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1、1已知銳角,且5的終邊上有一點P(sin(50),cos 130),則的值為()A8 B44C26 D40答案B解析sin (50)0,cos 130cos 500,點P(sin(50),cos 130)在第三象限又090,05450.又點P的坐標可化為(cos 220,sin 220),5220,44,故選B.2已知向量(2,0),向量(2,2),向量(cos ,sin ),則向量與向量的夾角的取值范圍是()A. B.C. D.答案D解析由題意,得:(2cos ,2sin ),所以點A的軌跡是圓(x2)2(y2)22,如圖,當(dāng)A位于使向量與圓相切時,向量與向量的夾角分別達到最大、最小值,故選
2、D.3已知a,b是單位向量,ab0.若向量c滿足|cab|1,則|c|的最大值為()A.1 B.C.1 D.2答案C解析建立平面直角坐標系,令向量a,b的坐標a(1,0),b(0,1),令向量c(x,y),則有1,|c|的最大值為圓(x1)2(y1)21上的動點到原點的距離的最大值,即圓心(1,1)到原點的距離加圓的半徑,即1.4已知函數(shù)f(x)sin在0,上有兩個零點,則實數(shù)m的取值范圍為()A,2 B,2)C(,2 D,2答案B解析如圖,畫出ysin在0,上的圖像,當(dāng)直線y與其有兩個交點時,所以m,2)5已知函數(shù)y2sin(x)(0,0)為偶函數(shù),其圖像與直線y2某兩個交點的橫坐標分別為x
3、1,x2,若|x2x1|的最小值為,則該函數(shù)的一個遞增區(qū)間可以是()A. B.C. D.答案A解析由函數(shù)為偶函數(shù)知k(kZ)又因為0,所以,所以y2cos x.由題意知函數(shù)的最小正周期為,故2,所以y2cos 2x,經(jīng)驗證知選項A滿足條件故選A.題型一三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)例1已知函數(shù)f(x)cos xsincos2 x,xR.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在閉區(qū)間上的最大值和最小值解(1)由已知,得f(x)cos xcos2xsin xcos xcos2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin.所以f(x)的最小正周期T.(2)因為f(x)在區(qū)間上是減函數(shù)
4、,在區(qū)間上是增函數(shù),f,f,f,所以函數(shù)f(x)在閉區(qū)間上的最大值為,最小值為.思維升華三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)是高考考查的重點,通常先將三角函數(shù)化為yAsin(x)k的形式,然后將tx視為一個整體,結(jié)合ysin t的圖像求解已知函數(shù)f(x)sin(x)sin(x)2cos2,xR(其中0)(1)求函數(shù)f(x)的值域;(2)若函數(shù)yf(x)的圖像與直線y1的兩個相鄰交點間的距離均為,求函數(shù)yf(x)的單調(diào)增區(qū)間解(1)f(x)sin xcos xsin xcos x(cos x1)2(sin xcos x)12sin(x)1.由1sin(x)1,得32sin(x)11,所以函數(shù)f(x)的值域為3,
5、1(2)由題設(shè)條件及三角函數(shù)圖像和性質(zhì)可知,yf(x)的周期為,所以,即2.所以f(x)2sin(2x)1,再由2k2x2k(kZ),解得kxk(kZ)所以函數(shù)yf(x)的單調(diào)增區(qū)間為k,k(kZ)題型二三角函數(shù)和解三角形例2(2015山東)設(shè)f(x)sin xcos xcos2.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)在銳角ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若f0,a1,求ABC面積的最大值解(1)由題意知f(x)sin 2x.由2k2x2k,kZ, 可得kxk,kZ;由2k2x2k,kZ, 可得kxk,kZ.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(kZ);單調(diào)遞減區(qū)間是(kZ)(2)由fsin
6、 A0,得sin A,由題意知A為銳角,所以cos A.由余弦定理a2b2c22bccos A,可得1bcb2c22bc,即bc2,當(dāng)且僅當(dāng)bc時等號成立因此bcsin A.所以ABC面積的最大值為.思維升華三角函數(shù)和三角形的結(jié)合,一般可以利用正弦定理、余弦定理先確定三角形的邊角,再代入到三角函數(shù)中,三角函數(shù)和差公式的靈活運用是解決此類問題的關(guān)鍵已知函數(shù)f(x)2cos2xsin.(1)求函數(shù)f(x)的最大值,并寫出f(x)取最大值時x的取值集合;(2)在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若f(A),bc2,求實數(shù)a的最小值解(1)f(x)2cos2xsin(1cos 2x)1si
7、n 2xcos 2x1sin.函數(shù)f(x)的最大值為2.要使f(x)取最大值,則sin1,2x2k(kZ),解得xk,kZ.故f(x)取最大值時x的取值集合為.(2)由題意知,f(A)sin1,化簡得sin.A(0,),2A,2A,A.在ABC中,根據(jù)余弦定理,得a2b2c22bccos (bc)23bc.由bc2,知bc21,即a21.當(dāng)bc1時,實數(shù)a的最小值為1.題型三三角函數(shù)和平面向量例3已知向量a(m,cos 2x),b(sin 2x,n), 函數(shù)f(x)ab,且yf(x)的圖像過點(,)和點(,2)(1)求m,n的值;(2)將yf(x)的圖像向左平移(0)個單位后得到函數(shù)yg(x)
8、的圖像,若yg(x)圖像上各最高點到點(0,3)的距離的最小值為1,求yg(x)的單調(diào)遞增區(qū)間解(1)由題意知f(x)abmsin 2xncos 2x.因為yf(x)的圖像過點(,)和(,2),所以即解得(2)由(1)知f(x)sin 2xcos 2x2sin(2x)由題意知g(x)f(x)2sin(2x2)設(shè)yg(x)的圖像上符合題意的最高點為(x0,2),由題意知x11,所以x00,即到點(0,3)的距離為1的最高點為(0,2)將其代入yg(x)得sin(2)1,因為0,所以,因此g(x)2sin(2x)2cos 2x.由2k2x2k,kZ,得kxk,kZ,所以函數(shù)yg(x)的單調(diào)遞增區(qū)間
9、為k,k,kZ.思維升華(1)向量是一種解決問題的工具,是一個載體,通常是用向量的數(shù)量積運算或性質(zhì)轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)問題(2)三角形中的三角函數(shù)要結(jié)合正弦定理、余弦定理進行轉(zhuǎn)化,注意角的范圍對變形過程的影響已知向量a(cos ,sin ),b(cos x,sin x),c(sin x2sin ,cos x2cos ),其中0x.(1)若,求函數(shù)f(x)bc的最小值及相應(yīng)x的值;(2)若a與b的夾角為,且ac,求tan 2的值解(1)b(cos x,sin x),c(sin x2sin ,cos x2cos ),f(x)bccos xsin x2cos xsin sin xcos x2sin xco
10、s 2sin xcos x(sin xcos x)令tsin xcos x,則2sin xcos xt21,且1t.則函數(shù)f(x)關(guān)于t的關(guān)系式為yt2t12,1t,t時,ymin,此時sin xcos x,即sin,x,x,x,x.函數(shù)f(x)的最小值為,相應(yīng)x的值為.(2)a與b的夾角為,cos cos cos xsin sin xcos(x)0x,0x,x.ac,cos (sin x2sin )sin (cos x2cos )0,sin(x)2sin 20,即sin2sin 20.sin 2cos 20,tan 2.(時間:70分鐘)1已知函數(shù)f(x)Asin(x),xR,且f().(1
11、)求A的值;(2)若f()f(),(0,),求f()解(1)f()Asin()Asin A,A.(2)由(1)知f(x)sin(x),故f()f()sin()sin(),(sin cos )(cos sin ),cos ,cos .又(0,),sin ,f()sin()sin .2(2015江蘇)在ABC中,已知AB2,AC3,A60.(1)求BC的長;(2)求sin 2C的值解(1)由余弦定理知,BC2AB2AC22ABACcos A492237,所以BC.(2)由正弦定理知,所以sin Csin A.因為ABBC,所以C為銳角,則cos C .因此sin 2C2sin Ccos C2.3已
12、知向量m(2sin x,cos2 xsin2 x),n(cos x,1),其中0,xR.若函數(shù)f(x)mn的最小正周期為.(1)求的值;(2)在ABC中,若f(B)2,BC,sin Bsin A,求的值解(1)f(x)mn2sin xcos xcos2 xsin2 xsin 2xcos 2x2sin.f(x)的最小正周期為,0,T.1.(2)設(shè)ABC中角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.f(B)2,2sin2,即sin1,解得B(B(0,)BC,sin Bsin A,即a,ba,b3.由正弦定理,有,解得sin A.0A,A.C,ca.cacos Bcos.4函數(shù)f(x)cos(x)的部分圖
13、像如圖所示(1)求及圖中x0的值;(2)設(shè)g(x)f(x)f,求函數(shù)g(x)在區(qū)間上的最大值和最小值解(1)由題圖得f(0),所以cos ,因為0,故.由于f(x)的最小正周期等于2,所以由題圖可知1x02,故x0,由f(x0)得cos,所以x0,x0.(2)因為fcoscossin x,所以g(x)f(x)fcossin xcos xcos sin xsin sin xcos xsin xsin xcos xsin xsin.當(dāng)x時,x.所以sin1,故當(dāng)x,即x時,g(x)取得最大值;當(dāng)x,即x時,g(x)取得最小值.5(2015福建)已知函數(shù)f(x)的圖像是由函數(shù)g(x)cos x的圖像
14、經(jīng)如下變換得到:先將g(x)圖像上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變),再將所得到的圖像向右平移個單位長度(1)求函數(shù)f(x)的解析式,并求其圖像的對稱軸方程;(2)已知關(guān)于x的方程f(x)g(x)m在0,2)內(nèi)有兩個不同的解,.求實數(shù)m的取值范圍;證明:cos()1.方法一(1)解將g(x)cos x的圖像上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變)得到y(tǒng)2cos x的圖像,再將y2cos x的圖像向右平移個單位長度后得到y(tǒng)2cos的圖像,故f(x)2sin x.從而函數(shù)f(x)2sin x圖像的對稱軸方程為xk(kZ)(2)解f(x)g(x)2sin xcos xsin(x).依題意,sin(x)在0,2)內(nèi)有兩個不同的解,當(dāng)且僅當(dāng)1,故m的取值范圍是(,)證明因為,是方程sin(x)m在0,
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