彈性力學(徐芝綸)習題答案

1、第一章第二章習題答案2-1解：已知 1） 驗證平衡微分方程： 代入，均滿足。2）驗證相容方程： 亦滿足。3）驗證應力邊界條件： （*） 由問題的受力特征，在邊界上任一點均有： 代入（*）式，可見二式均滿足。4）驗證位移單值條件：因問題可以含孔口邊界，屬多連體。由物理、幾何方程得： 類似于教材題2-3，可求出 從表達式可見，位移分量是坐標的單值函數(shù)，滿足位移單值條件。綜合1）4），2-2、解：設圖示坐標系，根據(jù)“材力”公式可知：（取單寬b=1）=又：1） 驗證平衡方程： 注意：，代入均滿足。2）驗證相容方程： 亦滿足。3）驗證應力邊界條件： i) 主要邊界： 滿足 ii) 次要邊界：（1）、（2

2、）滿足，（3）式左=結論：所列滿足平衡方程、相容方程；在主要邊界上嚴格滿足應力邊界條件，次要邊界近似滿足應力邊界條件，又為單連體，故在圣維南原理的前提下為問題的正確解。2-3、證明：1）由則平衡微分方程為： （*）類似于題2-10的推證過程，（*）式的通解為：即： 2） 對于平面應力問題，相容方程為：即： 對于平面應變問題，2-4、證明：因為兩個應力主向相互正交，故將x, y軸分別置于兩個應力主向上（如圖）則斜面上的正應力（）= （*）在發(fā)生最大與最小切應力的面上，其外法線與應力主向成450角，代入（*）式得 得證。第三章 習題解答3-3、解： 1、設應力分量由x=0，x=h邊界上的受力情況，

3、假設 則：得： 2、代入相容方程由 得： 從而： 注：公式中已略去中與應力分量無關的一次項和常數(shù)項。3、求應力分量 4、考察應力邊界條件1）主要邊界：（1）、（3）兩式滿足，由（2）式得 C=0由（4）式得 3Ah2+2Bh=-q (5)2) 次要邊界 由（6）式：6Ex+2F=0 (8) (8)式對任意x均成立，必須 E=F=0由（7）式：3Ax2+2Bx=0 (9) 欲使（9）式成立，則需A=B=0與（5）式相矛盾，表明（7）式不能嚴格滿足，改用圣維南原理，得：有：Ah3+Bh2=0 (10)聯(lián)立求解（5）、（10）得：5、得應力分量 為本問題的應力解答。注：（1）此例要求堅柱高度遠大于寬

4、度，以保證柱頂面為小邊界。 （2）底面固定端用圣維南原理肯定滿足應力邊界條件。3-5、解：1、設應力函數(shù)根據(jù)題設要求，設2、驗證相容方程將代入，經(jīng)驗證滿足3、求應力分量 4、考察應力邊界條件 上邊界： 代入得6ax=0, -2bx=0, 得a=b=0 斜邊界：此處：將代入（1），（2）可求得5、得應力分量注：此例中固定端若用圣維南原理校核其應力邊界條件，肯定滿足，因此，解答要求梁足夠長且角不能很大，以保證固定端為小邊界。第四章 習題解答4-13、解：本題為軸對稱應力問題，相應的徑向位移為： (1) 軸對稱應力通式為 由應力邊界條件 并結合位移單值條件可知B=0，求得： 因半徑的改變與剛體位移I

5、，K無關，且為平面應變問題，將A、B、C代入（1）式，并將 得：內半徑的改變： 外半徑的改變： 圓筒厚度的改變： 4-3另解：半徑為r的圓筒周長為， 受載后周長則為 ， 于是半徑為 ，半徑的改變量則為： 將對應的A、C及r=a,b分別代入，可求出內外半徑的改變及圓筒厚度的改變。4-4、解：本題為軸對稱應力問題，由位移單值條件可知B=0考察邊界條件：又r=b以外為剛體，故有上述兩式對任意的均應成立， （2）聯(lián)立求解（1），（2）可得A，C及欲求的應力分量。4-4另解：利用教材P59式（4-16），在表達式中，分子、分母除以n，注意到對于r=b以外的剛體，則，將代入（4-16）式中，可得解。4-5、解：1、 先求無孔時的主應力及主向與x軸的夾角為：2、 開孔后的應力分量在新坐標系下的表達式同教材P64（4-18）式注意：此處角為軸與軸的夾角，孔邊應力，孔邊最大正應力： 孔邊最小正應力：4-5、另解：亦可參照教材，作r=b的大圓，求出r=b面的，并將其作為相應的應力邊界條件，按非軸對稱應力問題求解。令，代入相容方程，求出f(r)，再求出，并由邊界條件決定待定系數(shù)。4-6、