三角函數(shù)和向量

1、1已知銳角，且5的終邊上有一點(diǎn)P(sin(50)，cos 130)，則的值為()A8 B44C26 D40答案B解析sin (50)0，cos 130cos 500，點(diǎn)P(sin(50)，cos 130)在第三象限又090，05450.又點(diǎn)P的坐標(biāo)可化為(cos 220，sin 220)，5220，44，故選B.2已知向量(2,0)，向量(2,2)，向量(cos ，sin )，則向量與向量的夾角的取值范圍是()A. B.C. D.答案D解析由題意，得：(2cos ，2sin )，所以點(diǎn)A的軌跡是圓(x2)2(y2)22，如圖，當(dāng)A位于使向量與圓相切時(shí)，向量與向量的夾角分別達(dá)到最大、最小值，故選

2、D.3已知a，b是單位向量，ab0.若向量c滿足|cab|1，則|c|的最大值為()A.1 B.C.1 D.2答案C解析建立平面直角坐標(biāo)系，令向量a，b的坐標(biāo)a(1,0)，b(0,1)，令向量c(x，y)，則有1，|c|的最大值為圓(x1)2(y1)21上的動(dòng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值，即圓心(1,1)到原點(diǎn)的距離加圓的半徑，即1.4已知函數(shù)f(x)sin在0，上有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A，2 B，2)C(，2 D，2答案B解析如圖，畫出ysin在0，上的圖像，當(dāng)直線y與其有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，所以m，2)5已知函數(shù)y2sin(x)(0,0)為偶函數(shù)，其圖像與直線y2某兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x

3、1，x2，若|x2x1|的最小值為，則該函數(shù)的一個(gè)遞增區(qū)間可以是()A. B.C. D.答案A解析由函數(shù)為偶函數(shù)知k(kZ)又因?yàn)?，所以，所以y2cos x.由題意知函數(shù)的最小正周期為，故2，所以y2cos 2x，經(jīng)驗(yàn)證知選項(xiàng)A滿足條件故選A.題型一三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)例1已知函數(shù)f(x)cos xsincos2 x，xR.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在閉區(qū)間上的最大值和最小值解(1)由已知，得f(x)cos xcos2xsin xcos xcos2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin.所以f(x)的最小正周期T.(2)因?yàn)閒(x)在區(qū)間上是減函數(shù)

4、，在區(qū)間上是增函數(shù)，f，f，f，所以函數(shù)f(x)在閉區(qū)間上的最大值為，最小值為.思維升華三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)，通常先將三角函數(shù)化為yAsin(x)k的形式，然后將tx視為一個(gè)整體，結(jié)合ysin t的圖像求解已知函數(shù)f(x)sin(x)sin(x)2cos2，xR(其中0)(1)求函數(shù)f(x)的值域；(2)若函數(shù)yf(x)的圖像與直線y1的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)間的距離均為，求函數(shù)yf(x)的單調(diào)增區(qū)間解(1)f(x)sin xcos xsin xcos x(cos x1)2(sin xcos x)12sin(x)1.由1sin(x)1，得32sin(x)11，所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)?,

5、1(2)由題設(shè)條件及三角函數(shù)圖像和性質(zhì)可知，yf(x)的周期為，所以，即2.所以f(x)2sin(2x)1，再由2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)所以函數(shù)yf(x)的單調(diào)增區(qū)間為k，k(kZ)題型二三角函數(shù)和解三角形例2(2015山東)設(shè)f(x)sin xcos xcos2.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)在銳角ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若f0，a1，求ABC面積的最大值解(1)由題意知f(x)sin 2x.由2k2x2k，kZ, 可得kxk，kZ；由2k2x2k，kZ, 可得kxk，kZ.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(kZ)；單調(diào)遞減區(qū)間是(kZ)(2)由fsin

6、 A0，得sin A，由題意知A為銳角，所以cos A.由余弦定理a2b2c22bccos A，可得1bcb2c22bc，即bc2，當(dāng)且僅當(dāng)bc時(shí)等號(hào)成立因此bcsin A.所以ABC面積的最大值為.思維升華三角函數(shù)和三角形的結(jié)合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先確定三角形的邊角，再代入到三角函數(shù)中，三角函數(shù)和差公式的靈活運(yùn)用是解決此類問題的關(guān)鍵已知函數(shù)f(x)2cos2xsin.(1)求函數(shù)f(x)的最大值，并寫出f(x)取最大值時(shí)x的取值集合；(2)在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若f(A)，bc2，求實(shí)數(shù)a的最小值解(1)f(x)2cos2xsin(1cos 2x)1si

7、n 2xcos 2x1sin.函數(shù)f(x)的最大值為2.要使f(x)取最大值，則sin1，2x2k(kZ)，解得xk，kZ.故f(x)取最大值時(shí)x的取值集合為.(2)由題意知，f(A)sin1，化簡得sin.A(0，)，2A，2A，A.在ABC中，根據(jù)余弦定理，得a2b2c22bccos (bc)23bc.由bc2，知bc21，即a21.當(dāng)bc1時(shí)，實(shí)數(shù)a的最小值為1.題型三三角函數(shù)和平面向量例3已知向量a(m，cos 2x)，b(sin 2x，n), 函數(shù)f(x)ab，且yf(x)的圖像過點(diǎn)(，)和點(diǎn)(，2)(1)求m，n的值；(2)將yf(x)的圖像向左平移(0)個(gè)單位后得到函數(shù)yg(x)

8、的圖像，若yg(x)圖像上各最高點(diǎn)到點(diǎn)(0,3)的距離的最小值為1，求yg(x)的單調(diào)遞增區(qū)間解(1)由題意知f(x)abmsin 2xncos 2x.因?yàn)閥f(x)的圖像過點(diǎn)(，)和(，2)，所以即解得(2)由(1)知f(x)sin 2xcos 2x2sin(2x)由題意知g(x)f(x)2sin(2x2)設(shè)yg(x)的圖像上符合題意的最高點(diǎn)為(x0,2)，由題意知x11，所以x00，即到點(diǎn)(0,3)的距離為1的最高點(diǎn)為(0,2)將其代入yg(x)得sin(2)1，因?yàn)?，所以，因此g(x)2sin(2x)2cos 2x.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，所以函數(shù)yg(x)的單調(diào)遞增區(qū)間

9、為k，k，kZ.思維升華(1)向量是一種解決問題的工具，是一個(gè)載體，通常是用向量的數(shù)量積運(yùn)算或性質(zhì)轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)問題(2)三角形中的三角函數(shù)要結(jié)合正弦定理、余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，注意角的范圍對(duì)變形過程的影響已知向量a(cos ，sin )，b(cos x，sin x)，c(sin x2sin ，cos x2cos )，其中0x.(1)若，求函數(shù)f(x)bc的最小值及相應(yīng)x的值；(2)若a與b的夾角為，且ac，求tan 2的值解(1)b(cos x，sin x)，c(sin x2sin ，cos x2cos )，f(x)bccos xsin x2cos xsin sin xcos x2sin xco

10、s 2sin xcos x(sin xcos x)令tsin xcos x，則2sin xcos xt21，且1t.則函數(shù)f(x)關(guān)于t的關(guān)系式為yt2t12，1t，t時(shí)，ymin，此時(shí)sin xcos x，即sin，x，x，x，x.函數(shù)f(x)的最小值為，相應(yīng)x的值為.(2)a與b的夾角為，cos cos cos xsin sin xcos(x)0x，0x，x.ac，cos (sin x2sin )sin (cos x2cos )0，sin(x)2sin 20，即sin2sin 20.sin 2cos 20，tan 2.(時(shí)間：70分鐘)1已知函數(shù)f(x)Asin(x)，xR，且f().(1

11、)求A的值；(2)若f()f()，(0，)，求f()解(1)f()Asin()Asin A，A.(2)由(1)知f(x)sin(x)，故f()f()sin()sin()，(sin cos )(cos sin )，cos ，cos .又(0，)，sin ，f()sin()sin .2(2015江蘇)在ABC中，已知AB2，AC3，A60.(1)求BC的長；(2)求sin 2C的值解(1)由余弦定理知，BC2AB2AC22ABACcos A492237，所以BC.(2)由正弦定理知，所以sin Csin A.因?yàn)锳BBC，所以C為銳角，則cos C .因此sin 2C2sin Ccos C2.3已

12、知向量m(2sin x，cos2 xsin2 x)，n(cos x,1)，其中0，xR.若函數(shù)f(x)mn的最小正周期為.(1)求的值；(2)在ABC中，若f(B)2，BC，sin Bsin A，求的值解(1)f(x)mn2sin xcos xcos2 xsin2 xsin 2xcos 2x2sin.f(x)的最小正周期為，0，T.1.(2)設(shè)ABC中角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.f(B)2，2sin2，即sin1，解得B(B(0，)BC，sin Bsin A，即a，ba，b3.由正弦定理，有，解得sin A.0A，A.C，ca.cacos Bcos.4函數(shù)f(x)cos(x)的部分圖

13、像如圖所示(1)求及圖中x0的值；(2)設(shè)g(x)f(x)f，求函數(shù)g(x)在區(qū)間上的最大值和最小值解(1)由題圖得f(0)，所以cos ，因?yàn)?，故.由于f(x)的最小正周期等于2，所以由題圖可知1x02，故x0，由f(x0)得cos，所以x0，x0.(2)因?yàn)閒coscossin x，所以g(x)f(x)fcossin xcos xcos sin xsin sin xcos xsin xsin xcos xsin xsin.當(dāng)x時(shí)，x.所以sin1，故當(dāng)x，即x時(shí)，g(x)取得最大值；當(dāng)x，即x時(shí)，g(x)取得最小值.5(2015福建)已知函數(shù)f(x)的圖像是由函數(shù)g(x)cos x的圖像

14、經(jīng)如下變換得到：先將g(x)圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)，再將所得到的圖像向右平移個(gè)單位長度(1)求函數(shù)f(x)的解析式，并求其圖像的對(duì)稱軸方程；(2)已知關(guān)于x的方程f(x)g(x)m在0,2)內(nèi)有兩個(gè)不同的解，.求實(shí)數(shù)m的取值范圍；證明：cos()1.方法一(1)解將g(x)cos x的圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)得到y(tǒng)2cos x的圖像，再將y2cos x的圖像向右平移個(gè)單位長度后得到y(tǒng)2cos的圖像，故f(x)2sin x.從而函數(shù)f(x)2sin x圖像的對(duì)稱軸方程為xk(kZ)(2)解f(x)g(x)2sin xcos xsin(x).依題意，sin(x)在0,2)內(nèi)有兩個(gè)不同的解，當(dāng)且僅當(dāng)1，故m的取值范圍是(，)證明因?yàn)?，是方程sin(x)m在0,