初二數(shù)學(xué)寒假講義 第5講.梯形 教師版

1、5梯形初步滿分晉級(jí)階梯四邊形3級(jí)梯形四邊形2級(jí)矩形、菱形、正方形四邊形1級(jí)平行四邊形寒假班 第三講寒假班 第四講寒假班 第五講漫畫釋義 找梯形知識(shí)互聯(lián)網(wǎng)題型切片題型切片（兩個(gè)）對(duì)應(yīng)題目題型目標(biāo)梯形的定義、等腰梯形的性質(zhì)及判定例1；演練1；例2；例3；演練2；梯形中的常見輔助線例4至6；演練3至5；例7；編寫思路本講內(nèi)容主要分為兩個(gè)模塊，其中模塊一主要為梯形的定義、等腰梯形的性質(zhì)及判定，主要重點(diǎn)練習(xí)了和等腰梯形相關(guān)的題型，并強(qiáng)化了等腰梯形的性質(zhì)及判定，學(xué)生尤其需要注意的是等腰梯形對(duì)角線相等這個(gè)性質(zhì)，比較容易被忽視；模塊二主要?dú)w納了梯形中的常見輔助線的作法，老師可以結(jié)合班內(nèi)情況重點(diǎn)對(duì)例6進(jìn)行深入拓

2、展，本題可以用梯形中所有的做輔助線的方法，是一道經(jīng)典題目； 本講的最后一部分是2013年北京中考試題，題目難度不大，但是綜合了平行四邊形，勾股定理等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)模塊一 梯形的定義、等腰梯形的性質(zhì)及判定知識(shí)導(dǎo)航定 義示 例 剖 析梯形:一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊不平行的四邊形梯形中，等腰梯形:兩腰相等的梯形梯形中，且直角梯形:有一個(gè)角是直角的梯形梯形中， ，相 關(guān) 概 念示 例 剖 析梯形的底：梯形中平行的兩邊叫做梯形的底；較短的底叫做上底，較長的底叫做下底（與位置無關(guān)）；梯形的腰：梯形中不平行的兩邊叫做腰；梯形的高：兩底間的距離叫做高等腰梯形的性質(zhì)示 例 剖 析兩腰相等同一底上的兩個(gè)角

3、相等對(duì)角線相等 AB=DCAC=DB 判 定兩腰相等的梯形是等腰梯形 同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形夯實(shí)基礎(chǔ)【例1】 下列說法正確的是（ ）A梯形是特殊的平行四邊形B等腰梯形的兩底角相等C有兩鄰角相等的梯形是等腰梯形D有且只有一組相鄰角為直角的四邊形是直角梯形 如圖是六個(gè)等邊三角形組成的一個(gè)正六邊形，請(qǐng)問圖中共有_ 個(gè)平行四邊形，_個(gè)等腰梯形 如圖，在等腰梯形中，對(duì)角線， ，則如圖，直角梯形ABCD中，AB/CD，CBAB，ABD是等邊三角形，若AB=2，則BC=_【解析】 D； 6；6； ； 能力提升【例2】 如圖，在梯形中，平分，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，且

4、求證：梯形是等腰梯形 若，求的長【解析】 平分又梯形是等腰梯形 由，得，且在中，【例3】 已知，如圖，在ABC中，AB=AC，BEAC交AC于點(diǎn)E，CDAB交AB于D，求證：四邊形DBCE是等腰梯形【解析】 AB=AC BEAC，CDAB=90°在BDC和CEB中BDCCEB（AAS）BD=CE，CD=BEAB=AC AD=AE在ADE中，=180°在ABC中，=180°DE/BC在ABC中，BD、CE交于一點(diǎn)BD與CE不平行四邊形DBCE是梯形梯形DBCE是等腰梯形模塊二 梯形中的常見輔助線知識(shí)導(dǎo)航類型圖 形作 法本質(zhì)典型應(yīng)用與高有關(guān)過作于，過作于（簡稱作雙高）

5、把梯形轉(zhuǎn)化為一個(gè)矩形和兩個(gè)直角三角形面積計(jì)算與腰有關(guān)過作交于（平移一腰）把梯形轉(zhuǎn)化為一個(gè)平行四邊形和集中兩腰、上下底之差的三角形（）梯形中四邊關(guān)系過作，交延長線于（平移一腰）過作交于，交于（平移兩腰）把梯形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)平行四邊形和一個(gè)集中兩腰和上下底之差的三角形（）分別延長、 交于點(diǎn)（補(bǔ)成三角形）把梯形補(bǔ)全為 梯形中構(gòu)造特殊三角形與對(duì)角線有關(guān)過作交延長線于（平移對(duì)角線）把梯形轉(zhuǎn)化為一個(gè)平行四邊形（）和一個(gè)集中兩條對(duì)角線與上下底之和的三角形（）集中對(duì)角線 與腰的中點(diǎn)有關(guān)連接并延長交延長線于（倍長類中線）將梯形切割拼接成一個(gè)與它面積相等的三角形（）梯形的中位線證明；梯形拼接成三角形或四邊形夯實(shí)基礎(chǔ)【

6、例4】 等腰梯形中，若，則= 在梯形中，則的長度為 如圖，在梯形中，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，則的長度為 【解析】 60°可平移一腰得到等邊三角形可平移一腰（或延長兩腰）得到含的直角三角形，用直角三角形的性質(zhì)得答案 過點(diǎn)作、交于、（也可延長兩腰，則需證明三點(diǎn)共線），又，【點(diǎn)評(píng)】 在梯形中，是兩底中點(diǎn)的連線（），則能力提升【例5】 如圖，在等腰梯形ABCD中，ADBC，AB = DC，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，BOC = 120°， AD = 2，BC = 4求等腰梯形ABCD的面積【解析】 作DEAC，交BC 延長線于E，作DFBE于F ADBC， ACED是平行四邊形， DE

7、 = AC， CE = AD又梯形ABCD 是等腰梯形，AC = DB， DB = DEDBE 是等腰三角形BOC=120°，ACDE， BDE=120° DBE=DEB=30°又DFBE，BF=EF=(BC+CE)= (BC+AD)= (42)=3在Rt中， BD2 =BF2DF 2 ，DF=BD，DF= SABCD =等腰梯形ABCD的面積是【例6】 如圖，在梯形中，為中點(diǎn)，交于點(diǎn)，求的長【解析】 解法一：過點(diǎn)作于點(diǎn) ， 可得四邊形為矩形 ， ， ， 又為中點(diǎn)， ， 在中，解法二：延長交的延長線于點(diǎn) ， 四邊形為平行四邊形， ， ， 設(shè)，則， 解得 ，在中，

8、【點(diǎn)評(píng)】 此外，本題方法還有： 延長交于一點(diǎn)； 過點(diǎn)作的平行線 當(dāng)然不排除還有其它方法，此題幾乎囊括了梯形所有常見的輔助線作法，比較具有代表性真題賞析【例7】 如圖，在中，是的中點(diǎn)，延長到點(diǎn)，使，連接，求證：四邊形是平行四邊形；若，求的長（2013北京中考）【解析】 在中，是中點(diǎn).，又.H且四邊形為平行四邊形過作于在中， 在中，在中【分析】梯形題目掌握起來比較容易上手，學(xué)生只要熟練掌握幾種常見的作輔助線的方法即可，學(xué)有余力的班級(jí)，老師可以帶著學(xué)生進(jìn)行下面一道題目的探究鞏固本講知識(shí)【探究】如圖，在梯形中，是的中點(diǎn)，求證：【解析】 如圖，延長交的延長線于在和中，【點(diǎn)評(píng)】 此題是道經(jīng)典題型，老師們可

9、以在此題的基礎(chǔ)上進(jìn)行拓展和變形，比如： 將上題中的“”與“”交換位置，其它條件不變，你會(huì)證明嗎？ 此題中還可以拓展為：在梯形中，是的中點(diǎn)；平分； 以上四個(gè)條件，除由不能推出外，由其它任意兩個(gè)作條件，均可推出另兩個(gè)結(jié)論，老師可適當(dāng)補(bǔ)充思維拓展訓(xùn)練（選講）訓(xùn)練1. 在等腰梯形ABCD中，ADBC，對(duì)角線ACBD于點(diǎn)O，AEBC，DFBC，垂足分別為E、F，AD=4，BC=8，則AE+EF=（ ）A9 B10 C11 D20如圖，在梯形ABCD中，DCB=90°，ABCD，AB=25，BC=24將該梯形折疊，點(diǎn)A恰好與點(diǎn)D重合，BE為折痕，那么AD的長度為_ 【解析】 B ；30(提示：作

10、高運(yùn)用勾股定理求邊 )訓(xùn)練2. 如圖，在梯形ABCD中，AD/BC，BDDC，C=60°，AD=4，BC=6，求AB的長【解析】 過點(diǎn)A作AEBD，垂足為EBDDC，C=60°，BC=6，1=30°，CD=3， AD/BC，2=1=30°AEBD，AD=4， 訓(xùn)練3. 如圖，在ABC中，且，點(diǎn)F在AC延長線上，且求證：四邊形ADEF是等腰梯形【解析】 連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)， 易知四邊形為矩形，又四邊形為平行四邊形又四邊形是等腰梯形訓(xùn)練4. 在梯形ABCD中，AD/BC，E為的中點(diǎn)，EF/AB交于點(diǎn)求證：；當(dāng)，且平分時(shí)，求的長【解析】 延長交的延長線于， ，四

11、邊形是平行四邊形 實(shí)戰(zhàn)演練知識(shí)模塊一 梯形的定義、等腰梯形的性質(zhì)及判定 課后演練【演練1】 如圖，等腰梯形中，對(duì)角線平分，則梯形的面積為_ 若等腰梯形的三邊長分別為3，4，11，則這個(gè)等腰梯形的周長是（ ）A 21 B29 C21或29 D21或22或29 【解析】 ；B分析：很多學(xué)生會(huì)錯(cuò)選D，這種題型要確定梯形的腰與底，為此需分類討論，解題的關(guān)鍵是，給出四條線段要構(gòu)成梯形需滿足一定的條件如下圖，需滿足： (利用三邊關(guān)系)【演練2】 如圖，這是一張等腰梯形紙片，它的上底長為，下底長為，腰長為，這樣的紙片共有張打算用其中的幾張來拼成較大的等腰梯形，那么你能拼出哪幾種不同的等腰梯形?分別畫出它們的

12、示意圖，并寫出它們的周長 【解析】 如圖：知識(shí)模塊二 梯形中的常見輔助線 課后演練【演練3】 如圖，在等腰梯形中，已知，延長到，使 寫出圖中所有與全等的三角形，并選擇其中一對(duì)說明全等的理由； 探究當(dāng)?shù)妊菪蔚母呤嵌嗌贂r(shí)，對(duì)角線與互相垂直？請(qǐng)回答并說明理由【解析】 ，； 的理由是：又， 或的理由是：又四邊形是等腰梯形，又， 當(dāng)?shù)妊菪蔚母邽闀r(shí)，對(duì)角線與互相垂直 理由是：設(shè)與的交點(diǎn)為點(diǎn)，四邊形是等腰梯形，又，四邊形是平行四邊形， ，則又，又，即【演練4】 已知：如圖，在梯形中，求的度數(shù)及的長【解析】 解法一：過點(diǎn)作交于點(diǎn) ，四邊形是平行四邊形，可證是直角三角形，是等邊三角形，在中， 解法二： 分別

13、作，、是垂足，四邊形是矩形，在中，由勾股定理，得， 【點(diǎn)評(píng)】 此題的方法二中用到了：如果一個(gè)直角三角形一條直角邊等于斜邊的一半，則這條直角邊所對(duì)的角為30°，這個(gè)定理可以讓學(xué)生了解一下，到初三學(xué)習(xí)三角函數(shù)后就能直接用了，所以建議老師以第一種方法為主 另外可以總結(jié)有關(guān)梯形的一個(gè)規(guī)律：如果一個(gè)等腰梯形有一底邊等于另一底與一腰的和，則該底邊的兩底角為60°（可用平移一腰來證明）【演練5】 在等腰梯形中， 如圖1，若，梯形的高為，求梯形的周長； 如圖2，若，求證： 【解析】 解：分別過、作于，于四邊形為等腰梯形， 證明：過作交延長線于四邊形為平行四邊形，感恩地活著史蒂文斯失業(yè)了，一

14、切來得那么突然。一個(gè)程序員，在軟件公司干了年，他一直以為將在這里做到退休，然后拿著優(yōu)厚的退休金頤養(yǎng)天年。然而，這一年公司倒閉。史蒂文斯的第三個(gè)兒子剛剛降生，他感謝上帝的恩賜，同時(shí)意識(shí)到，重新工作迫在眉睫。作為丈夫和父親，自己存在的最大意義，就是讓妻子和孩子們過得更好。他的生活開始凌亂不堪，每天的工作就是找工作。一個(gè)月過去了，他沒找到工作。除了編程，他一無所長。終于，他在報(bào)上看到一家軟件公司要招聘程序員，待遇不錯(cuò)。史蒂文斯揣著資料，滿懷希望地趕到公司。應(yīng)聘的人數(shù)超乎想像，很明顯，競(jìng)爭(zhēng)將會(huì)異常激烈。經(jīng)過簡單交談，公司通知他一個(gè)星期后參加筆試。憑著過硬的專業(yè)知識(shí)，筆試中，史蒂文斯輕松過關(guān)，兩天后面試。他對(duì)自己年的工作經(jīng)驗(yàn)無比自信，堅(jiān)信面試不會(huì)有太大的麻煩。然而，考官的問題是關(guān)于軟件業(yè)未來的發(fā)展方向，這些問題，他竟從未認(rèn)真思考過。史蒂文斯覺得公司對(duì)軟件業(yè)的理解，令他耳目一新，雖然應(yīng)聘失敗，可他感覺收獲不小，有必要給公司寫封信，以表感謝之情。于是立即提筆寫道：“貴公司花費(fèi)人力、物力，為我提供了筆試、面試的機(jī)會(huì)。雖然落聘，但通過應(yīng)聘使我大長見識(shí)，獲益匪淺。感謝你們?yōu)橹冻龅膭趧?dòng)，謝謝！”這是一封