上海市徐匯區(qū)2012屆高三4月學(xué)習(xí)能力診斷試卷（數(shù)學(xué)理）word版

1、2011學(xué)年第二學(xué)期徐匯區(qū)高三年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)能力診斷卷 （理科試卷）（考試時(shí)間：120分鐘，滿分150分） 2012.4一填空題（本大題滿分56分）本大題共有14題，考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫(xiě)結(jié)果，每個(gè)空格填對(duì)得4分，否則一律得零分.1、已知，則 .2、已知集合，函數(shù)的定義域?yàn)榧?，則= .3、某區(qū)有200名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，隨機(jī)抽取10名學(xué)生成績(jī)?nèi)缦拢撼?績(jī)?nèi)?數(shù)401150602213708090則總體標(biāo)準(zhǔn)差的點(diǎn)估計(jì)值是 .（精確到）4、若函數(shù)圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則.5、若，其中都是實(shí)數(shù)，是虛數(shù)單位，則= .6、的二項(xiàng)展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)的值是 .7、某學(xué)校要從5名男生

2、和2名女生中選出2人作為志愿者，若用隨機(jī)變量表示選出的志愿者中女生的人數(shù)，則數(shù)學(xué)期望=_.（結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）8、已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 .9、函數(shù)的值域是 .10、如圖：底面直徑為2的圓柱被與底面成二面角的平面所截，截面是一個(gè)橢圓， 則此橢圓的焦距為 .11、在極坐標(biāo)系中，若過(guò)點(diǎn)（3，0）且與極軸垂直的直線交曲線于、 兩點(diǎn)，則= .12、若函數(shù)（）滿足，且時(shí)，函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi).13、已知函數(shù),在9行9列的矩陣中，第行第列的元素,則這個(gè)矩陣中所有數(shù)之和為_(kāi).14、如圖，點(diǎn)是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，是雙曲線的焦點(diǎn)，是的平分線上一點(diǎn)，且.某同學(xué)用以下方法研究：延長(zhǎng)交于點(diǎn)

3、，可知為等腰三角形，且為的中點(diǎn)，得.類(lèi)似地：點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，是橢圓的焦點(diǎn)，是的平分線上一點(diǎn)，且，則的取值范圍是 .二選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，選對(duì)得5分，否則一律得零分.15、條件甲：函數(shù)滿足；條件乙：函數(shù)是偶函數(shù)，則甲是乙的 （ ）（A）充分非必要條件（B）必要非充分條件（C）充要條件 （D）既非充分也非必要條件16、設(shè)為坐標(biāo)平面上三點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)。若與在上的投影相同，則與滿足的關(guān)系式為（ ）（A） （B） （C） （D）17、如果命題“曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解”是正確的，則下列命題中正確的是

4、（ ）第18題圖（A）曲線是方程的曲線；（B）方程的每一組解對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在曲線上；（C）不滿足方程的點(diǎn)不在曲線上；（D）方程是曲線的方程.18、若框圖所給的程序運(yùn)行的結(jié)果為，那么判斷框中應(yīng)填入的關(guān)于的 判斷條件錯(cuò)誤的是（ ）（A） （B） （C） （D）三解答題（本大題滿分74分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫(xiě)出必要的步驟.19、（本題滿分12分）第（1）小題滿分4分，第（2）小題滿分8分.在中，角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為，且.（1）求的值；（2）求的值.20、（本題滿分14分）第（1）小題滿分6分，第（2）小題滿分8分.EOABCDA1B1C1D1如圖：在正方體中，是的

5、中點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)，且.（1） 求證：；（2） 若平面平面,求的值.21、（本題滿分14分）第（1）小題滿分6分，第（2）小題滿分8分.由于濃酸泄漏對(duì)河流形成了污染，現(xiàn)決定向河中投入固體堿。1個(gè)單位的固體堿在水中逐步溶化，水中的堿濃度與時(shí)間的關(guān)系，可近似地表示為。只有當(dāng)河流中堿的濃度不低于1時(shí)，才能對(duì)污染產(chǎn)生有效的抑制作用。（1）如果只投放1個(gè)單位的固體堿，則能夠維持有效抑制作用的時(shí)間有多長(zhǎng)？（2）當(dāng)河中的堿濃度開(kāi)始下降時(shí)，即刻第二次投放1個(gè)單位的固體堿，此后，每一時(shí)刻河中的堿濃度認(rèn)為是各次投放的堿在該時(shí)刻相應(yīng)的堿濃度的和，求河中堿濃度可能取得的最大值.22、（本題滿分16分）第（1）小題滿分

6、4分，第（2）小題滿分6分，第（3）小題滿分6分.已知點(diǎn)為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)作垂直于軸的直線，在軸上方交雙曲線于點(diǎn)，且，圓的方程為. （1）求雙曲線的方程；（2）過(guò)圓上任意一點(diǎn)作切線交雙曲線于兩個(gè)不同點(diǎn)，中點(diǎn)為，求證：；（3）過(guò)雙曲線上一點(diǎn)作兩條漸近線的垂線，垂足分別是和，求的值.23、（本題滿分18分）第（1）小題滿分4分，第（2）小題滿分6分，第（3）小題滿分8分.如果存在常數(shù)使得數(shù)列滿足：若是數(shù)列中的一項(xiàng)，則也是數(shù)列中的一項(xiàng)，稱(chēng)數(shù)列為“兌換數(shù)列”，常數(shù)是它的“兌換系數(shù)”.（1）若數(shù)列：是“兌換系數(shù)”為的“兌換數(shù)列”，求和的值；（2）已知有窮等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是，所有項(xiàng)之和是，求證：數(shù)列是

7、“兌換數(shù)列”，并用和表示它的“兌換系數(shù)”；（3）對(duì)于一個(gè)不少于3項(xiàng)，且各項(xiàng)皆為正整數(shù)的遞增數(shù)列，是否有可能它既是等比數(shù)列，又是“兌換數(shù)列”？給出你的結(jié)論并說(shuō)明理由.2011學(xué)年第二學(xué)期徐匯區(qū)高三年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué) 習(xí) 能 力 診 斷 卷 理科試卷參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（2012.4）一 填空題：1 2 3 4. 5. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 二選擇題： 15A 16B 17C 18D三解答題:19解：（1）由正弦定理,得-4分（2）由余弦定理，得-6分所以-7分故-9分所以-12分EOABCDA1B1C1D120解：（1）不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則-2分于

8、是：-4分因?yàn)?所以-5分故：-6分（2）由（1）可知平面的法向量取 -8分由，則-10分又設(shè)平面的法向量為由得，取得，即-12分因?yàn)槠矫嫫矫妫?，?14分21解： （1）-2分-4分綜上，得-5分即若1個(gè)單位的固體堿只投放一次，則能夠維持有效抑制作用的時(shí)間為-6分（2）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增-8分當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減-9分所以當(dāng)河中的堿濃度開(kāi)始下降時(shí)，即刻第二次投放1個(gè)單位的固體堿，即時(shí)，-12分故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值。-14分22解：（1）設(shè)的坐標(biāo)分別為-1分 因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，即，所以-2分在中，所以-3分由雙曲線的定義可知： 故雙曲線的方程為：-4分（2）當(dāng)切線的斜率存在設(shè)，切線的方程為：

9、 代入雙曲線中，化簡(jiǎn)得： 所以-6分因?yàn)橹本€與圓O相切，所以，代入上式，得-7分設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則所以-8分即成立當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)，即成立-10分（3）由條件可知：兩條漸近線分別為-11分設(shè)雙曲線上的點(diǎn)，則點(diǎn)到兩條漸近線的距離分別為 所以-13分因?yàn)樵陔p曲線：上，所以故-14分設(shè)的夾角為，則-15分所以-16分23解：（1）因?yàn)閿?shù)列：是“兌換系數(shù)”為的“兌換數(shù)列”所以也是該數(shù)列的項(xiàng)，且-1分故-3分即。 -4分（2）設(shè)數(shù)列的公差為，因?yàn)閿?shù)列是項(xiàng)數(shù)為項(xiàng)的有窮等差數(shù)列若，則即對(duì)數(shù)列中的任意一項(xiàng)-6分同理可得：若，也成立，由“兌換數(shù)列”的定義可知，數(shù)列是 “兌換數(shù)列”；-8分又因?yàn)閿?shù)列所有項(xiàng)之和是，所以，