函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線上點(diǎn)處切線的斜率。曲線在點(diǎn)處的切線

18、方程為函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo),則在點(diǎn)連續(xù)。反之則不然,函數(shù)在點(diǎn)連續(xù),在點(diǎn)不一定可導(dǎo)。 了解微分的概念;知道一階微分形式不變性。熟記導(dǎo)數(shù)基本公式,熟練掌握下列求導(dǎo)方法(1)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則(2)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則(3)隱函數(shù)求導(dǎo)方法(4)對(duì)數(shù)求導(dǎo)方法(5)參數(shù)表示的函數(shù)的求導(dǎo)法正確的采用求導(dǎo)方法有助于我們的導(dǎo)數(shù)計(jì)算,如一般當(dāng)函數(shù)表達(dá)式中有乘除關(guān)系或根式時(shí),求導(dǎo)時(shí)采用取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法,例如函數(shù),求。在求導(dǎo)時(shí)直接用導(dǎo)數(shù)的除法法則是可以的,但是計(jì)算時(shí)會(huì)麻煩一些,而且容易出錯(cuò)。如果我們把函數(shù)先進(jìn)行變形,即再用導(dǎo)數(shù)的加法法則計(jì)算其導(dǎo)數(shù),于是有這樣計(jì)算不但簡(jiǎn)單而且不易出錯(cuò)。又例如函數(shù) ,求。顯然直接求導(dǎo)比較麻煩,可采用取

19、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法,將上式兩端取對(duì)數(shù)得兩端求導(dǎo)得整理后便可得若函數(shù)由參數(shù)方程的形式給出,則有導(dǎo)數(shù)公式能夠熟練地利用導(dǎo)數(shù)基本公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù),能夠利用隱函數(shù)求導(dǎo)法,取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法,參數(shù)表示的函數(shù)的求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。熟練掌握微分運(yùn)算法則微分四則運(yùn)算法則與導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則類(lèi)似一階微分形式的不變性微分的計(jì)算可以歸結(jié)為導(dǎo)數(shù)的計(jì)算,但要注意它們之間的不同之處,即函數(shù)的微分等于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量微分的乘積。了解高階導(dǎo)數(shù)的概念;會(huì)求顯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。函數(shù)的高階高數(shù)即為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)。由此要求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)就要先求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。要求函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)就要先求函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)。第三章 導(dǎo)數(shù)與

20、微分典型例題選解 一、填空題設(shè)函數(shù)在鄰近有定義,且,則 。解: 故應(yīng)填1。曲線在點(diǎn)(1,1)處切線的斜率是 。解:由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知,曲線在處切線的斜率是,即為函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),于是故應(yīng)填。設(shè),則 。解:,故故應(yīng)填 二、單項(xiàng)選擇題 設(shè)函數(shù),則( )。A.; B.2; C.4; D不存在解:因?yàn)?且,所以,即C正確。 設(shè),則( )。A.; B. ; C. ; D解:先要求出,再求。因?yàn)?由此得,所以即選項(xiàng)D正確。 3.設(shè)函數(shù),則( ). A.0; B.1;C.2; D解:因?yàn)?其中的三項(xiàng)當(dāng)時(shí)為0,所以故選項(xiàng)C正確。 4.曲線在點(diǎn)( )處的切線斜率等于0。A.; B.; C.; D.解:,令得。

21、而,故選項(xiàng)C正確。5. ,則( )。A.; B.; C.; D.解:故選項(xiàng)C正確。三、計(jì)算應(yīng)用題設(shè),求解:由導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則由此得設(shè),其中為可微函數(shù),求。解 求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí),要先搞清函數(shù)的復(fù)合構(gòu)成,即復(fù)合函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的,特別要分清復(fù)合函數(shù)的復(fù)合層次,然后由外層開(kāi)始,逐層使用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式,一層一層求導(dǎo),關(guān)鍵是不要遺漏,最后化簡(jiǎn)。3.設(shè)函數(shù)由方程確定,求。解:方法一:等式兩端對(duì)求導(dǎo)得整理得方法二:由一階微分形式不變性和微分法則,原式兩端求微分得左端右端由此得整理得確定,求。解:由參數(shù)求導(dǎo)法5.設(shè),求。解 第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用典型例題一、填空題1.函數(shù)的單

22、調(diào)增加區(qū)間是 .解:,當(dāng)時(shí).故函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是.2.極限 .解:由洛必達(dá)法則3.函數(shù)的極小值點(diǎn)為。解:,令,解得駐點(diǎn),又時(shí),;時(shí),所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)。二、單選題1.函數(shù) 在區(qū)間上是()A) 單調(diào)增加 B)單調(diào)減少 C)先單調(diào)增加再單調(diào)減少 D)先單調(diào)減少再單調(diào)增加解:選擇D,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;所以在區(qū)間上函數(shù)先單調(diào)減少再單調(diào)增加。2. 若函數(shù)滿足條件(),則在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得成立。 A)在內(nèi)連續(xù); B)在內(nèi)可導(dǎo); C)在內(nèi)連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo); D)在內(nèi)連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo)。 解:選擇D。 由拉格朗日定理?xiàng)l件,函數(shù)在內(nèi)連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),所以選擇D正確。3. 滿足方程的點(diǎn)是函數(shù)的()。A)極值點(diǎn)B)拐

23、點(diǎn)C)駐點(diǎn)D)間斷點(diǎn)解:選擇C。依駐點(diǎn)定義,函數(shù)的駐點(diǎn)是使函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)。4.設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù),且,則函數(shù)在處( )。A)取得極大值B)取得極小值C)一定有拐點(diǎn) D)可能有極值,也可能有拐點(diǎn)解:選擇D函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為零,說(shuō)明可能是函數(shù)的極值點(diǎn);函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)為零,說(shuō)明可能是函數(shù)的拐點(diǎn),所以選擇D。求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解:函數(shù)的定義區(qū)間為,由于 令,解得,這樣可以將定義區(qū)間分成和兩個(gè)區(qū)間來(lái)討論。當(dāng)時(shí),;當(dāng)是,。 欲做一個(gè)底為正方形,容積為108立方米的長(zhǎng)方體開(kāi)口容器,怎樣做法所用材料最省?解:設(shè)底邊邊長(zhǎng)為,高為,所用材料為且令得,且因?yàn)?所以為最小值.此時(shí)。于是以6米為底邊長(zhǎng),3米為高做長(zhǎng)方體

24、容器用料最省。3.證明題:當(dāng)時(shí),證明不等式證 設(shè)函數(shù),因?yàn)樵谏线B續(xù)可導(dǎo),所以在上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件,有公式可得其中,即 又由于,有故有兩邊同時(shí)取以為底的指數(shù),有即所以當(dāng)時(shí),有不等式成立.第5章學(xué)習(xí)輔導(dǎo)(2)典型例題解析 一、填空題曲線在任意一點(diǎn)處的切線斜率為,且曲線過(guò)點(diǎn),則曲線方程為 。解:,即曲線方程為。將點(diǎn)代入得,所求曲線方程為已知函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)是,則 。解:已知是的一個(gè)原函數(shù),那么 。解:用湊微分法 二、單項(xiàng)選擇題 設(shè),則( )。 A. ; B. ;C. ; D解:因故選項(xiàng)A正確. 設(shè)是的一個(gè)原函數(shù),則等式( )成立。 A.; B.;C.; D.解:正確的等式關(guān)系是故選項(xiàng)D正確.

25、 設(shè)是的一個(gè)原函數(shù),則( )。 A. ; B. ;C. ; D解:由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得故選項(xiàng)C正確. 三、計(jì)算題 計(jì)算下列積分: 解:利用第一換元法 利用第二換元法,設(shè), 計(jì)算下列積分: 解:利用分部積分法利用分部積分法高等數(shù)學(xué)(1)第六章學(xué)習(xí)輔導(dǎo) 綜合練習(xí)題(一)單項(xiàng)選擇題 (1).下列式子中,正確的是( )。ABC D 2下列式子中,正確的是( ) AB CD 3下列廣義積分收斂的是()。ABC D若是上的連續(xù)偶函數(shù),則 。AB. 0C.D. 若與是上的兩條光滑曲線,則由這兩條曲線及直線所圍圖形的面積 .A B CD答案:(1) A;(2)D; (3)D; (4)C; (5)A。 解:(1

26、)根據(jù)定積分定義及性質(zhì)可知 A正確。而 B不正確。在(0,1)區(qū)間內(nèi) C 不正確。 根據(jù)定積分定義可知,定積分值與函數(shù)及定積分的上、下限有關(guān),而與積分變量的選取無(wú)關(guān)。 故D不正確。 2 由變上限的定積分的概念知A、C不正確。由定積分定義知 B不正確。D正確。 3 A不正確。 B。不正確。 C。不正確。DD正確(4)由課本344頁(yè) (6?4?2)和345頁(yè)(6?4?3)知C。正確。(5)所圍圖形的面積始終是在上面的函數(shù)減去在下面的函數(shù) A正確。(二) 填空題1 2 3 在區(qū)間上,曲線和軸所圍圖形的面積為_(kāi)。 4 5 a0p0 答案:解:(1)(2) 所圍圖形的面積S由定積分的幾何意義知: 定積分

27、的值等于y所圍圖形的面積p1時(shí) 無(wú)窮積分發(fā)散。(三) 計(jì)算下列定積分1)2)(3) (4)(5)答案:1)2)(3)(4)5 (四)定積分應(yīng)用求由曲線,及直線所圍平面圖形的面積解:畫(huà)草圖 求交點(diǎn) 由 yx, xy1得x1 .y1 2y2 yx 0 xy1第七章綜合練習(xí)題(一)單項(xiàng)選擇題 1、若( )成立,則級(jí)數(shù)發(fā)散,其中 表示此級(jí)數(shù)的部分和。A、; B、單調(diào)上升;C、 D、不存在2、當(dāng)條件( )成立時(shí),級(jí)數(shù)一定發(fā)散。A、發(fā)散且收斂;B、發(fā)散;C、發(fā)散;D、和都發(fā)散。3、若正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,則( )收斂。A、B、C 、 D、4、若兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)、滿足,則結(jié)論( ),是正確的。A、發(fā)散則發(fā)散; B、收斂則收斂;C、發(fā)散則收斂; D、收斂則發(fā)散。5、 若fx , 則 。A、 B 、 C D、答案:1、D 2