小波的幾個術(shù)語及其常見的小波基介紹

1、小波的幾個術(shù)語及常見的小波基介紹本篇是這段時間學(xué)習(xí)小波變換的一個收尾，了解一下常見的小波函數(shù)，混個臉熟，知 道一下常見的幾個術(shù)語，有個印象即可，這里就當是先作一個備忘錄，以后若有需要再深入 研究。一、小波基選擇標準小波變換不同于傅里葉變換，根據(jù)小波母函數(shù)的不同，小波變換的結(jié)果也不盡相同。 現(xiàn)實中到底選擇使用哪一種小波的標準一般有以下幾點：1、支撐長度小波函數(shù) 屮、 ( 0)尺度函數(shù) 惟)和0( 的)支撐區(qū)間，是當時間或頻率趨向于無窮 大時，(t) (3、)機 t)和0( o 從一個有限值收斂到 0 的長度。支撐長度越長，一般需要耗 費更多的計算時間，且產(chǎn)生更多高幅值的小波系數(shù)。大部分應(yīng)用選擇支

2、撐長度為59 之間的小波，因為支撐長度太長會產(chǎn)生邊界問題，支撐長度太短消失矩太低，不利于信號能量的集中。這里常常見到 緊支撐”的概念，通俗來講，對于函數(shù) f(x)，如果自變量 x 在 0 附近的 取值范圍內(nèi)，f(x)能取到值；而在此之外，f(x)取值為 0,那么這個函數(shù) f(x)就是緊支撐函數(shù)， 而這個 0 附近的取值范圍就叫做緊支撐集?？偨Y(jié)為一句話就是除在一個很小的區(qū)域外，函數(shù)為零，即函數(shù)有速降性 ”2、對稱性具有對稱性的小波，在圖像處理中可以很有效地避免相位畸變，因為該小波對應(yīng)的濾 波器具有線性相位的特點。3、消失矩在實際中，對基本小波往往不僅要求滿足容許條件，對還要施加所謂的消失矩 (V

3、anishingMoments )條件，使盡量多的小波系數(shù)為零或者產(chǎn)生盡量少的非零小波系數(shù)， 這樣有利于數(shù)據(jù)壓縮和消除噪聲。消失矩越大，就使更多的小波系數(shù)為零。但在一般情況下， 消失矩越高，支撐長度也越長。所以在支撐長度和消失矩上，我們必須要折衷處理。小波的消失矩的定義為，若J 艸屮df 二 0其中，Y(t)為基本小波，0=pN。則稱小波函數(shù)具有 N 階消失矩。從上式還可以得出，同 任意 n-1 階多項式正交。在頻域內(nèi)表示就是Y(3在3=0 處有高階零點(一階零點就是容許 條件)。4、正則性在量化或者舍入小波系數(shù)時，為了減小重構(gòu)誤差對人眼的影響，我們必須盡量增大小波的光滑性或者連續(xù)可微性。因為

4、人眼對 不規(guī)則”(irregular 誤差比 平滑誤差更加敏感。換句話說，我們需要強加正則性” (regularity)條件。也就是說正則性好的小波，能在信號或圖像的重構(gòu)中獲得較好的平滑效果，減小量化或舍入誤差的視覺影響。但在一般情況下，正則性好，支撐長度就長，計算時間也就越大。因此正則性和支撐長度上，我們也要有所權(quán)衡。消失矩和正則性之間有很大關(guān)系，對很多重要的小波(比如，樣條小波，Daubechies小波等)來說，隨著消失矩的增加，小波的正則性變大，但是，并不能說隨著小波消失矩的 增加，小波的正則性一定增加，有的反而變小。5、相似性選擇和信號波形相似的小波，這對于壓縮和消噪是有參考價值的。二

5、、常見的小波基以下列出的 15 種小波基是 Matlab 中支持的 15 種。小波函數(shù)Haar Daubechies Biorthog onal CoifletsSymletsMorletMexica nHatMeyer小波縮寫名haardbbiorcoifsymmorlmexhmeyr表示形式haardb NbiorNr.Ndcoif Nsym Nmorlmexhmeyr舉例haardb3bior2.4coif3sym2morlmexhmeyr正交性有有無有有無無有雙正交性有有有有有無無有緊支撐性有有有有有無無無連續(xù)小波變換可以可以可以可以可以可以可以可以離散小波變換可以可以可以可以可以不可

6、以不可以可以但無 FWT支撐長度12N-1重構(gòu)：2Nr+1分解:2Nd+16N-12N-1有限長度有限長度有限長度濾波器長度22NMax(2Nr,2Nd)+26N2N-4, 4-5, 5-8, 8對稱性對稱 近似對稱不對稱近似對稱近似對稱對稱對稱對稱小波函數(shù)消失矩階數(shù)1NNr-12NN-尺度函數(shù)消失矩階數(shù)-2N-1-小波函數(shù)GausDmeyerReverseBiorCgauCmorFbspSha n小波縮寫名gausdmeyrbioNr.Ndcgaucmorfbspsha n表示形式gaus NdmeyrbioNr.Ndcgau Ncmorfbspsha n舉例gaus3dmeyrbio2.4

7、cgau3cmorfbspsha n緊支撐正交性無無無無無無無緊支撐雙正交性無無有無無無無連續(xù)小波變換可以不可以可以不可以不可以不可以不可以離散小波變換不可以可以可以不可以不可以不可以不可以對稱性對稱對稱對稱對稱對稱對稱對稱小波函數(shù)消失矩階數(shù)消失矩階數(shù)1、Haar 小波Haar，一般音譯為 哈爾”Haar 函數(shù)是小波分析中最早用到的一個具有緊支撐的正交小波函數(shù)，也是最簡單的一個小波函數(shù)，它是支撐域在t 0,1范圍內(nèi)的單個矩形波。Haar 小波在時域上是不連續(xù)的，所以作為基本小波性能不是特別好。在 Matlab 中輸入命令 waveinfo(haar)可得到如下信息：Gen eral chara

8、cteristics: Compactlysupportedwavelet, the oldest and the simplestwavelet.scali ng function phi = 1 on 0 1 and 0otherwise.wavelet function psi = 1 on 0 0.5, = -1o n 0.5 1 and 0 otherwise.Family尺度函數(shù)Nr-1HaarShort n amehaarExampleshaar is the same as db1Orthogo nalyesBiorthogo nalyesCompact supportyesp

9、ossibleCWTpossible12haar is not con ti nu ousyesNumber of vanishingmome nts for psi12、Daubechies(dbN)小波(緊支集正交小波)Daubechies, 一般音譯為多貝西”。Daubechies 小波是由世界著明的小波分析學(xué)者Ingrid Daubechies（ 一般音譯為英格麗 多貝西）構(gòu)造的小波函數(shù)，我們一般簡寫成dbN，N 是小波的階數(shù)。小波函數(shù)屮和尺度函數(shù) 膽）中的支撐區(qū)為 2N-1 , （t）的消失矩為 N。dbN 小波具有較好的正則性，即該小波作 為稀疏基所引入的光滑誤差不容易被察覺，使得

10、信號重構(gòu)過程比較光滑。dbN 小波的特點是隨著階次（序列 N ）的增大消失矩階數(shù)越大，其中消失矩越高光滑性就越好，頻域的局部化 能力就越強，頻帶的劃分效果越好，但是會使時域緊支撐性減弱，同時計算量大大增加，實時性變差。另外，除 N=1 夕卜，dbN 小波不具有對稱性（即非線性相位），即在對信號進行 分析和重構(gòu)時會產(chǎn)生一定的相位失真。dbN 沒有明確的表達式（除了 N=1 夕卜，N=1 時即為Haar 小波）。在 Matlab 中輸入命令 waveinfo（db）可得到如下信息：Gen eral characteristics: Compactlysupportedwavelets with e

11、xtremal phase and highestnu mber of vanishing mome nts for a give nDWTSupport widthFilters len gthRegularitySymmetrysupport width. Associated scali ng filtersaremin imu m-phase filters.FamilyDaubechiesShort n amedbOrder NN strictly positive in tegerExamplesdb1 or haar, db4, db15Orthogo nalyesBiortho

12、go nalyesCompact supportyesDWTpossibleCWTpossibleSupport width2N-1Filters len gth2NRegularityabout 0.2 N for large NSymmetryfar fromNumber of vanishing mome nts for psiN3、Symlet(symN)小波(近似對稱的緊支集正交小波)Symlet 小波函數(shù)是 IngridDaubechies 提出的近似對稱的小波函數(shù)，它是對 db 函數(shù)的一種改進。Symlet 小波系通常表示為symN (N=2,3,8)。symN 小波的支撐范圍為

13、2N-1，消失矩為 N，同時也具備較好的正則性。該小波與dbN 小波相比，在連續(xù)性、支集長度、濾波器長度等方面與 dbN 小波一致，但 symN 小波具有更好的對稱性，即一定程度上能夠減 少對信號進行分析和重構(gòu)時的相位失真。在 Matlab 中輸入命令 waveinfo(sym)可得到如下信息：Gen eral characteristics: Compactlysupported wavelets withleast asymmetry and highest nu mber ofva nishing mome ntsfor a give n support width.Associated

14、 scali ng filters are n earl in ear-phase filters.FamilySymletsShort n amesymOrder NN = 2, 3,.Examplessym2, sym8Orthogo nalyesBiorthogo nalyesCompact supportyesDWTpossibleCWTpossibleFilters length2NRegularitySymmetryn ear fromNumber of vanishingmome nts for psiN4、Coiflet(coifN)小波根據(jù) R.Coifman 的要求，Dau

15、bechies 構(gòu)造了 Coiflet 小波，它具有 coifN (N=1,2,3,4,5)這一系列。Coiflet 的小波函數(shù) 屮的 2N 階矩為零，尺度函數(shù)機 t)的 2N-1 階矩為零。Y(t)和0(t)的支撐長度為 6N-1。Coiflet 的 W)和具有比 dbN 更好的對稱性。在 Matlab 中輸入命令 waveinfo(coif)可得到如下信息：Gen eral characteristics: Compactlysupportedwavelets with highest nu mber of vanishingmome nts for both phi and psi fo

16、r a give nsupport width.FamilyCoifletsShort n amecoifOrder NN = 1,2, ., 5Support width2N-1Examplescoif2, coif4Orthogo nalyesBiorthogo nalyesCompact supportyesDWTpossibleCWTpossibleSupport width6N-1Filters len gth6NRegularitySymmetryn ear fromNumber of vanishingmome nts for psi2NNumber of vanishingmo

17、me nts for phi2N-15、Biorthogonal(biorNr.Nd)小波為了解決對稱性和精確信號重構(gòu)的不相容性，引入了雙正交小波，稱為對偶的兩個小波分別用于信號的分解和重構(gòu)。雙正交小波解決了線性相位和正交性要求的矛盾。由于它有線性相位特性，所以主要應(yīng)用在信號與圖像的重構(gòu)中。通常的用法是采用一個函數(shù)進行分解，用另外一個小波函婁進行重構(gòu)。雙正交小波與正交小波的區(qū)別在于正交小波滿足=Sj,kd,m,也就是對小波函數(shù)的伸縮和平移構(gòu)成的基函數(shù)完全正交，而雙正交小波滿足的正交性為=dk，也就是對不同尺度伸縮下的小波函數(shù)之間有正交性，而同尺度之間通過平移得到的小波函數(shù)系之間沒有正交性，所以

18、用于分解與重構(gòu)的小波不是同一個函數(shù), 個小波生成。該小波雖然不是正交小波，但卻是雙正交小波，具備正則性，同時也是緊支撐的，其 重構(gòu)支撐范圍為 2Nr+1，分解支撐范圍為 2Nd+1。biorNr.Nd 小波的主要特征表現(xiàn)在具有線 性相位特性。一般來說為了獲得線性相位，需要降低對于正交性的局限，為此該雙正交小波 降低了對于正交性的要求， 保留了正交小波的一部分正交性，使小波攻得了線性相位和較短支集的特性。在 Matlab 中輸入命令 waveinfo(bio 門可得到如下信息：Gen eral characteristics: Compactly supportedbiorthogo nal s

19、pli ne wavelets for whichsymmetry and exact recon struct ion are possiblewithFIR filters (in orthog onal case it isimpossible except for Haar).Nr = 3 , Nd = 1,3, 5,7, 9Nr = 4 , Nd = 4Nr = 5 , Nd = 5Nr = 6 , Nd = 8相應(yīng)的濾波器也不能由同一FamilyBiorthogo nalShort namebiorOrderNr,NdNr = 1 , Nd = 1,3, 5r forrec on

20、structio nNr = 2 , Nd = 2, 4, 6,8d fordecompositi onExamplesbior3.1,bior5.5Orthogo nalnoBiorthogo nalyesCompact supportyesDWTpossibleCWTpossibleSupport width2Nr+1 forrec., 2Nd+1 for dec.Filters len gthmax(2Nr,2Nd)+2 but esse ntiallybiorNr.Ndldlreffective len gtheffective len gthof Lo_Dof Hi_Dbior1.1

21、22bior1.362bior1.5102bior2.253bior2.493bior2.6133bior2.8173bior3.144bior3.384bior3.5124bior3.7164bior3.9204bior 4.497bior5.5911bior6.81711Regularity forpsirec.Nr-1 and Nr-2 at theknotsSymmetryyesNumberof vanishingmome nts for psi dec.NrRemark: bior 4.4,5.5 and 6.8 are such that recon structio n andd

22、ecompositi on fun cti ons and filters are close in value.6、ReverseBior 小波由 Biorthogonal 而來，因此兩者形式很類似。在 Matlab 中輸入命令 waveinfo(bior)可得到如下信息:Compact supportyesDWTpossibleGen eral characteristics: Compactly supportedbiorthogo nal spli ne wavelets for whichsymmetry and exact recon struct ion are possible

23、withFIR filters (in orthog onal case it isimpossible except for Haar).FamilyBiorthogo nalShort namerbioOrderNd,NrNd = 1 , Nr = 1,3, 5r forreco nstructio n Nd = 2 , Nr = 2, 4, 6,8d fordecompositio nNd = 3 , Nr = 1,3, 5,7, 9Nd = 4 , Nr = 4Nd = 5 , Nr = 5Nd = 6 , Nr = 8Orthogo nalBiorthogo nalExamplesr

24、bio3.1,rbio5.5noyesCWTpossibleSupport width2Nd+1 forrec., 2Nr+1 for dec.Filters len gth max(2Nd,2Nr)+2 but esse ntiallyrbioNd.Nrlrldeffective len gtheffective lengthof Hi_Dof Lo_Drbio1.122rbio1.362rbio1.5102rbio2.253rbio2.493rbio2.6133rbio2.8173rbio3.144rbio3.384rbio3.5124rbio3.7164rbio3.9204rbio4.4

25、97Orthogo nalyesrbio5.5rbio6.81711Regularity forpsirec.Nd-1 and Nd-2 at thek notsSymmetryyesNumberof vanishingmome nts for psi dec. NdRemark: rbio 4.4,5.5 and 6.8 are such that recon structio n anddecompositi on fun cti ons and filters are close in value.7、Meyer 小波Meyer 小波的小波函數(shù)和尺度函數(shù)都是在頻率域中進行定義的，它不是緊

26、支撐的，但 它的收斂速度很快。在 Matlab 中輸入命令 waveinfo(meyr)可得到如下信息：Gen eral characteristics: Infin itely regular orthogo nal wavelet.FamilyMeyerShort namemeyr11Orthogo nalyesBiorthogo nalyesBiorthogo nalyesCompact support noDWTpossiblebut without FWTFIR based approximati on provides FWTCWTpossibleSymmetry& Dme

27、yer 小波Dmeyer 即離散的 Meyer 小波，它是 Meyer 小波基于 FIR 的近似，用于快速離散小波 變換的計算。在 Matlab 中輸入命令 waveinfo(dmey)可得到如下信息:Defin iti on: FIR based approximati on of theMeyer Wavelet.FamilyDMeyerShort n amedmeySupport widthinfiniteEffective support-8 8Regularityin defi nitely derivableyesDWTpossibleCWTpossible9、Gaussian 小

28、波Gaussian 小波是高斯密度函數(shù)的微分形式，它是一種非正交與非雙正交的小波，沒有 尺度函數(shù)。在 Matlab 中輸入命令 wave in fo(gaus)可得到如下信息：Definition: derivatives of the Gaussianprobability den sity function.gaus(x ,n) = Cn * diff(exp(-xA2), n) wherediff deno testhe symbolic derivative and where Cn issuch thatthe 2-norm of gaus(x ,n) = 1.FamilyGauss

29、ia nShort n amegausWavelet n amegaus nOrthogo nalnoCompact supportyesBiorthogo nalnoSymmetryn eve n = Symmetry n odd = An ti-Symmetry10、MexicanHat(mexh)小波Mexican Hat 函數(shù)為 Gauss 函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。因數(shù)它的形狀像墨西哥帽的截面，所以我們稱這個函數(shù)為墨西哥草帽函數(shù)。它在時域和頻率都有很好的局部化，但不存在尺度函數(shù),所以此小波函數(shù)不具有正交性。在 Matlab 中輸入命令 waveinfo(mexh)可得到如下信息：Definit

30、ion: second derivative of theGaussianprobability den sity functionmexh(x) = c * exp(-xA2/2) * (1-xA2)where c = 2/(sqrt (3) *piAl/4)Compact supportnoDWTnoCWTpossibleSupport widthinfiniteEffective support-5 5yesFamilyMexica nhatShort n amemexhOrthogo nalnoBiorthogo nalnoCompact supportnoDWTnoCWTpossib

31、leSupport widthinfiniteEffective support-5 5Symmetryyes11、Morlet小波Morlet 小波是高斯包絡(luò)下的單頻率正弦函數(shù)，沒有尺度函數(shù)，是非正交分解。在 Matlab 中輸入命令 waveinfo(morl)可得到如下信息：Defin iti on:morl(x) = exp(-xA2/2) * cos(5x)FamilyMorletShort n amemorlOrthogo nalnoBiorthogo nalnoCompact supportnoDWTnoCWTpossibleSupport widthinfiniteEffect

32、ive support-4 4Symmetryyes12、ComplexGaussian 小波屬于一類復(fù)小波，沒有尺度函數(shù)。在 Matlab 中輸入命令 waveinfo(cgau)可得到如下信息:Definition: derivatives of the complexGaussianfun cti oncgau(x) = Cn * diff(exp(-i*x)*exp(-xA2), n) where diff deno testhe symbolic derivative and where Cn is aeon sta ntFamilyComplex Gaussia nShort n

33、amecgauWavelet n amecgau nOrthogo nalnoBiorthogo nalnoCompact supportnoDWTnoComplex CWTpossibleSupport widthinfiniteSymmetryyesn eve n = Symmetryn odd = An ti-Symmetry13、ComplexShannon Wavelets : shan在 Matlab 中輸入命令 waveinfo(shan)可得到如下信息：Defin iti on: a complex Shannon wavelet issha n(x) =FbA0.5*si n

34、c(Fb*x)*exp(2*i*pi*Fc*x)depe nding on two parameters:Fb is a ban dwidth parameterFc is a wavelet cen ter freque ncyThe con diti on Fc Fb/2 is sufficie nt toe nsure thatzero is not in the freque ncy support in terval.FamilyComplex ShannonShort n amesha nWavelet n amesha nFb-FcOrthogo nalnoBiorthogo nalnoCompact supportnoDWTnocomplex CWTpo