【2019最新】精選高三數(shù)學(xué)(理)二輪專題復(fù)習(xí)文檔：專題八第2講函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合思想

1、【 2019 最新】精選高三數(shù)學(xué)（理）二輪專題復(fù)習(xí)文檔：專題八第 2 講函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合思想數(shù)學(xué)思想解讀 1. 函數(shù)與方程思想的實質(zhì)就是用聯(lián)系和變化的觀點，描述兩個量之間的依賴關(guān)系， 刻畫數(shù)量之間的本質(zhì)特征， 在提出數(shù)學(xué)問題時，拋開一些非數(shù)學(xué)特征，抽象出數(shù)量特征，建立明確的函數(shù)關(guān)系，并運用函數(shù)的知識和方法解決問題 . 有時需要根據(jù)已知量和未知量之間的制約關(guān)系，列出方程 ( 組) ，進(jìn)而通過解方程 ( 組) 求得未知量 . 函數(shù)與方程思想是相互聯(lián)系、相互為用的 .2. 數(shù)形結(jié)合思想，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系， 通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想 . 數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用包括以下兩個方

2、面： (1) “以形助數(shù)”， 把某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，揭示數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)； (2) “以數(shù)定形”，把直觀圖形數(shù)量化，使形更加精確 .熱點一函數(shù)與方程思想應(yīng)用 1求解不等式、函數(shù)零點的問題【例 1】 (1) 設(shè) 0<a<1，e 為自然對數(shù)的底數(shù)，則a，ae，ea1 的大小關(guān)系為 ()A.ea1<a<aeB.ae<a<ea1歡迎下載。C.ae<ea1<aD.a<ea1<ae(2)(2018 ·湖南六校聯(lián)考 ) 已知函數(shù) h(x) xln x與函數(shù) g(x) kx1 的圖象在區(qū)間上有兩個不同的

3、交點，則實數(shù)k 的取值范圍是 ()A.1B. 1， 1 eC.(1 ，e1D.(1 ，)解析 (1) 設(shè) f(x) exx1，x>0，則 f (x) ex1>0， f(x) 在(0 ， ) 上是增函數(shù)，且 f(0) 0，f(x)>0 ， ex1>x，即 ea1>a.又 yax(0<a<1) 在 R上是減函數(shù)，得 a>ae，從而 ea1>a>ae.(2) 令 h(x) g(x) ，得 xln x 1kx，即 ln x k.令函數(shù) f(x) ln x ，若方程xln x kx10 在區(qū)間上有兩個不等實根，則函數(shù) f(x) ln x與 yk

4、 在區(qū)間上有兩個不相同的交點，f (x) ，令 0 可得 x1，當(dāng) x時 f (x)<0 ，函數(shù)是減函數(shù)；當(dāng) x(1 ， e) 時， f (x)>0 ，函數(shù)是增函數(shù)，函數(shù)的極小值，也是最小值為 f(1) 1，而 f 1e，f(e) 1，又 1e>1，所以，函數(shù)的最大值為 e1. 所以關(guān)于 x 的方程 xln x kx10 在區(qū)間上有兩個不等實根，則實數(shù) k 的取值范圍是 .答案(1)B(2)B探究提高1. 第(1) 題構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為判定函數(shù)值的大小，利用函數(shù)的單調(diào)性與不等式的性質(zhì)求解.【2019最新】精選高三數(shù)學(xué)（理）二輪專題復(fù)習(xí)文檔：專題八第講函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合思想2.

5、 函數(shù)方程思想求解方程的根或圖象交點問題(1) 應(yīng)用方程思想把函數(shù)圖象交點問題轉(zhuǎn)化為方程根的問題，應(yīng)用函數(shù)思想把方程根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點問題 .(2) 含參數(shù)的方程問題一般通過直接構(gòu)造函數(shù)或分離參數(shù)化為函數(shù)解決.【訓(xùn)練 1】 (1) 設(shè)函數(shù) f(x) cos x ，則方程 f(x) 所有實根的和為()A.0B.C.D.32(2)(2018 ·石家莊質(zhì)檢 ) 已知函數(shù) f(x)是定義在 R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x0時， f(x) log2(1x) ，若 f(a2 1)<1 ，則實數(shù) a 的取值范圍是()A.( ， 0) (0 ， )B.( ， )C.( 1，0) (0 ， 1)D.(

6、 1，1)解析(1) 由 f(x) cos x ，得 cos x ，令 y， ycos x.在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出兩函數(shù)圖象，易知兩圖象只有一個交點.方程 f(x) 的實根之和為 .(2) 依題意， f(x) 在( ， 0) 上單調(diào)遞減，且 f(x) 在 R上是偶函數(shù) . f(x) 在(0 ， ) 上是增函數(shù)，且 f(1) f( 1) 1.由 f(a2 1)<1 ，得 |a2 1|<1 ，解得 <a<0或 0<a<.答案(1)C(2)A應(yīng)用 2函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用3/133/13【例 2】 已知數(shù)列 an 是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列.(1) 若 a12，且

7、 a2，a3，a41 成等比數(shù)列，求數(shù)列 an 的通項公式 an；(2) 在(1) 的條件下，數(shù)列 an 的前 n 項和為 Sn，設(shè) bn ，若對任意的 nN*，不等式 bnk恒成立，求實數(shù) k 的最小值 .解 (1) a1 2，aa2(a4 1) ，又 an 是正項等差數(shù)列，故 d0，(2 2d)2 (2 d)(3 3d) ，得 d2 或 d 1( 舍去 ) ，數(shù)列 an 的通項公式 an2n.(2) Sn n(n 1) ，則 .bn S2n1 .1 1 2n 2n 1令 f(x) 2x(x 1) ，則 f (x) 2>0 恒成立， f(x) 在1 ， ) 上是增函數(shù)，當(dāng) x1 時，

8、f(x)min f(1) 3，即當(dāng) n1 時， (bn)max .要使對任意的正整數(shù) n，不等式 bnk恒成立，則須使 k(bn)max，實數(shù) k 的最小值為 .探究提高 1. 本題完美體現(xiàn)函數(shù)與方程思想的應(yīng)用，第 (2) 問利用裂項相消求 bn，構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性求 bn 的最大值 .2. 數(shù)列的本質(zhì)是定義域為正整數(shù)集或其有限子集的函數(shù)，數(shù)列的通項【2019最新】精選高三數(shù)學(xué)（理）二輪專題復(fù)習(xí)文檔：專題八第講函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合思想公式與前 n 項和公式即為相應(yīng)的解析式，因此解決數(shù)列最值 ( 范圍 ) 問題的方法如下： (1) 由其表達(dá)式判斷單調(diào)性，求出最值； (2) 由表達(dá)式不易判斷單調(diào)

9、性時，借助 an1an 的正負(fù)判斷其單調(diào)性 .【訓(xùn)練2】 (2018 ·東北三省四校二模 ) 已知等差數(shù)列 an 的公差d 1，等比數(shù)列 bn 的公比 q2，若 1 是 a1，b1 的等比中項，設(shè)向量 a(a1 ，a2) ，b(b1 ，b2) ，且 a·b 5.(1) 求數(shù)列 an ，bn 的通項公式；(2) 設(shè) cn2anlog2bn ，求數(shù)列 cn 的前 n 項和 Tn.解 (1) 依題設(shè)， a1b11，且 a·b5.即a1b1 1，a1b1（ a1 1） ·2b15.a11，解之得b11.數(shù)列 an 的公差為 d1，bn 的公比 q2，所以 ann

10、，bn2n1(n N*).(2)cn 2anlog2bn 2n·log22n 1(n 1)2n(n N)，Tnc1c2cn222×233×24(n1)2n2Tn232×243×25 (n 1)2n 1，兩式相減得， Tn222324 2n(n 1)2n 1， (n 1)2n 1 4(2 n)2n 1，Tn(n2)2n14(nN*).應(yīng)用 3函數(shù)與方程思想在幾何問題中的應(yīng)用5/135/13【例 3】 設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點， A(2，0) ，B(0，1) 是它的兩個頂點，直線 ykx(k 0) 與 AB相交于點 D，與橢圓相交于 E，F(xiàn) 兩點 .(

11、1) 若 6，求 k 的值；(2) 求四邊形 AEBF面積的最大值 .解 (1) 依題意得橢圓的方程為 y21，直線 AB，EF的方程分別為 x2y2，ykx(k 0).如圖，設(shè) D(x0，kx0) ，E(x1，kx1) ，F(xiàn)(x2 ，kx2) ，其中 x1x2，且 x1，x2 滿足方程 (1 4k2)x2 4，故 x2 x1. 由 6 知 x0x16(x2 x0) ，得 x0(6x2 x1) x2；由 D在 AB上知 x02kx02，得 x0. 所以，化簡得 24k225k60，解得 k或 k.(2) 根據(jù)點到直線的距離公式和式知，點 E，F(xiàn) 到 AB的距離分別為h1，h2.又|AB| ，所

12、以四邊形 AEBF的面積為S|AB|(h1 h2)·· 2（12k）14k2 222，【2019最新】精選高三數(shù)學(xué)（理）二輪專題復(fù)習(xí)文檔：專題八第講函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合思想當(dāng)且僅當(dāng) 4k21(k 0) ，即當(dāng) k時，上式取等號 .所以 S 的最大值為 2.即四邊形 AEBF面積的最大值為2.探究提高 幾何中的最值是高考的熱點， 在圓錐曲線的綜合問題中經(jīng)常出現(xiàn)，求解此類問題的一般思路為在深刻認(rèn)識運動變化的過程之中，抓住函數(shù)關(guān)系，將目標(biāo)量表示為一個( 或者多個 ) 變量的函數(shù)，然后借助于函數(shù)最值的求法來求解，這是求面積、線段長最值 ( 范圍 ) 問題的基本方法 .【訓(xùn)練 3】

13、(1)(2018 ·長沙一中質(zhì)檢 ) 某工件的三視圖如圖所示，現(xiàn)將該工件通過切削， 加工成一個體積盡可能大的長方體新工件， 并使新工件的一個面落在原工件的一個面內(nèi)，則原工件材料的利用率為()A.B. 916C.D.12（21）3(2) 若點 O 和點 F( 2，0) 分別為雙曲線 y21(a>0) 的中心和左焦點，點 P 為雙曲線右支上的任意一點，則·的取值范圍為 _.解析(1) 如圖所示，原工件是一個底面半徑為1，高為 2 的圓錐，依題意加工后的新工件是圓錐的內(nèi)接長方體，且落在圓錐底面上的面是正方形， 設(shè)正方形的邊長為 a，長方體的高為 h，則 0<a<

14、，0<h<2.于是， h2a.令 f(a) V 長方體 a2h2a2a3，7/137/13 f (a) 4a3a2，令 f (a) 0，解得 a，易知 f(a)max f .材料利用率 .(2) 由 c2 得 a214，所以 a23.所以雙曲線方程為 y21.設(shè)點 P(x，y)(x ) ， · (x ，y) ·(x 2，y)OP x22xy2x22x 1x22x1(x ).令 g(x) x22x1(x ) ，則 g(x) 在 ， ) 上單調(diào)遞增 .g(x)min g() 32.所以·的取值范圍為 3 2， ).答案(1)A(2)3 2，)熱點二數(shù)形結(jié)合

15、思想應(yīng)用 1在函數(shù)與方程中的應(yīng)用【例 4】 (1) 記實數(shù) x1，x2， ， xn 中最小數(shù)為 minx1 ， x2， ，xn ，則定義在區(qū)間 0 ， ) 上的函數(shù) f(x) minx2 1，x3，13x 的最大值為 ()A.5B.6C.8D.10(2) 已知函數(shù) f(x) 其中 m>0.若存在實數(shù) b，使得關(guān)于 x 的方程 f(x)b 有三個不同的根，則m的取值范圍是 _.【2019最新】精選高三數(shù)學(xué)（理）二輪專題復(fù)習(xí)文檔：專題八第講函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合思想解析(1) 在同一坐標(biāo)系中作出三個函數(shù)yx21，yx3，y13x 的圖象如圖：由圖可知，在實數(shù)集 R上，minx2 1，x3，13

16、x 為 yx3 上A點下方的射線，拋物線AB之間的部分，線段BC，與直線 y13x點 C下方的部分的組合圖 . 顯然，在區(qū)間 0 ， ) 上，在 C點時， y minx2 1，x3，13x 取得最大值 .解方程組得點 C(5，8). 所以 f(x)max 8.(2) 作出 f(x) 的圖象如圖所示 . 當(dāng) x>m時，x22mx4m (x m)24mm2.要使方程 f(x) b 有三個不同的根， 則有 4mm2<m，即 m23m>0.又 m>0，解得 m>3.答案(1)C(2)(3 ，)探究提高1. 第(1) 題利用函數(shù)的圖象求最值， 避免分段函數(shù)的討論；第(2)

17、題把函數(shù)的零點或方程的根轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點問題，利用幾何直觀求解 .2. 探究方程解的問題應(yīng)注意兩點： (1) 討論方程的解 ( 或函數(shù)的零點 )一般可構(gòu)造兩個函數(shù)，使問題轉(zhuǎn)化為討論兩曲線的交點問題.(2) 正確作出兩個函數(shù)的圖象是解決此類問題的關(guān)鍵，數(shù)形結(jié)合應(yīng)以快和準(zhǔn)為原則，不要刻意去用數(shù)形結(jié)合 .【訓(xùn)練 4】 若函數(shù) f(x) 滿足 f(x 1) ，當(dāng) x 1，0 時， f(x) x，若在區(qū)間 1， 1) 上， g(x) f(x) mxm 有兩個零點，則實數(shù) m的取值范圍為 _.9/139/13解析x 1，0 時， f(x) x.當(dāng) x(0 ，1) 時， 1<x1<0， f

18、(x 1) x1，從而 x1. 因此， x(0 ，1) 時，f(x) 1，作出函數(shù) f(x) 在 1，1) 上的圖象，如圖所示 . 因為 g(x) f(x) mxm 有兩個零點 . yf(x) 的圖象與直線 y m(x1) 在區(qū)間 1，1) 上有兩個交點，又 kAB，由幾何直觀知0<m.1答案0，2應(yīng)用 2數(shù)形結(jié)合求解不等式與平面向量問題【例 5】(1) 已知， | ， | t ，若點 P 是 ABC所在平面內(nèi)的一點，且，則·的最大值等于()A.13B.15C.19D.21(2)(2018 ·西安調(diào)研 ) 已知變量 x，y 滿足約束條件若z2xy 的最大值為2，則實數(shù)

19、m()A. 1B. 2C.1D.2解析(1) 以點A 為坐標(biāo)原點，的方向分別為x 軸，y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示.則有 A(0，0) ，B，C(0，t) ，由可知 P(1，4) ，那么， ( 1，t 4) ，故·· ( 1，t 4) 4t 17 21713.【2019最新】精選高三數(shù)學(xué)（理）二輪專題復(fù)習(xí)文檔：專題八第講函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合思想當(dāng)且僅當(dāng) 4t ，即 t 時等號成立 .(2) 將目標(biāo)函數(shù)變形為 y 2xz，當(dāng) z 取最大值時，直線 y2xz在 y 軸上的截距最小，故當(dāng)m時，不滿足題意 .當(dāng) m>時，作出不等式組表示的平面區(qū)域， 如圖陰影部分所

20、示 ( 含邊界 ).y2xz 過點 B 時，直線在 y 軸上的截距最小，此時 z2xy 取得最大值.易求點 B，最大值為 z2× 2，解得 m1.答案(1)A(2)C探究提高1. 平面向量中數(shù)形結(jié)合關(guān)注點：(1) 能建系的優(yōu)先根據(jù)目標(biāo)條件建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；(2) 重視坐標(biāo)運算、數(shù)量積及有關(guān)幾何意義求解 .2. 求參數(shù)范圍或解不等式問題經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)的圖象， 根據(jù)不等式中量的特點，選擇適當(dāng)?shù)膬蓚€ ( 或多個 ) 函數(shù)，利用兩個函數(shù)圖象的上、下位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系解決問題 .【訓(xùn)練 5】 (1) 當(dāng) x(1 ，2) 時， (x 1)2<logax恒成立，則實數(shù) a的取值范圍

21、是 _.(2) 已知 a，b 是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量c 滿足 (ac) ·(b c) 0，則 |c|的最大值是 ()A.1B.2C.D. 22解析(1) 由題意，易知 a>1.在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y (x 1)2 ，x(1 ， 2) 及 y11/1311/13logax 的圖象 .若 ylogax 過點 (2 ，1) ，得 loga2 1，所以 a2.根據(jù)題意，函數(shù) ylogax ，x(1 ，2) 的圖象恒在 y(x 1)2 ，x(1 ，2) 的上方 .結(jié)合圖象， a 的取值范圍是 (1 ，2.(2) 因為 (a c) ·(b c) 0，所以 (a c) (b c). 如圖所示，設(shè) c， a， b， ac， bc，即.又因為，所以 O，A，C，B 四點共圓 . 當(dāng)且僅當(dāng) OC為圓的直徑時， |c| 最大，且最大值為 .答案(1)(1 ，2(2)C應(yīng)用 3圓錐曲線中的數(shù)形結(jié)合思想【例 6】 已知拋物線的方程為x28y，點 F 是其焦點，點A(2，4)