函數、不等式恒成立問題解法(老師用)(共6頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上函數、不等式恒成立問題解法（老師用）恒成立問題的基本類型：類型1：設，（1）上恒成立；（2）上恒成立。類型2：設（1）當時，上恒成立，上恒成立（2）當時，上恒成立上恒成立類型3：。類型4： 恒成一、用一次函數的性質 對于一次函數有：例1：若不等式對滿足的所有都成立，求x的范圍。解析：我們可以用改變主元的辦法，將m視為主變元，即將元不等式化為：，；令，則時，恒成立，所以只需即，所以x的范圍是。二、利用一元二次函數的判別式 對于一元二次函數有：（1）上恒成立；（2）上恒成立例2：若不等式的解集是R，求m的范圍。解析：要想應用上面的結論，就得保證是二次的，才有判別式，但二次

2、項系數含有參數m，所以要討論m-1是否是0。（1）當m-1=0時，元不等式化為2>0恒成立，滿足題意；（2）時，只需，所以，。三、利用函數的最值（或值域）（1）對任意x都成立；（2）對任意x都成立。簡單計作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本類問題實質上是一類求函數的最值問題。例3：在ABC中，已知恒成立，求實數m的范圍。解析：由，恒成立，即恒成立，例4：（1）求使不等式恒成立的實數a的范圍。解析：由于函，顯然函數有最大值，。如果把上題稍微改一點，那么答案又如何呢？請看下題：（2）求使不等式恒成立的實數a的范圍。解析：我們首先要認真對比上面兩個例題的區(qū)別，主要在于自變量的取

3、值范圍的變化，這樣使得的最大值取不到，即a取也滿足條件，所以。 所以，我們對這類題要注意看看函數能否取得最值，因為這直接關系到最后所求參數a的取值。利用這種方法時，一般要求把參數單獨放在一側，所以也叫分離參數法。四：數形結合法 對一些不能把數放在一側的，可以利用對應函數的圖象法求解。例5：已知，求實數a的取值范圍。解析：由，在同一直角坐標系中做出兩個函數的圖象，如果兩個函數分別在x=-1和x=1處相交，則由得到a分別等于2和0.5，并作出函數的圖象，所以，要想使函數在區(qū)間中恒成立，只須在區(qū)間對應的圖象在在區(qū)間對應圖象的上面即可。當才能保證，而才可以，所以。 例6：若當P(m,n)為圓上任意一點

4、時，不等式恒成立，則c的取值范圍是（ ）A、 B、 C、 D、解析：由，可以看作是點P(m,n)在直線的右側，而點P(m,n)在圓上，實質相當于是在直線的右側并與它相離或相切。，故選D。同步練習1、設其中，如果時，恒有意義，求的取值范圍。分析：如果時，恒有意義，則可轉化為恒成立，即參數分離后，恒成立，接下來可轉化為二次函數區(qū)間最值求解。解：如果時，恒有意義，對恒成立.恒成立。令，又則對恒成立，又在上為減函數，。2、設函數是定義在上的增函數，如果不等式對于任意恒成立，求實數的取值范圍。分析：本題可利用函數的單調性把原不等式問題轉化為對于任意恒成立，從而轉化為二次函數區(qū)間最值求解。解：是增函數對于

5、任意恒成立對于任意恒成立對于任意恒成立，令，所以原問題，又即 易求得。3、 已知當xR時，不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立，求實數a的取值范圍。方法一）分析：在不等式中含有兩個變量a及x，本題必須由x的范圍（xR）來求另一變量a的范圍，故可考慮將a及x分離構造函數利用函數定義域上的最值求解a的取值范圍。解：原不等式當xR時，不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立設則方法二）題目中出現了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x,故若采用換元法把sinx換元成t,則可把原不等式轉化成關于t的二次不等式，從而可利用二次函數區(qū)間最值求解。解：不等式a+cos2x&

6、lt;5-4sinx可化為a+1-2sin2x<5-4sinx,令sinx=t,則t-1,1,不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立2t2-4t+4-a>0,t-1,1恒成立。設f(t)= 2t2-4t+4-a，顯然f(x)在-1，1內單調遞減，f(t)min=f(1)=2-a,2-a>0a<24、 設f(x)=x2-2ax+2,當x-1,+)時，都有f(x)a恒成立，求a的取值范圍。分析：在f(x)a不等式中，若把a移到等號的左邊，則原問題可轉化為二次函數區(qū)間恒成立問題。解：設F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a.)當=（-2a）2-4(2-a)=

7、4（a-1)(a+2)<0時，即-2<a<1時，對一切x-1,+)，F(x) 0恒成立；）當=4（a-1)(a+2) 0時由圖可得以下充要條件：-1oxy即得-3a-2;綜上所述：a的取值范圍為-3，1。5、當x(1,2)時，不等式(x-1)2<logax恒成立，求a的取值范圍。分析：若將不等號兩邊分別設成兩個函數，則左邊為二次函數，右邊為對數函數，故可以采用數形結合借助圖象位置關系通過特指求解a的取值范圍。xyo12y1=(x-1)2y2=logax解：設T1:=,T2:,則T1的圖象為右圖所示的拋物線，要使對一切x(1,2), <恒成立即T1的圖象一定要在T2

8、的圖象所的下方，顯然a>1,并且必須也只需故loga2>1,a>1,1<a2.6、已知關于x的方程lg(x2+20x)-lg(8x-6a-3)=0有唯一解，求實數a的取值范圍。分析：原方程可化成lg(x2+20x)=lg(8x-6a-3),從而得x2+20x=8x-6a-3>0,若將等號兩邊分別構造函數即二次函數y= x2+20x與一次函數y=8x-6a-3，則只需考慮這兩個函數的圖象在x軸上方恒有唯一交點即可。xyl1l2l-20o解：令T1：y1= x2+20x=（x+10）2-100, T2：y2=8x-6a-3,則如圖所示，T1的圖象為一拋物線，T2的圖象

9、是一條斜率為定值8，而截距不定的直線，要使T1和T2在x軸上有唯一交點，則直線必須位于l1和l2之間。（包括l1但不包括l2)當直線為l1時，直線過點（-20，0）此時縱截距為-6a-3=160,a=;當直線為l2時，直線過點（0，0），縱截距為-6a-3=0，a=a的范圍為，）。7、對于滿足|p|2的所有實數p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范圍。分析：在不等式中出現了兩個變量：x、P,并且是給出了p的范圍要求x的相應范圍，直接從x的不等式正面出發(fā)直接求解較難，若逆向思維把 p看作自變量，x看成參變量，則上述問題即可轉化為在-2，2內關于p的一次函數函數值大于0恒成立求參變量x的范圍的問題。解：原不