高等數(shù)學(xué)第6章(第二次)3學(xué)時課件

1、高等數(shù)學(xué)第6章(第二次)3學(xué)時 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)教教 師：劉師：劉 彩彩 平平Email： 高等數(shù)學(xué)第6章(第二次)3學(xué)時第六章第六章 定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用 第一節(jié)第一節(jié) 定積分的元素法定積分的元素法 第二節(jié)第二節(jié) 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用第三節(jié)第三節(jié) 定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用高等數(shù)學(xué)第6章(第二次)3學(xué)時復(fù)習(xí)：定積分的元素法復(fù)習(xí)：定積分的元素法 (1) 根據(jù)問題的具體情況，選取一個變量例如根據(jù)問題的具體情況，選取一個變量例如x x 為為積分變量，并確定它的變化區(qū)間積分變量，并確定它的變化區(qū)間a,ba,b； (2) 寫出部分量的近似表達(dá)式部分量的近似表達(dá)

2、式，即把區(qū)間分成即把區(qū)間分成 n n 個小個小區(qū)間，取其中任一小區(qū)間并記為區(qū)間，取其中任一小區(qū)間并記為x, x+dx，求出相應(yīng)于這，求出相應(yīng)于這小區(qū)間的部分量小區(qū)間的部分量U U的近似值的近似值: :U Uf(x)dx,f(x)dx,記記xxfUd)(d (3) 以所求量以所求量U U 的元素的元素( (微元微元)f(x)dx)f(x)dx為被積表達(dá)式，為被積表達(dá)式，在區(qū)間在區(qū)間 a,ba,b 上作定積分，得上作定積分，得，即為所求量即為所求量U U的積分表達(dá)式的積分表達(dá)式。badxxfU)(-稱為稱為U的微分元素的微分元素(簡稱微元簡稱微元)這種分析方法稱為這種分析方法稱為元素法元素法 (

3、(或或微元分析法微元分析法) )高等數(shù)學(xué)第6章(第二次)3學(xué)時 第二節(jié) 定積分在幾何學(xué)上 的應(yīng)用第六章第六章一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積二、二、體積體積三、三、平面曲線的弧長平面曲線的弧長高等數(shù)學(xué)第6章(第二次)3學(xué)時二、體積二、體積 旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體. 這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸. 1.1.旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積 xf(x)ab 曲邊梯形：曲邊梯形： y=f(x)，x=a,x=b,y=0 繞繞 x軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)高等數(shù)學(xué)第6章(第二次)3學(xué)時xyoabxyoab)(xfy 連續(xù)曲線段2)(xf的立體體積時,則對應(yīng)于小區(qū)間有軸繞xbxaxfy)()(xd

4、baV當(dāng)考慮連續(xù)曲線段)()(dycyx繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時,有2)(yyddcVxxoy)(yxcdy旋轉(zhuǎn)一周圍成d,xxx的體積元素為xxAVd)(d高等數(shù)學(xué)第6章(第二次)3學(xué)時ayxb例例8. 計算由橢圓12222byax所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積. 解解: 方法方法1 利用直角坐標(biāo)方程)(22axaxaaby則xxaabad)(220222(利用對稱性)3222312xxaab0a234aboaV02xy d2x高等數(shù)學(xué)第6章(第二次)3學(xué)時方法方法2 利用橢圓參數(shù)方程tbytaxsincos則xyVad202ttabdsin23222 ab32234

5、ab1 02特別當(dāng)b = a 時, 就得半徑為a 的球體的體積.343a高等數(shù)學(xué)第6章(第二次)3學(xué)時例例9. 求圓4) 3(22yx繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.yxo312-2解： 所求體積為:2222)(dyyxVy2221)(dyyx222122)()(dyyxyx202122)()(2dyyxyx202222)43()43(2dyyy202424dyy2022arcsin244224yyy2242243yx2143yx高等數(shù)學(xué)第6章(第二次)3學(xué)時ox1 2yBC3A例例10. 求曲線132xy與 x 軸圍成的封閉圖形繞直線 y3 旋轉(zhuǎn)得的旋轉(zhuǎn)體體積.(94 考研)解解: 利用對

6、稱性 ,y10 x,22x21 x,42x故旋轉(zhuǎn)體體積為V432xxd)2(321022xxd)1 (2361022xxd) 1(22122xxd) 1(2202215448在第一象限 xxd)4(322122高等數(shù)學(xué)第6章(第二次)3學(xué)時 設(shè)立體在x軸上的投影區(qū)間為a, b, 立體內(nèi)垂直于x軸的截面面積為A(x). 立體的體積元素為2.平行截面面積為已知的立體的體積平行截面面積為已知的立體的體積 A(x)dx. xA(x)dV=A(x)dxx baxxAVd)(.aVb高等數(shù)學(xué)第6章(第二次)3學(xué)時oyRxRR.例例11 半徑為R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成角的平面所截，得一圓柱楔。

7、求其體積。高等數(shù)學(xué)第6章(第二次)3學(xué)時oyRxxy22xR RRxxRd)tan( tan R RRxxAVd)(RR. )tan( xR.y tan (x, y),截面積截面積A(x).例例1111 半徑為R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成角的平面所截，得一圓柱楔。求其體積.高等數(shù)學(xué)第6章(第二次)3學(xué)時ORx),(yxyR思考思考: 可否選擇可否選擇 y 作積分變量作積分變量 ?此時截面面積函數(shù)是什么此時截面面積函數(shù)是什么 ?如何用定積分表示體積如何用定積分表示體積 ?)(yA提示提示:tan2yx22tan2yRyVR0tan2yyRyd22高等數(shù)學(xué)第6章(第二次)3學(xué)時 hRxo

8、yR 例例12 求以半徑為R的圓為底，平行且等于底圓直徑的線段為頂，高為h的正劈錐體的體積.高等數(shù)學(xué)第6章(第二次)3學(xué)時 hRxoxA(x)A(x)yh xRhV = RRxxAd )(. RRxxRhd hRdcos22022 hR . . .Ry.y 例例12 求以半徑為R的圓為底，平行且等于底圓直徑的線段為頂，高為h的正劈錐體的體積.高等數(shù)學(xué)第6章(第二次)3學(xué)時三、平面曲線的弧長三、平面曲線的弧長定義定義: 若在弧 AB 上任意作內(nèi)接折線 ,0M1iMiMnMAByox當(dāng)折線段的最大邊長 0 時, 折線的長度趨向于一個確定的極限 ,此極限為曲線弧 AB 的弧長 , 即并稱此曲線弧為可

9、求長的.iiMM1定理定理: 任意光滑曲線弧都是可求長的.(證明略)ni 10lims則稱高等數(shù)學(xué)第6章(第二次)3學(xué)時sdyxabo(1) 曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出:)()(bxaxfy)(xfy 弧長元素(弧微分) :xxxdxyd12因此所求弧長xysbad12xxfbad)(1222)(d)(ddyxs高等數(shù)學(xué)第6章(第二次)3學(xué)時(2) 曲線弧由參數(shù)方程給出:)()()(ttytx弧長元素(弧微分) :因此所求弧長tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs高等數(shù)學(xué)第6章(第二次)3學(xué)時(3) 曲線弧由極坐標(biāo)方程給出:)()( rr,sin)(,cos)(ryr

10、x令因此所求弧長d)()(22rrsd)()(22yxd)()(22rr則得sd弧長元素(弧微分) :(自己驗證)高等數(shù)學(xué)第6章(第二次)3學(xué)時例 1計算曲線2332xy上相應(yīng)于 x 從 a 到 b 的一段弧的 例例1313 長度. 因此, 所求弧長為 解 解21xy 從而弧長元素 dxxdxyds112. babaxdxxs)1 (32123)1 ()1(322323abbabaxdxxs)1 (32123)1 ()1(322323abbabaxdxxs)1 (32123)1 ()1(322323ab. 高等數(shù)學(xué)第6章(第二次)3學(xué)時 例例14 求擺線xa(sin), ya(1cos)的一拱

11、(02 )的長度. 解 于是所求弧長為 弧長元素為daads2222sin)cos1 (da2sin2202sin2das 202cos22 adaads2222sin)cos1 (da2sin2. 202cos22 a8a. 高等數(shù)學(xué)第6章(第二次)3學(xué)時d222aa例例15. 求阿基米德螺線相應(yīng)于 02一段的弧長 . 解解:)0( aard)()(22rrsdd12 ad1202as212a21ln2102)412ln(24122aa高等數(shù)學(xué)第6章(第二次)3學(xué)時內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 平面圖形的面積邊界方程參數(shù)方程極坐標(biāo)方程直角坐標(biāo)方程上下限按順時針方向確定21d)()(tttttAd)(

12、212A2. 已知平行截面面面積函數(shù)的立體體積baxxAVd)(旋轉(zhuǎn)體的體積2)(yxA繞 x 軸 :2)(xyA繞 y 軸 :高等數(shù)學(xué)第6章(第二次)3學(xué)時3. 平面曲線的弧長曲線方程參數(shù)方程方程極坐標(biāo)方程22)(d)(ddyxs弧微分:d)()(d22rrs直角坐標(biāo)方程注意注意: 求弧長時積分上下限必須上大下小高等數(shù)學(xué)第6章(第二次)3學(xué)時思考題思考題: 1.過曲線過曲線)0(3xxy上的點A作切線，使該切線與曲線及x 軸所圍成的平面圖形的面積求求:(1) A點的坐標(biāo)；點的坐標(biāo)； (2)該平面圖形繞該平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積。軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積。,43S提示：),(3tt設(shè)切

13、點的坐標(biāo)為)(31323txtty.2, 00txxy軸交點的橫坐標(biāo)為得與令過切點的切線方程為利用面積關(guān)系的A點坐標(biāo)為(1,1),利用體積關(guān)系得所求體積為.52高等數(shù)學(xué)第6章(第二次)3學(xué)時分析曲線特點2. ) 1( xxyoyx解解:41)(221 x1A) 1( xxy與 x 軸所圍面積1101d) 1(xxxA61,0時2A12d) 1(xxxA,21AA 由61213123,0)2131(2得0,2321由圖形的對稱性 ,21也合于所求. 為何值才能使) 1( xxy.) 1(軸圍成的面積及與于xxxxy與 x 軸圍成的面積等故211高等數(shù)學(xué)第6章(第二次)3學(xué)時設(shè)平面圖形 A 由xy

14、x222與xy 所確定 , 求圖形 A 繞直線 x2 旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積 . 提示：提示： 選 x 為積分變量.旋轉(zhuǎn)體的體積為V102d)2)(2(2xxxxx32212yox2113.若選 y 為積分變量, 則 V1022d)11 (2yy102d)2(yyxy高等數(shù)學(xué)第6章(第二次)3學(xué)時作業(yè)：作業(yè)：nPage 285-12，15(2,3)，18，n 22，25，27，30高等數(shù)學(xué)第6章(第二次)3學(xué)時一、由邊際函數(shù)求總函數(shù)一、由邊際函數(shù)求總函數(shù)二、由變化率求總量二、由變化率求總量三、求收益流的現(xiàn)值和將來值三、求收益流的現(xiàn)值和將來值第三節(jié)第三節(jié) 定積分的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用定積分的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用高等數(shù)

15、學(xué)第6章(第二次)3學(xué)時 在經(jīng)濟(jì)問題中在經(jīng)濟(jì)問題中, ,經(jīng)常都要涉及到各種經(jīng)濟(jì)量的總量經(jīng)常都要涉及到各種經(jīng)濟(jì)量的總量. .這些總量這些總量, ,在一定條件下在一定條件下, ,也可用定積分來進(jìn)行計算也可用定積分來進(jìn)行計算. .一、已知邊際函數(shù)求總函數(shù)一、已知邊際函數(shù)求總函數(shù). .下面介紹兩個常用問題:若總量若總量P(t)在某區(qū)間在某區(qū)間I上可導(dǎo)上可導(dǎo), , 且且a, xI, 則有則有( )( )( )xaP xP t dtP a 注注1 在上式中在上式中, 當(dāng)當(dāng)x為產(chǎn)量為產(chǎn)量Q,且且a = 0時時, 只要將只要將P(x)代之以總成本代之以總成本C(Q)、總收益、總收益R(Q)、總利潤、總利潤L(

16、Q), 則有則有高等數(shù)學(xué)第6章(第二次)3學(xué)時注注2 2 當(dāng)當(dāng) x 從從 a 變到變到 b 時時, P(x)的改變量即的改變量即為為( )( )( )baPP bP aP t dt QdttLQL0)()()0()()(0CdttCQCQQQdttRRdttRQR00)()0()()(高等數(shù)學(xué)第6章(第二次)3學(xué)時一、由邊際函數(shù)求總函數(shù)一、由邊際函數(shù)求總函數(shù)n例例1. 設(shè)某種產(chǎn)品生產(chǎn)設(shè)某種產(chǎn)品生產(chǎn)Q個單位時的邊際成本和邊個單位時的邊際成本和邊際收益分別為際收益分別為 QQR6)(（1）當(dāng)固定成本）當(dāng)固定成本C(0)=2時，求出總成本，總收益，時，求出總成本，總收益，總利潤函數(shù)；總利潤函數(shù)；（2

17、）當(dāng)產(chǎn)量從）當(dāng)產(chǎn)量從10增加到增加到100時，求總成本的增量；時，求總成本的增量；（3）當(dāng)產(chǎn)量為多少總利潤可以達(dá)到最大？最大利潤）當(dāng)產(chǎn)量為多少總利潤可以達(dá)到最大？最大利潤又是多少；又是多少；高等數(shù)學(xué)第6章(第二次)3學(xué)時解解: : 2)23()0()()() 1 (00dttCdttCQCQQ2432QQ26)6()0()()(200QQdttCdttRQRQQ2433)()()(2QQQCQRQ2745)43()23()()2(1001021001010010ttdttdttCC2Q0233)()()()3(得由QQCQRQ因為因為023)( Q且駐點唯一，所以當(dāng)且駐點唯一，所以當(dāng)Q=2時，

18、時，利潤最大。且利潤最大。且1)(maxQ高等數(shù)學(xué)第6章(第二次)3學(xué)時二、由變化率求總量二、由變化率求總量2726100422t解解:例例2 某工廠生產(chǎn)某商品在時刻某工廠生產(chǎn)某商品在時刻t的總產(chǎn)量變化率為的總產(chǎn)量變化率為ttQ12100)(單位單位/小時小時)。求由。求由t=2到到t=4這兩小時的總產(chǎn)量。這兩小時的總產(chǎn)量。dttdttQQ)12100()(4242高等數(shù)學(xué)第6章(第二次)3學(xué)時已知凈投資函數(shù)（流量）求資本總量已知凈投資函數(shù)（流量）求資本總量（百萬元）（321261003160280)4()9()(394KKdttI解解例例3 3 設(shè)凈投資函數(shù)設(shè)凈投資函數(shù)且當(dāng)且當(dāng)t=0t=0時

19、的總資本量為時的總資本量為100100（百萬元），試求：（百萬元），試求：)/(10)(21年百萬元ttI（1 1）資本函數(shù)）資本函數(shù)K(t)K(t)的表達(dá)式；的表達(dá)式；（2 2）第）第9 9年末的資本總量；年末的資本總量；（3 3）從第四年末到第）從第四年末到第9 9年末這段時間間隔內(nèi)總資本的追加年末這段時間間隔內(nèi)總資本的追加部分的數(shù)量。部分的數(shù)量。100320)0(10)() 1 (23021tKdxxtKt（百萬元）代入得將2801009320)9(9)2(23Kt高等數(shù)學(xué)第6章(第二次)3學(xué)時 補充：補充：由于資本形成的過程就是資本總量增加的過程由于資本形成的過程就是資本總量增加的過程

20、, 而資本總量又是隨時間的變化而變化的而資本總量又是隨時間的變化而變化的, 所以資本總量是所以資本總量是時間時間 t 的函數(shù)的函數(shù), 即即 K = K(t ), 稱之為資本函數(shù)稱之為資本函數(shù). ( )dK tdt當(dāng)資本函數(shù)當(dāng)資本函數(shù) K = K(t )可導(dǎo)時可導(dǎo)時, 總資本形成率為總資本形成率為 由由經(jīng)濟(jì)學(xué)知資本總量的新增部分就是凈投資經(jīng)濟(jì)學(xué)知資本總量的新增部分就是凈投資. 因而凈投因而凈投資資 I = I(t)是一個關(guān)于是一個關(guān)于 t 的連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù), 從而投資者在時刻從而投資者在時刻 t處的凈投資處的凈投資 I(t) 即為總資本在時刻即為總資本在時刻 t 處的瞬時增量處的瞬時增量.

21、而由第三章導(dǎo)數(shù)定義的引入知而由第三章導(dǎo)數(shù)定義的引入知: : 一個量在某點的瞬時一個量在某點的瞬時增量實質(zhì)上就是這個量在該點的充分小鄰域內(nèi)的平均改增量實質(zhì)上就是這個量在該點的充分小鄰域內(nèi)的平均改變量的極限變量的極限( (導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)) ), 即即高等數(shù)學(xué)第6章(第二次)3學(xué)時0()( )( )limtK ttK tdK ttdt ( )( )dK tI tdt 此式兩邊從此式兩邊從 0 到到 t 作定積分作定積分, 有有0( )( )(0)tK tI x dxK 任意時刻任意時刻t的總資本量的總資本量 K(t) 等于區(qū)間等于區(qū)間 0, t 內(nèi)的新增內(nèi)的新增資本資本 與初始時刻與初始時刻 t = 0

22、時的資本（即初始資時的資本（即初始資本本) K(0)之和之和. 0( )tI x dx 此公式的經(jīng)濟(jì)意義此公式的經(jīng)濟(jì)意義: :高等數(shù)學(xué)第6章(第二次)3學(xué)時三、收益流的現(xiàn)值和將來值三、收益流的現(xiàn)值和將來值收益流收益流 收益若是連續(xù)地獲得，則收益可被看收益若是連續(xù)地獲得，則收益可被看作是一種隨時間連續(xù)變化的收益流。作是一種隨時間連續(xù)變化的收益流。收益流量收益流量 收益流對時間的變化率收益流對時間的變化率。 若以連續(xù)復(fù)利若以連續(xù)復(fù)利r計息，一筆計息，一筆P元人民幣從現(xiàn)元人民幣從現(xiàn)在存入銀行，在存入銀行，t年后的價值（將來值）年后的價值（將來值）rtPeR 高等數(shù)學(xué)第6章(第二次)3學(xué)時收益流的現(xiàn)值

23、收益流的現(xiàn)值 收益流的現(xiàn)值是這樣一筆款項，收益流的現(xiàn)值是這樣一筆款項，若將它存入銀行，將來從收益流中獲得的總收若將它存入銀行，將來從收益流中獲得的總收益，與包括利息在內(nèi)的銀行存款值有相同的價值益，與包括利息在內(nèi)的銀行存款值有相同的價值。收益流的將來值收益流的將來值 將收益流存入銀行并加上利將收益流存入銀行并加上利息之后的存款值。息之后的存款值。 若若t年后要得到年后要得到R元人民幣，則現(xiàn)在需要存入元人民幣，則現(xiàn)在需要存入銀行多少金額（現(xiàn)值）銀行多少金額（現(xiàn)值）rtP Re高等數(shù)學(xué)第6章(第二次)3學(xué)時若有一筆收益流的收益流量為若有一筆收益流的收益流量為 （元（元/年），考年），考慮從現(xiàn)在開始慮

24、從現(xiàn)在開始 到到 年后這一時間段的將來年后這一時間段的將來值和現(xiàn)值。（以連續(xù)利率值和現(xiàn)值。（以連續(xù)利率r計息）計息）T0t)(tR分析分析 在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)任取一小區(qū)間內(nèi)任取一小區(qū)間 ，在在 內(nèi)所獲得的金額近似為內(nèi)所獲得的金額近似為,dttt,0T, dttt dttR)(從從 開始開始, 這一金額是在這一金額是在 年后的年后的將來獲得將來獲得,因此在因此在 內(nèi)內(nèi),0tdttR)(t,dttt收益現(xiàn)值收益現(xiàn)值dtetRedttRrtrt)()(總現(xiàn)值總現(xiàn)值TrtdtetR0)(高等數(shù)學(xué)第6章(第二次)3學(xué)時對于將來值對于將來值, 在在 年后獲得利息年后獲得利息,從而在從而在 內(nèi)內(nèi),收益流的將來

25、值收益流的將來值故故,總的將來值總的將來值dttR )(tT ,dtttdtetRedttRtTrtTr)()()()(dtetRTtTr0)()(高等數(shù)學(xué)第6章(第二次)3學(xué)時例例4 4 某棟別墅現(xiàn)售價某棟別墅現(xiàn)售價500500萬元，首付萬元，首付20%20%，剩下，剩下部分可分期付款，部分可分期付款，1010年付清，每年付款相同。若年付清，每年付款相同。若連續(xù)利率連續(xù)利率r r是是6%6%，求每年應(yīng)付款多少萬元？，求每年應(yīng)付款多少萬元？解解 每年付款相同，這是均勻流。設(shè)每年付款每年付款相同，這是均勻流。設(shè)每年付款A(yù) A（單位：萬元），因全部付款的總現(xiàn)值是已知（單位：萬元），因全部付款的總現(xiàn)

26、值是已知的，即現(xiàn)售價扣除首付的部分的，即現(xiàn)售價扣除首付的部分于是有于是有),5488.01 (24 A)1 (06. 04001006. 010006. 0eAdtAet萬元萬元400)500%20500(即即A=53.19萬元萬元故每年應(yīng)付款故每年應(yīng)付款53.19萬元。萬元。高等數(shù)學(xué)第6章(第二次)3學(xué)時例例5 5 設(shè)某項投資計劃在設(shè)某項投資計劃在t=0t=0時需要投入時需要投入10001000萬元萬元購置設(shè)備，在購置設(shè)備，在1010年中每年收益為年中每年收益為200200萬元，若連萬元，若連續(xù)利率為續(xù)利率為5%5%，購置的設(shè)備，購置的設(shè)備1010年后完全失去價值，年后完全失去價值，求收益資本價值求收益資本價值W W。解解 因為收益資本價值因為收益資本價值 W W = = 收益流的現(xiàn)值收益流的現(xiàn)值- -投入資金的現(xiàn)值投入資金的現(xiàn)值所以所以100020010005. 0dteWt)(88.5731000)1 (40005 . 0萬元e高等數(shù)學(xué)第6章(第二次)3學(xué)時例例6 假設(shè)以年連續(xù)復(fù)利率假設(shè)以年連續(xù)復(fù)利率 0.1 計息計息 ,求收益流量求收益流量為為100元元/年的收益流在年的收益流在20年內(nèi)的現(xiàn)值