_定積分的背景——面積和路程問題

1、第四章 定積分1 定積分的概念1.1 定積分的背景面積和路程問題以上由曲線圍成的圖形的面積該怎樣計(jì)算？以上由曲線圍成的圖形的面積該怎樣計(jì)算？ 我們學(xué)過如何求正方形、長方形、三角形等的我們學(xué)過如何求正方形、長方形、三角形等的面積，這些圖形都是由直線段圍成的面積，這些圖形都是由直線段圍成的. .那么，如何求那么，如何求曲線圍成的平面圖形的面積呢？這就是定積分要解曲線圍成的平面圖形的面積呢？這就是定積分要解決的問題決的問題. . 定積分在科學(xué)研究和實(shí)際生活中都有非常廣泛定積分在科學(xué)研究和實(shí)際生活中都有非常廣泛的應(yīng)用的應(yīng)用. .本節(jié)我們將了解定積分的實(shí)際背景；借助幾本節(jié)我們將了解定積分的實(shí)際背景；借助

2、幾何直觀體會定積分的基本思想，初步了解定積分的何直觀體會定積分的基本思想，初步了解定積分的概念概念. .1.1.了解定積分的實(shí)際背景了解定積分的實(shí)際背景. . 2.2.理解理解“以直代曲以直代曲”“”“無限分割無限分割”的思想，初步掌握的思想，初步掌握求曲邊梯形面積的求曲邊梯形面積的“三步曲三步曲”“分割、求和、近分割、求和、近似估值似估值”. .（重點(diǎn)重點(diǎn)）3.3.了解了解“誤差估計(jì)誤差估計(jì)”的方法的方法. (. (難點(diǎn)難點(diǎn)）xoy 圖中陰影部分是由曲線段和直線段圍成的，通常圖中陰影部分是由曲線段和直線段圍成的，通常稱這樣的平面圖形為曲邊梯形稱這樣的平面圖形為曲邊梯形. .)(xfy ab曲

3、邊梯形定義：曲邊梯形定義： 我們把由直線我們把由直線 x = ax = a，x =b (abx =b (ab) )， y = 0y = 0和和曲線曲線y = f (x) y = f (x) 所圍成的圖形叫作曲邊梯形所圍成的圖形叫作曲邊梯形. .探究點(diǎn)探究點(diǎn)1 1 曲邊梯形的定義曲邊梯形的定義對曲邊梯形概念的理解：對曲邊梯形概念的理解：（1 1）曲邊梯形是由曲線段和直線段所圍成的平面）曲邊梯形是由曲線段和直線段所圍成的平面圖形圖形. .（2 2）曲邊梯形與）曲邊梯形與“直邊圖形直邊圖形”的主要區(qū)別在于前者的主要區(qū)別在于前者有一邊是曲線段而有一邊是曲線段而“直邊圖形直邊圖形”的所有邊都是直線的所有

4、邊都是直線段段. .探究點(diǎn)探究點(diǎn)2 2 估計(jì)曲邊梯形的面積估計(jì)曲邊梯形的面積 我們曾經(jīng)用正多邊形逼近圓我們曾經(jīng)用正多邊形逼近圓的方法的方法 ( (即即“以直代曲以直代曲”的思想的思想) ) 計(jì)算出了圓的面積，能否也用直計(jì)算出了圓的面積，能否也用直邊形邊形( (如矩形如矩形) )逼近曲邊梯形的方逼近曲邊梯形的方法求陰影部分的面積呢？法求陰影部分的面積呢？問題問題1 1 圖中陰影部分是由拋物線圖中陰影部分是由拋物線 ，直線，直線以及以及 x x 軸所圍成的平面圖形，試估計(jì)這個曲邊梯形軸所圍成的平面圖形，試估計(jì)這個曲邊梯形的面積的面積 S S . . 2xy 1xxoy12xy xoy1分析分析 首

5、先，將首先，將區(qū)間區(qū)間00，1515等分，如圖所示等分，如圖所示. .1S 圖圖 (1) (1) 中，所有小矩形的面積之和（記為中，所有小矩形的面積之和（記為S S1) )顯顯然大于所求的曲邊梯形的面積，我們稱然大于所求的曲邊梯形的面積，我們稱S S1為為S S的過剩的過剩估計(jì)值，估計(jì)值，有有44. 02 . 0)18 . 06 . 04 . 02 . 0(222221S（1 1）xoy1 圖圖 (2) (2) 中，所有陰影小矩形的面積之和中，所有陰影小矩形的面積之和( (記為記為s s1 1) )顯然小于所求曲邊梯形的面積，我們稱顯然小于所求曲邊梯形的面積，我們稱s s1 1為為S S的不足

6、的不足估計(jì)值，估計(jì)值，有有1s24. 02 . 0)8 . 06 . 04 . 02 . 00(222221s. .（2 2）xoy1思考思考：我們可以用我們可以用S S1 1或或s s1 1近似表示近似表示S S，但是都存在，但是都存在誤差，誤差有多大呢？誤差，誤差有多大呢？提示：提示：二者之差為二者之差為S S1 1- -s s1 1=0.2=0.2如圖如圖(3)(3)中陰影所示，無論用中陰影所示，無論用S S1 1還是用還是用s s1 1來表示曲邊來表示曲邊梯形的面積，誤差都不會超過梯形的面積，誤差都不會超過0.2.0.2.（3 3）xoy1(4) 為了減小誤差，我們將區(qū)間為了減小誤差，

7、我們將區(qū)間0，1 10等分，則等分，則所求面積的過剩估計(jì)值為所求面積的過剩估計(jì)值為385. 01 . 0)12 . 01 . 0(2222S285. 01 . 0)9 . 02 . 01 . 00(22222s不足估計(jì)值為不足估計(jì)值為 二者的差值為二者的差值為S S2 2-s-s2 2=0.1=0.1，此時，無論用，此時，無論用S S2 2還是用還是用s s2 2來表示來表示S S，誤差都不超過，誤差都不超過0.1.0.1.結(jié)論：結(jié)論：區(qū)間分得越細(xì)，誤差越區(qū)間分得越細(xì)，誤差越小小. .當(dāng)被分割成的小區(qū)間的長度當(dāng)被分割成的小區(qū)間的長度趨于趨于0 0時，過剩估計(jì)值和不足估時，過剩估計(jì)值和不足估計(jì)值

8、都會趨于曲邊梯形的面積計(jì)值都會趨于曲邊梯形的面積. . . .練一練：練一練： 求曲線求曲線y=xy=x3 3與直線與直線x=1,y=0 x=1,y=0所圍成的平面圖所圍成的平面圖形的面積的估計(jì)值，并寫出估計(jì)誤差形的面積的估計(jì)值，并寫出估計(jì)誤差. .（把區(qū)間（把區(qū)間00，1 51 5等分來估計(jì)）等分來估計(jì)）解析解析 把區(qū)間把區(qū)間 00，11 5 5等分，以每一個小區(qū)間等分，以每一個小區(qū)間左右端點(diǎn)的函數(shù)值作為小矩形的高，得到不足左右端點(diǎn)的函數(shù)值作為小矩形的高，得到不足估計(jì)值估計(jì)值 和過剩估計(jì)值和過剩估計(jì)值 ，如下：，如下：1s1S1s36. 02 . 0)18 . 06 . 04 . 02 .

9、0(16. 02 . 0)8 . 06 . 04 . 02 . 00(33333333331S1S1s估計(jì)誤差不會超過估計(jì)誤差不會超過 - =0.2- =0.2探究點(diǎn)探究點(diǎn)3 3 估計(jì)變速運(yùn)動的路程估計(jì)變速運(yùn)動的路程 已知勻速運(yùn)動物體的速度已知勻速運(yùn)動物體的速度v和運(yùn)動的時間和運(yùn)動的時間t, ,我們可以求出它走過的路程我們可以求出它走過的路程s=vt, ,那么如何求非那么如何求非勻速運(yùn)動的物體走過的路程呢？勻速運(yùn)動的物體走過的路程呢？問題問題2 想象這樣一個場景：一輛汽車的司機(jī)猛踩剎車，想象這樣一個場景：一輛汽車的司機(jī)猛踩剎車，汽車滑行汽車滑行5s后停下，在這一過程中，汽車的速度后停下，在這一

10、過程中，汽車的速度 v （單位：（單位：m/s)是時間是時間 t 的函數(shù)：的函數(shù)：請估計(jì)汽車在剎車過程中滑行的請估計(jì)汽車在剎車過程中滑行的距離距離 s .)50(2510)(2ttttv分析：分析：由已知，汽車在剛開始剎車時的速度是由已知，汽車在剛開始剎車時的速度是v v(0)=25(0)=25m/sm/s, ,我們可以用這個速度來近似替代汽車在我們可以用這個速度來近似替代汽車在這段時間內(nèi)的平均速度，求出汽車的滑行距離：這段時間內(nèi)的平均速度，求出汽車的滑行距離：s s=25=255=125(m)5=125(m)但顯然，這樣的誤差太大了但顯然，這樣的誤差太大了. .為了提高精確度，我們可以采用分

11、割滑行時間的方法為了提高精確度，我們可以采用分割滑行時間的方法來估計(jì)滑行距離來估計(jì)滑行距離. .首先，將滑行的時間首先，將滑行的時間5s5s平均分成平均分成5 5份份. .我們分別用我們分別用v v(0),(0),v v(1),(1),v v(2),(2),v v(3),(3),v v(4) (4) 近似替代汽近似替代汽車在車在0 01s1s、1 12s2s、2 23s3s、3 34s4s、4 45s5s內(nèi)的平均速內(nèi)的平均速度，求出滑行距離度，求出滑行距離s s1 1：)(551)4()3()2()1()0(1mvvvvvs由于由于v v是下降的，所以顯然是下降的，所以顯然s s1 1大于大于

12、s,s,我們稱它為汽我們稱它為汽車在車在5 s5 s內(nèi)滑行距離的過剩估計(jì)值內(nèi)滑行距離的過剩估計(jì)值. .用用v v(1),(1),v v(2),(2),v v(3),(3),v v(4),(4),v v(5)(5)分別近似替代汽車分別近似替代汽車在在0 01s1s、1 12s2s、2 23s3s、3 34s4s、4 45s5s內(nèi)的平均速內(nèi)的平均速度，求出汽車在度，求出汽車在5 5s s內(nèi)滑行距離的不足估計(jì)值內(nèi)滑行距離的不足估計(jì)值 ：)(301)5()4()3()2()1(1mvvvvvs1s不論用過剩估計(jì)值不論用過剩估計(jì)值s s1 1還是不足估計(jì)值還是不足估計(jì)值 表示表示s s，誤差都不超過：誤

13、差都不超過：1s)(2511mss要對區(qū)間多少等分時，才能保證估計(jì)誤差小于要對區(qū)間多少等分時，才能保證估計(jì)誤差小于0.10.1？為了得到更加精確的估計(jì)值，可以將滑行時間分為了得到更加精確的估計(jì)值，可以將滑行時間分得更細(xì)些，因?yàn)槲覀冎?，滑行時間的間隔越小，得更細(xì)些，因?yàn)槲覀冎?，滑行時間的間隔越小，用其中一點(diǎn)的速度代替這段時間內(nèi)的平均值，其用其中一點(diǎn)的速度代替這段時間內(nèi)的平均值，其速度誤差就越小速度誤差就越小. .比如，將滑行時間比如，將滑行時間5s5s平均分成平均分成1010份份. .用類似的方法得到汽車在用類似的方法得到汽車在5s5s內(nèi)滑行距離的過剩估內(nèi)滑行距離的過剩估計(jì)值計(jì)值s s2 2

14、：)(125.485 . 0)5 . 4()4()1()5 . 0()0(2mvvvvvs結(jié)論結(jié)論 滑行時間等分得越細(xì)，誤差越小滑行時間等分得越細(xì)，誤差越小. .當(dāng)滑行時間當(dāng)滑行時間被等分后的小時間間隔的長度趨于被等分后的小時間間隔的長度趨于0 0時，過剩估計(jì)值時，過剩估計(jì)值和不足估計(jì)值就趨于汽車滑行的路程和不足估計(jì)值就趨于汽車滑行的路程. .)(625.355 . 0)5()2()5 . 1()1()5 . 0(2mvvvvvs)(5 .12625.35125.4822mss汽車在汽車在5s5s內(nèi)滑行距離的不足估計(jì)值內(nèi)滑行距離的不足估計(jì)值 ：2s無論用無論用s s2 2還是還是 表示汽車的滑

15、行距離表示汽車的滑行距離s s，誤差都不超過誤差都不超過2s抽象概括抽象概括 前面，我們通過前面，我們通過“以直代曲以直代曲”的逼近方法解決了求的逼近方法解決了求曲邊梯形的面積的問題，對于變速運(yùn)動路程的步驟：曲邊梯形的面積的問題，對于變速運(yùn)動路程的步驟：分割區(qū)間分割區(qū)間過剩估計(jì)值過剩估計(jì)值不足估計(jì)值不足估計(jì)值逼近所求路程逼近所求路程所分區(qū)間長度所分區(qū)間長度趨于趨于 0 估計(jì)值趨于所求值估計(jì)值趨于所求值 1. 1. 在在“近似替代近似替代”中，函數(shù)中，函數(shù)f(xf(x) )在區(qū)間在區(qū)間x xi i,x,xi+1i+1上上的近似值等于（的近似值等于（ ）A.A.只能是區(qū)間的左端點(diǎn)的函數(shù)值只能是區(qū)間

16、的左端點(diǎn)的函數(shù)值f(xf(xi i) )B.B.只能是區(qū)間的右端點(diǎn)的函數(shù)值只能是區(qū)間的右端點(diǎn)的函數(shù)值f(xf(xi+1i+1) )C.C.可以是區(qū)間內(nèi)的任意一點(diǎn)的函數(shù)值可以是區(qū)間內(nèi)的任意一點(diǎn)的函數(shù)值f(f(i i) )（i ix xi i,x,xi+1i+1）D.D.以上答案均正確以上答案均正確解析解析 以直代曲，可以把區(qū)間以直代曲，可以把區(qū)間x xi,x,xi+1上的任意一點(diǎn)上的任意一點(diǎn)的函數(shù)值的函數(shù)值f(f(i) )（ix xi,x,xi+1）作為小矩形的高）作為小矩形的高. .C C2.2.已知自由落體的運(yùn)動速度已知自由落體的運(yùn)動速度v=gtv=gt，則估計(jì)在時間區(qū)，則估計(jì)在時間區(qū)間間0

17、,60,6內(nèi)，將時間區(qū)間內(nèi)，將時間區(qū)間1010等分時，物體下落的等分時，物體下落的距離的估計(jì)值可以為（距離的估計(jì)值可以為（ ）A.14g B.15g C.16g D.17gA.14g B.15g C.16g D.17g解析解析 由其過剩估計(jì)值與不足估計(jì)值分別為由其過剩估計(jì)值與不足估計(jì)值分別為19.8g19.8g、16.2g16.2g，則估計(jì)值應(yīng)在，則估計(jì)值應(yīng)在16.2g,19.8g16.2g,19.8g之間之間. .D D3.3.變速運(yùn)動的物體的速度和時間之間的函數(shù)關(guān)系式變速運(yùn)動的物體的速度和時間之間的函數(shù)關(guān)系式為為v(tv(t)=t+2)=t+2，估計(jì)該物體在區(qū)間，估計(jì)該物體在區(qū)間0,20,2內(nèi)運(yùn)動的內(nèi)運(yùn)動的路程路程. .若將區(qū)間若將區(qū)間1010等分，則其不足估計(jì)值為等分，則其不足估計(jì)值為_._.解析：把區(qū)間解析：把區(qū)間0,20,21010等分，取小區(qū)間的左端點(diǎn)等分，取小區(qū)間的左端點(diǎn)的函數(shù)值作為小區(qū)間的平均速度，可得不足估計(jì)值的函數(shù)值作為小區(qū)間的平均速度，可得不足估計(jì)值為：為：s=(2+2.2+2.4+2.6+2.8+3.0+3.2+3.4+3.6+s=(2+2.2+