彈性力學(xué)(徐芝綸)習(xí)題答案

1、第一章第二章習(xí)題答案2-1解：已知 1） 驗(yàn)證平衡微分方程： 代入，均滿足。2）驗(yàn)證相容方程： 亦滿足。3）驗(yàn)證應(yīng)力邊界條件： （*） 由問(wèn)題的受力特征，在邊界上任一點(diǎn)均有： 代入（*）式，可見(jiàn)二式均滿足。4）驗(yàn)證位移單值條件：因問(wèn)題可以含孔口邊界，屬多連體。由物理、幾何方程得： 類(lèi)似于教材題2-3，可求出 從表達(dá)式可見(jiàn)，位移分量是坐標(biāo)的單值函數(shù)，滿足位移單值條件。綜合1）4），2-2、解：設(shè)圖示坐標(biāo)系，根據(jù)“材力”公式可知：（取單寬b=1）=又：1） 驗(yàn)證平衡方程： 注意：，代入均滿足。2）驗(yàn)證相容方程： 亦滿足。3）驗(yàn)證應(yīng)力邊界條件： i) 主要邊界： 滿足 ii) 次要邊界：（1）、（2

2、）滿足，（3）式左=結(jié)論：所列滿足平衡方程、相容方程；在主要邊界上嚴(yán)格滿足應(yīng)力邊界條件，次要邊界近似滿足應(yīng)力邊界條件，又為單連體，故在圣維南原理的前提下為問(wèn)題的正確解。2-3、證明：1）由則平衡微分方程為： （*）類(lèi)似于題2-10的推證過(guò)程，（*）式的通解為：即： 2） 對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題，相容方程為：即： 對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題，2-4、證明：因?yàn)閮蓚€(gè)應(yīng)力主向相互正交，故將x, y軸分別置于兩個(gè)應(yīng)力主向上（如圖）則斜面上的正應(yīng)力（）= （*）在發(fā)生最大與最小切應(yīng)力的面上，其外法線與應(yīng)力主向成450角，代入（*）式得 得證。第三章 習(xí)題解答3-3、解： 1、設(shè)應(yīng)力分量由x=0，x=h邊界上的受力情況，

3、假設(shè) 則：得： 2、代入相容方程由 得： 從而： 注：公式中已略去中與應(yīng)力分量無(wú)關(guān)的一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)。3、求應(yīng)力分量 4、考察應(yīng)力邊界條件1）主要邊界：（1）、（3）兩式滿足，由（2）式得 C=0由（4）式得 3Ah2+2Bh=-q (5)2) 次要邊界 由（6）式：6Ex+2F=0 (8) (8)式對(duì)任意x均成立，必須 E=F=0由（7）式：3Ax2+2Bx=0 (9) 欲使（9）式成立，則需A=B=0與（5）式相矛盾，表明（7）式不能?chē)?yán)格滿足，改用圣維南原理，得：有：Ah3+Bh2=0 (10)聯(lián)立求解（5）、（10）得：5、得應(yīng)力分量 為本問(wèn)題的應(yīng)力解答。注：（1）此例要求堅(jiān)柱高度遠(yuǎn)大于寬

4、度，以保證柱頂面為小邊界。 （2）底面固定端用圣維南原理肯定滿足應(yīng)力邊界條件。3-5、解：1、設(shè)應(yīng)力函數(shù)根據(jù)題設(shè)要求，設(shè)2、驗(yàn)證相容方程將代入，經(jīng)驗(yàn)證滿足3、求應(yīng)力分量 4、考察應(yīng)力邊界條件 上邊界： 代入得6ax=0, -2bx=0, 得a=b=0 斜邊界：此處：將代入（1），（2）可求得5、得應(yīng)力分量注：此例中固定端若用圣維南原理校核其應(yīng)力邊界條件，肯定滿足，因此，解答要求梁足夠長(zhǎng)且角不能很大，以保證固定端為小邊界。第四章 習(xí)題解答4-13、解：本題為軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力問(wèn)題，相應(yīng)的徑向位移為： (1) 軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力通式為 由應(yīng)力邊界條件 并結(jié)合位移單值條件可知B=0，求得： 因半徑的改變與剛體位移I

5、，K無(wú)關(guān)，且為平面應(yīng)變問(wèn)題，將A、B、C代入（1）式，并將 得：內(nèi)半徑的改變： 外半徑的改變： 圓筒厚度的改變： 4-3另解：半徑為r的圓筒周長(zhǎng)為， 受載后周長(zhǎng)則為 ， 于是半徑為 ，半徑的改變量則為： 將對(duì)應(yīng)的A、C及r=a,b分別代入，可求出內(nèi)外半徑的改變及圓筒厚度的改變。4-4、解：本題為軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力問(wèn)題，由位移單值條件可知B=0考察邊界條件：又r=b以外為剛體，故有上述兩式對(duì)任意的均應(yīng)成立， （2）聯(lián)立求解（1），（2）可得A，C及欲求的應(yīng)力分量。4-4另解：利用教材P59式（4-16），在表達(dá)式中，分子、分母除以n，注意到對(duì)于r=b以外的剛體，則，將代入（4-16）式中，可得解。4-5、解：1、 先求無(wú)孔時(shí)的主應(yīng)力及主向與x軸的夾角為：2、 開(kāi)孔后的應(yīng)力分量在新坐標(biāo)系下的表達(dá)式同教材P64（4-18）式注意：此處角為軸與軸的夾角，孔邊應(yīng)力，孔邊最大正應(yīng)力： 孔邊最小正應(yīng)力：4-5、另解：亦可參照教材，作r=b的大圓，求出r=b面的，并將其作為相應(yīng)的應(yīng)力邊界條件，按非軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力問(wèn)題求解。令，代入相容方程，求出f(r)，再求出，并由邊界條件決定待定系數(shù)。4-6、