等差數(shù)列的性質(zhì)以及常見題型

1、等差數(shù)列的性質(zhì)以及常見題型上課時間:上課教師:上課重點(diǎn)：掌握等差數(shù)列的常見題型，準(zhǔn)確的運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)上課規(guī)劃：掌握等差數(shù)列的解題技巧和方法一等差數(shù)列的定義及應(yīng)用1. 已知數(shù)列a ?的通項(xiàng)公式為an =-3n 2，試問該數(shù)列是否為等差數(shù)列2. 已知：丄丄1成等差數(shù)列，求證：也成等差數(shù)列x y zx y z思考題型；已知數(shù)列 匕？的通項(xiàng)公式為an = pn2 qn( P4 R且p,q為常數(shù))(1)當(dāng)p和q滿足什么條件時，數(shù)列 ；是等差數(shù)列？求證：對于任意實(shí)數(shù)p和q，數(shù)列玄! -a是等差數(shù)列等差數(shù)列的性質(zhì)考察(一)熟用 aai - (n _1)d =am (n 一 m)d , d 二勺 込問題

2、n m（注意：知道等差數(shù)列中的任意項(xiàng)和公差就可以求通項(xiàng)公式）1、 等差數(shù)列中，a3 =50，a30，則 a.2、等差數(shù)列也門中，a3 a24， a3，貝卩比二.3、已知等差數(shù)列aj中，a2與a6的等差中項(xiàng)為5 , a?與a?的等差中項(xiàng)為7 ,貝 S an 二 .4、 一 個等差數(shù)列中 ai5 = 33 , a25 = 66，則 a35 =.5、已知等差數(shù)列右J中，ap =q , aq = p，則a =.（二）公差d的巧用（注意：等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)）1、已知等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為15，偶數(shù)項(xiàng)之和為30，則 其公差等于2、等差數(shù)列耳耳赳,山,a.的公差為d，則數(shù)列厶印雄理,山,5%是（A

3、 .公差為d的等差數(shù)列B .公差為5d的等差數(shù)列C .非等差數(shù)列D .以上都不對3、等差數(shù)列an中，已知公差A(yù). 170B. 150d冷'且印”川“6。'則L山雖C. 145D. 120m 1nn 1C D n 1mm 123，公差為整數(shù)的等差數(shù)列中，前 6項(xiàng)均為正數(shù)，從第75. 一個首項(xiàng)為 項(xiàng)起為負(fù)數(shù)，則公差d為（）4. 已知x=y，且兩個數(shù)列x,a1,a2 am, y與xQb,bn, y各自都成等差數(shù)列, 則豈業(yè)等于b2 dA -A -2B -3C -4D -5n（三）m n =s t二 am aas - at 性質(zhì)的應(yīng)用（注意：角標(biāo)的數(shù)字）1. 等差數(shù)列 iaj 中，若

4、a3 + a4 + a5 + a6 + a? = 450，則 a? + =。2. 等差數(shù)列a*中，若 a4 + a5 七6 + a? = 450 ,則 Sio =。3. 等差數(shù)列a*中，若§3 = 20。則a? =。4. 等差數(shù)列aj中，若aii =10，則S21 =。5. 在等差數(shù)列 洶？中 a3 - aii =40，則 a4 -a5 a6 a? a$ -比術(shù)二。6. 等差數(shù)列aj中,q +a? +a3 =-24©8 +ai9 +a20 = 78，貝卩 S20 =。7. 在等差數(shù)列l(wèi)aj中，a。P =12，那么它的前8項(xiàng)和&等于。8. 如果等差數(shù)列:an / 中，

5、a3 a4 a5 =12，那么 aia llja?二。9. 在等差數(shù)列l(wèi)aj中，已知a1 a2 as a4 a 20 ,那么a3等于。10. 等差數(shù)列faj中,它的前5項(xiàng)和為34,最后5項(xiàng)和146,所有項(xiàng)和為234,則a? =.11. 已知數(shù)列 an的前n項(xiàng)和Sn=n2+3n+1，貝卩a1+a3+a5+a21 =。12. an為等差數(shù)列，a1 + a2+ a3=15 , an+ an-1 + a n-2=78, Sn =155，則 n=（四）方程思想的運(yùn)用（注意：聯(lián)立方程解方程的思想）1. 已知等差數(shù)列an中，S3=21 , S6=24，求數(shù)列an的前n項(xiàng)和&2.已知等差數(shù)列an中，a

6、3a7 - -16,a4 a0,求數(shù)列an的前n項(xiàng)和S.（五）Sn,S2n -&鳥.-S2n也成等差數(shù)列的應(yīng)用1. 等差數(shù)列前m項(xiàng)和是30 ,前2m項(xiàng)和是100 ,則它的前3m項(xiàng)和。2. 等差數(shù)列an的前n項(xiàng)的和為40，前2 n項(xiàng)的和為120，求它的前3n項(xiàng)的和為。3. 已知等差數(shù)列an中，S3 =4也=12,求05的值4. 已知等差數(shù)列an中，a1 a2 a2, a§a4,則a- a 的值5. a1, a2 , a3, a2n+1為等差數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)和為60，偶數(shù)項(xiàng)的和為45，求該數(shù)列的項(xiàng)數(shù).6. 若一個等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為34 ,最后3項(xiàng)的和為146 ,且所有項(xiàng)的和為390

7、，則這個數(shù)列有。7. 在等差數(shù)列an中，S4 = 1, S8 = 3,則a7 + a8 + a19 + a2o的值是。（六）an二乩的運(yùn)用2n 11. 設(shè)&和人分別為兩個等差數(shù)列 玄心的前n項(xiàng)和，若對任意nN*，都有J 71貝y 業(yè)=。Tn 4n 27 'bn2. 設(shè)Sn和Tn分別為兩個等差數(shù)列 VbJ的前n項(xiàng)和，若對任意n N*，都有弘二生1，則魚二。Tn 4n -3 'b73. 有兩個等差數(shù)列G ： , 10匚,其前n項(xiàng)和分別為Sn , Tn ,若對n N .有包二一2Tn 2 n +3成立，求匹=（）。b5（七）an與Sn的關(guān)系問題；1. 數(shù)列aj的前n項(xiàng)和q=3

8、n n2 ,則a. =2. 數(shù)列aj的前n項(xiàng)和q = n2 + n+1，則a“ =3. 數(shù)列aj的前n項(xiàng)和Sn= n2n2，則a“ =4. 數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn= 3n2+4n，則an =5. 數(shù)列仙的前n項(xiàng)和Sn= 2n -1，則an =6. 數(shù)列4n 2的前n項(xiàng)和Sn=.7. 數(shù)列 Mn 8的前n項(xiàng)和Sn=.8. 數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn= 8n2-10.則a“ =（八）巧設(shè)問題；一般情況，三個數(shù)成等差數(shù)列可設(shè)：a - d,a,a d ；四個數(shù)成等差數(shù)列可設(shè):a -3d, a-d,a d ,a 3d .1. 三個數(shù)成等差數(shù)列，和為18,積為66,求這三個數(shù).2. 三個數(shù)成等差數(shù)列，和為18

9、,平方和為126,求這三個數(shù).3.四個數(shù)成等差數(shù)列，和為26,第二個數(shù)和第三個數(shù)的積為40,求這四個數(shù).4. 四個數(shù)成等差數(shù)列，中間兩個數(shù)的和為13,首末兩個數(shù)的積為22,求這四 個數(shù).5. 個等差數(shù)列的前12項(xiàng)之和為354，前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)與奇數(shù)項(xiàng)之比為 32: 27,求公差（九）.最值問題:;1.在等差數(shù)列an中，ai =80,d = -6,求&的最大值.2.在等差數(shù)列%中，務(wù)=80,d =-5,求Sn的最大值.3.在等差數(shù)列an中,a -80, d =6,求S.的最小值.4.在等差數(shù)列an中4 - -80,d = 5,求Sn的最小值.5.等差數(shù)列:an /中，ai .0,S4二S

10、9，則n的取值為多少時？ &最大6. 在等差數(shù)列an中，a4 = - 14,公差d = 3,求數(shù)列務(wù)的前n項(xiàng)和Sn的最小值7. 已知等差數(shù)列an中ai=13且S3二囪,那么n取何值時，6取最大值.8. 在等差數(shù)列an中，若a a9，公差dv0,那么使其前n項(xiàng)和Sn為最大 值的自然數(shù)n的值是.（十）累加法的應(yīng)用裂項(xiàng)相消1.已知數(shù)列an滿足:an -and =2n 1, ai =1,求 an.2.已知數(shù)列an滿足:a. i -a. =4n-1,ai =1,求 a.3.已知數(shù)列an滿足:an 1 a* = -2n T, a1 = 4，求 a?。.廣、一r1、4.在數(shù)列an中,a1 =2,an

11、1 = an ln(1 -)，求 an.n(十一)由an求an的前n項(xiàng)和1.數(shù)列耳的前 n 項(xiàng)和 Sn =n2 _4n，則 |印 | +| a? | +| + |印0 |=2.數(shù)列a 的前n項(xiàng)和5 =n2 -4n , b| an，則數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn =3.數(shù)列:an / 中，ai=8,a4=2，滿足 an 2 -2an 1 a 0, n N .(1 )求通項(xiàng)a ； (2 )設(shè)Sn =剛十包|叩門an|，求Sn ；(3)設(shè) bn1, n N*,Tn 二 bl b | bn, n N* ,是否存在最大的整數(shù) m ,n(12an )使得對于任意nN*，均有Tn 成立，若有求之，若無說明理由.3

12、2(十二)由Sn得an的題型、直接法1.已知正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn , a|，且滿足2Sn2Sn = 3a. /(n N)。(1) 求數(shù)列an通項(xiàng)公式an ；(2) 求證：當(dāng) n_2時，L < 9。a? a3 a4a* 4倒數(shù)法1.已知數(shù)列3中，an"ai=i，時=血(n",求a2.已知數(shù)列a/的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足ai =2，an - 2SnSn”0(n _2)(錯誤！未找到引用源誤！未找到引用源。)判斷斗右是否為等差數(shù)列？并證明你的結(jié)論；(錯 求Sn和an ；(錯誤！未找到引用源22 2 1 1）求證：Si S2Sn -4n。3.已知函數(shù)f(x)二 (a,b為常數(shù)，a = 0)滿足f(2)=d且f(x)=x有唯 ax +b解。(1 ) 求 f(x)的解析式(2 )如記 Xn=f(Xn 二)，且為=1 , n 二 N "，且 Xn。數(shù)列與函數(shù)1.已知二次函數(shù)y二f(x) f(x) =3x2 -2x，數(shù)列a.的前n項(xiàng)和為S，點(diǎn)(n, Sn)( n N )均在函數(shù)y = f (x)的圖像上。()求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(D)設(shè)bn ,Tn是數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，求使得T：對所有L N “都成anan+20立的最小正整數(shù)m;倒序相加2.設(shè)函數(shù)f