《圓錐曲線中的定點(diǎn)與定值問題)教學(xué)設(shè)計

1、精品教學(xué)教案課題名稱：圓錐曲線中的定點(diǎn)與定值問題教學(xué)內(nèi)容分析圓錐曲線在高考中占有重要的位置，也是高考命題的熱點(diǎn)之一 .由于圓錐曲線內(nèi)容的豐富性， 與其他章節(jié)知識交叉的綜合性， 決定了圓錐曲線在高考中地位的特殊性 . 定點(diǎn)、定值問題與運(yùn)動變化密切相關(guān)，這類問題常與函數(shù)，不等式，向量等其他章節(jié)知識綜合， 是學(xué)習(xí)圓錐曲線的一個難點(diǎn)， 這就要求我們在圓錐曲線的復(fù)習(xí)中，要重視基礎(chǔ)知識和方法的學(xué)習(xí)， 理解和掌握圓錐曲線中的基本知識與方法，幫助學(xué)生自我構(gòu)架圓錐曲線思維導(dǎo)圖，實(shí)現(xiàn)對圓錐曲線的整體把握.學(xué)情分析在學(xué)習(xí)本節(jié)課以前，學(xué)生對圓錐曲線中的基礎(chǔ)知識和基本方法有了一定的理解和掌握，學(xué)生具備一定的探究問題、

2、分析問題和解決問題的能力， 但對圓錐曲線中的定點(diǎn)和定值等綜合問題的解決缺乏一個明確的“主線” ，正確解答這類問題既要有較強(qiáng)的分析問題能力、 幾何直觀能力還要有較強(qiáng)的運(yùn)算能力， 是對學(xué)生數(shù)學(xué)能力的綜合體現(xiàn)， 但這幾方面學(xué)生都比較欠缺， 這也是本節(jié)課需要對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)進(jìn)行培育的重要著眼點(diǎn) .教學(xué)目標(biāo)（ 1）掌握圓錐曲線中定點(diǎn)與定值問題的分析方法和解題策略；（ 2）通過師生互動探究的過程，理解和掌握圓錐曲線中的基本知識與方法在處理定點(diǎn)和定值綜合問題中的應(yīng)用， 幫助學(xué)生自我構(gòu)架圓錐曲線思維導(dǎo)圖， 實(shí)現(xiàn)對圓錐曲線章節(jié)的整體把握；（ 3）通過合作學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在團(tuán)隊協(xié)作中，自我探究，進(jìn)一步讓學(xué)生學(xué)會思考問題

3、的方法，培養(yǎng)學(xué)生計算能力，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砟芰投嘟嵌人伎紗栴}的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。教學(xué)重點(diǎn)掌握圓錐曲線中定點(diǎn)與定值問題的分析方法；參變量的選取原則教學(xué)難點(diǎn)對圓錐曲線基本知識與方法的綜合運(yùn)用；分析問題的能力和運(yùn)算能力的突破教學(xué)方法啟發(fā)式、討論探究式 .教學(xué)過程設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)（一）課題引入（二）范例講解精品教學(xué)教案師生活動設(shè)計意圖通 過提問學(xué)生：前面我們主要學(xué)習(xí)了圓錐曲線的哪些內(nèi)提問，讓容？學(xué) 生 總結(jié) 歸 納這節(jié)課我們來利用這些知識和方法一起研究圓錐曲線之 前 學(xué)中的一些綜合問題 .習(xí) 的 圓錐 曲 線的 基 礎(chǔ)知 識 和基 本 方法，為接下 來 的定 點(diǎn) 和定 值 問題 的 探究 作 鋪墊.例 1：已知橢圓

4、x2y21，過點(diǎn) F (1,0) 的直線與橢圓交于立足 于 學(xué)43A, B 兩點(diǎn)，點(diǎn) A 關(guān)于 x 軸的對稱點(diǎn)為 A ，求證：直線 A B 橫生 現(xiàn) 有過一定點(diǎn) .認(rèn) 知 水平，通過教師活動： 讓學(xué)生思考，小組討論解決這一問題的策略 .此 中 等分析：直線 A B 是變化的，本質(zhì)是由于過點(diǎn) F (1,0) 的直線的難 度 的例題，與變化引起的，所以可以設(shè)過點(diǎn) F (1,0) 的直線的斜率為參變學(xué) 生 一量，將直線 A B 的方程用斜率加以表示， 由于定點(diǎn)是與參變起 探 究精品教學(xué)教案量的變化是無關(guān)的，然后通過代數(shù)變形，將參變量分離出來，令參變量的系數(shù)為零，即可求出定點(diǎn) .解法 1：設(shè) l AB

5、 : x my 1 (m0) ， A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ，則 A (x1,y1 ) ，聯(lián)立 3x24 y212 ，得xmy 1(3m24) y26my90y1y26my1 y293m2,3m244直線 l A B : y y2y2y1 (x x2 ) ，x2x1又x2x1m( y2y1 ) ，代入上式，得( y1 y2 )xm( y1y2 ) y 2my1 y2 ( y1y2 )0 ，不妨設(shè) y1y2 ，上式化為x 2 m21y 40y0x4因?yàn)槎c(diǎn)與 m 的變化無關(guān)，所以4 0，即0xy直線 A B 恒過點(diǎn) (4,0) ，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)直線A B 的斜率為 0 時，

6、結(jié)論也成立綜上，直線 A B 橫過定點(diǎn) (4,0)進(jìn)一步提問： 這個定點(diǎn)能否通過分析，提前確定下來呢？解法 2： l A B : y y2y2y1 ( x x2 )x2x1根據(jù)橢圓的對稱性，再結(jié)合幾何直觀感受，猜想直線很可能過 x 軸上一定點(diǎn) .在直線 A B 方程中，令 y0 ，得分 析 解決 圓 錐曲 線 中的 定 點(diǎn)問 題 的主線，并對 解 決策 略 和通 性 通法 加 以梳理，體會 特 殊到 一 般思 想 的運(yùn)用，培養(yǎng) 學(xué) 生的 邏 輯推 理 和數(shù) 學(xué) 運(yùn)算 核 心素養(yǎng) .與 學(xué) 生一 起 板書 解 決例 1，學(xué)生 能 夠?qū)?1的分 析 和解 決 有精品教學(xué)教案x x2y2 (x2x

7、1 )(my21)y1y2 (my1 1)y2y1y2y1= 2my1 y2( y1y2 )y1y2將 y1 y26m, y1 y29代入上式，3m23m244化簡得 x4所以，直線 A B 橫過定點(diǎn) (4,0)深入分析解題過程，與學(xué)生一起歸納定點(diǎn)問題的解決策略：（1）找到變化的根源，探究這一變化是由哪些量的變化引起的；進(jìn)而引進(jìn)參變量，根據(jù)題意建立這些參變量與已知量之間的關(guān)系；要使參變量的變化對建立的關(guān)系沒有影響，其系數(shù)或整個代數(shù)結(jié)構(gòu)就應(yīng)滿足一定的條件，而恰恰是這些條件決定了我們要探究的定點(diǎn)，這是解決定點(diǎn)問題的基本思路。（2）特殊到一般的思想可以先通過特殊情況找到這個定點(diǎn)，明確解決問題的目標(biāo)，

8、然后就一般的情形進(jìn)行推理計算證明.例2：設(shè)點(diǎn) A, F 分別是雙曲線 9x23y 21的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn), 點(diǎn) P 是雙曲線右支上的動點(diǎn) . 問：是否存在常數(shù), 使得PFAPAF 對于任意 的動點(diǎn) P 恒成立？證明你的結(jié)論.教師活動：引導(dǎo)學(xué)生類比例1 的解題策略進(jìn)行分析，PFA, PAF 大小的變化是由于動點(diǎn)P 在雙曲線右支上移動導(dǎo)致的，若存在滿足條件的常數(shù)，則其值與動點(diǎn) P 的變化無關(guān)，所以可以設(shè)點(diǎn)P 的坐標(biāo)為參變量；進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生通過觀察圖形，可以把探究PFA,PAF 的倍數(shù)關(guān)系，轉(zhuǎn)化為探究直線 PF 與直線 PA 斜率間的關(guān)系；清 楚 的梳理 .通 過 對例1的探究，再分析 此 例可知，定

9、值 問 題本 質(zhì) 上與例 1中的 定 點(diǎn)問 題 是類似的，即 這 兩個 問 題都 是 尋求 運(yùn) 動變 化 過程 中 的不變性，而 這 些不 變 性常 常 反映 了 數(shù)學(xué) 對 象精品教學(xué)教案12解：由題意知： A(,0), F ( ,0) ,33（1）當(dāng)直線 PF 與 x 軸垂直時，易知 PF1 AF ，所以PFA2PAF2（2）以下證明當(dāng)直線 PF 與 x 軸不垂直時，PFA 2 PAF即可，設(shè) P(x0 , y0 ) ，PFA,PAF，直線 PA 的斜率 k1tany03 y0；x013x013直線 PF 的斜率 k2tan()y03y0，23x02x03tan3y03x026y0而 tan

10、22k13x016 y0 (3x01)1 k123y0 )2(3 x01)29 y021 (3x01又 9 x023y021得 3 y029x021代入上式，得tan26 y03y0tan(3x01)3(3x01)3x02(0,)(,2(0,)(,),2234432綜上，存在常數(shù)2, 使得PFAPAF 對于任意的動點(diǎn) P恒成立.回顧分析解題過程，歸納定值問題的解決策略：與解決定點(diǎn)問題類似， 首先尋找變化的根源， 引入合適的參變量，建立參變量與其他已知量的關(guān)系；其次，把幾何定值用引入的參變量表示； 最后，利用代數(shù)恒等變形進(jìn)行的 本 質(zhì)屬性，通過 類 比思想，探究 定 值問 題 的解 決 策略.學(xué)

11、生的 難 點(diǎn)在 于 把代 數(shù) 恒等 式 進(jìn)行 變 形化 簡 或消參精品教學(xué)教案化簡或消參變量， 求得定值?？筛鶕?jù)特殊情形， 先確定定值，這對一般情形的推理指明了解決方向 .教師補(bǔ)充總結(jié)： 定值問題的含義比較豐富：可以是一些幾何量：線段長度， 三角形面積，向量的數(shù)量積、線段的比例系數(shù)等， 但都有有個共同特征， 即：在變化過程中表現(xiàn)出來的不變量。（三）1、（ 2017 上海春考 20 改編）已知雙曲線2: x2 y1，過課4堂點(diǎn) M (0,2) 的直線 l 與雙曲線交于P, Q兩點(diǎn)， P為P關(guān)于練y 軸的對稱點(diǎn)， 是否存在一個定點(diǎn)， 使得直線 P Q 總經(jīng)過此習(xí)定點(diǎn)？若存在，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不

12、存在，請說明理由。2、過拋物線 y2x 上一點(diǎn) A(4，2) 作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線AB, AC ，它們分別交拋物線于 B, C 兩點(diǎn)，求證：直線 BC 的斜率為定值 .通 過 前面 兩 道例 題 的分 析 和策 略 總結(jié)，學(xué)生對 解 決圓 錐 曲線 中 的定 點(diǎn) 與定 值 問題 有 了整 體 把握，利用這 兩 道題，當(dāng)堂檢 驗(yàn) 學(xué)生 的 課堂 學(xué) 習(xí)效果；并讓 學(xué) 生在 親 自的 解 題精品教學(xué)教案體 驗(yàn) 中感悟“解決 圓 錐曲 線 的定 點(diǎn) 定值 問 題關(guān) 鍵 在于 尋 找產(chǎn) 生 變化 的 本質(zhì)原因”.通 過 與學(xué) 生 一起 嘗 試找 出 突破 圓 錐曲 線 的定 點(diǎn) 定值 問 題之“難”

13、的對策，從 而 實(shí)現(xiàn) 對 圓錐 曲 線內(nèi) 容 的“ 整 體把握” .（四）小結(jié)（五）布置作業(yè)精品教學(xué)教案結(jié)合本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，談?wù)勀愕氖斋@，與學(xué)生一起總結(jié)：1、數(shù)學(xué)知識：2、思想與方法：特殊到一般、類比、化歸、設(shè)參的原則1、（ 2016 格致三模 22）已知拋物線 C : y 22 px( p0) ，過點(diǎn) M (a,0) ( a0) 與x 軸不垂直的直線 l 與 C 交于 A( x1 , y1) 、B(x2、 y2 ) 兩點(diǎn)。設(shè) A 關(guān)于 x 軸的對稱點(diǎn)為 D ，求證：直線 BD 過定點(diǎn)。2、（ 2017 金山一模 19） 已知橢圓 C 以原點(diǎn)為中心，左焦點(diǎn) F 的坐標(biāo)是 (1,0) ，長軸長是

14、短軸長的2 倍，直線 l 與橢圓C 交 于點(diǎn) A 與 B ， 且 A、 B 都 在 x 軸 上 方， 滿足OFAOFB180（1）求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）對于動直線 l ，是否存在一個定點(diǎn)，無論OFA 如何變化，直線 l 總經(jīng)過此定點(diǎn)？若存在，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由。3、（ 2017 黃浦二模 20）設(shè)橢圓yx2y2的M: a2b21(a b0)左頂點(diǎn)為 A 、中心為 O ，若橢圓 M 過點(diǎn) P(1,1) ，x22且AP PO（1）求橢圓 M 的方程；（2）若 APQ 的頂點(diǎn) Q 也在橢圓 M 上，試求 APQ 面積的最大值；（3）過點(diǎn) A作兩條斜率分別為 k1 ,k2

15、的直線交橢圓 M 于 D,E兩點(diǎn)，且 k1 k21，求證：直線 DE 恒過一個定點(diǎn)這 六 道作 業(yè) 題分 別 選自 上 海各 區(qū) 模擬考，有很 強(qiáng) 的代表性，一方面，讓 學(xué) 生練 習(xí) 課上 分 析問 題 的思 路 和計 算 能力，另一方面，通過 這 些題 目 的選取，讓學(xué) 生 感受 圓 錐曲 線 中的 這 類問 題 在精品教學(xué)教案x2y24、（ 2017 虹口一模 20） 橢圓 C : a2b21（ ab0 ）過點(diǎn) M (2,0) ，且右焦點(diǎn)為 F (1,0) ，過 F 的直線 l 與橢圓 C 相交于 A 、B 兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn) P(4,3) ，記 PA 、PB 的斜率分別為 k1 和k2 ；（1）求橢圓 C 的方程；（2）探討 k1k2 是否為定值？如果是，求出該定值，如果不是，求出 k1k2 的取值范圍；5、（ 2017 奉賢一模 20）過雙曲線 x2y 21 的右支上的一4點(diǎn) P 作一直線 l 與兩漸近線交于 A 、 B 兩點(diǎn)，其中 P 是 AB 的中點(diǎn) . 求證： OA OB 是一個定值高 考 中的 重 要地位，并對 學(xué) 生的 數(shù) 據(jù)分析，直觀想象，數(shù) 學(xué) 運(yùn)算，邏輯推 理 的數(shù) 學(xué) 素養(yǎng) 的 培養(yǎng) 大 有裨益 .6、 （2017 青浦一模 19）如圖， F1