振動與波動(習題與答案)

1、振 動 與 波 動1 . 基本要求1 .掌握簡諧振動的基本特征，能建立彈簧振子、單擺作諧振動的微分方程。2 .掌握振幅、周期、頻率、相位等概念的物理意義。3 .能根據初始條件寫出一維諧振動的運動學方程，并能理解其物理意義。4 .掌握描述諧振動的旋轉矢量法，并用以分析和討論有關的問題。5 .理解同方向、同頻率諧振動的合成規(guī)律以及合振幅最大和最小的條件。6 .理解機械波產生的條件。7 .掌握描述簡諧波的各物理量的物理意義及其相互關系。8 . 了解波的能量傳播特征及能流、能流密度等概念。9 .理解惠更斯原理和波的疊加原理。掌握波的相干條件。能用相位差或波程差概念來分析和確定相干波疊加后振幅加強或減弱

2、的條件。10 .理解駐波形成的條件，了解駐波和行波的區(qū)別，了解半波損失。2 .內容提要1 .簡諧振動的動力學特征 作諧振動的物體所受到的力為線性回復力，即取系統(tǒng)的平衡位置為坐標原點，則簡諧振動的動力學方程（即微分方程）為2 .簡諧振動的運動學特征 作諧振動的物體的位置坐標 x與時間t成余弦（或正弦）函數關系，即由它可導出物體的振動速度v =-©Asin（st十叼物體的振動加速度a =-©2Acos®t +叼3 .振幅A作諧振動的物體的最大位置坐標的絕對值，振幅的大小由初始條件確定，即4 .周期與頻率 作諧振動的物體完成一次全振動所需的時間T稱為周期，單位時間內完成

3、的振動次數 ¥稱為頻率。周期與頻率互為倒數，即T =-或 1=-tT5 .角頻率（也稱圓頻率）6作諧振動的物體在2冗秒內完成振動的次數，它與周期、頻率的關系為丁=紅 或6=2仙co6 .相位和初相 諧振動方程中（十中）項稱為相位，它決定著作諧振動的物體的狀態(tài)。t=0時的相位稱為初相，它由諧振動的初始條件決定，即應該注意，由此式算得的 中在02九范圍內有兩個可能取值，須根據 t=0時刻 的速度方向進行合理取舍。7 .旋轉矢量法作逆時針勻速率轉動的矢量，其長度等于諧振動的振幅 A,其 角速度等于諧振動的角頻率 ,且t=0時，它與x軸的夾角為諧振動的初相 中，t=t 時刻它與x軸的夾角為諧

4、振動的相位 機”。旋轉矢量A的末端在x軸上的投影點 的運動代表著質點的諧振動。8 .簡諧振動的能量作諧振動的系統(tǒng)具有動能和勢能，其動能Ek = mv2 = 1 m ，A2 sin2 （ t ：7）22勢能 E =1kx2kA2 cos2（ t+ ：i） p 22機械能 E 二 Ek Ep =kA29 .兩個具有同方向、同頻率的簡諧振動的合成其結果仍為一同頻率的簡諧振 動，合振動的振幅初相tan :=A1 sin 1A2 sin 2A1 cos :1A2 cos 2（1）當兩個簡諧振動的相差 % =2kn （k=0,士1*）時，合振動振幅最大，為A1 +A2,合振動的初相為、或中2 當兩個簡諧振

5、動的相差 %中1=(2k + 1)兀(k=0,±1,±2,)時，合振動的振幅 最小，為| A1 A2 ,合振動的初相與振幅大的相同。10 .機械波產生的條件機械波的產生必須同時具備兩個條件：第一，要有作機械振動的物體一一波源；第二，要有能夠傳播機械波的載體一一彈性媒質。11 .波長人 在同一波線上振動狀態(tài)完全相同的兩相鄰質點間的距離(一個完整波的長度)，它是波的空間周期性的反映。12 .周期與頻率 波前進一個波長的距離所需的時間，它反映了波的時間周期性。周期的倒數稱為頻率，波源的振動頻率也就是波的頻率。13 .波速u單位時間里振動狀態(tài)(或波形)在媒質中傳播的距離，它與波源的

6、振動速度是兩個不同的概念。波速U、波長九、周期T (頻率V )之間的關系為 1T14 .平面簡諧波的波動方程 如果平面波沿x軸正向傳播，則其波動方程為若波沿x軸的負向傳播，則其波動方程為其中”為坐標原點的初相。15 .波的能量 波動中的動能和勢能之和，其特點是同體積元中的動能和勢能相等：(1)在平衡位置處，動能最大，勢能也最大；(2)在最大位移處，動能最小(為零)，勢能也最小(為零)；(3)當媒質質元從最大位移處回到平衡位置的過程中：它從相鄰的一段媒質質元獲得能量，其能量逐漸增加。(4)當媒質質元從平衡位置運動到最大位移處的過程中：它把自己的能量傳 給相鄰的一段質元，其能量逐漸減小。16 .波

7、的干涉 滿足相干條件(同頻率、同振動方向且相位差恒定)的兩列波 的疊加，其規(guī)律是:(1)若兩列波的相位差 . 二 .2 一 一2二 11二1 =2k二(k =0, 1, 2,) 九則合成振動的振幅有極大值：A = Ai +A2 ,為干涉加強(相長干涉)。(2)若兩列波的相位差；：.=.2-q； _2 二過二！ =(2k . 1)二(k=0, 1, 2,) 九合成振動的振幅有極小值：A= A1 A2為干涉減弱，當 A=A時，相消干涉。17 .駐波 無波形和能量傳播的波稱為駐波，它由兩列同振幅的相干波在同一直線上沿相反方向傳播時疊加而成，是波的干涉中的一個特例。其振幅隨 x作周 期變化，因而為分段

8、的獨立振動，有恒定的波腹和波節(jié)出現。10-1兩倔強系數分別為k1和k2的輕彈簧串聯在一起，下面接著質量為m的物體，構成一個豎掛的彈簧諧振子，則該系統(tǒng)的振動周期為 T=2”2kJ(B)T =2 二: k1 k2k1k2m(C) T=2小匕+;k1k2(D)T =2 二2m: k1k210-2 一倔強系數為k的輕彈簧截成三份，取出其中的兩根，將它們并聯在k起，下面掛一質量為 m的物體，如圖所示。則振動系統(tǒng)的頻率為(A)(B)(C)3k，m(D)1 k2二 13m10-4已知兩個簡諧振動如圖所示。(A)(C)落后兀X1的位相比X2的位相落后5(D) 超前n10-5 一質點作簡諧振動，周期為 T,當它

9、由平衡位置向x軸正方向運動時, 從二分之一最大位移處到最大位移處這段路程所需要的時間為：(A) T(B)工412(C) -(D)-6810-7 一簡諧振動曲線如圖所示，則振動周期是:(A) 2.62 s(B) 2.40 s(C) 2.20 s(D) 2.00 s10-8 一彈簧振子和一個單擺(只考慮小幅度擺動)，在地面上的固有振動周期-和-2,則有:分別為T1和T2。將它們拿到月球上去，相應的周期分別為(A) ' > T1 且-2 > T 2(B)'v T1 且-2 V -2(C) -= T1 且 t2= -2(D) -= -1 且 t2> -210-13 一

10、彈簧振子作簡諧振動，振幅為A,周期為-,其運動方程用余弦函數表示，若t = 0時，(1)振子在負的最大位移處，則初位相為 ;(2)振子在平衡位置向正方向運動，則初位相為 ;(3)振子在位移為A處，且向負方向運動，則初位相為。210-14已知兩個簡諧振動的振動曲線如圖所示，X1的位相比X2的位相超前。10-18 一質點作簡諧振動，其振動曲線如圖所示。根據此圖，它 的周期-=,用余弦函數描述時，初位相 =10-19兩個同方向同頻率的簡諧振動，其振動表達式分別為:11x1 =6x10cos(5t+-n) (SI) , x? =2 父10/ sin(n 5t) (SI)。它們的合振動的振幅10-22

11、簡諧振動的振動曲線如圖所示，求振動方程。10-25 一質點同時參與兩個同方向的簡諧振動，其振動方程分別為:211x1=5M10 cos(4t+-n), x2 =3 父102 sin(4t- n) ( SI)36畫出兩振動的旋轉矢量圖，并求合振動的振動方程。10-26兩個同方向的簡諧振動的振動方程分別為:21、x1 =4x10 cos2n(t+), 8x2 =3M10/cos2n(t+1) (SI)求合振動方程。410-32 一質點按如下規(guī)律沿x軸作簡諧振動x = 0.1cos(8nt)(SI),求此振動的周期、振幅、初相、速度最大值和加速度最大值。10-33如圖所示，一質量為 m的滑塊，兩邊分

12、別與倔強系數為k1和k2的輕彈簧聯接，兩彈簧的另外兩端分別固定在墻上,滑塊m可在光滑水平面上滑動，O點為系統(tǒng)平衡位置，將滑塊 m向左移動到x。，自靜止釋放，并從釋放時開始計時,取坐標如圖示，則其振動方程為:(A)k1k2x = x0 cos,tm(B)x =x0 coskkzm(k1 k2)t 二k1 m0(C)x =x° cos:(D)x = x0 cosk1k2 i121，mk1 k2 x i12 t 一 10-34一彈簧振子，當把它水平放置時，它作諧振動。若把它豎直放置或放在 光滑斜面上，試判斷下面那種情況是正確的:(A)豎直放置作諧振動，放在光滑斜面上不作諧振動。(B)豎直放

13、置不作諧振動，放在光滑斜面上作諧振動。(C)兩種情況都作諧振動。(D)兩種情況都不作諧振動。10-36兩個同方向的諧振動曲線x (cm)如圖所示，合振動的振幅,合振動的振動方程A A O-A -A(t)2 (t)10-37有兩個相同的彈簧，其倔強系數均為k0把它們串聯起來，下面掛個質量為m的重物，此系統(tǒng)作簡諧振動的周期為,把它們并聯起來，下面掛一個質量為m的重物，此系統(tǒng)作簡諧振動的周期為10-41已知一平面簡諧波的波動方程為y = Acos(atbx), (a、b 為正值),則(A)波的頻率為a。(B)波的傳播速度為b o a(D)波的周期為2n0a10-42 一沿x軸負方向傳播的平面簡諧波在

14、t = 2s時的波形曲線如圖所示,則原點。的振動方程為:y0.5u=1m/s(A)(B)(C)(D)1y =0.50cos(;it + 兀)(SI)2y =0.50cos(工 Jt - n) (SI )2211y =0.50cos(irt 十一 n) (SI)2211、y =0.50cos(E 十一 n) (SI)42O-0.510-43 一平面簡諧波以速度u沿x軸正方向傳播，在1=1'時波形曲線如圖所示。則坐標原點。的振動方程為:(A)(B)(0(D)y = acosu(t -t ) b2uy = a cos2二-(t -t ) b 2.u”y =acos二 g(t -t )uy =

15、acos二 b (t -t )-10-48 一平面簡諧波沿x軸正向傳播,=0時刻的波形如圖所示，則 P處質(SI)點的振動方程為:1 、(A ) y p =0.10cos(4兀t +n)31 、 一(B) yp =0.10cos(4irt 一1H)(SI)31 、(C) yp =0.10 cos(2irt+n)(SI)31 、(D) yp =0.10cos(2ji+兀)(SI)610-49 平面簡諧波在彈性媒質中傳播，在某一瞬時，媒質中某質元正處于平衡位置，此時它的能量是：(A)動能為零，勢能最大。(B)動能為零，勢能為零。(C)動能最大，勢能最大。(D)動能最大，勢能為零。 10-50 平面

16、簡諧波在彈性媒質中傳播，從媒質質元在最大位移處回到平衡位置的過程中：(A)它的勢能轉化為動能。(B)它的動能轉化為勢能。(C)它從相鄰的一段媒質質元獲得能量，其能量逐漸增加。(D)它把自己的能量傳給相鄰的一段質元，其能量逐漸減小。10-52如圖所示，&與&是兩相干波的波源，它們的振動方向均垂直于圖面，發(fā)出波長為人的簡諧波，P點是兩列波相遇區(qū)域中的一點，已知SP=2£, S2P=2.2人,Si的振動萬程為y1 =Acos(2nt+-n),則S2的振動SiS 2兩列波在P點發(fā)生相消干涉，若 方程為：1 、(A) V2 = Acos(2二t - 金二)(B) y2 = Ac

17、os(2 ：t -二)1 、(C) y2 =Acos(2-：t)2(D) y2 = Acos(2二t - 0.1 二)10-53在駐波中，兩個相鄰波節(jié)間各質點的振動:(A)振幅相同，位相相同。(B)振幅不同，位相相同。(C)振幅相同，位相不同。(D)振幅不同，位相不同。10-56沿著相反方向傳播的兩列相干波，其波動方程為：y1=Acos2n(vt _),九和y2 =Acos2n(vt +)。疊加后形成的駐波中，波節(jié)的位置坐標為： 九1(A) x = ±k九(B) x = ±k九小 v _ 0 1).(2k 1)，(C>/ x 士( D) x = 士o24其中k = 0

18、、1、2、310-57 一余弦橫波以速度u沿x軸正 方向傳播，t時刻波形曲線如圖所示。試 分別指出圖中A、B、C各質點在t時刻的 運動方向。10-58 一聲波在空氣中的波長是0.25m,波的傳播速度為 340 m/s ,當它進入 另一介質時波長變成了 0.37m,它在該介質中傳播的速度為 。10-59已知波源的振動周期為4.00M10”s,波的傳播速度為300 m/s波沿x軸正 方向傳播，則位于x1 =10.0m和x2 =16.0m的兩個質點振動的位相差為10-61圖為t=時一平面簡諧波的波形曲線，則其波動方程為10-62在簡諧波的一條傳播路徑上，相距0.2m兩點的振動位相差為 -o又知2振動

19、周期為0.4s ,則波長為,波速為。10-68 一弦上的駐波表達式為 y = 0.1cos(nx)cos(9Qjit) (SI).形成該駐波的兩個反向傳播的行波的波長為 10-74 一平面簡諧波沿x軸正向傳播， 其振幅為A,頻率為v,波速為u.設t =t， 時刻的波形曲線如圖所示。求：(1) x = 0 處質點振動方程；(2)該波的波動方程.,頻率為九=0.2m ,u =25m /s ,10-75 橫波方程為 y =Acos芻(utx),式中 A =0.01m, 求t = 0.1s 時在x = 2m處質點振動的位移、速度、加速度.10-80如圖所示，S與S為兩平面簡諧波相干波源，&的位

20、相比S的位相超 前；n ,波長九=8.00m , =12.0m , r2 =14.0m ,$在p點引起的振動振幅為 0.30 m &在p 點引起的振動振幅為0.20m,求P點的合振 幅。10-84 一平面簡諧波沿 Ox軸正方向傳播,一平面簡諧波沿 Ox軸負方向傳播，波動方程為 y =2Acos2n(vt +)。求：(1) x=二處介質質點的合振動方程；4(2) x = L處介質質點的速度表達式。波動方程為 y = Acos2兀(vt-x),而另410-85如圖所示，三個同頻率，振動方向相同(垂直紙面)的簡諧波，在傳播過程SOS2S31y1二 Acos( t 萬二)1y3 =2Acos(

21、 t - r:, y2 = A cosot和振幅A=y頻率10-89 一簡諧波沿X軸負方向傳播，波的表達式為y = 0.02cos(2nt+nx)(SI).則x=m處P點的振動方程為 10-90如圖，一平面簡諧波沿 Ox軸傳播,0波動方程y = Acos2n(vt且)+邛，求:(1) P處質點的振動方程:(2)該質點的速度表達式與加速度表達式。10-95 一列平面簡諧波在媒質中以波速u=5m/s沿x軸正向傳播，原點 Oy(cm)2 O 2處質元的振動曲線如圖所示,畫出x=25m處質元的振動曲線t(s)中在。點相遇；若三個簡諧波各自單獨在Si、S2和&的振動方程分別為：).且S2 O =

22、 4九，SO = S3 O =5九，(九為波長)。求：。點的合振動方程。(設傳播過程中各波振幅不變)10-86 一平面簡諧波沿x軸正方向傳 播u=100m s, t = 0 時刻的波形曲線如 圖所示。波長畫出t=3s時的波形曲線。10-97一波沿繩子傳播，其波的表達式為y = 0.05cos(100虱2nx)(SI)(1)求此波的振幅，波速，頻率和波長。(2)求繩子上各質點的最大振動速度和最大振動加速度。(3)求xi=0.2m處和X2=0.7m處二質點振動的位相差P處質10-98 一平面簡諧波沿x軸正向傳播，t=0時刻的波形圖如圖所示，則y(cm)O P(A)A(C)點的振動在t=0時刻的旋轉

23、矢量圖是第10章自測題一、選擇題:3.彈簧振子在光滑水平面上作簡諧振動時，彈性力在半個周期內所作的功為:21 o(A) kA2(B) 1kA225.圖中所畫的是兩個簡諧振動的振動曲線，若這兩個簡諧振動可疊加，則合成的余弦振動的初相位為：(A) 3 n (B) 汽2-1_(C) 2 汽(D)06.當質點以頻率v作簡諧振動時，它的動能的變化頻率為(A) v(B) 2 V(C) 4 V(D) -1V29.(本題3分)在波長為人的駐波中，兩個相鄰波腹之間的距離為(A) L(B) &(C)匹 (D)九 424二、填空題12 .（本題3分）所示為一平面簡諧波在t = 2s 時刻的波形圖，波的振幅為

24、0.2m,周期為4so則圖中P處質點的振動方程為 。13 .（本題3分）兩個彈簧諧振子的周期都是 0.4s,設開始時第一個振子從平衡位置向負方向運動，經過0.5s后，第二個振子才從正方向的端點開始運動，則這兩振動周相差為。16 .（本題3分）已知平面簡諧波的波動方程為 y=Acos（BtCx）,式中A、B、C為正常數，則此的波長是 ；波速是；在傳播方向上相距為d的兩點的振動位相差是。三、計算題20 .（本題5分）質量為2kg的質點，按方程x = 0.2sin5t-（冗/6）（SI）沿著x軸振動。求：（1） t=0時，作用于質點的力的大??；（2）作用于質點的力的最大值和此時質點的位置23.（本題10分）如圖所示，一平面簡諧波在t=0時刻的波形圖，求(1)該波的波動表達式;y(m)(2) P處質點的振動方程。第10章振動和波動答案u=0.08m/sPx(m)O 0.20 0.40 0.60-0.0410-1(C)10-2(B)10-4 (B)10-5(C)10-7(B)10-8