Chapter11布萊克休爾斯莫頓期權(quán)定價模型

1、 1973年，美國芝加哥大學(xué)教授 Fischer Black& Myron Scholes提出了著名的B-S定價模型，用于確定歐式股票期權(quán)價格，在學(xué)術(shù)界和實(shí)務(wù)界引起了強(qiáng)烈反響；同年，Robert C. Merton獨(dú)立地提出了一個更為一般化的模型。舒爾斯和默頓由此獲得了1997年的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎。在本章中，我們將循序漸進(jìn)，盡量深入淺出地介紹布萊克-舒爾斯-默頓期權(quán)定價模型（下文簡稱B-S-M模型），并由此導(dǎo)出衍生證券定價的一般方法。 1 我們?yōu)榱私o股票期權(quán)定價，必須先了解股票本身的走勢。因?yàn)楣善逼跈?quán)是其標(biāo)的資產(chǎn)（即股票）的衍生工具，在已知執(zhí)行價格、期權(quán)有效期、無風(fēng)險利率和標(biāo)的資產(chǎn)收益的

2、情況下，期權(quán)價格變化的唯一來源就是股票價格的變化，股票價格是影響期權(quán)價格的最根本因素。 因此，要研究期權(quán)的價格，首先必須研究股票價格的變化規(guī)律。在 了解了股票價格的規(guī)律后，我們試圖通過股票來復(fù)制期權(quán)，并以此為依據(jù)給期權(quán)定價。 在下面幾節(jié)中我們會用數(shù)學(xué)的語言來描述這種定價的思想。2市場有效理論與隨機(jī)過程 1970年，法瑪（Fama）提出了著名的效率市場假說。該假說認(rèn)為，證券價格對新的市場信息的反應(yīng)是迅速而準(zhǔn)確的，證券價格能完全反應(yīng)全部信息。1、弱式效率市場假說2、半強(qiáng)式效率市場假說3、強(qiáng)式效率市場假說 根據(jù)眾多學(xué)者的實(shí)證研究，發(fā)達(dá)國家的證券市場大體符合弱式效率市場假說。一般認(rèn)為，弱式效率市場假說

3、與馬爾可夫隨機(jī)過程（Markov Stochastic Process）是內(nèi)在一致的。因此我們可以用數(shù)學(xué)來刻畫股票的這種特征。有效市場三個層次3 布朗運(yùn)動（Brownian Motion）起源于英國植物學(xué)家布郎對水杯中的花粉粒子的運(yùn)動軌跡的描述。 對于標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動來說：設(shè) 代表一個小的時間間隔長度， 代表變量z在 時間內(nèi)的變化，遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動的 具有兩種特征：特征特征1： 和 的關(guān)系滿足： =其中， 代表從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（即均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布）中取的一個隨機(jī)值。特征特征2：對于任何兩個不同時間間隔 ， 的值相互獨(dú)立。t tz z zttzzt4bdzadtdx 將標(biāo)準(zhǔn)布郎運(yùn)動擴(kuò)展我

4、們將得到普通布郎運(yùn)動，令漂移率為a，方差率為b2，我們就可得到變量x 的普通布朗運(yùn)動： 標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動是普通布朗運(yùn)動的一個特例，即漂移率為0，方差為1的普通布郎運(yùn)動。5普通布朗運(yùn)動的離差形式為 ，顯然，x也具有正態(tài)分布特征，其均值為 ，標(biāo)準(zhǔn)差為 ，方差為tbtaxtatb tb 2 1、顯然，遵循普通布朗運(yùn)動的變量x是關(guān)于時間和dz的動態(tài)過程，其中第一項(xiàng)adt為確定項(xiàng)，它意味著x的期望漂移率是每單位時間為a 。第二項(xiàng)bdz是隨機(jī)項(xiàng)，它表明對x的動態(tài)過程添加的噪音 。這種噪音是由維納過程的b倍給出的。 2、在任意時間長度T后x值的變化也具有正態(tài)分布特征，其均值為aT，標(biāo)準(zhǔn)差為 ，方差為b2T。Tb

5、6 普通布朗運(yùn)動假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把變量x的漂移率和方差率當(dāng)作變量x和時間t的函數(shù)，我們就可以得到 這就是伊藤過程（Ito Process）。其中，dz是一個標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動，a、b是變量x和t的函數(shù)，變量x的漂移率為a，方差率為b2。 dztxbdttxadx),(),(7 在伊藤過程的基礎(chǔ)上，數(shù)學(xué)家伊藤（K.Ito）進(jìn)一步推導(dǎo)出：若變量x遵循伊藤過程，則變量x和t的函數(shù)G將遵循如下過程： bdzxGdtbxGtGaxGdG)21(222 其中，dz是一個標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動。這就是著名的伊藤引理。 8案例案例11.1 運(yùn)用伊藤引理推導(dǎo)運(yùn)用伊藤引理推導(dǎo)lnS所遵循的隨機(jī)過程所遵循的隨機(jī)過程假設(shè)

6、變量S服從其中和都為常數(shù)，則lnS遵循怎樣的隨機(jī)過程？由于和是常數(shù)，S顯然服從 ， 的伊藤過程，我們可以運(yùn)用伊藤引理推導(dǎo)lnS所遵循的隨機(jī)過程。令 ，則代入式 我們就可得到 所遵循的隨機(jī)過程為 由于dlnS是股票的連續(xù)復(fù)利收益率，得出的公式說明股票的連續(xù)復(fù)利收益率服從期望值 ，方差為 的正態(tài)分布。dSSdtSdz( , )a S tS( , )b S tSSGln0,1,1222tGSSGSSGbdzxGdtbxGtGaxGdG)21(222SGln2ln()2dGdSdtdz2()2dt2dt*隨機(jī)微積分與非隨機(jī)微積分的差別lndSdSS9 一般來說，金融研究者認(rèn)為證券價格的變化過程可以用漂

7、移率為S、方差率為 S2的伊藤過程（即幾何布朗運(yùn)動）來表示： 2dSSdtSdz 之所以采用幾何布朗運(yùn)動其主要原因有兩個： 一是可以避免股票價格為負(fù)從而與有限責(zé)任相矛盾的問題，二是幾何布朗運(yùn)動意味著股票連續(xù)復(fù)利收益率服從正態(tài)分布，這與實(shí)際較為吻合。 10 從案例11.1我們已經(jīng)知道，如果股票價格服從幾何布朗運(yùn)動，則有 從自然對數(shù)的定義域可知，S不能為負(fù)數(shù)。另外從上式可以看出，股票價格的對數(shù)服從普通布朗運(yùn)動，因?yàn)樗哂泻愣ǖ钠坡?和恒定的方差率 。由前文的分析可知，當(dāng)一個變量服從普通布朗運(yùn)動 時，其在任意時間長度T-t內(nèi)的變化值都服從均值為 、方差為 的正態(tài)分布。也就是說， 2ln()2dGd

8、Sdtdz2/22bdzadtdxa Tt22bTt),)(lnln22tTtTSST11 由上一頁的推導(dǎo)可知證券價格對數(shù)服從正態(tài)分布。如果一個變量的自然對數(shù)服從正態(tài)分布，則稱這個變量服從對數(shù)正態(tài)分布。這表明ST服從對數(shù)正態(tài)分布。根據(jù)對數(shù)正態(tài)分布的特性，以及符號的定義，我們可以得到 和)()(tTTSeSE 1)var()()(222tTtTTeeSS 實(shí)際上就是股票價格在Tt期間的連續(xù)復(fù)利收益率，則Tt期間年化的連續(xù)復(fù)利收益率可以表示為 ，從式（11.9）可知隨機(jī)變量 服從正態(tài)分布SSTlnlnlnlnTSSTt22(),Tt12:1、幾何布朗運(yùn)動中的期望收益率。 2、根據(jù)資本資產(chǎn)定價原理，

9、 取決于該證券的系統(tǒng)性風(fēng)險、無風(fēng)險利率水平、以及市場的風(fēng)險收益偏好。由于后者涉及主觀因素，因此其決定本身就較復(fù)雜。然而幸運(yùn)的是，我們將在下文證明，衍生證券的定價與標(biāo)的資產(chǎn)的預(yù)期收益率 是無關(guān)的。 3 、較長時間段后的連續(xù)復(fù)利收益率的期望值等于 ，這是因?yàn)檩^長時間段后的連續(xù)復(fù)利收益率的期望值是較短時間內(nèi)收益率幾何平均的結(jié)果，而較短時間內(nèi)的收益率則是算術(shù)平均的結(jié)果。 2/2131、證券價格的年波動率，又是股票價格對數(shù)收益率的年標(biāo)準(zhǔn)差 2、一般從歷史的證券價格數(shù)據(jù)中計算出樣本對數(shù)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差，再對時間標(biāo)準(zhǔn)化，得到年標(biāo)準(zhǔn)差，即為波動率的估計值。在計算中，一般來說時間距離計算時越近越好；時間窗口太短也

10、不好；一般來說采用交易天數(shù)計算波動率而不采用日歷天數(shù)。 :14當(dāng)股票價格服從幾何布朗運(yùn)動時，由于衍生證券價格G是標(biāo)的證券價格S和時間t的函數(shù)G(S,t)，根據(jù)伊藤引理，衍生證券的價格G應(yīng)遵循如下過程： 比較（11.1）和（11.11）可看出，衍生證券價格G和股票價格S都受同一個不確定性來源dz的影響，這點(diǎn)對于以后推導(dǎo)衍生證券的定價公式很重要。SdzSdtdSSdzSGdtSSGtGSSGdG)21(222215假設(shè)：1、證券價格遵循幾何布朗運(yùn)動，即 和 為常數(shù)；2、允許賣空標(biāo)的證券；3、沒有交易費(fèi)用和稅收，所有證券都是完全可分的；4、衍生證券有效期內(nèi)標(biāo)的證券沒有現(xiàn)金收益支付；5、存在無風(fēng)險套利

11、機(jī)會；6、證券交易是連續(xù)的，價格變動也是連續(xù)的；7、衍生證券有效期內(nèi)，無風(fēng)險利率r為常數(shù)。 16 由于證券價格S遵循幾何布朗運(yùn)動，因此有：其在一個小的時間間隔 中，S的變化值 為： 在一個小的時間間隔中，f的變化值 為：zStSSSdzSfdtSSftfSSfdf)21(2222zSSftSSftfSSff)21(2222 設(shè)f是依賴于S的衍生證券的價格，則f一定是S和t的函數(shù)，根據(jù)伊藤引理可得： SdzSdtdSStf17 為了消除風(fēng)險源 ，可以構(gòu)建一個包括一單位衍生證券空頭和 單位標(biāo)的證券多頭的組合。令 代表該投資組合的價值，則： zSfffSx 在 時間后，該投資組合的價值變化 為：ff

12、SS t代入和可得fStSSftf)21(222218tSSftf)21(2222中不含任何風(fēng)險源，因 此組合必須獲得無風(fēng)險收益，即tr代入上式可得tSSffrtSSftf)()21(2222化簡為rfSfSSfrStf222221*這就是著名的布萊克舒爾斯微分分程，它適用于其價格取決于標(biāo)的證券價格S的所有衍生證券的定價。19 觀察布萊克舒爾斯微分方程，我們可以發(fā)現(xiàn)，受制于主觀的風(fēng)險收益偏好的標(biāo)的證券預(yù)期收益率并未包括在衍生證券的價值決定公式中。這意味著，無論風(fēng)險收益偏好狀態(tài)如何，都不會對f的值產(chǎn)生影響。因此我們可以作出一個可以大大簡化我們工作的假設(shè)：在對衍生證券定價時，所有投資者都是風(fēng)險中性

13、的。在對衍生證券定價時，所有投資者都是風(fēng)險中性的。盡管這只是一個人為的假定，但通過這種假定所獲得的結(jié)論不僅適用于投資者風(fēng)險中性情況，也適用于投資者厭惡風(fēng)險的所有情況。 在風(fēng)險中性的條件下，所有證券的預(yù)期收益率都可以等于無風(fēng)險利率r，所有現(xiàn)金流量都可以通過無風(fēng)險利率進(jìn)行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。這就是風(fēng)險中性定價原理。 20 假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價為10元，我們知道在3個月后，該股票價格要么是11元，要么是9元?，F(xiàn)在我們要找出一份3個月期協(xié)議價格為10.5元的該股票歐式看漲期權(quán)的價值。 由于歐式期權(quán)不會提前執(zhí)行，其價值取決于3個月后股票的市價。若3個月后該股票價格等于11元，則該期權(quán)價值為0.5元

14、；若3個月后該股票價格等于9元，則該期權(quán)價值為0。 風(fēng)險中性定價原理的應(yīng)用風(fēng)險中性定價原理的應(yīng)用21 為了找出該期權(quán)的價值，我們可構(gòu)建一個由一單位看漲期權(quán)空頭和 單位的標(biāo)的股票多頭組成的組合。若3個月后該股票價格等于11元時，該組合價值等于( 11 0.5)元；若3個月后該股票價格等于9元時，該組合價值等于9 元。為了使該組合價值處于無風(fēng)險狀態(tài)，我們應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)?值，使3個月后該組合的價值不變，這意味著： 11 0.5=9 =0.25 因此，一個無風(fēng)險組合應(yīng)包括一份看漲期權(quán)空頭和0.25股標(biāo)的股票。無論3個月后股票價格等于11元還是9元，該組合價值都將等于2.25元。22 假設(shè)現(xiàn)在的無風(fēng)險年利

15、率等于10%，則該組合的現(xiàn)值應(yīng)為： 由于該組合中有一單位看漲期權(quán)空頭和0.25單位股票多頭，而目前股票市場為10元，因此： 這就是說，該看漲期權(quán)的價值應(yīng)為0.31元，否則就會存在無風(fēng)險套利機(jī)會。 元19. 225. 225. 01 . 0e元31. 019. 225. 010ff23 從該例子可以看出，在確定期權(quán)價值時，我們并不需要知道股票價格上漲到11元的概率和下降到9元的概率。但這并不意味著概率可以隨心所欲地給定。事實(shí)上，只要股票的預(yù)期收益率給定，股票上升和下降的概率也就確定了。例如，在風(fēng)險中性世界中，無風(fēng)險利率為10%，則股票上升的概率P可以通過下式來求：0.1 0.2510119(1)

16、ePPP=62.66%。24 又如，如果在現(xiàn)實(shí)世界中股票的預(yù)期收益率為15%，則股票的上升概率可以通過下式來求：0.15 0.2510119(1)ePPP=69.11%。 可見，投資者厭惡風(fēng)險程度決定了股票的預(yù)期收益率，而股票的預(yù)期收益率決定了股票升跌的概率。然而，無論投資者厭惡風(fēng)險程度如何，從而無論該股票上升或下降的概率如何，該期權(quán)的價值都等于0.31元。25 在風(fēng)險中性的條件下，無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)到期時（T時刻）的期望值為：)0 ,max(XSET其中， 表示風(fēng)險中性條件下的期望值。根據(jù)風(fēng)險中性定價原理，歐式看漲期權(quán)的價格c等于將此期望值按無風(fēng)險利率進(jìn)行貼現(xiàn)后的現(xiàn)值，即： )0 ,ma

17、x()(XSEecTtTrE26對右邊求值是一種積分過程，結(jié)果為：其中，)()(2)(1dNXedSNctTrtTdtTtTrXSdtTtTrXSd12221)(2/()/ln()(2/()/ln( N（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量的累計概率分布函數(shù)(即這個變量小于x的概率)，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)特性，我們有 。 )(1)(xNxN 這就是無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的定價公式。)0 ,max()(XSEecTtTr27對于布萊克舒爾斯期權(quán)定價公式的理解： 在B-S公式中，N(d2)是在風(fēng)險中性世界中ST大于X的概率，或者說是歐式看漲期權(quán)被執(zhí)行的概率，e-r(T-t)XN(d2)是X的風(fēng)險中性期望值的現(xiàn)值

18、。SN(d1)= e-r(T-t)STN(d1)是ST的風(fēng)險中性期望值的現(xiàn)值 。 因此，這個公式就是未來收益期望值的貼現(xiàn)。28無收益資產(chǎn)的歐式看跌期權(quán)的定價公式 根據(jù)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間存在平價關(guān)系，可以得到無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的定價公式：)()(12)(dSNdNXeptTr29無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的定價公式 在標(biāo)的資產(chǎn)無收益情況下，美式看漲期權(quán)提前執(zhí)行是不合理的，因此C=c，無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的定價公式同樣是：()12()()r T tCSN dXeN d30有收益資產(chǎn)的歐式期權(quán)的定價公式 對于有收益標(biāo)的資產(chǎn)的歐式期權(quán)，在收益已知情況下，我們可以把標(biāo)的證券價格分解成兩部分：期

19、權(quán)有效期內(nèi)已知現(xiàn)金收益的現(xiàn)值部分和一個有風(fēng)險部分。當(dāng)期權(quán)到期時，這部分現(xiàn)值將由于標(biāo)的資產(chǎn)支付現(xiàn)金收益而消失。因此，我們只要用S表示有風(fēng)險部分的證券價格。表示風(fēng)險部分遵循隨機(jī)過程的波動率，就可直接套用公式:分別計算出有收益資產(chǎn)的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價值。)()(12)(dSNdNXeptTr)()(2)(1dNXedSNctTr31 因此，當(dāng)標(biāo)的證券已知收益的現(xiàn)值為I時，我們只要用（SI）代替S即可求出固定收益證券歐式看漲和看跌期權(quán)的價格。 當(dāng)標(biāo)的證券的收益為按連續(xù)復(fù)利計算的固定收益率q（單位為年）時，我們只要將 代替S就可求出支付連續(xù)復(fù)利收益率)(tTqSe證券的歐式看漲和看跌期權(quán)的價格。

20、 一般來說，期貨期權(quán)、股指期權(quán)和外匯期權(quán)都可以看作標(biāo)的資產(chǎn)支付連續(xù)復(fù)利收益率的期權(quán)。其中，歐式期貨期權(quán)可以看作一個支付連續(xù)紅利率為r的資產(chǎn)的歐式期權(quán)；股指期權(quán)則是以市場平均股利支付率為收益率，外匯期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)的連續(xù)紅利率為該外匯在所在國的無風(fēng)險利率。32有收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)的定價 當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)有收益時，美式看漲期權(quán)就有提前執(zhí)行的可能，因此有收益資產(chǎn)美式期權(quán)的定價較為復(fù)雜，布萊克提出了一種近 似處理方法。該方法是先確定提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)是否合理，若不合理，則按歐式期權(quán)處理；若在 nt 提前執(zhí)行可能是合理nt價格，然后將二者之中的較大者作為美式期權(quán)的價格。在大多數(shù)情況下，這種近似效果都不錯。

21、時刻到期的歐式看漲期權(quán)的的，則要分別計算在T時刻和33美式看跌期權(quán)的定價 美式看跌期權(quán)無論標(biāo)的資產(chǎn)有無收益都有提前執(zhí)行的可能，而且與其對應(yīng)的看漲期權(quán)也不存在精確的平價關(guān)系，因此我們一般通過數(shù)值方法來求美式看跌期權(quán)的價值。34我們已經(jīng)知道，B-S-M期權(quán)定價公式中的期權(quán)價格取決于下列五個參數(shù)：標(biāo)的資產(chǎn)市場價格、執(zhí)行價格、到期期限、無風(fēng)險利率和標(biāo)的資產(chǎn)價格波動率（即標(biāo)的資產(chǎn)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差）。在這些參數(shù)當(dāng)中，前三個都是很容易獲得的確定數(shù)值。但是無風(fēng)險利率和標(biāo)的資產(chǎn)價格波動率則需要通過一定的計算求得估計值。35（一）估計無風(fēng)險利率在發(fā)達(dá)的金融市場上，很容易獲得無風(fēng)險利率的估計值，但在實(shí)際應(yīng)用時仍然需要注意幾個問題。首先，要選擇正確的利率。要注意選擇無風(fēng)險的即期利率（即零息票債券的到期收益率），而不能選擇附息票債券的到期收益率，并且要轉(zhuǎn)化為連續(xù)復(fù)利的形式，才可以在B-S-M公式中應(yīng)用。一般來說，在美國人們大多選擇美國國庫券利率作為無風(fēng)險利率的估計值，在中國過去通常使用銀行存款利率，現(xiàn)在則可以從銀行間債券市場的價格中確定國債即期利率作為無風(fēng)險利率。其次，要注意選擇利