112 2直線的傾斜角和斜率2精編版

1、7.1 數(shù)數(shù) 列列 （1） ?1.1.若直線若直線 d?(u,v).l過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P(xP(x0 0,y,y0 0),),方向向量方向向量為為 則可得則可得: : y v(x?x0)?u(y?y0).lo ? P(x ,y )00?d?(u,v)x * *當(dāng)當(dāng) 直直線線 u?v?0時(shí)時(shí), , l的的點(diǎn)方向式方程點(diǎn)方向式方程為為: : * *當(dāng)當(dāng) u?0,v?0時(shí)時(shí), ,直線直線 l的方程是的方程是: : x?x0* *當(dāng)當(dāng) u?0,v?0時(shí)時(shí), ,直線直線 l的方程是的方程是: : y?y0 x?x0y?y0?,?(1 )uv* * *與直線與直線 l平行的非零向量都可作為直線平行的非零向量都可作

2、為直線 l的方向向量的方向向量. . ?n?(a,b).2.2.若直線若直線 l過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P(xP(x0 0,y,y0 0),),其其法向量法向量為為 直線直線 l的的點(diǎn)法向式點(diǎn)法向式方程為方程為: : y a(x?x0)?b(y?y0)?0-(2). -(2). o ? P(x ,y )00?n?(a,b)lx * * *與直線與直線 l垂直的非零向量都可作為直線垂直的非零向量都可作為直線 l的法向量的法向量. . k?tan .?0,?,?.3.3.若直線若直線 l過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P(xP(x0 0,y,y0 0),),斜率斜率 2直線直線 l的的點(diǎn)斜式點(diǎn)斜式方程為方程為: : y-y0?k(x?x

3、0)-(3). -(3). 請(qǐng)分析比較上述三種類型直線方程在表示直請(qǐng)分析比較上述三種類型直線方程在表示直* * * 問(wèn)題問(wèn)題1: 1: 線時(shí)的區(qū)別及其不同的適用條件線時(shí)的區(qū)別及其不同的適用條件 . . * *問(wèn)題研究問(wèn)題研究: : 能否把這三種直線方程不同形式利用恒能否把這三種直線方程不同形式利用恒等變形的方法轉(zhuǎn)化為某種比較簡(jiǎn)單的形式呢？等變形的方法轉(zhuǎn)化為某種比較簡(jiǎn)單的形式呢？ x?x0y?y0?uva(x?x0)?b(y?y0)?0y-y0?k(x?x0)2?2?ax?by?c?0 .(a?b?0)? ? ?(4 )1.1.直線的一般式方程的定義直線的一般式方程的定義 . . 把關(guān)于把關(guān)于x

4、,y 的一元二次方程的一元二次方程: ax?by?c?0 .其中其中: a?b?0 .稱為稱為直線的一般式方程直線的一般式方程 . - * *問(wèn)題問(wèn)題: : 比較上述四種不同直線方程的特點(diǎn)比較上述四種不同直線方程的特點(diǎn) : : 直線方程直線方程(1),(2),(3)(1),(2),(3)中的各個(gè)字母都是有中的各個(gè)字母都是有 其明確的幾何意義的其明確的幾何意義的 ; ; 直線方程直線方程(4)(4)的表示方式相對(duì)比較簡(jiǎn)煉的表示方式相對(duì)比較簡(jiǎn)煉 . . 直線方程直線方程(4)(4)中中( (當(dāng)當(dāng)b0)b0)時(shí)時(shí), ,也可表示成一次也可表示成一次 函數(shù)函數(shù)y=kx+b-(5)-(5)的形式的形式,

5、,所以方程所以方程(5)(5)也是也是 直線方程的一種常見的簡(jiǎn)單表示方式直線方程的一種常見的簡(jiǎn)單表示方式 . . 222.2.直線的一般式方程中字母系數(shù)的幾何意義直線的一般式方程中字母系數(shù)的幾何意義 . . 能否把能否把直線的一般式方程直線的一般式方程ax+by+c=0-(4)* *問(wèn)題問(wèn)題1: 1: 轉(zhuǎn)化為直線的點(diǎn)法向式方程的形式轉(zhuǎn)化為直線的點(diǎn)法向式方程的形式 , ,你能通過(guò)觀察你能通過(guò)觀察比較得出一些規(guī)律行的相關(guān)結(jié)論呢？比較得出一些規(guī)律行的相關(guān)結(jié)論呢？ (1)(1)當(dāng)當(dāng) b?0時(shí)時(shí), ,方程方程(4)(4)可轉(zhuǎn)化為可轉(zhuǎn)化為: : ca(x?0)?b(y?)?0與方程與方程(2)(2)比較就

6、可得出比較就可得出: : b* *上述方程上述方程(4)(4)所表示的直線所表示的直線: :是一條以是一條以: : ?n?(a,b)-為法向量為法向量; ; c(0,- )的直線的直線. . 且經(jīng)過(guò)點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn) b(2)(2)當(dāng)當(dāng) b?0時(shí)時(shí), ,則必有則必有 a?0方程方程(4)(4)就可轉(zhuǎn)化為就可轉(zhuǎn)化為: : cax?c?0 .?a(x?)?0(y - 0)?0 .同法比較就可得出同法比較就可得出: : a* *上述方程上述方程(4)(4)所表示的直線所表示的直線: :是一條以是一條以: : ?cn?(a,0)-為法向量為法向量; ; (- ,0)的直線的直線. . 且且經(jīng)過(guò)點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn) b(

7、(垂直于垂直于x x軸軸) ) * * *總結(jié)總結(jié): : 對(duì)于直線對(duì)于直線 l的一般式方程的一般式方程: :ax+by+c=0, , (a?b?0)22?n?(a,b)就是直線就是直線 -向量向量 l的一個(gè)法向量的一個(gè)法向量. . 能否利用能否利用直線的一般式方程直線的一般式方程 ax+by+c=0-(4)* *問(wèn)題問(wèn)題2: 2: 通過(guò)某種方法的轉(zhuǎn)化類似地得出直線的通過(guò)某種方法的轉(zhuǎn)化類似地得出直線的 方向向量方向向量？ 你有簡(jiǎn)便的方法或途徑嗎？你有簡(jiǎn)便的方法或途徑嗎？ * * * (1) (1)策略策略: : 運(yùn)用類似問(wèn)題運(yùn)用類似問(wèn)題1 1的轉(zhuǎn)化方法就能推算出直的轉(zhuǎn)化方法就能推算出直?線的方向

8、向量線的方向向量: : -d?(b ,-a) (2) (2)運(yùn)用向量垂直的充要條件可以驗(yàn)證運(yùn)用向量垂直的充要條件可以驗(yàn)證 : : * * *結(jié)論結(jié)論: : 對(duì)于直線對(duì)于直線 l的一般式方程的一般式方程: :ax+by+c=0, , (a2?b2?0)?d?n?0?d?n?d/ l.?d?(b,-a)就是直線就是直線 -向量向量 l的一個(gè)的一個(gè)方向向量方向向量. . 由已知由已知直線直線 l的一般式方程可以得出無(wú)數(shù)個(gè)直線的一般式方程可以得出無(wú)數(shù)個(gè)直線 l的法向量或方向向量的法向量或方向向量 ; ; 上述問(wèn)題上述問(wèn)題2 2中中, ,由已知由已知直線直線 l的法向量探求其方向的法向量探求其方向 向量

9、的方法向量的方法,-,-也是一種由一個(gè)已知向量坐標(biāo)求得也是一種由一個(gè)已知向量坐標(biāo)求得 其垂直向量坐標(biāo)的常用方法。其垂直向量坐標(biāo)的常用方法。 * * *牢記結(jié)論牢記結(jié)論: : 對(duì)于直線對(duì)于直線 l的一般式方程的一般式方程: :ax+by+c=0, , (a?b?0)22?n?(a,b)?d?(b ,?a).* *例題例題3: 3: 求經(jīng)過(guò)點(diǎn)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-(-3, ,4),),且平行于已知直線且平行于已知直線 l0l0:3x?4y?29?0的直線的直線 l方程方程. . -與與直線直線 平行的直線平行的直線 l :3x?4y?29?0* * *常用結(jié)論常用結(jié)論1: 1: 0方程可表示為方程可表示為

10、: : l:3x?4y?c?0 .若例若例3 3中的中的“平行平行”改為改為“垂直垂直”, ,結(jié)果如何結(jié)果如何? ? * *例題例題4: 4: 求經(jīng)過(guò)點(diǎn)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-(-2, ,3),),且且垂直垂直于已知直線于已知直線 l0l0:3x?4y?29?0的直線的直線 l方程方程. . -與與直線直線 l0:3x?4y?29?0垂直的直線垂直的直線 * * *常用結(jié)論常用結(jié)論2: 2: 方程可表示為方程可表示為: : l:4x?3y?c?0 .若已知直線為若已知直線為 l :2x?3y?6?0 .* *例題例題5: 5: 求直線求直線 l的點(diǎn)法向式方程和點(diǎn)方向式方程的點(diǎn)法向式方程和點(diǎn)方向式方程 .

11、 . 由于在求解本題時(shí)所求的點(diǎn)的坐標(biāo)由于在求解本題時(shí)所求的點(diǎn)的坐標(biāo) , ,直線直線* * *解法感悟解法感悟: : 的法向量或方向向量可以不盡相同的法向量或方向向量可以不盡相同 . . 故在由直線故在由直線的一般式方程形式轉(zhuǎn)化為點(diǎn)法向式方程或點(diǎn)方向的一般式方程形式轉(zhuǎn)化為點(diǎn)法向式方程或點(diǎn)方向式方程時(shí)式方程時(shí), ,答案并不唯一答案并不唯一, ,但實(shí)質(zhì)是一樣的但實(shí)質(zhì)是一樣的. .一般一般以方便求解為準(zhǔn)以方便求解為準(zhǔn)( (直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn) ). ). 已知直線方程已知直線方程 ax+by+c=0經(jīng)過(guò)點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(0,3)(0,3)* * *練習(xí)練習(xí): : 和和Q(4,0),(4,0),試求其系數(shù)試求其系數(shù)a、b、c的一組值的一組值. . 已學(xué)直線方程的幾種形式通常是可以互相轉(zhuǎn)化的已學(xué)直線方程的幾種形式通常是可以互相轉(zhuǎn)化的 ; ; 由直線的一般式方程形式可直接求得直線的法向由直線的一般式方程形式可直接求得直線的法向 量或方向向量量或方向向量, ,這是轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵這是轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵; ; 注意總結(jié)并牢記探求與已知直線平行或垂直的直注意總結(jié)并牢記探求與已知直線平行或垂直的直 線方程的常用方法線方程的常用方法; ; 在探求直線方程時(shí)在探求直