量子力學(xué)習(xí)題答案谷風(fēng)書屋

1、量子力學(xué)習(xí)題答案1.2 在0k附近，鈉的價電子能量約為3ev，求其德布羅意波長。解：由德布羅意波粒二象性的關(guān)系知： ； 由于所考慮的電子是非相對論的電子（），故： 1.3氦原子的動能是e=1.5kt，求t=1k時，氦原子的德布羅意波長。解：對于氦原子而言，當(dāng)時，其能量為 于是有 一維諧振子處于狀態(tài)中，其中為實(shí)常數(shù)，求：1.歸一化系數(shù)；2.動能平均值。（）解：1.由歸一化條件可知： 取相因子為零，則歸一化系數(shù)2. 若，則該態(tài)為諧振子的基態(tài)，解法二：對于求力學(xué)量在某一體系能量本征態(tài)下的平均值問題，用f-h定理是非常方便的。 一維諧振子的哈密頓量為： 它的基態(tài)能量選擇為參量，則: ； 由f-h定理知

2、： 可得： 2.2 由下列定態(tài)波函數(shù)計(jì)算幾率流密度： 從所得結(jié)果說明表示向外傳播的球面波，表示向內(nèi)(即向原點(diǎn)) 傳播的球面波。 解： 在球坐標(biāo)中 同向。表示向外傳播的球面波。 可見，反向。表示向內(nèi)(即向原點(diǎn)) 傳播的球面波。2.3 一粒子在一維勢場 中運(yùn)動，求粒子的能級和對應(yīng)的波函數(shù)。解：無關(guān)，是定態(tài)問題。其定態(tài)s方程 在各區(qū)域的具體形式為 ： ： ： 由于(1)、(3)方程中，由于，要等式成立，必須 即粒子不能運(yùn)動到勢阱以外的地方去。 方程(2)可變?yōu)?令，得 其解為 根據(jù)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件確定系數(shù)a，b，由連續(xù)性條件，得 由歸一化條件 得 由 可見e是量子化的。對應(yīng)于的歸一化的定態(tài)波函數(shù)為

3、2.5 求一維諧振子處在第一激發(fā)態(tài)時幾率最大的位置。 解： 令，得 由的表達(dá)式可知，時，。顯然不是最大幾率的位置。 可見是所求幾率最大的位置。3.2.氫原子處在基態(tài)，求： (1)r的平均值； (2)勢能的平均值； (3)最可幾半徑； (4)動能的平均值； (5)動量的幾率分布函數(shù)。 解：(1) (3)電子出現(xiàn)在r+dr球殼內(nèi)出現(xiàn)的幾率為 令 當(dāng)為幾率最小位置 是最可幾半徑。 (4) (5) 動量幾率分布函數(shù) 3.5 一剛性轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動慣量為i，它的能量的經(jīng)典表示式是，l為角動量，求與此對應(yīng)的量子體系在下列情況下的定態(tài)能量及波函數(shù)：(1) 轉(zhuǎn)子繞一固定軸轉(zhuǎn)動：(2) 轉(zhuǎn)子繞一固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動：解：(1)設(shè)

4、該固定軸沿z軸方向，則有 哈米頓算符 其本征方程為 (無關(guān)，屬定態(tài)問題) 令 ，則 取其解為 (可正可負(fù)可為零)由波函數(shù)的單值性，應(yīng)有 即 m= 0，±1，±2，轉(zhuǎn)子的定態(tài)能量為 (m= 0，±1，±2，)可見能量只能取一系列分立值，構(gòu)成分立譜。 定態(tài)波函數(shù)為 a為歸一化常數(shù)，由歸一化條件 轉(zhuǎn)子的歸一化波函數(shù)為 綜上所述，除m=0外，能級是二重簡并的。(2)取固定點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則轉(zhuǎn)子的哈米頓算符為 無關(guān)，屬定態(tài)問題，其本征方程為 (式中設(shè)為的本征函數(shù)，為其本征值) 令 ，則有 此即為角動量的本征方程，其本征值為 其波函數(shù)為球諧函數(shù) 轉(zhuǎn)子的定態(tài)能量為 可見

5、，能量是分立的，且是重簡并的。3.6 設(shè)t=0時，粒子的狀態(tài)為 求此時粒子的平均動量和平均動能。解： 可見，動量的可能值為動能的可能值為 對應(yīng)的幾率應(yīng)為 上述a為歸一化常數(shù)，可由歸一化條件，得 動量的平均值為 3.7 一維運(yùn)動粒子的狀態(tài)是 其中，求： (1)粒子動量的幾率分布函數(shù)； (2)粒子的平均動量。 解：(1)先求歸一化常數(shù)，由 動量幾率分布函數(shù)為 (2) 或： 被積函數(shù)是個奇函數(shù) 3.8.在一維無限深勢阱中運(yùn)動的粒子，勢阱的寬度為，如果粒子的狀態(tài)由波函數(shù)描寫，a為歸一化常數(shù)，求粒子的幾率分布和能量的平均值。解：一維無限深勢阱的的本征函數(shù)和本征值為 粒子的幾率分布函數(shù)為 先把歸一化，由歸

6、一化條件， 3.9.設(shè)氫原子處于狀態(tài) 求氫原子能量、角動量平方及角動量z分量的可能值，這些可能值出現(xiàn)的幾率和這些力學(xué)量的平均值。 解：在此狀態(tài)中，氫原子能量有確定值 角動量平方也有確定值 角動量z分量的可能值為 ； 其相應(yīng)的幾率分別為 ， 其平均值為 3.11. 求第3.6題中粒子位置和動量的測不準(zhǔn)關(guān)系 解： 4.1.求在動量表象中角動量的矩陣元和的矩陣元。 解： 4.3 求在動量表象中線性諧振子的能量本征函數(shù)。 解：定態(tài)薛定諤方程為 即 兩邊乘以，得令 跟課本p.39(2.7-4)式比較可知，線性諧振子的能量本征值和本征函數(shù)為式中為歸一化因子，即 4.4.求線性諧振子哈密頓量在動量表象中的矩

7、陣元。 解： 4.5 設(shè)已知在的共同表象中，算符的矩陣分別為 求它們的本征值和歸一化的本征函數(shù)。最后將矩陣對角化。 解：的久期方程為 的本征值為 的本征方程 其中設(shè)為的本征函數(shù)在共同表象中的矩陣 當(dāng)時，有 由歸一化條件 取 對應(yīng)于的本征值0 。 當(dāng)時，有 由歸一化條件 取 歸一化的對應(yīng)于的本征值 當(dāng)時，有 由歸一化條件 取 歸一化的對應(yīng)于的本征值 由以上結(jié)果可知，從的共同表象變到表象的變換矩陣為 對角化的矩陣為 按照與上同樣的方法可得 的本征值為 的歸一化的本征函數(shù)為 從的共同表象變到表象的變換矩陣為 利用s可使對角化 5.2 轉(zhuǎn)動慣量為i、電偶極矩為的空間轉(zhuǎn)子處在均勻電場在中，如果電場較小，

8、用微擾法求轉(zhuǎn)子基態(tài)能量的二級修正。 解：取的正方向?yàn)閦軸正方向建立坐標(biāo)系，則轉(zhuǎn)子的哈密頓算符為 取，則 由于電場較小，又把視為微擾，用微擾法求得此問題。 的本征值為 本征函數(shù)為 的基態(tài)能量為，為非簡并情況。根據(jù)定態(tài)非簡并微擾論可知 5.3 設(shè)一體系未受微擾作用時有兩個能級：，現(xiàn)在受到微擾的作用，微擾矩陣元為；都是實(shí)數(shù)。用微擾公式求能量至二級修正值。 解：由微擾公式得 得 能量至二級修正值為 課堂上講過的一些例題：例：證明在 lz 本征態(tài) ylm 下，<lx> = <ly> = 0證明：方法1同理得：方法二：同理得：例：已知空間轉(zhuǎn)子處于如下狀態(tài)試問： （1）是否是 l2

9、的本征態(tài)？（2）是否是 lz 的本征態(tài)？（3）求 l2 的平均值；（4）在 態(tài)中分別測量 l2 和 lz 時得到的可能值及其相應(yīng)的幾率。 沒有確定的 l2 的本征值，故 不是 l2 的本征態(tài)。是 lz 的本征態(tài)，本征值為 。（3）求 l2 的平均值 （方法一）先驗(yàn)證歸一化：得歸一化波函數(shù)： 方法二 利用 （4） 例：求 lx 在 l2, lz 共同表象，=1子空間中的矩陣表示。令：u1 = y11 u2 = y10 , u3 = y1-1 ，則 lx 的矩陣元可如下計(jì)算：利用由此得lx矩陣元 (lx)11 = (lx)22 = (lx)33 = 0 (lx)13 = (lx)31 = 0(lx

10、)12 = (lx)21 = (lx)23 = (lx)32 = /21/2同理可得：例：證明一維諧振子 <v> = <p2 / 2>。一維諧振子 hamilton 量：取作為參數(shù)由f-y定理得證。例：設(shè)hamilton量的矩陣形式為：（1）設(shè)c << 1，應(yīng)用微擾論求h本征值到二級近似；（2）求h 的精確本征值；（3）在怎樣條件下，上面二結(jié)果一致。解:（1）c << 1，可取 0 級和微擾 hamilton 量分別為：h0 是對角矩陣，是hamilton h0在自身表象中的形式。所以能量的 0 級近似為：e1(0) = 1; e2(0) = 3; e3