專升本高等數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)匯總

1、常用知識(shí)點(diǎn)：一、常見函數(shù)的定義域總結(jié)如下：（1）一般形式的定義域：xR（2） 分式形式的定義域：x0（3） 根式的形式定義域：x0（4） 對(duì)數(shù)形式的定義域：x0二、函數(shù)的性質(zhì)1、函數(shù)的單調(diào)性當(dāng)時(shí)，恒有，在所在的區(qū)間上是增加的。當(dāng)時(shí)，恒有，在所在的區(qū)間上是減少的。2、 函數(shù)的奇偶性定義：設(shè)函數(shù)的定義區(qū)間關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱（即若，則有）(1) 偶函數(shù)，恒有。(2) 奇函數(shù)，恒有。三、基本初等函數(shù)1、常數(shù)函數(shù)：，定義域是，圖形是一條平行于軸的直線。2、冪函數(shù)：， (是常數(shù))。它的定義域隨著的不同而不同。圖形過原點(diǎn)。3、指數(shù)函數(shù)定義:， (是常數(shù)且，).圖形過（0,1）點(diǎn)。4、對(duì)數(shù)函數(shù)定義:， (是常數(shù)

2、且，)。圖形過（1,0）點(diǎn)。5、三角函數(shù)(1) 正弦函數(shù):， ， 。(2) 余弦函數(shù):.， ， 。(3) 正切函數(shù):.， ， .(4) 余切函數(shù):.， ， .5、反三角函數(shù)(1) 反正弦函數(shù):，。(2) 反余弦函數(shù):，。 (3) 反正切函數(shù):，。(4) 反余切函數(shù):，。極限一、求極限的方法1、代入法 代入法主要是利用了“初等函數(shù)在某點(diǎn)的極限，等于該點(diǎn)的函數(shù)值。”因此遇到大部分簡單題目的時(shí)候，可以直接代入進(jìn)行極限的求解。2、傳統(tǒng)求極限的方法（1）利用極限的四則運(yùn)算法則求極限。（2）利用等價(jià)無窮小量代換求極限。（3）利用兩個(gè)重要極限求極限。（4）利用羅比達(dá)法則就極限。二、函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則設(shè)，

3、 ，則（1）（2）. 推論（a)， (為常數(shù))。（b）（3）， ().（4）設(shè)為多項(xiàng)式， 則（5）設(shè)均為多項(xiàng)式， 且， 則三、等價(jià)無窮小常用的等價(jià)無窮小量代換有：當(dāng)時(shí)，。對(duì)這些等價(jià)無窮小量的代換，應(yīng)該更深一層地理解為：當(dāng)時(shí)，其余類似。四、兩個(gè)重要極限重要極限I 。它可以用下面更直觀的結(jié)構(gòu)式表示：重要極限II 。其結(jié)構(gòu)可以表示為：八、洛必達(dá)(LHospital)法則“”型和“”型不定式，存在有（或）。一元函數(shù)微分學(xué)一、導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在處取得增量（點(diǎn)仍在該鄰域內(nèi)）時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)取得增量。如果當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增量與自變量的增量之比的極限= 注意兩個(gè)符號(hào)和在題目中可能換成

4、其他的符號(hào)表示。二、求導(dǎo)公式1、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式（1）(為常數(shù))（2）（為任意常數(shù)）（3） 特殊情況（4）， （5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）2、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算公式（1）（2）（3）（為常數(shù)） （4）3、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式：設(shè), ，且及都可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為。三、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1、函數(shù)的單調(diào)性則在內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加。則在內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)減少。2、函數(shù)的極值的點(diǎn)函數(shù)的駐點(diǎn)。設(shè)為（1）若時(shí)，；時(shí)，則為的極大值點(diǎn)。（2）若時(shí)，；時(shí)，則為的極小值點(diǎn)。（3）如果在的兩側(cè)的符號(hào)相同，那么不是極值點(diǎn)。3、曲線的凹凸性，則曲線在內(nèi)是凹的。，則曲線在內(nèi)是凸的。4、曲線的拐點(diǎn)（1）當(dāng)在的左、右兩側(cè)

5、異號(hào)時(shí)，點(diǎn)為曲線的拐點(diǎn)，此時(shí).（2）當(dāng)在的左、右兩側(cè)同號(hào)時(shí)，點(diǎn)不為曲線的拐點(diǎn)。5、函數(shù)的最大值與最小值極值和端點(diǎn)的函數(shù)值中最大和最小的就是最大值和最小值。四、微分公式，求微分就是求導(dǎo)數(shù)。一元函數(shù)積分學(xué)一、不定積分1、定義，不定積分是求導(dǎo)的逆運(yùn)算，最后的結(jié)果是函數(shù)+C的表達(dá)形式。公式可以用求導(dǎo)公式來記憶。2、不定積分的性質(zhì)（1）或（2）或（3）。（4）（為常數(shù)且）。2、基本積分公式（要求熟練記憶）（1）（2）.（3）. （4）（5）（6）（7）（8）.（9）. （10）.（11）.3、第一類換元積分法對(duì)不定微分，將被積表達(dá)式湊成，這是關(guān)鍵的一步。常用的湊微分的公式有：（1）（2）（3）（4）（5

6、）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）4、分部積分法二、定積分公式1、（牛頓萊布尼茨公式） 如果是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的任意一個(gè)原函數(shù)，則有。2、ya o b x計(jì)算平面圖形的面積如果某平面圖形是由兩條連續(xù)曲線及兩條直線和所圍成的（其中是下面的曲線，是上面的曲線），則其面積可由下式求出：o a x x+dx b xy 3、計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的體積設(shè)某立體是由連續(xù)曲線和直線及軸所圍平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體，如圖所示。則該旋轉(zhuǎn)體的體積可由下式求出：多元函數(shù)微分學(xué)1、 偏導(dǎo)數(shù)，對(duì)某個(gè)變量求導(dǎo)，把其他變量看做常數(shù)。2、全微分公式：。3、復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)利用函數(shù)結(jié)構(gòu)圖如果、在點(diǎn)

7、處存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且在對(duì)應(yīng)于的點(diǎn)處，函數(shù)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處存在對(duì)及的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，。4、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對(duì)于方程所確定的隱函數(shù)，可以由下列公式求出對(duì)的導(dǎo)數(shù)：，2、隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)對(duì)于由方程所確定的隱函數(shù)，可用下列公式求偏導(dǎo)數(shù)：， ，5、二元函數(shù)的極值設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，又設(shè)，則：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)處取得極值，且當(dāng)時(shí)有極大值，當(dāng)時(shí)有極小值。（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)處無極值。（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)處是否有極值不能確定，要用其它方法另作討論。平面與直線1、平面方程（1）平面的點(diǎn)法式方程：在空間直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)，以為法向量的平面方程為 稱之為平面的點(diǎn)法式方程（2

8、）平面的一般式方程 稱之為平面的一般式方程2、特殊的平面方程 表示過原點(diǎn)的平面方程表示平行于軸的平面方程表示過軸的平面方程表示平行于坐標(biāo)平面的平面方程3、兩個(gè)平面間的關(guān)系設(shè)有平面平面和互相垂直的充分必要條件是：平面和平行的充分必要條件是：平面和重合的充分必要條件是：4、直線的方程（1）直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程過點(diǎn)且平行于向量的直線方程稱之為直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程（又稱點(diǎn)向式方程、對(duì)稱式方程）。常稱為所給直線的方向向量（2）直線的一般式方程稱之為直線的一般式方程5、兩直線間關(guān)系設(shè)直線，的方程為直線，平行的充分必要條件為；直線，互相垂直的充分必要條件為6、直線與平面間的關(guān)系設(shè)直線與平面的方程為直線與平面垂直的充

9、分必要條件為：直線與平面平行的充分必要條件為：直線落在平面上的充分必要條件為將初等函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)1、定理: 設(shè)在內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù),且，則在內(nèi)稱上式為在點(diǎn)的泰勒級(jí)數(shù)?；蚍Q上式為將展開為的冪級(jí)數(shù)。2、幾個(gè)常用的標(biāo)準(zhǔn)展開式常微分方程1、一階微分方程（1）可分離變量的微分方程若一階微分方程通過變形后可寫成 或 則稱方程為可分離變量的微分方程.2、可分離變量微分方程的解方程必存在隱式通解。其中：,.即兩邊取積分。（2）一階線性微分方程1、定義：方程 稱為一階線性微分方程.(1) 非齊次方程；(2) 齊次方程 .2、求解一階線性微分方程（1）先求齊次方程的通解：, 其中為任意常數(shù)。（2）將齊次通解的換成

10、。即（3）代入非齊次方程, 得2、二階線性常系數(shù)微分方程（1）可降階的二階微分方程1、型的微分方程例3：求方程的通解.分析：；.2、型的微分方程解法：(1) 令，方程化為；(2) 解此方程得通解；(3) 再解方程得原方程的通解.3、型的微分方程解法：(1) 令, 并視為的函數(shù), 那么,(2) 代入原方程, 得(3) 解此方程得通解；(4) 再解方程得原方程的通解.例4：求方程的通解.分析：(1) 令, 并視為的函數(shù), 那么,(2) 代入原方程, 得或(3) 解上方程, 得, ().(4) 再解方程.(5) 于是原方程的通解為, ()（2）常系數(shù)線性微分方程（1）、二階常系數(shù)齊次線性方程的解。寫出特征方程并求解.下面記,為特征方程的兩個(gè)根.（