2003年江蘇省高考數(shù)學試題

1、WORD格式2003 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試*卷數(shù)學理工農(nóng)醫(yī)類第一卷選擇題共60 分一、選擇題：本大題共12 小題，每題5 分，共 60 分 . 1如果函數(shù)yax2bxa 的圖象與 x 軸有兩個交點， 那么點 (a, b)在aOb平面上的區(qū)域 不包含邊界為bbbb專業(yè)資料整理WORD格式OaOaOaOa專業(yè)資料整理WORD格式(A)(B)(C)(D) 2拋物線yax2的準線方程是y2，那么a的值為11 C8D 8A B88 3x(,0), cos x4 ,那么 tg 2 x25A7B7C24D242424772x1, x 0, 4設函數(shù)f ( x)1假設 f ( x0 )1,那么 x0

2、的取值X圍是x 2 , x0A 1， 1B( 1,)C， 2 0，+ D， 11， + 5O是平面上一定點，A、 B、 C 是平面上不共線的三個點，動點P 滿足OP OA( ABAC ),0,那么P 的軌跡一定通過ABC 的ABACA 外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心專業(yè)資料整理WORD格式1專業(yè)資料整理WORD格式 6函數(shù)yx1(1,) 的反函數(shù)為ln, xx1A yex1, x(0,) B yex1(0,)ex1ex, x1Cyex1, x(,0) Dyex1, x(,0)ex1ex1 7棱長為a的正方體中，連結(jié)相鄰面的中心，以這些線段為棱的八面體的體積為a3a3a3a3A BCD34612

3、8設a0, f ( x)ax2bxc，曲線yf ( x) 在點P(x0, f (x0)處切線的傾斜角的取值X圍為0, 那么 P 到曲線 yf (x) 對稱軸距離的取值X圍為4A0,1B0,1 C0,bD 0,b 1a2a2a2a 9 方程(x22)(x22x)0 的四個根組成一個首項為1 的的等差數(shù)列，那么xmn4| m n |A1B3C1D3428 10雙曲線中心在原點且一個焦點為F7， 0，直線 y x 1與其相交于M、N 兩點， MN 中點的橫坐標為2，那么此雙曲線的方程是3A x 2y21 Bx2y21C x 2y21D x 2y 2134435225 11長方形的四個頂點A 0， 0

4、， B 2， 0， C 2， 1和 D 0，1，一質(zhì)點從 AB的中點P沿與 AB 的夾角P后，依次反射到CD、DA 和 AB0的方向射到 BC 上的點1上的點 P2、 P3和 P4入射角等于反射角 ，設 P4的坐標為 x4，0，假設 1x4 2 ，那么 tg的取值X圍是 A1，1B1，2C2，1D2，23335253 12一個四面體的所有棱長都為2，四個頂點在同一球面上，那么此球的外表積為A3B4C3 3D6專業(yè)資料整理WORD格式2專業(yè)資料整理WORD格式2003 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試*卷數(shù)學理工農(nóng)醫(yī)類第二卷非選擇題共 90 分二 .填空題：本大題共 4 小題，每題 4 分，共 1

5、6分 把答案填在題中橫線上 13( x21)9的展開式中 x9系數(shù)是2x 14某公司生產(chǎn)三種型號的轎車，產(chǎn)量分別為1200 輛， 6000 輛和 2000 輛 為檢驗該公司的產(chǎn)品質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取46 輛進展檢驗，這三種型號的轎車依次應抽取 _， _， _輛 15某城市在中心廣場建造一個花圃，花圃分為6 個局部如圖現(xiàn)要栽種4 種不同顏色的花， 每局部栽種一種且相鄰局部不能栽種同樣顏色的花，不同的栽種方法有_種以數(shù)字作答5 16對于四面體 ABCD ，給出以下四個命題61423假設AB AC, BDCD, 那么BC AD假設ABCD, ACBD, 那么BC AD假設ABAC, BDCD

6、,那么BC AD假設AB CD, ACBD ,那么BC AD其中真命題的序號是 _.寫出所有真命題的序號三、解答題：本大題共6 小題，共 74 分，解容許寫出文字說明，證明過程或或演算步驟 17本小題總分值12 分有三種產(chǎn)品，合格率分別為0.90,0.95 和 0.95，各抽取一件進展檢驗求恰有一件不合格的概率；求至少有兩件不合格的概率準確到0.001專業(yè)資料整理WORD格式3專業(yè)資料整理WORD格式 18本小題總分值 12 分已 知 函 數(shù) f (x)sin(x )(0,0)是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點M ( 3, 0 )對稱，且在區(qū)間0,上是單調(diào)函數(shù)求和的值42 19本小題總分值12 分如

7、圖，在直三棱柱ABCA1 B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB90，側(cè)棱AA12 ，D、E分別是CC1與A1B的中點，點E在平面ABD上的射影是ABD的重心G求 A1B 與平面ABD所成角的大小結(jié)果用反三角函數(shù)值表示求點 A1到平面AED的距離C 1AB11DEGCAB專業(yè)資料整理WORD格式4專業(yè)資料整理WORD格式 20本小題總分值12 分常數(shù) a0,向量 c(0, a), i(1,0) 經(jīng)過原點O以 ci 為方向向量的直線與經(jīng)過定點 A(0, a)以i2 c 為方向向量的直線相交于P，其中R 試問：是否存在兩個定點E、F，使得PEPF 為定值 假設存在，求出E、F的坐標；假設不存在，

8、說明理由（ 21本小題總分值 12 分 a 0, n 為正整數(shù)設 y (xa)n，證明 y ' n( x a) n 1；設 fn (x)xn( x a)n，對任意n a，證明 fn 1 '(n 1) (n 1) fn '(n)專業(yè)資料整理WORD格式5專業(yè)資料整理WORD格式 22本小題總分值14 分設 a0 ， 如 圖 ， 已 知 直 線 l : yax 及 曲 線C : yx2 , C 上 的 點 Q1的 橫 坐 標 為a1 (0a1a).從 C上的點 Qn (n1) 作直線平行于x軸，交直線l于點Pn 1，再從點Pn 1作直線平行于y軸，交曲線C于點 Qn1. Q

9、n ( n 1,2,3, an的橫坐標構(gòu)成數(shù)列試求 an 1與an的關(guān)系，并求an的通項公式；當 a1n1(ak1, a1時，證明ak 1) ak 22k132cn1yl當 a1時，證明( ak ak 1 )ak 23k 1r 2Q3r1Q2Q1O a1a2a3x專業(yè)資料整理WORD格式6專業(yè)資料整理WORD格式2003 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學試題*卷 答案一、選擇題：此題考察根本知識和根本運算，每題5 分，總分值60 分.1C2B3D4 D5 B6 B7 C8 B9C10 D11C12 A二、填空題：此題考察根本知識和根本運算，每題4 分，總分值16 分.1321146,30,1

10、015 120212三、解答題17本小題要主考察相互獨立事件概率的計算，運用數(shù)學知識解決問題的能力，總分值12 分 .解：設三種產(chǎn)品各抽取一件，抽到合格產(chǎn)品的事件分別為A、B 和 C. P( A)0.90, P( B)P(C)0.95 ，P( A)0.10, P(B)P(C)0.50.因為事件A ， B，C 相互獨立，恰有一件不合格的概率為P(A B C)P(A B C)P(A B C)P( A) P( B) P (C )P( A) P( B) P(C)P( A) P (B) P(C )20.900.950.050.100.950.950.176答：恰有一件不合格的概率為0.176.解法一：至

11、少有兩件不合格的概率為P(A B C) P(A B C) P(A B C) P(A B C)0.900.05220.100.050.950 .100.05 20.012解法二：三件產(chǎn)品都合格的概率為P(A B C)P( A)P(B)P(C)0.90 0.9520.812由 知，恰有一件不合格的概率為0.176 ，所以至有兩件不合格的概率為1 P(A B C)0.1761(0.8120.176)0.012.答：至少有兩件不合的概率為0.012. 18在小題主要考察三角函數(shù)的圖象和單調(diào)性、奇偶性等根本知識，以及分析問題和推理計算能力，滿12分分。解：由f (x)是偶函數(shù) ,得f (x) f ( x

12、),即 sin(x)sin( x),所以cossinxcossinx對任意 x都成立,且0,所以得 cos0.專業(yè)資料整理WORD格式7專業(yè)資料整理WORD格式依題設 0,所以解得.2由f (x)的圖象關(guān)于點 M對稱 ,得f (3x)f ( 3x),44取x0,得f (3 )sin( 34)cos3,424f ( 3 )sin( 3)cos34,442cos30,又0,得32k , k 1,2,3,442 (2k1), k0,1,2, .3當k時,22x)在 0,上是減函數(shù);0, f (x)sin(3322當k時,2, f (x) sin(2x)在0,上是減函數(shù);122當k時,10, f (

13、x)sin(x)在上不是單調(diào)函數(shù);03 0,22所以,綜合得2 或2.319本小題主要考察線面關(guān)系和直棱柱等根底知識，同時考察空間想象能力和推理運算能力.解法一：解：連結(jié)BG，那么 BG 是 BE 在面 ABD 的射影，即 EBG 是 A1B與平面ABD所成的角.設 F 為 AB 中點，連結(jié) EF、FC，D, E分別是 CC1 , A1B的中點 ,又DC平面ABC , CDEF 為矩形連結(jié) DE,G是 ADB的重心 , GDF .在直角三角形EFD中EF 2FGFD1FD2,EF1,FD3.3于是 ED2, EG126 .33FCCD2 ,AB2 2, A1B23, EB3.sinEG612E

14、BG33.EB3A1 B與平面 ABD所成的角是 arcsin2 .3連結(jié)A 1D，有VA1AEDVD AA1 EEDAB, EDEF ,又EFAB F,ED平面 A1 AB ,設A1到平面AED的距離為h，那么SAEDhS A ABED1又S A1AE1 S A1AB1 A1A AB2, S AED1AE ED6 .2422h22 26即 A 到平面 AED的距離為2 66.1.332解法二：連結(jié) BG ，那么 BG 是 BE 在面 ABD 的射影，即 A 1BG是A1B與平ABD所成的角.如下列圖建立坐標系，坐標原點為O，設 CA=2a，則 A(2 a,0,0),B(0,2a,0),D(0

15、,0,1)專業(yè)資料整理WORD格式8專業(yè)資料整理WORD格式2a2a1A1 (2a,0,2), E (a, a,1), G (,).aa22a22解得a 1.CE (, ), BD (0, 2a,1).GE BD30.3333專業(yè)資料整理WORD格式BA1(2, 2,2), BG( 2,4 ,1).333cosBA1BG14/ 3A1 BG3 1| BA1|BG|22137A1 B與平面 ABD 所成角是 arccos.7 .3專業(yè)資料整理WORD格式由 有A(2,0,0)A 1(2,0,2),E(1,1,1),D(0,0,1)AE ED( 1,1,1) ( 1, 1,0)0,AA1ED(0,

16、0,2) ( 1, 1,0)0,ED平面AA1E,又 ED平面 AED.當 a2 時，方程 是圓方程，故不存在符合題意的定點E和F；2當 0a2 時，方程 表示橢圓，焦點E(11a2 , a )和F (11a2 , a)2222222當 a2 時,方程也表示橢圓，焦點E (0,1(aa 21)和 F(0,1( aa21) 為符合題意的兩個定22222點 . 21本小題主要考察導數(shù)、不等式證明等知識，考察綜合運用所數(shù)學知識解決問題的能力，證明：因n( a) n k xk，為 ( x a)nCnkk0nnn Cnk11 (a) n k x k 1a) n 1 .所以 ykCnk (a) n k x

17、 k 1n(xk 0k0對函數(shù) f n (x)x n( xa)n求導數(shù):f n ( x) nxn 1n( x a) n 1 ,所以 f n(n)nn n 1( na) n 1 .當x a時( x)0.0 , fn當xa時, f n ( x)x n( xa) n是關(guān)于 x的增函數(shù) .因此 ,當na時, (n1) n(n1a) nn n(n a) n fn 1 (n1) ( n 1)( n1) n( n1a)n ( n1)(nn(n a) n )(n 1)( nnn( na) n 1 )(n1) fn ( n).即對任意 na, fn 1(n1)(n1)f n(n).專業(yè)資料整理WORD格式9專業(yè)資料整理WORD格式22本小題主要考察二次函數(shù)、數(shù)列、不等式等根底知識，綜合運用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力，總分值 14 分.解： Qn (an 1 , an2 ), Pn 1( 1an2 , an2 ), Qn1 ( 1 an2 ,12 an4 ).aaaan 11an2 , an1an211 ( 1an22 ) 2( 1 )1 2an222aaa aa( 1 )1 2 ( 1 an23)22(1)1 2 22an232aaa(1)1 22 n 2a12n 1( 1)2n 11a12n 1a( a1)2n 1，ana(a1 ) 2n