2018-2019年度第二學(xué)期期末考試試題（精編版）

1、2018-2019 年度第二學(xué)期期末考試試題一：選擇題。1.一船向正北方向航行 ,看見正西方向有兩個(gè)相距10 海里的燈塔恰好與它在一條直線上 ,繼續(xù)航行半小時(shí)后 , 看見一燈塔在船的南偏西 60方向上 ,另一燈塔在船的南偏西75方向上 ,則這艘船的速度是 ( )a. 5 海里/時(shí)b. 海里/時(shí)c. 10 海里/時(shí)d. 海里/時(shí)【答案】 c【解析】【分析】在中，計(jì)算得到，在計(jì)算得到，得到答案 .【詳解】如圖依題意有,從而,在中,求得,這艘船的速度是 (海里/時(shí))【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)單題.2.若數(shù)列滿足：，而數(shù)列的前 項(xiàng)和最大時(shí)， 的值為（）a. 6 b. 7 c. 8 d.

2、9【答案】 b【解析】方法一：，數(shù)列是首項(xiàng)為 19，公差為 -3 的等差數(shù)列則所以時(shí)， 取最大值選 b方法二：，數(shù)列是首項(xiàng)為 19，公差為 -3 的等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以時(shí)， 取最大值選 b點(diǎn)睛：求等差數(shù)列前n 項(xiàng)和最值的常用方法：利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)；利用性質(zhì)求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得和的最值；將等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和 (a、b 為常數(shù) )看作關(guān)于項(xiàng)數(shù) n的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值3.已知數(shù)列的前 項(xiàng)和,那么它的通項(xiàng)公式 ( )a. b. c. d. 【答案】 b【解析】【分析】利用關(guān)系式代入公式得到通項(xiàng)公式，再驗(yàn)證時(shí)的情況得到答案 .【詳解】當(dāng)時(shí), ,當(dāng)時(shí),

3、 ,也滿足上式 ,故數(shù)列的通項(xiàng)公式為，故選b.【點(diǎn)睛】本題考查了通項(xiàng)公式里的關(guān)系式，忘記驗(yàn)證時(shí)的情況是學(xué)生容易犯的錯(cuò)誤 .4.已知等比數(shù)列的公比為正數(shù) ,且,則 ( )a. b. c. d. 【答案】 a【解析】試題分析：因?yàn)?，等比?shù)列中，若，且，所以有，故選 a?？键c(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)。點(diǎn)評(píng)：簡(jiǎn)單題，等比數(shù)列中，若。5.在中分別為角所對(duì)的邊 ,若,則此三角形一定是( )a. 等腰直角三角形b. 直角三角形c. 等腰三角形d. 等腰三角形或直角三角形【答案】 c【解析】在中，此三角形一定是等腰三角形，故選c.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查利用余弦定理判斷三角形形狀，屬于中檔題 .判斷三角形狀的常見方法

4、是：（1）通過正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷； (2)利用正弦定理、余弦定理，化角為邊，通過代數(shù)恒等變換，求出邊與邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷；（3）根據(jù)余弦定理確定一個(gè)內(nèi)角為鈍角進(jìn)而知其為鈍角三角形.6.在中, ,則 ( )a. b. c. 或d. 或【答案】 c【解析】【分析】直接利用正弦定理得到答案.【詳解】由正弦定理得 , 或 ,故選 c.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，屬于簡(jiǎn)單題.7.在中,內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若,則角 等于( )a. 30b. 60c. 150d. 120【答案】 d【解析】【分析】首先利用正弦定理將角的關(guān)系轉(zhuǎn)換為邊的關(guān)系，再利用余弦定

5、理得到答案 .【詳解】由題及正弦定理 ,得,即, .又,故選 d.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理和余弦定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力 .8.函數(shù)的最小正周期為 ( )a. b. c. d. 【答案】 b【解析】分析：直接利用三角函數(shù)的周期公式，求出函數(shù)的周期即可解：由三角函數(shù)的周期公式可知，函數(shù)的最小正周期為 t=故答案為 b點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的周期公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，送分題9.已知是非零向量 ,且滿足,則 與 的夾角是 ( )a. b. c. d. 【答案】 b【解析】試題分析：由，則，所以，所以，所以，故選 b考點(diǎn)：向量的運(yùn)算及向量的夾角10.已知?jiǎng)t的值是（）a. -1 b. 1 c. 2

6、 d. 4【答案】 c【解析】【分析】由，得到，利用兩角和的正切函數(shù)公式化簡(jiǎn)，即可得到所求式子的值【詳解】由由，得到，所以，即，則故選： c【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生靈活運(yùn)用兩角和與差的正切函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)求值，是一道基礎(chǔ)題.11.在等差數(shù)列中,若,則 ( )a. b. c. d. 【答案】 c【解析】【分析】根據(jù)給出的條件，直接運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)可求【詳解】, .故選 c.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題12.若 是第三象限的角 , 則是( )a. 第一或第二象限的角b. 第一或第三象限的角c. 第二或第三象限的角d. 第二或第四象限的角【答案】 b【解析】是第三

7、象限角，故當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)，是第一象限角；故當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)，是第三象限角，故選b.二:填空題。13.已知在銳角三角形中, 則_.【答案】 2【解析】【分析】利用和差公式將等式展開，解得和，相除得到答案 .【詳解】因?yàn)樵阡J角三角形中, 所以解得，故答案為 2.【點(diǎn)睛】本題考查了和差公式，三角恒等變換，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力 .14.若將向量繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到向量 ,則 的坐標(biāo)是_.【答案】【解析】【分析】設(shè)出向量 ，利用其模長(zhǎng)為和，聯(lián)立方程得到答案 .【詳解】如圖 ,設(shè)則即又,得解得 (舍去).故故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了向量的模長(zhǎng)，向量的數(shù)量積，設(shè)出向量建立方程組是解題的關(guān)鍵 .15.函數(shù)

8、在區(qū)間上的最大值是 _.【答案】【解析】【分析】將化簡(jiǎn)為標(biāo)準(zhǔn)形式，利用范圍得到范圍，最后得到答案 .【詳解】當(dāng)時(shí),故的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的最值問題，把函數(shù)化簡(jiǎn)為標(biāo)注形式是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.16.函數(shù)的最小正周期是 _.【答案】【解析】分析】將三角函數(shù)化簡(jiǎn)為標(biāo)準(zhǔn)形式，再利用周期公式得到答案.【詳解】由于所以【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，周期公式，屬于簡(jiǎn)單題.三：證明題。17.求證: .【答案】略【解析】試題分析：將等號(hào)左邊用平方差公式，完全平方公式變形，再根據(jù)將分式的分子分母同除以即可得等號(hào)右側(cè)，即證得等式成立試題解析：考點(diǎn)：三角恒等變換四：計(jì)算題。18.

9、計(jì)算下列題 :（1）;（2）.【答案】（ 1） （2）0【解析】【分析】（1）將轉(zhuǎn)化為，再利用和差公式得到答案.（2）將轉(zhuǎn)化為，再利用輔助角公式化簡(jiǎn)，最后計(jì)算得到答案.詳解】（ 1）原式.（2）原式.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的和差公式，誘導(dǎo)公式，輔助角公式，綜合性較強(qiáng)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.五：解答題。19.(本題滿分 l4 分)在 abc中,角 a、b、c 所對(duì)的邊分別為a,b,c，已知(i)求 sinc 的值；( ) 當(dāng) a=2，2sina=sinc 時(shí)，求 b 及 c 的長(zhǎng)【答案】， b=b=c=4 或 c=4【解析】（）解：因?yàn)閏os2c=1-2sin2c=，及 0c所以 sinc

10、=.（）解：當(dāng) a=2，2sina=sinc 時(shí)，由正弦定理，得c=4由 cos2c=2cos2c-1=，j 及 0c得cosc=由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosc ，得b2 b-12=0解得 b= 或 2所以 b= b= c=4 或 c=4【此處有視頻，請(qǐng)去附件查看】20.在等比數(shù)列中,已知,且 , 成等差數(shù)列。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式 ;（2）求數(shù)列的前 項(xiàng)和 ?！敬鸢浮?(1)；（2）.【解析】試題分析： (1)設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，將題中所給的項(xiàng)，通過解方程組的方法，求首項(xiàng)和公比，寫成數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（ 1）的結(jié)果，可知，當(dāng)時(shí)，所以求的和時(shí)，可先分時(shí)，當(dāng)時(shí)，采用

11、分組轉(zhuǎn)化求和，最后驗(yàn)證是否成立 .試題解析：（ 1）設(shè)數(shù)列公比為 ，則2 分又成等差數(shù)列，即，4 分 6 分（2）當(dāng)時(shí)， 8 分當(dāng)時(shí)， 11 分又當(dāng)時(shí)，上式也滿足當(dāng)時(shí)，12 分考點(diǎn)： 1.等比數(shù)列的證明； 2.等比數(shù)列的前項(xiàng)和.【方法點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值數(shù)列求和，這種形式的數(shù)列求和，需確定零點(diǎn)分段求和，考察數(shù)列求和與數(shù)列的關(guān)系，還有一些形式的求和：（1）分組轉(zhuǎn)化法，一般適用于等差數(shù)列加等比數(shù)列，（ 2）裂項(xiàng)相消法求和，,等的形式，（ 3）錯(cuò)位相減法求和，一般適用于等差數(shù)列乘以等比數(shù)列，（4）倒序相加法求和，一般距首末兩項(xiàng)的和是一個(gè)常數(shù)，這樣可以正著寫和和倒著寫和，兩式兩式相加除以2 得到數(shù)列

12、求和 ,(5)或是具有某些規(guī)律求和.21.（本小題滿分 12 分）已知等差數(shù)列滿足：，的前 n 項(xiàng)和為 （）求及 ；（）令（）,求數(shù)列的前 項(xiàng)和 【答案】（）; （）【解析】試題分析：（ 1）設(shè)等差數(shù)列的公差為 ，由已知可得解得，則 及 可求；（ 2）由（ 1）可得，裂項(xiàng)求和即可試題解析：（ 1）設(shè)等差數(shù)列的公差為 ，因?yàn)?，所以有，解得，所以?（2）由（ 1）知，所以，所以，即數(shù)列的前 項(xiàng)和.考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和公式。裂項(xiàng)求和22.已知分別是三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊 ,且（1）求角 的大?。?）若,求面積的最大值【答案】（ 1）；（2）.【解析】【分析】利用正弦定理，將題中等式的邊化成角的

13、正弦的形式，進(jìn)而利用兩角和的正弦公式與誘導(dǎo)公式，化簡(jiǎn)整理求得的值，可得角 b 的大小；由余弦定理的式子，結(jié)合題意算出，利用基本不等式求得ac 的最大值，代入的面積公式加以計(jì)算，可得面積的最大值【詳解】解：由及正弦定理可得：，又，整理可得：，可得：，可得：，若，根據(jù)余弦定理得：，化簡(jiǎn)，又，即：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，ac 有最大值 6，的面積當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，面積有最大值，最大值等于【點(diǎn)睛】本題給出三角形的邊角關(guān)系，求b 的大小并討論三角形面積的最大值，著重考查了正弦定理的運(yùn)用、兩角和與差的三角函數(shù)公式、誘導(dǎo)公式和基本不等式的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題2018-2019 年度第二學(xué)期

14、期末考試試題一：選擇題。1.一船向正北方向航行 ,看見正西方向有兩個(gè)相距10 海里的燈塔恰好與它在一條直線上,繼續(xù)航行半小時(shí)后 , 看見一燈塔在船的南偏西60方向上 ,另一燈塔在船的南偏西75方向上 ,則這艘船的速度是 ( )a. 5 海里/時(shí)b. 海里/時(shí)c. 10 海里/時(shí)d. 海里/時(shí)【答案】 c【解析】【分析】在中，計(jì)算得到，在計(jì)算得到，得到答案 .【詳解】如圖依題意有,從而,在中,求得,這艘船的速度是 (海里/時(shí))【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)單題.2.若數(shù)列滿足：，而數(shù)列的前 項(xiàng)和最大時(shí)，的值為（）a. 6 b. 7 c. 8 d. 9【答案】 b【解析】方法一：，數(shù)列是

15、首項(xiàng)為 19，公差為 -3 的等差數(shù)列則所以時(shí)，取最大值選 b方法二：，數(shù)列是首項(xiàng)為 19，公差為 -3 的等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以時(shí)，取最大值選 b點(diǎn)睛：求等差數(shù)列前n 項(xiàng)和最值的常用方法：利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)；利用性質(zhì)求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得和的最值；將等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和 (a、b 為常數(shù) )看作關(guān)于項(xiàng)數(shù) n 的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值3.已知數(shù)列的前 項(xiàng)和,那么它的通項(xiàng)公式 ( )a. b. c. d. 【答案】 b【解析】【分析】利用關(guān)系式代入公式得到通項(xiàng)公式，再驗(yàn)證時(shí)的情況得到答案 .【詳解】當(dāng)時(shí), ,當(dāng)時(shí), ,也滿足上式 ,故數(shù)列的通項(xiàng)公式為，故

16、選 b.【點(diǎn)睛】本題考查了通項(xiàng)公式里的關(guān)系式，忘記驗(yàn)證時(shí)的情況是學(xué)生容易犯的錯(cuò)誤.4.已知等比數(shù)列的公比為正數(shù) ,且,則 ( )a. b. c. d. 【答案】 a【解析】試題分析：因?yàn)?，等比?shù)列中，若，且，所以有，故選 a。考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)。點(diǎn)評(píng)：簡(jiǎn)單題，等比數(shù)列中，若。5.在中分別為角所對(duì)的邊 ,若,則此三角形一定是 ( )a. 等腰直角三角形b. 直角三角形c. 等腰三角形d. 等腰三角形或直角三角形【答案】 c【解析】在中，此三角形一定是等腰三角形，故選c.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查利用余弦定理判斷三角形形狀，屬于中檔題.判斷三角形狀的常見方法是：（ 1）通過正弦定理和余弦定理，化邊

17、為角，利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷； (2)利用正弦定理、余弦定理，化角為邊，通過代數(shù)恒等變換，求出邊與邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷；（ 3）根據(jù)余弦定理確定一個(gè)內(nèi)角為鈍角進(jìn)而知其為鈍角三角形.6.在中, ,則 ( )a. b. c. 或d. 或【答案】 c【解析】【分析】直接利用正弦定理得到答案.【詳解】由正弦定理得 , 或,故選 c.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，屬于簡(jiǎn)單題.7.在中,內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若,則角 等于( )a. 30b. 60c. 150d. 120【答案】 d【解析】【分析】首先利用正弦定理將角的關(guān)系轉(zhuǎn)換為邊的關(guān)系，再利用余弦定理得到答案.【詳解】由題及正弦定理 ,

18、得,即, .又,故選 d.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理和余弦定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.8.函數(shù)的最小正周期為 ( )a. b. c. d. 【答案】 b【解析】分析：直接利用三角函數(shù)的周期公式，求出函數(shù)的周期即可解：由三角函數(shù)的周期公式可知，函數(shù)的最小正周期為 t=故答案為 b點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的周期公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，送分題9.已知是非零向量 ,且滿足,則 與 的夾角是 ( )a. b. c. d. 【答案】 b【解析】試題分析：由，則，所以，所以，所以，故選 b考點(diǎn)：向量的運(yùn)算及向量的夾角10.已知?jiǎng)t的值是（）a. -1 b. 1 c. 2 d. 4【答案】 c【解析】【分析】由，

19、得到，利用兩角和的正切函數(shù)公式化簡(jiǎn)，即可得到所求式子的值【詳解】由由，得到，所以，即，則故選： c【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生靈活運(yùn)用兩角和與差的正切函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)求值，是一道基礎(chǔ)題 .11.在等差數(shù)列中,若,則 ( )a. b. c. d. 【答案】 c【解析】【分析】根據(jù)給出的條件，直接運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)可求【詳解】, .故選 c.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題12.若 是第三象限的角 , 則是( )a. 第一或第二象限的角b. 第一或第三象限的角c. 第二或第三象限的角d. 第二或第四象限的角【答案】 b【解析】是第三象限角，故當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)，是第一象限角；故

20、當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)，是第三象限角，故選b.二:填空題。13.已知在銳角三角形中, 則_.【答案】 2【解析】【分析】利用和差公式將等式展開，解得和，相除得到答案 .【詳解】因?yàn)樵阡J角三角形中, 所以解得，故答案為 2.【點(diǎn)睛】本題考查了和差公式，三角恒等變換，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.14.若將向量繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到向量 ,則 的坐標(biāo)是 _.【答案】【解析】【分析】設(shè)出向量 ，利用其模長(zhǎng)為和，聯(lián)立方程得到答案 .【詳解】如圖 ,設(shè)則即又,得解得 (舍去).故故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了向量的模長(zhǎng)，向量的數(shù)量積，設(shè)出向量建立方程組是解題的關(guān)鍵.15.函數(shù)在區(qū)間上的最大值是 _.【答案】【解析】【

21、分析】將化簡(jiǎn)為標(biāo)準(zhǔn)形式，利用范圍得到范圍，最后得到答案 .【詳解】當(dāng)時(shí),故的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的最值問題，把函數(shù)化簡(jiǎn)為標(biāo)注形式是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力 .16.函數(shù)的最小正周期是 _.【答案】【解析】分析】將三角函數(shù)化簡(jiǎn)為標(biāo)準(zhǔn)形式，再利用周期公式得到答案.【詳解】由于所以【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，周期公式，屬于簡(jiǎn)單題.三：證明題。17.求證: .【答案】略【解析】試題分析：將等號(hào)左邊用平方差公式，完全平方公式變形，再根據(jù)將分式的分子分母同除以即可得等號(hào)右側(cè)，即證得等式成立試題解析：考點(diǎn)：三角恒等變換四：計(jì)算題。18.計(jì)算下列題 :（1）;（2）.【答案】（

22、 1）（2）0【解析】【分析】（1）將轉(zhuǎn)化為，再利用和差公式得到答案.（2）將轉(zhuǎn)化為，再利用輔助角公式化簡(jiǎn)，最后計(jì)算得到答案.詳解】（ 1）原式.（2）原式.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的和差公式，誘導(dǎo)公式，輔助角公式，綜合性較強(qiáng)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力 .五：解答題。19.(本題滿分 l4 分)在 abc中,角 a、b、c 所對(duì)的邊分別為 a,b,c，已知(i)求 sinc 的值；( ) 當(dāng) a=2，2sina=sinc 時(shí)，求 b 及 c 的長(zhǎng)【答案】， b=b=c=4 或 c=4【解析】（）解：因?yàn)閏os2c=1-2sin2c=，及 0c所以 sinc=.（）解：當(dāng) a=2，2sina=s

23、inc 時(shí)，由正弦定理，得c=4由 cos2c=2cos2c-1=，j 及 0c得cosc=由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosc ，得b2 b-12=0解得 b=或 2所以 b=b= c=4 或 c=4【此處有視頻，請(qǐng)去附件查看】20.在等比數(shù)列中,已知,且,成等差數(shù)列。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式 ;（2）求數(shù)列的前 項(xiàng)和?！敬鸢浮?(1)；（2）.【解析】試題分析： (1)設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，將題中所給的項(xiàng)，通過解方程組的方法，求首項(xiàng)和公比，寫成數(shù)列的通項(xiàng)公式；（ 2）根據(jù)（ 1）的結(jié)果，可知，當(dāng)時(shí)，所以求的和時(shí)，可先分時(shí)，當(dāng)時(shí)，采用分組轉(zhuǎn)化求和，最后驗(yàn)證是否成立 .試題解析：（ 1）設(shè)數(shù)列公比為，則2 分又成等差數(shù)列，即，4 分 6 分（2）當(dāng)時(shí)， 8 分當(dāng)時(shí)，11 分又當(dāng)時(shí)，上式也滿足當(dāng)時(shí)，12 分考點(diǎn)： 1.等比數(shù)列的證明； 2