2018年全國2卷數(shù)學(xué)

1、絕密啟用前2018 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2作答時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷及草稿紙上無效。3考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共 12小題，每小題 5分，共 60 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目 要求的。1 2i11 2iA43i55B 4 3i55C34i55D3 4i55A9xxB8C5D2已知集合 Ax，y x2 y 23，x Z ，y Z ，則 A 中元素的個(gè)數(shù)為ee3函數(shù) f x 2 的圖像大致為xD 2 54已知向量 a ， b 滿足 | a | 1 ，

2、a b 1 ，則 a (2a b)A4B 3C 2D0225雙曲線 x2 y2 1(a 0,b 0)的離心率為 3 ，則其漸近線方程為 abA y2xB y3xC y2 x2C56在 ABC中， cos， BC 1， AC 5，則 AB25A 4 2B 30C 297為計(jì)算 S 1 21 1323114 99 1008則在空白框中應(yīng)填入ABCD1 ，設(shè)計(jì)了右側(cè)的程序框圖，我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2 的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如 30 7 23在不超過 30 的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于 30 的概率是1A121B14C

3、1151D189在長方體 ABCD A1B1C1D1中， AB BC 1 ，AA13 ，則異面直線 AD1與 DB1 所成角的余弦值為AB 56CD 2210若f (x) cosx sinx在 a,a 是減函數(shù)，則a 的最大值是AB23C4D 11已知 f (x)是定義域?yàn)?( , )的奇函數(shù)，滿足 f(1 x) f(1 x)若 f (1) 2，則f (1) f (2) f (3) f(50)A 50B0C2D50為 3 的直線上，6A 23B12C13D142212已知 F1， F2 是橢圓 C：x2 y2 1(a b 0) 的左，右焦點(diǎn)， A是 C 的左頂點(diǎn)，點(diǎn) P 在過 A 且斜率 ab

4、PF1F2為等腰三角形， F1F2P 120 ，則 C 的離心率為二、填空題：本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20分。13曲線 y 2ln(x 1)在點(diǎn) (0, 0)處的切線方程為x 2y 5 0 ，14若 x, y滿足約束條件 x 2y 3 0，則 z x y 的最大值為x 5 0，15已知 sin cos 1， cos sin 0 ，則 sin（ ） 16已知圓錐的頂點(diǎn)為 S，母線 SA， SB所成角的余弦值為 7， SA與圓錐底面所成角為 45°，若SAB的 8面積為 5 15 ，則該圓錐的側(cè)面積為 三、解答題：共 70 分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17

5、 21 題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第 22、23 為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共 60 分。17（ 12 分）記Sn為等差數(shù)列 an 的前 n項(xiàng)和，已知 a1 7， S3 15（1）求 an 的通項(xiàng)公式；（2）求 Sn ，并求 Sn的最小值18（ 12 分）下圖是某地區(qū) 2000 年至 2016 年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額 y （單位：億元）的折線圖為了預(yù)測該地區(qū) 2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額， 建立了 y與時(shí)間變量 t的兩個(gè)線性回歸模型 根據(jù) 2000 年至 2016 年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量 t 的值依次為 1，2 ， ，17 ）建立模型： y? 30.4 13.5t ；根據(jù)

6、 2010年 至 2016 年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量 t的值依次為 1，2， ，7 ）建立模型： y? 99 17.5t （1）分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2018 年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值；（2）你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由19（ 12 分）設(shè)拋物線 C：y2 4x的焦點(diǎn)為 F ，過F且斜率為 k（k 0）的直線 l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB| 8（ 1）求 l 的方程；（2）求過點(diǎn) A，B且與 C的準(zhǔn)線相切的圓的方程20（ 12 分）如圖，在三棱錐 P ABC中， AB BC 2 2，PA PB PC AC 4，O為 AC的中點(diǎn)1）證明：PO 平面 ABC ；2）若點(diǎn) M

7、 在棱 BC 上，且二面角M PA C 為 30 ，求 PC 與平面 PAM 所成角的正弦值OC21（ 12 分）已知函數(shù) f（x） ex ax2 1）若 a 1 ，證明：當(dāng) x 0時(shí)， f （x） 1；（2）若 f（x）在 （0, ）只有一個(gè)零點(diǎn)，求 a（二）選考題：共 10 分。請考生在第 22、23 題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。 22選修 44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 （10 分）x 2cos ，在直角坐標(biāo)系 xOy 中，曲線 C 的參數(shù)方程為 （ 為參數(shù)），直線 l 的參數(shù)方程為y 4sin x 1 tcos y 2 tsin，t 為參數(shù)）1）求 C 和 l 的直角坐標(biāo)

8、方程；2）若曲線 C截直線 l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為 （1, 2） ，求 l的斜率23選修 45：不等式選講 （10 分） 設(shè)函數(shù) f（x） 5 | x a| | x 2|（1）當(dāng) a 1時(shí)，求不等式 f （x） 0的解集；（2）若 f （x） 1，求 a 的取值范圍參考答案 :一、選擇題1.D2.A3.B4.B5.A6.A7.B8.C9.C10.A11.C12.D二、填空題113. y 2x 14.9 15. 116.40 22三、解答題17. （12 分）解：（ 1）設(shè) an 的公差為 d，由題意得 3a1 3d15.由 a1 7 得 d=2.所以an 的通項(xiàng)公式為 an 2n 9.22（2

9、）由（ 1）得 Sn n2 8n （n 4）2 16.所以當(dāng) n=4時(shí),Sn取得最小值 ,最小值為 -16.18. （12 分 ）解：（ 1）利用模型 ,該地區(qū) 2018 年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為y? 30.4 13.5 19 226.1 （億元 ）.利用模型 ,該地區(qū) 2018 年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為y? 99 17.5 9 256.5 （億元）.（ 2）利用模型得到的預(yù)測值更可靠.理由如下：（）從折線圖可以看出 ,2000 年至 2016 年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)沒有隨機(jī)散布在直線 y 30.4 13.5t 上 下 .這說明利用 2000 年至 2016 年的數(shù)據(jù)建立的線性模型不

10、能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化 趨勢.2010年相對 2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加， 2010年至 2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)位于一 條直線的附近，這說明從 2010 年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢,利用 2010 年至2016 年的數(shù)據(jù)建立的線性模型 y? 99 17.5t可以較好地描述 2010 年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變 化趨勢 ,因此利用模型得到的預(yù)測值更可靠.KS5U（）從計(jì)算結(jié)果看 ,相對于 2016 年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額 220 億元,由模型得到的預(yù)測值 226.1 億元 的增幅明顯偏低 ,而利用模型得到的預(yù)測值的增幅比較合理.說明利用模型

11、得到的預(yù)測值更可靠.以上給出了 2 種理由 ,考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分.19. （12 分 ）解：（ 1）由題意得 F （1,0） ，l 的方程為 y k（x 1）（k 0）.設(shè) A(x1,y1),B(x2,y2) ，y k(x 1),2y 4x得 k 2x2 (2k2 4)x k20.16k2 16 0 ，故 x1 x222k2 4k2所以 | AB| | AF | | BF | (x1 1) (x2 1)24k2 4k2由題設(shè)知4k 2 4k28，解得 k 1（舍去）， k 1.因此 l 的方程為 y x 1.2）由（1）得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為 （3, 2） ，所以 AB的垂

12、直平分線方程為 y 2 （x 3），即 y x 5.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為 （x0, y0），則y0x0 5,(x0 1)2(y0 x0 1)2解得16.x0 3,或 x0 11, y0 2 y0 6.因此所求圓的方程為 (x 3)2 (y 2)2 16或(x 11)2 (y 6)2 144 .20. （12 分 ）解：（ 1）因?yàn)?AP CP AC 4，O為 AC的中點(diǎn)，所以 OP AC，且 OP 2 3.2 連結(jié)OB .因?yàn)?AB BC AC，所以 ABC為等腰直角三角形，21且 OB AC ， OBAC 2.2由OP2 OB2 PB2知 PO OB.由OP OB,OP AC 知 PO 平面

13、 ABC .uuur（ 2）如圖，以 O為坐標(biāo)原點(diǎn)， OB 的方向?yàn)?x 軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系 O xyz.uuur由已知得 O(0,0,0), B (2,0,0), A(0, 2,0),C (0,2,0),P (0,0,2 3,)AP (0,2,2 3),取平面 PAC的法 uuur向量 OB (2,0,0) .uuur設(shè)M(a,2 a,0)(0 a 2)，則 AM (a,4 a,0).uuur uuur 由 AP n 0,AM設(shè)平面 PAM 的法向量為 n (x,y,z) .n ( 3(a 4), 3a, a) ，uur |cos OB, n |n 0 得 2y 2 3z 0 ，可

14、取ax (4 a)y 0所以cos OuuBur,n 2 3(a2 43)(2a 34a)2 a2 .由已知得所以2 3 |a 4|2 3(a 4)2 3a2 a2.解得 a4舍去)，4a.321所以 n (8 3,433, 34).又 uPuCur (0,2,33所以 PC 與平面PAM 所成角的正弦值為12 分)4uuur，所以 cos PC, n解析】( 1)當(dāng) a 1時(shí)， f (x) 1等價(jià)于 (x2 1)e x 1 0 設(shè)函數(shù) g(x) (x2 1)e x 1，則 g'(x)(x2 2x 1)e x (x 1)2e x 當(dāng) x 1時(shí)， g'(x) 0，所以 g(x)在

15、 (0, )單調(diào)遞減而 g(0) 0，故當(dāng) x 0時(shí)， g(x) 0，即 f(x) 12)設(shè)函數(shù) h(x) 1 ax2e x f(x)在(0, )只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng) h(x) 在(0, )只有一個(gè)零點(diǎn)i)當(dāng) a 0時(shí)， h(x) 0， h(x) 沒有零點(diǎn)；(ii)當(dāng) a 0時(shí)， h' ( x) ax(x 2)e x 當(dāng) x (0,2) 時(shí)， h'(x) 0 ；當(dāng) x (2, )時(shí)， h'(x) 0所以 h(x) 在(0, 2)單調(diào)遞減，在 (2, ) 單調(diào)遞增4a故 h(2) 1 2 是 h( x) 在 0, ) 的最小值 e若 h(2) 0 ，e2，h(x)在 (0

16、, )沒有零點(diǎn)；4若 h (2) 0 ，2ee ，h(x)在 (0, )只有一個(gè)零點(diǎn)；4若 h(2) 0 ，2ee ，由于 h(0) 1，所以 h(x)在 (0, 2)有一個(gè)零點(diǎn)，4由( 1)知，當(dāng) x 0時(shí)，ex x2，所以 h(4a) 116a3 16a 3 16a3 1e4a1 (e2a)2 1 (2a)4 1 a0 故h(x) 在(2,4 a) 有一個(gè)零點(diǎn)，因此 h(x)在(0, )有兩個(gè)零點(diǎn)2 綜上， f (x) 在 (0, )只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)， a e 422選修 4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 (10 分)22 解析】(1)曲線 C 的直角坐標(biāo)方程為 x y 14 16當(dāng) cos0 時(shí)， l 的直角坐標(biāo)方程為 y tan x 2 tan ，當(dāng) cos0 時(shí)， l 的直角坐標(biāo)方程為 x 1 (2)將 l 的參數(shù)方程代入 C 的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于 t的方程 22(1 3cos2 )t2 4(2cos sin )t 8 0 因?yàn)榍€ C截直線 l所得線段的中點(diǎn) (1,2)在C內(nèi)，所以有兩個(gè)解，設(shè)為 t1，t2，則 t1 t2 0又由得 t1 t24(2cos sin