圓錐曲線定值結論.

1、橢圓中的一組“定值”命題圓錐曲線中的有關“定值”問題，是高考命題的一個熱點，也是同學們學習中的一個難點。筆者在長時間的教學實踐中，以橢圓為載體，探索總結出了橢圓中一組“定值”的命題，當然屬于瀚宇之探微，現(xiàn)與同學們分享。希望對同學們的學習有所幫助，也希望同學們能在雙曲線、拋物線等的后續(xù)學習中，能夠利用類比的方法，探索總結出相關的結論。命題 1 經過原點的直線l 與橢圓 x2y21(a b 0) 相交于 M、N兩點， P 是橢圓上的動點，a2b2直線 PM、 PN的斜率都存在，則b 2k PM kPN 為定值2 .a證明：設 P( x0 , y0 ) ，M (x1 , y1 ) ，N (x1 ,y

2、1 ) ，則 kPMk PN而點 P、 M 均在橢圓 x2y21上，故 y02b2 (1x2) ， y122202abay0y1y0y1y02y12x0x1x0x1x02x12（* ），2b2 (1x12 ) ，代入（ * ）便可得到 akPMkPNb2a2 .練習： 已知 A、B 分別是橢圓 x2y 21 的左右兩個頂點， P 是橢圓上異于A、B 的任意一點，169則 kPAkPB.（答案：9 ） .16命題 2設 A、B、 C是橢圓 x 2y21(ab0) 上的三個不同點，B、 C關于 x 軸對稱，直線a 2b2AB、 AC分別與 x 軸交于 M、N 兩點，則 OM ON 為定值 a2 .

3、證明：設 A ( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) ， C(x2 ,y2 ) ，則直線 AB的方程為 yy1y1y2(xx1 ) ，x1x2令 y0得 M點的橫坐標 xMy1x1x2x1x1 y2x2 y1 ，y1y2y2y1同理可得 N 點的橫坐標 xNx1 y2x2 y1 ，于是 OM ON xM xNx12 y22x22 y12 ，y2y1y22y12x12y12x12 y22y12 y222由于a2b21a 2b 2y2x12 y22x22 y1222，222222a2y2y1x2y21x2 y1y2 y1y12a2b2a 2b 2因此有 OMONxMxNx12 y22

4、x22 y12a2.y22y12練習：設 B1，B2x2y 21的上下兩個頂點，P 是橢圓上異于 B1， B 2 的動點，分別是橢圓1625直線 PB1， PB 2 分別交 x 軸于 M、 N 兩點，則 OM ON.（答案： 25） .命題 3過橢圓 x 2y 21(a b0) 上一點 P(x0 , y0 ) 任意作兩條斜率互為相反數的直線交a 2b 2橢圓于 M、 N 兩點，則直線MN的斜率為定值 b 2 x0 .a2 y0證明：設直線PM 的方程為 y y0k ( xx0 ) ，則直線PN 的方程為 yy0k( xx0 ) ，聯(lián) 立yy0k( x x0 )x2y 21組 成 方 程 組 ，

5、 消 去 y可 得和b2a2( a 2k 2b2 ) x22a 2 k ( y0kx0 ) x a 2 ( y0kx0 ) 2a 2 b20. 設 M (x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ， 則x1x02a2 k ( y0kx0 )， 可 得(a 2k 2b2 ) x02a 2ky0，同理可得a 2k 2b2x1a 2 k 2b 2( a2 k 2b 2 ) x02a 2 ky02(a2 k 2b2 )x04a 2 ky0x2a2 k 2b2， 則 x1x2a 2 k 2b 2， x1x2a 2 k 2b2， 于是y1y2k( x1x0 )y0k( x2 x0 )y0k( x1

6、x2 )2kx04b 2kx 0， 故直線 MN的斜率a 2 k2b2為y1y2b 2 x0.x1x2a 2 y0練習：已知橢圓 x2y 21，過點 A (2, 3 ) 作兩條傾斜角互補且不平行于坐標軸的直線，162分別交橢圓于P、 Q兩點，則直線PQ的斜率為.（答案：3） .12命題4 分別過橢圓 x 2y 21( ab0) 上兩點 P(x0 , y0 ), Q ( x0 , y0 ) 作兩條斜率互為相反數a 2b 2的直線交橢圓于M、 N 兩點，則直線MN 的斜率為定值b2 (x0x0 ).a2 ( y0y0 )證明： 設直線 PM的方程為 yy0k ( xx0 ) ，聯(lián)立yy0k(x x

7、0 )和x2y21 組成方程組，消去ya2b 2可得 (a 2 k 2b 2 ) x 22a 2k ( y0kx0 )x a 2 ( y0kx0 ) 2a2 b20 . 設 M ( x1 , y1 ), N (x2 , y2 ) ，則x1x02a2 k ( y0kx0 )，可得 x1(a 2 k 2b2 ) x02a 2ky 0 ，a 2k 2b2a 2 k 2b2同理可得 x2(a 2k 2b 2 ) x02a 2 ky0，則 x1x2(a 2 k 2b2 )( x0x0 )2a 2 k( y0 y0 ) ，a 2 k 2b 2a2 k 2b2x1x2(a 2k 2b 2 )( x0x0 )

8、 2a 2 k( y0y0 )，a 2k 2b 2于是有y1y2k( x1x0 ) y0k( x2x0 ) y0k (x1x2 ) k( x0x0 ) y0y02b 2 k( x0x0 ) (a 2 k 2b2 )( y0y0 )因為點x02y021，a 2 k 2b 2.P、 Q 都在橢圓上，所以2b 2ax02y021 ，兩式相減可得y0y0b2 (x0x0 ) ，同理可得y1y2b2 ( x1x2 ) ，令a2b 2x0x0a 2 ( y0y0 )x1x2a 2 ( y1y2 )y0y0tb 2 ( x0x0 )，x0x0ta 2 ( y0y0 )，則y1y2b2 ( x1x2 )b 2

9、 ( a2 k 2b 2 )( x0x0 ) 2a 2 k( y0y0 )，將、代入便有x1x2a2 ( y1y2 )a 2 2b 2 k( x0x0 ) (a 2 k 2b2 )( y0y0 )y1y2b2 ( x0x0 )b 2 ( x0x0 )x1x2a 2 ( y0，即直線 MN的斜率為定值a 2 ( y0.y0 )y0 )練習： 分別過橢圓 x 2y 21上兩點 A (2,2), B(6,1) 作兩條傾斜角互補且不平行于坐標84軸的直線，交橢圓于另外兩點P、Q，則直線 PQ的斜率為.（答案：623222與圓錐曲線焦點弦相關的一個優(yōu)美結論眾所周知，焦點弦的性質能夠體現(xiàn)圓錐曲線幾何特征，

10、是研究圓錐曲線時的主要對象之一，在歷屆高考中也占有重要的地位筆者根據焦點弦所在直線的傾斜角、焦點分焦點弦所成的比及圓錐曲線的離心率e 之間的關系得出一個優(yōu)美結論，并結合高考試題彰顯了它的重要作用，希望能和讀者共勉一結論及證明定理已知焦點在x 軸上的圓錐曲線C ，經過其焦點F 的直線交曲線于A 、 B 兩點，直線的傾斜角為， AFFB ，則曲線 C 的離心率 e 滿足等式：ecos1 1下面以橢圓為例證明之2 ）.以AB證明： 如圖 1，弦 AB 過橢圓的左焦點F ，左準線為 l ，由 AFFB可設 |AF |t ， | FB | t ( t0 ) ，當直線 AB 的傾斜角為銳角時 ，如圖（ a

11、 ），顯然1 ，分別過 A、B 兩點作 AA1l 、 BB1l ，垂足分別為A1、B1 ，過 B點作 BDAA1 ，由橢圓的第二定義可得ADAA1BB1AFBF(1)teee，在 RtADB 中， cosAD(1)t1 ，故 ecos1 ，ABe(1)te( 1)1如果點 A 、 B 的位置互換，則01，則有 ecos11yyllA1DAA1AB1FOxFOxBB1DB(a)(b)圖 1當直線 AB 的傾斜角為鈍角時 ，如圖（ b ），顯然01，同理在 Rt ADB 中，可得 cos(BD(1)t1，故 ecos1 ，)ABe(1)te(1)1如果點 A 、 B 的位置互換，則1，則有 eco

12、s11當直線 AB 的傾斜角為直角時 ，顯然 cos0 且1 ，等式成立；當直線 AB 的傾斜角0 時，弦 AB 為橢圓長軸，顯然易得原等式也成立綜上，在橢圓中等式ecos1 恒成立證畢1當圓錐曲線 C 為雙曲線（如圖2）時，同樣可以證明等式ecos1 成立；當曲線 C 為拋1物線（如圖 3）時，離心率 e 1，等式簡化為cos1 （其中0 ）1總之，在任意圓錐曲線中， 對于其焦點弦所在直線的傾斜角，焦點分對應弦的比值（0 ），總有等式 ecos1 成立，它將看似沒有必然聯(lián)系的三個量有機地結合在一起，顯得如此和諧、1優(yōu)美，更加體現(xiàn)了數學的魅力ylylA1DD AAA1FxOFxOB1 BB1B

13、圖 2圖 3由于在解決具體的數學問題中，大多遇到的焦點弦AB 的斜率 k 是存在且不為0的，所以，根據直線的傾斜角和斜率的關系，不難得出：CFABAB推論 1 已知焦點在 x 軸上的圓錐曲線，經過其焦點的直線交曲線于兩點，直線、的斜率為 k （ k 0 ）， AF FB，則曲線 C 的離心率 e 滿足等式e1 k 21 1當圓錐曲線的焦點在y 軸上時，同理還可得推論 2已知焦點在 y 軸上的圓錐曲線C ，經過其焦點 F 的直線交曲線于A 、 B 兩點，若直線ABk k0 AFFBC的離心率 e 滿足等式1，的傾斜角為，則曲線esin，斜率為 （），1e 111 k 21（推論的證明從略，讀者可

14、以自行完成）二結論的應用例 1（ 2008 年全國卷）已知F是拋物線Cy24x的焦點，過F且斜率為 1 的直線交C于A，：B 兩點設 FAFB ，則 FA 與 FB 的比值等于解析： 焦點弦所在直線的傾斜角為45，F(xiàn)AFB ，則由定理可得 cos451 ，1所以3 22 例 2（2008 年江西卷） 過拋物線 x22 py ( p0) 的焦點 F 作傾斜角為 30 的直線， 與拋物線分別AF交于 A 、 B 兩點（ A 在 y 軸左側），則FB解析： 根據拋物線的對稱性知|AF | |FB |，設AF，由推論2 可得 sin 301，F(xiàn)B1所以13例 3（ 2009 年全國卷） 已知雙曲線x2

15、y21 a0, b0的右焦點為 F ，過 F 且斜率為3C： 22ab的直線交 C 于 A、 B 兩點，若 AF4FB ，則 C 的離心率為（）A 6B 7C 5D 95585解析： 由推論 1 得 e1 （2416，故選 A3）415x2y21ab03，過右焦點 F 且斜例 4（ 2010 全國卷文理） 已知橢圓 C：2b2的離心率為a2率為 k （ k0 ）的直線與 C 相交于 A、 B 兩點若 AF3FB ，則 k（）A 1B2C 3D2解析： 由推論1 得31k 231 ，解得 k2，故選 B231例 5（2010全國卷文理）已知F 是橢圓 C 的一個焦點，B 是短軸的一個端點，線段B

16、F 的延長uuuruuur線交 C于點 D，且 BF2FD ，則 C 的離心率為解析： 如圖 4，由題意可得 |OF |c， | BF |a ，y設直線 BD 的傾斜角為，則 coscBe ，a由定理可得 e2211 ，F(xiàn)Ox213D3所以 e圖 43由此可見，本文的結論在解決與圓錐曲線焦點弦相關的問題時非?？旖?，既避免了繁瑣的代數運算，又節(jié)省了不少時間，可謂是圓錐曲線有力工具之一直線與圓錐曲線的關系問題典型例題：例1.（2012 年遼寧省文5 分）已知 P，Q為拋物線2x2y上兩點， 點 P，Q的橫坐標分別為4，2，過、分別作拋物線的切線，兩切線交于，則點A的縱坐標為【】P QA(A) 1(

17、B) 3(C)4(D)8【答案】 C。【 考點】利用導數求切線方程的方法，直線的方程、兩條直線的交點的求法?！窘馕觥奎cP， Q的橫坐標分別為4，2，代人拋物線方程得P， Q的縱坐標分別為8， 2。由 x22y 得 y1 x2 ， yx 。過點 P， Q的拋物線的切線的斜率分別為4， 2。2過點 P， Q的拋物線的切線方程分別為y 4x8,y2x2 。聯(lián)立方程組解得x1, y4 。點 A 的縱坐標為4。故選 C。22例 2. （ 2012 年湖北省理5 分）如圖，雙曲線 x2- y2 =1 a> b>0的兩頂點為 A1,A2 ，虛軸兩端點為abB1 ,B2 ，兩焦點為 F1,F2 。

18、若以 A1 A2為直徑的圓內切于菱形F1 B1F2 B2 ，切點分別為 A， B， C，D。則（）雙曲線的離心率 e=；（）菱形 F1B1F2 B2 的面積 S1 與矩形 ABCD 的面積 S2 的比值 S1=。S2【答案】（）5+1 ；（）5+2 。22【考點】雙曲線的離心率及實軸虛軸的相關定義，一般平面幾何圖形的面積計算?！窘馕觥浚ǎ┯梢阎?bc=ab2 +c2b2 c2 =a2 b2 +c2c2 -a2c2 =a2 2c2 -a2c4 -3a2c2 +a4 =01+52e4 -3e2 +1=0 ，解得 e2 = 3+5e=3+5= 6+2 5=5+1。42242（）由已知得S1=2bc

19、，又直線 B2 F2 的方程為 y=- bx-c，而直線 OA 的方程為 y= c x ，cbx=2b2 c2聯(lián)立解得b +c，y=bc222b +cS2 =4b2 cbc2，2+c22+c2bb22222222S12bcb +c2c -a2e -15+2 。= 2 c2 -a2 c2 = 2 e2 -1 e2 =S2 =4b2c bc2 =2b2c22222+c2b +cb例 3.（ 2012 年全國大綱卷理12 分）已知拋物線 C : y(x1)2 與圓 M : (x1)2( y1)2r 2 (r0)有一個公共點 A ，且在 A 處兩曲線的切線為同一直線 l 。2（ 1）求 r ；（ 2）設 m 、 n 是異于 l 且與 C 及 M 都相切的兩條直線，m 、 n 的交點為 D ，求 D 到 l 的距離?！敬鸢浮拷猓?（ 1）設 A(x0,( x01)2 ) ，對 yx ( x1)2 求導得 y2( x1) 。直線 l 的斜率 k2( x01)，當 x01時，不合題意， x0 1。圓心為 M (1,1 ) ， MA 的斜率 k(x01) 21x012 ，2( x01)21由 lMA 知 kk1，即 2( x0 1)x0121，