初中數(shù)學(xué)全等三角形輔助線(xiàn)技巧

1、例1：如圖，ABC是等腰直角三角形，BAC=90，BD平分ABC交AC于點(diǎn)D，CE垂直于BD，交BD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E。求證：BD=2CE。思路分析：1）題意分析：本題考查等腰三角形的三線(xiàn)合一定理的應(yīng)用2）解題思路：要求證BD=2CE，可用加倍法，延長(zhǎng)短邊，又因?yàn)橛蠦D平分ABC的條件，可以和等腰三角形的三線(xiàn)合一定理結(jié)合起來(lái)。解答過(guò)程：證明：延長(zhǎng)BA，CE交于點(diǎn)F，在BEF和BEC中，1=2，BE=BE，BEF=BEC=90，BEFBEC，EF=EC，從而CF=2CE。又1+F=3+F=90，故1=3。在ABD和ACF中，1=3，AB=AC，BAD=CAF=90，ABDACF，BD=CF，BD=2

2、CE。解題后的思考：等腰三角形“三線(xiàn)合一”性質(zhì)的逆命題在添加輔助線(xiàn)中的應(yīng)用不但可以提高解題的能力，而且還加強(qiáng)了相關(guān)知識(shí)點(diǎn)和不同知識(shí)領(lǐng)域的聯(lián)系，為同學(xué)們開(kāi)拓了一個(gè)廣闊的探索空間；并且在添加輔助線(xiàn)的過(guò)程中也蘊(yùn)含著化歸的數(shù)學(xué)思想，它是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。（2）若遇到三角形的中線(xiàn)，可倍長(zhǎng)中線(xiàn)，使延長(zhǎng)線(xiàn)段與原中線(xiàn)長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”。例2：如圖，已知ABC中，AD是BAC的平分線(xiàn)，AD又是BC邊上的中線(xiàn)。求證：ABC是等腰三角形。思路分析：1）題意分析：本題考查全等三角形常見(jiàn)輔助線(xiàn)的知識(shí)。2）解題思路：在證明三角形的問(wèn)題中特別要注意題目中出現(xiàn)的中點(diǎn)、中線(xiàn)、中位線(xiàn)等條件

3、，一般這些條件都是解題的突破口，本題給出了AD又是BC邊上的中線(xiàn)這一條件，而且要求證AB=AC，可倍長(zhǎng)AD得全等三角形，從而問(wèn)題得證。解答過(guò)程：證明：延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，連接BE。又因?yàn)锳D是BC邊上的中線(xiàn)，BD=DC又BDE=CDABEDCAD，故EB=AC，E=2，AD是BAC的平分線(xiàn)1=2，1=E，AB=EB，從而AB=AC，即ABC是等腰三角形。解題后的思考：題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線(xiàn)，常加倍延長(zhǎng)此線(xiàn)段，再將端點(diǎn)連結(jié)，便可得到全等三角形。（3）遇到角平分線(xiàn)，可以自角平分線(xiàn)上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線(xiàn)，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理

4、或逆定理。例3：已知，如圖，AC平分BAD，CD=CB，ABAD。求證：B+ADC=180。思路分析：1）題意分析：本題考查角平分線(xiàn)定理的應(yīng)用。2）解題思路：因?yàn)锳C是BAD的平分線(xiàn)，所以可過(guò)點(diǎn)C作BAD的兩邊的垂線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形，通過(guò)證明三角形全等解決問(wèn)題。解答過(guò)程：證明：作CEAB于E，CFAD于F。AC平分BAD，CE=CF。在RtCBE和RtCDF中，CE=CF，CB=CD，RtCBERtCDF，B=CDF，CDF+ADC=180，B+ADC=180。解題后的思考：關(guān)于角平行線(xiàn)的問(wèn)題，常用兩種輔助線(xiàn)；見(jiàn)中點(diǎn)即聯(lián)想到中位線(xiàn)。（4）過(guò)圖形上某一點(diǎn)作特定的平行線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形，利用的思維

5、模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”例4：如圖，ABC中，AB=AC，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，連EF交BC于D，若EB=CF。求證：DE=DF。思路分析：1）題意分析：本題考查全等三角形常見(jiàn)輔助線(xiàn)的知識(shí)：作平行線(xiàn)。2）解題思路：因?yàn)镈E、DF所在的兩個(gè)三角形DEB與DFC不可能全等，又知EB=CF，所以需通過(guò)添加輔助線(xiàn)進(jìn)行相等線(xiàn)段的等量代換：過(guò)E作EG/CF，構(gòu)造中心對(duì)稱(chēng)型全等三角形，再利用等腰三角形的性質(zhì)，使問(wèn)題得以解決。解答過(guò)程：證明：過(guò)E作EG/AC交BC于G，則EGB=ACB，又AB=AC，B=ACB，B=EGB，EGD=DCF，EB=EG=CF，EDB=CDF，DG

6、EDCF，DE=DF。解題后的思考：此題的輔助線(xiàn)還可以有以下幾種作法：例5：ABC中，BAC=60，C=40，AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q，求證：AB+BP=BQ+AQ。思路分析：1）題意分析：本題考查全等三角形常見(jiàn)輔助線(xiàn)的知識(shí)：作平行線(xiàn)。2）解題思路：本題要證明的是AB+BP=BQ+AQ。形勢(shì)較為復(fù)雜，我們可以通過(guò)轉(zhuǎn)化的思想把左式和右式分別轉(zhuǎn)化為幾條相等線(xiàn)段的和即可得證。可過(guò)O作BC的平行線(xiàn)。得ADOAQO。得到OD=OQ，AD=AQ，只要再證出BD=OD就可以了。解答過(guò)程：證明：如圖（1），過(guò)O作ODBC交AB于D，ADO=ABC=1806040=80，又AQO=C+

7、QBC=80，ADO=AQO，又DAO=QAO，OA=AO，ADOAQO，OD=OQ，AD=AQ，又ODBP，PBO=DOB，又PBO=DBO，DBO=DOB，BD=OD，又BPA=C+PAC=70，BOP=OBA+BAO=70，BOP=BPO，BP=OB，AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。解題后的思考：（1）本題也可以在AB上截取AD=AQ，連OD，構(gòu)造全等三角形，即“截長(zhǎng)法”。（2）本題利用“平行法”的解法也較多，舉例如下：如圖（2），過(guò)O作ODBC交AC于D，則ADOABO從而得以解決。如圖（5），過(guò)P作PDBQ交AC于D，則ABPADP從而得以解決。小結(jié)：通過(guò)

8、一題的多種輔助線(xiàn)添加方法，體會(huì)添加輔助線(xiàn)的目的在于構(gòu)造全等三角形。而不同的添加方法實(shí)際是從不同途徑來(lái)實(shí)現(xiàn)線(xiàn)段的轉(zhuǎn)移的，體會(huì)構(gòu)造的全等三角形在轉(zhuǎn)移線(xiàn)段中的作用。從變換的觀點(diǎn)可以看到，不論是作平行線(xiàn)還是倍長(zhǎng)中線(xiàn)，實(shí)質(zhì)都是對(duì)三角形作了一個(gè)以中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造了全等三角形。（5）截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體作法是在某條線(xiàn)段上截取一條線(xiàn)段與特定線(xiàn)段相等，或是將某條線(xiàn)段延長(zhǎng)，使之與特定線(xiàn)段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說(shuō)明。這種作法，適合于證明線(xiàn)段的和、差、倍、分等類(lèi)的題目。例6：如圖甲，ADBC，點(diǎn)E在線(xiàn)段AB上，ADE=CDE，DCE=ECB。求證：CD=AD+BC。思路分析：1）題意分析：本

9、題考查全等三角形常見(jiàn)輔助線(xiàn)的知識(shí)：截長(zhǎng)法或補(bǔ)短法。2）解題思路：結(jié)論是CD=AD+BC，可考慮用“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”中的“截長(zhǎng)”，即在CD上截取CF=CB，只要再證DF=DA即可，這就轉(zhuǎn)化為證明兩線(xiàn)段相等的問(wèn)題，從而達(dá)到簡(jiǎn)化問(wèn)題的目的。解答過(guò)程：證明：在CD上截取CF=BC，如圖乙FCEBCE（SAS），2=1。又ADBC，ADC+BCD=180，DCE+CDE=90，2+3=90，1+4=90，3=4。在FDE與ADE中，F(xiàn)DEADE（ASA），DF=DA，CD=DF+CF，CD=AD+BC。試題答案1、分析：因?yàn)槠浇堑扔?80，因而應(yīng)考慮把兩個(gè)不在一起的角通過(guò)全等轉(zhuǎn)化成為平角，圖中缺少全等的三角

10、形，因而解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造直角三角形，可通過(guò)“截長(zhǎng)法或補(bǔ)短法”來(lái)實(shí)現(xiàn)。證明：過(guò)點(diǎn)D作DE垂直BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，作DFBC于點(diǎn)F，如圖1-2RtADERtCDF(HL)，DAE=DCF。又BAD+DAE=180，BAD+DCF=180，即BAD+BCD=1802、分析：與1相類(lèi)似，證兩個(gè)角的和是180，可把它們移到一起，讓它們成為鄰補(bǔ)角，即證明BCP=EAP，因而此題適用“補(bǔ)短”進(jìn)行全等三角形的構(gòu)造。證明：過(guò)點(diǎn)P作PE垂直BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，如圖2-2RtAPERtCPD(SAS)，PAE=PCD又BAP+PAE=180。BAP+BCP=1803、分析：從結(jié)論分析，“截長(zhǎng)”或“補(bǔ)短”都可實(shí)現(xiàn)問(wèn)

11、題的轉(zhuǎn)化，即延長(zhǎng)AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC。證明：方法一（補(bǔ)短法）延長(zhǎng)AC到E，使DC=CE，則CDECED，如圖3-2AFDACD（SAS），DF=DC，AFDACD。又ACB2B，F(xiàn)DBB，F(xiàn)D=FB。AB=AF+FB=AC+FD，AB=AC+CD。4、證明：（方法一）將DE兩邊延長(zhǎng)分別交AB、AC于M、N，在AMN中，AM+ANMD+DE+NE；在BDM中，MB+MDBD；在CEN中，CN+NECE；由+得：AM+AN+MB+MD+CN+NEMD+DE+NE+BD+CEAB+ACBD+DE+EC（方法二：圖4-2）延長(zhǎng)BD交AC于F，延長(zhǎng)CE交BF于G，在ABF、GF

12、C和GDE中有：AB+AFBD+DG+GFGF+FCGE+CEDG+GEDE由+得：AB+AF+GF+FC+DG+GEBD+DG+GF+GE+CE+DEAB+ACBD+DE+EC。5、分析：要證AB+AC2AD，由圖想到：AB+BDAD，AC+CDAD，所以有AB+AC+BD+CDAD+AD=2AD，左邊比要證結(jié)論多BD+CD，故不能直接證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AD，即加倍中線(xiàn)，把所要證的線(xiàn)段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去ACDEBD（SAS）BE=CA（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）在ABE中有：AB+BEAE（三角形兩邊之和大于第三邊）AB+AC2AD。6、分析：欲證AC=BF，只需證AC、BF所

13、在兩個(gè)三角形全等，顯然圖中沒(méi)有含有AC、BF的兩個(gè)全等三角形，而根據(jù)題目條件去構(gòu)造兩個(gè)含有AC、BF的全等三角形也并不容易。這時(shí)我們想到在同一個(gè)三角形中等角對(duì)等邊，能夠把這兩條線(xiàn)段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中，只要說(shuō)明轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形以后的這兩條線(xiàn)段，所對(duì)的角相等即可。思路一、以三角形ADC為基礎(chǔ)三角形，轉(zhuǎn)移線(xiàn)段AC，使AC、BF在三角形BFH中方法一：延長(zhǎng)AD到H，使得DH=AD，連結(jié)BH，證明ADC和HDB全等，得AC=BH。通過(guò)證明H=BFH，得到BF=BH。ADCHDB(SAS)AC=BH，H=HACEA=EFHAE=AFE又BFH=AFEBH=BFBF=AC方法二：過(guò)B點(diǎn)作BH平行AC，與AD的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)H，證明ADC和HDB全等即可。小結(jié)：對(duì)于含有中點(diǎn)的問(wèn)題，通過(guò)“倍長(zhǎng)中線(xiàn)”可以得到兩個(gè)全等三角形。而過(guò)一