一元二次方程的概念及其解法(精編文檔).doc

1、【最新整理，下載后即可編輯】一元二次方程的概念及解法和講義知識點(diǎn)一：一元二次方程的概念定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2,這樣 的整式方程就是一元二次方程。 一般表達(dá)式： ax2 +bx + c = 0(“ 豐 0)(3)四個特點(diǎn)：只含有一個未知數(shù)；(2)且未知數(shù)次數(shù)最高次數(shù)是2;是整式方程.要判斷一個方程是否為一元二次方程，先看 它是否為整式方程，若是，再對它進(jìn)行整理.如果能整理為 +bx + c = 0(a。0)的形式，則這個方程就為一元二次方程.(4)將方程化為一般形式：cM+Zzx + c = 0時，應(yīng)滿足(2于0) 例 1：下列方程x?+l=()；2y(3y-5)=6y

2、2+4； ®ax2+bx+c=0 ； 5x-3 = 0,其中是一元二次方程的有。X變式:方程：2/-1 = 12/_5冷，+，2 =07/+1 = 0工=0 3x2中一元二次程的是 O例2： 一元二次方程(l + 3x)(x-3) = 2/+l化為一般形式為：,二次項(xiàng)系數(shù)為：, 一次項(xiàng)系數(shù) 為：,常數(shù)項(xiàng)為：o變式1 ： 一元二次方程3(X 2) 2=5x-1的一般形式 是,二次項(xiàng)系數(shù)是, 一次 項(xiàng)系數(shù)是,常數(shù)項(xiàng)是 o變式2:有一個一元二次方程，未知數(shù)為y,二次項(xiàng)的系數(shù)為-1, 一次項(xiàng)的系數(shù)為3,常數(shù)項(xiàng)為-6,請你寫出它的一般形式 例3：在關(guān)于x的方程(m-5)xm，+(m+3)x-3

3、=0中:當(dāng)m=時, 它是一元二次方程；當(dāng)m=時，它是一元一次方程。交式1：已知關(guān)于x的方程(m+l* mx+l=(),它是()A. 一元二次方程B. 一元一次方程C. 一元一次方程或一元二次方程 D.以上答案都不對 變式2：當(dāng)m 時，關(guān)于x的方程3)-7T = 5是一元二次方程知識點(diǎn)二：一元二次方程的解(1)概念：使方程兩邊相等的未知數(shù)的值，就是方程的解。(2)應(yīng)用：利用根的概念求代數(shù)式的值；【典型例題】1 .已知x = 2是一元二次方程/+a+ 2 = 0的一個解，則?的值是 ()A. -3 B. 3 C. 0D.()或32 .已知2)/+)，-3的值為2,則4y2+2y + l的值為。3

4、.若x=a是方程x2-x-201 5=()的根,則代數(shù)式2a2-2a-201 5值為 o4 .關(guān)于x的一元二次方程(4-2卜2+工+ /4 = 0的一個根為()，則a 的值為 O5 .已知關(guān)于工的一元二次方程"2+以+。= 0(“工0)的系數(shù)滿足 a-b+c = O,則此方程必有一根為 o【舉一反三】1 .已知關(guān)于x的方程/ 一日 6 = 0的一個根為x = 3,則實(shí)數(shù)k的值為 ()A. 1 B. -1 C. 2 D. -22 .若 m2-5m+2=(),則 2m2-H)m4-2016=。3 .若關(guān)于x的方程(a+3) x2-2x+a2-9=()有一個根為0,則a =o4 . 一元二

5、次方程ax2+bx+c=(),若4a-2b + c=0,則它的一個根是 O5 .若X=1是關(guān)于X的一元二次方程ar+x + c = 0(aW0)一個根，求代 數(shù)式 2()()7(a+b+c)的值【最新整理，下載后即可編輯】知識點(diǎn)三：解一元二次方程一元二次方程的解法：直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法.一：直接開平方法利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方 法叫做直接開平方法。直接開平方法適用于解形如（、+ ，）2=的一 元二次方程。根據(jù)平方根的定義可知，工+根是n的平方根，當(dāng)之0 時，x + m=±4n , x = -m±y/n ,當(dāng)n（）時，方程沒有實(shí)數(shù)根

6、。用直 接開平方法解一元二次方程的理論根據(jù)是平方根的定義，達(dá)到降 次轉(zhuǎn)化之目的。（1）形如£ = p（pzo）的方程的解是X=土石。當(dāng)p=0時，刀=12 = 0 （2）形如（優(yōu)+y = p（pNO）的方程的解為x二主針。形如（X6/） + = 0的方程可先化成（%-"）2 = -（的形式，再 用直接開平方法解?！纠}講解】1、方程（x-2） 2=9的解是（）A. X|-5, X2-lB. X|-5, X2lC. XI11, X2=-7D. X| -11,xk72、若方程乂2=01的解是有理數(shù)，則實(shí)數(shù)m不能取下列四個數(shù)中 的（）A. 1B. 4C. -D.-423、對于形如J

7、 = 的一元二次方程，能直接開平方的條件是4、方程/-16 = 0的根是5、用直接開平方法解下列方程：（1）16/ = 81（2）|m2 = 24(3)9%2-25 = 0(4) 4(2%-1)2-36=0【同步訓(xùn)練】1、用直接開平方法解方程（x-3） 2=8,得方程的根為（A. x=3+2>/3C. x=3-2點(diǎn)2、方程:(x-3) 2=()的根是(B. x1二3+2 V2 , x2=3-2 a/2D. Xi=3+26 , X2=3-2# )B. x=()D. X=3, x2=-33、方程（2x+6j=頻的根是o4、方程2 = 169的根是o5、用直接開平方法解下列方程：（1）（X7戶

8、。（2）l（y+l）2 = 128乙(3) 4(3x-1)2-9 = 0(4) 4 x2 +16x4-16 = 9二：配方法配方法：將形如，儲+以+ c = 0(¥0)的一類方程，化為 (優(yōu)+)2 = 形式求解的方法叫做配方法。一般步驟：(1)把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；(2)方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，化二次項(xiàng)系 數(shù)為1；(3)方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；(4)原方程變形為*+，)2= 的形式；5)如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以直接開平方求 出方程的解，如果右邊是負(fù)數(shù)，則一元二次方程無解.【例題講解】1、用配方法解關(guān)于x的一元二次方程x2-2x-3=0,配方后的方程 可以是()A. (x

9、-1) 2=4 B. (x+1)2=4 C. (x-1) 2=16 D. (x+1) 2二162、若一元二次方程式x2-2x-3599=()的兩根為a、b,且a>b,則2a-b之值為何？()A. -57B. 63C. 179D. 1813、用適當(dāng)?shù)臄?shù)填空：、x2+6x+= (x+) 2、X2 5x+= (x ) 2；、x2+ x+= (x+) 2 、x2 9x+= (x-) 24、將二次三項(xiàng)式2x2-3x-5進(jìn)行配方，其結(jié)果為.5、已知4x2-ax+l可變?yōu)?2x-b) 2的形式，則ab=.6、將x2-2x-4=()用配方法化成(x+a) 2=b的形式為一, 所以方程的根為.7、若x2+

10、6x+n?是一個完全平方式，則m的值是8、用配方法解下列方程：(1) x2+12x-15 = 0(2) x2+8x = 9(3)3x2-5x = 2（4） Lx2-4x-4 = 0424 = 7工（5） x2 -4x-3 = 0（6）（2）求-3x?+5x+l 的最9、用配方法求解下列問題 (1)求2x2-7x+2的最小值； 大值?！九e一反三】1 .把方程x+3=4x配方，得()A. (x-2) F B. (x+2) 2=21 C. (x 2=1 D. (x+2) 2二22 .用配方法解方程x?+4x=1()的根為()A. 2±M B. -2± V14 C. -2+M D.

11、 2-V103 .用配方法解下列一元二次方程(1 ) x2 -4x = 96(2) x2-4x-5 = 0(3) 2x2+3a-1=0(4) 3x2+2a-7=0三：公式法(D公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解 一元二次方程的一般方法。由配方法得b x + < 2a)4ac b2X+ 2a)bx +2ac 1/a 4ah2 -4ac _b , yjb2 -4ac -b±yjb2 -4ac x =±= x =一元二次方程+以+ c = 0(y0)的求根公式:b 士-4ac 2 a 、八、x =(b - 4ac > 0)2a-b + J/?2 -4a

12、c -b - >b' -4ac公式法的步驟：就把一元二次方程的各系數(shù)分別代入，這里a為 一次項(xiàng)系數(shù)，b為二次項(xiàng)系數(shù)，c為常數(shù)項(xiàng)。【典型例題】例1： 一般地，對于一元二次方程ax?+bx+c=() (a:0),當(dāng)b?-4ac ()時，它的根是,當(dāng)b-4acV()時，方程.例2:用公式法解方程x2=-8x-15,其中b2-4ac=,x1=, X2=.例3： 一元二次方程x2-2x-m=()可以用公式法解，則m=().A. 0 B. 1 C. -1 D. ±1例4：不解方程，判斷所給方程：x?+3x+7=();x?+4=0； x2+x/=()中，有實(shí)數(shù)根的方程有()A.()個

13、 B. 1 個 C. 2 個 D. 3 個 例5:方程(x+l) (x-3) =5的解是()A. X1"!B.X=4,X2=-2C.X=-1,X2=3 D . x1二-4,x?2 例6： 一元二次方程/+2立.6 = 0的根是()A. X| = x2= a/2B. X, = 0,x2 = 2a/2C. %| = V2, x2 = -3 V2D. %, = -V2, x2 = 3/2例7: 一元二次方程x2-3x-l=()的解是 o例8:用公式法解下列方(1 ) -3x2-5x + 2 = 0 ;(2) 2x2+3x + 3 = 0 ;(3)x2 2x + l = 0 ；例 9:若 x

14、2-xy-3y2=() (y>0),求:的值.【舉一反三】1.用公式法解方程x2=-8x-15,其中b2-4ac=, x1=2.用公式法解方程4=12y+3,得到().3± /6»3± y/b03±2/3A.v=-B.y=C.y=-，2,22c -3±2>/3，23.不解方程，判斷所給方程：x?+3x+7=();、2+4=();x?+x-l =0 中，有實(shí)數(shù)根的方程有()A.()個B. 1 個C. 2 個D. 3個4.用公式法解方程(l)x2+l 5x=-3x;(2)x2+x-6=0;(3)3x2-6x-2=0;(4)4x2-6x=

15、0四：因式分解法因式分解法的步驟是：(1)將方程右邊化為()；(2)將方程左邊分解為兩個一次因式的乘積：(3)令每個因式等于()，得到兩個一元一次方程，解這兩個一 元一次方程，它們的解就是原一元二次方程的解.例題講解： /+12x=0；(2)4/-1=0；(3)(x + 2)2+2x + 4 = 0 ；練習(xí)鞏固：(3)(xl)(x+3) = 12;(3)3?+/_4x_21=();2xT=0；(4)l()d x3 = 0;-21=0.練習(xí)鞏固用適當(dāng)方法解下列方程(2) (x2>=256；(3)V 3x+l(1) V4x+3 = ();= ();(4) /-2x-3 = 0； +/=9；(

16、5) (2- 3)2=30+3);(3。2(7)7-2x2=-15=7(8) 2/-缶-30 = 0(9)2,d 8x(11)(x+5)2-2(x+5)-8(10) 逐卡(5& + l)x+M =(); =0.知識點(diǎn)四：判定根的情況（韋達(dá)定理）根的判別式及應(yīng)用（=-4戊）判定一元二次方程根的情況： >0,方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根； =（）,方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根； <0,方程沒有實(shí)數(shù)根.確定字母的值或取值范圍：應(yīng)用根的判別式，其前提為二次項(xiàng)系 數(shù)不為0.韋達(dá)定理：實(shí)系數(shù)一元二次方程（who）存在實(shí) 數(shù)解茍，血,那么番與國二二這是在初中時韋達(dá)定理的定 aa義，但在高中時應(yīng)用就

17、更為廣闊,由代數(shù)基本定理可推得：任何 一元A次方程在復(fù)數(shù)集中必有根，因此，該方程的左端可以在復(fù) 數(shù)范圍內(nèi)分解成一次因式的乘積形式，兩端比較系數(shù)即得韋達(dá)定 理，所以韋達(dá)定理在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)同樣適用.一元二次方程a?+bx+c內(nèi)（#（）在有解的情況下，兩個解為 、產(chǎn)士W三，沏二土用亞，通過計(jì)算得到結(jié)論X4氏2二上， 2a2aaXX?二一例1、已知關(guān)于X的一元二次方程f-2x+4=（）（1）方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍；（2）在（1）中當(dāng)K取最大整數(shù)時，求所得方程的實(shí)數(shù)根.2、已知關(guān)于x的方程上d+VT工x-2=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根, 求女的取值范圍.例2已知由，應(yīng)是方程2/巴4x16W）的兩實(shí)數(shù)根，求土+土的值.練習(xí)：1.已知A：K2是方程3,d+2x-in）的兩個實(shí)數(shù)根，求.、；+石的值.2.設(shè)夕，夕是一元二次方程V+3x-7W)的兩個實(shí)數(shù)根，求 /+4oc+§ 的值.綜合練習(xí)1、如果關(guān)于x的方程V +px+qR的兩個根是單，x2,那么 x+xi=p, X. - x2=(j.請根據(jù)以上結(jié)論，解決下列問題：(1)已知關(guān)于x的方程f+mxn) (aHO),求出一個一元二次 方程，使它的兩根分別是已知方程兩根的倒數(shù)；(2)已知口 6滿足才-15務(wù)5R,廿-15A5R,求色+2的值;b