勾股定理回顧

1、第一章 勾股定理回顧與思考銀川十四中學(xué) 喬青周一、學(xué)生起點(diǎn)分析通過前面三節(jié)的學(xué)習(xí)， 學(xué)生已經(jīng)基本掌握了勾股定理及逆定理的知識(shí)， 并能 應(yīng)用勾股定理及其逆定理解決一些具體的實(shí)際問題， 因而學(xué)生已經(jīng)具備解決本課 問題所需的知識(shí)基礎(chǔ)和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ) 同時(shí)在以前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了 很多合作學(xué)習(xí)的過程， 具有了一定的合作學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)， 具備了一定的合作與交流 的能力八年級(jí)學(xué)生已初步具有幾何圖形的觀察， 幾何證明的理論思維能力 他們希 望老師創(chuàng)設(shè)便于他們進(jìn)行觀察的幾何環(huán)境， 給他們發(fā)表自己見解和表現(xiàn)自己才華 的機(jī)會(huì)，希望老師滿足他們的創(chuàng)造愿望， 讓他們實(shí)際操作， 使他們獲得施展自己 創(chuàng)造才能的機(jī)會(huì) 但

2、對(duì)于勾股定理的綜合應(yīng)用， 還需要學(xué)生具備一定的分析、 歸 納的思維方法和運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想意識(shí)， 但學(xué)生在這一方面的可預(yù)見性和耐挫折能 力并不是很成熟，可能部分同學(xué)會(huì)有一些困難二、教學(xué)任務(wù)分析勾股定理是反映自然界基本規(guī)律的一條重要結(jié)論， 它揭示了直角三角形三邊 之間的數(shù)量關(guān)系， 將形與數(shù)密切聯(lián)系起來， 理論上占有重要的地位， 它有著悠久 的歷史，在數(shù)學(xué)發(fā)展中起過重要的作用， 在現(xiàn)實(shí)世界中也有著廣泛的應(yīng)用， 勾股 定理的應(yīng)用蘊(yùn)含著豐富的文化價(jià)值 勾股定理也是后續(xù)有關(guān)幾何度量運(yùn)算和代數(shù) 學(xué)習(xí)必要的基礎(chǔ)，具有學(xué)科的基礎(chǔ)性與廣泛的應(yīng)用本課時(shí)教學(xué)是復(fù)習(xí)課， 強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成與應(yīng)用過程， 鼓勵(lì)學(xué)

3、生自主探索與合作交流，以學(xué)生自主探索為主，并強(qiáng)調(diào)同桌之間的合作與交流， 強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生多方面的能力 讓學(xué)生通過動(dòng)手、 動(dòng)腦、動(dòng)口自主探索， 感受數(shù)學(xué)的美，以提高學(xué)習(xí)興趣為此，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是： 讓學(xué)生回顧本章的知識(shí)， 同時(shí)重溫這些知識(shí)尤其是勾股定理的獲得和驗(yàn)證的過程，體會(huì)勾股定理及其逆定理的廣泛應(yīng)用 在回顧與思考的過程中，提高解決問題，反思問題的能力. 在反思和交流的過程中， 體驗(yàn)學(xué)習(xí)帶來的無盡的樂趣 通過對(duì)勾股定理歷 史的再認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)愛國(guó)主義精神，體驗(yàn)科學(xué)給人來帶來的力量三、教學(xué)過程設(shè)計(jì)本節(jié)課設(shè)計(jì)了六個(gè)環(huán)節(jié)第一環(huán)節(jié)：情境引入；第二環(huán)節(jié)：知識(shí)結(jié)構(gòu)梳理； 第三環(huán)節(jié)：合作探究；第四環(huán)節(jié)：

4、拓展提升；第五環(huán)節(jié)：交流小結(jié)；第六環(huán)節(jié)： 布置作業(yè)第一環(huán)節(jié) 情境引入勾股定理， 我們把它稱為世界第一定理 它的重要性， 通過這一章的學(xué)習(xí)已 深有體驗(yàn)，首先，勾股定理是數(shù)形結(jié)合的最典型的代表；其次，了解勾股定理歷 史的同學(xué)知道， 正是由于勾股定理得發(fā)現(xiàn)， 導(dǎo)致無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)， 引發(fā)了數(shù)學(xué)的第 一次危機(jī)，這一點(diǎn)，我們將在實(shí)數(shù)一章里講到，第三，勾股定理中的公式是 第一個(gè)不定方程， 有許許多多的數(shù)滿足這個(gè)方程， 也是有完整的解答的最早的不 定方程，最為著名的就是費(fèi)馬大定理， 直到 1995年，數(shù)學(xué)家懷爾斯才將它證明勾股定理是我們數(shù)學(xué)史的奇跡， 我們已經(jīng)比較完整地研究了這個(gè)先人給我們 留下來的寶貴的財(cái)富，

5、 這節(jié)課，我們將通過回顧與思考中的幾個(gè)問題更進(jìn)一步了 解勾股定理的歷史，勾股定理的應(yīng)用目的：通過對(duì)勾股定理歷史及地位的解讀， 讓學(xué)生了解知識(shí)脈絡(luò)及前后聯(lián)系， 激發(fā) 學(xué)習(xí)探究熱情效果： 從歷史的深度提出問題，學(xué)生探究熱情高漲，為下一環(huán)節(jié)奠定了良好基礎(chǔ)第二環(huán)節(jié)：知識(shí)結(jié)構(gòu)梳理本章知識(shí)要點(diǎn)及結(jié)構(gòu)：（第 16 題由學(xué)生獨(dú)立思考完成，小組代表展示）1勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方， 如果用 a,b 和c分別表示直角三角形的直角邊和斜邊，那么2 勾股定理各種表達(dá)式：在RtA ABC中，/ C=90°,/ A，/ B，/ C的對(duì)邊也分別為a,b,c，貝Uc =， b =， c =

6、.3. 勾股定理的逆定理：在厶ABC中，若a,b,c三邊滿足，則厶ABC為.4. 勾股數(shù)：滿足勺三個(gè)，稱為勾股數(shù).5. 幾何體上的最短路程是將立體圖形的 展開，轉(zhuǎn)化為 上的路程問題，再利用 點(diǎn)之間，軍決最短線路問題.6直角三角形的邊、角之間分別存在著什么關(guān)系？(教師引導(dǎo)，小組討論、總結(jié))從邊的關(guān)系來說，當(dāng)然就是勾股定理；從角度的關(guān)系來說，由于直角三角形 中有一個(gè)特殊的角即直角，所以直角三角形的兩個(gè)銳角互余.直角三角形作為一個(gè)特殊的三角形.如果又有一個(gè)銳角是30，那么30的角所對(duì)的直角邊時(shí)斜邊的一半.7. 舉例說明，如何判斷一個(gè)三角形是直角三角形.判斷一個(gè)三角形是直角三角形可以從角、邊兩個(gè)方面去

7、判斷.(1) 從定義即從角出發(fā)去判斷一個(gè)三角形是直角三角形.例如：在 ABC中，B 75， C 15，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，可得 A 90，根據(jù)定義可判斷 ABC是直角三角形.11在 ABC中，A - B - C，由三角形的內(nèi)角和定理可知，A 30，23B 2 A 60， C 3 A 90， ABC是直角三角形.(2) 從邊出發(fā)來判斷一個(gè)三角形是直角三角形.其實(shí)從邊來判斷直角三角形它的理論依據(jù)就是判定直角三角形的條件(即勾股定理的逆定理)例如： ABC 的三條邊分別為a 7，b 25, c 24， 而 a2 c2 72 242625 252 b2，根據(jù)勾股定理的逆定理可知厶ABC是直角三角形

8、，但這里要注意的是b所對(duì)的角 B 90 .在 ABC三條邊的比為a:b:c 5:12:13， ABC是直角三角形.8. 通過回顧與思考中的問題的交流，由同學(xué)們自己建立本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖.(小組內(nèi)展示自己總結(jié)的知識(shí)框圖， 相互交流完善知識(shí)框圖；每個(gè)小組選取 一名代表，展示本組的知識(shí)框圖.)三邊的關(guān)系-勾股定理一歷史、應(yīng)用直角三角形直角三角形的判別應(yīng)用目的：復(fù)習(xí)與直角三有形有關(guān)的知識(shí)，加強(qiáng)知識(shí)的前后聯(lián)系，把勾股定理及判定納 入直角三角形的知識(shí)體系中，把以前的零散的知識(shí)形成知識(shí)體系.通過學(xué)生相互 交流，整理知識(shí)框圖復(fù)習(xí)本章知識(shí)點(diǎn)，自覺內(nèi)化到自身的知識(shí)體系中.效果：學(xué)生有獨(dú)立思考的空間，與有合作交流的舞

9、臺(tái)，動(dòng)靜結(jié)合，相得益彰.第三環(huán)節(jié)：合作探究?jī)?nèi)容：探究一：利用勾股定理求邊長(zhǎng)已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為 3、4,求第三邊長(zhǎng)的平方.解：(1)當(dāng)兩直角邊為3和4時(shí)，第三邊長(zhǎng)的平方為25;(2)當(dāng)斜邊為4, 一直角邊為3時(shí)，第三邊長(zhǎng)的平方為7.注意事項(xiàng)：因?qū)W生習(xí)慣了 “勾三股四弦五”的說法，即意味著兩直角邊為3和4時(shí)，斜邊長(zhǎng)為5但這一理解的前提是3、4為直角邊而本題中并未加以任何說明， 因而所求的第三邊可能為斜邊，但也可能為直角邊.探究二：利用勾股定理求圖形面積：1 求出下列各圖中陰影部分的面積.(1)_3)圖（1陰影部分的面積為;（答案：1）圖（2）陰影部分的面積為 ;（答案：81）圖（3）陰影

10、部分的面積為;（答案：5）b 14cm, c 10cm，求 RtAABC2.已知 RtAABC 中，C 90，若 a的面積.解:SABC1ab1 2ab241.、2“ 2.2、4(ab)(ab )1.、22(ab)c41 2 2(1410 )424.探究三：利用勾股定理逆定理判定 ABC的形狀或求角度1. 在厶ABC中， A, B, C的對(duì)邊分別為a, b, c，且（a b）（a b） c2， 則（ ）.（A） A為直角 （B） C為直角 （C） B為直角（D）不是直角三角形解：Q a2 b2 c2 , a2 b2 c2 .故選（A）.注意事項(xiàng)：因?yàn)槌Ｒ姷闹苯侨切伪硎緯r(shí)，一般將直角標(biāo)注為 C

11、 ,因而有同學(xué)就習(xí)慣 性的認(rèn)為 C就一定表示直角，加之對(duì)本題所給條件的分析不縝密，導(dǎo)致錯(cuò)誤 . 該題中的條件應(yīng)轉(zhuǎn)化為a2 b2 c2，即a2 b2 c2，因根據(jù)這一公式進(jìn)行判斷.2. 已知 ABC的三邊為a, b, c,有下列各組條件，判定 ABC的形狀.（1）a 41, b 40, c 9 ;2 2 2 2（2）a m n , b m n , c 2mn （m n 0）.解：（1） （2）均為直角三角形.探究四：勾股定理及逆定理的綜合應(yīng)用：B港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北偏東 60方向以每小時(shí)8 n mile的速度 前進(jìn)，乙船沿南偏東某個(gè)角度以每小時(shí)15 n mile的速度前進(jìn)，2小時(shí)后，甲

12、船到M島，乙船到P島，兩島相距34 n mile，你知道乙船是沿哪個(gè)方向航行的嗎？解：甲船航行的距離為BM=8 2 16（n mile），乙船航行的距離為 BP=15 2 30（ n mile）.2 2 2 2 2 2T 16301156,341156，二 BM BP MP ， MBP為直角三角形， MBP 90，二乙船是沿著南偏東30方向航 行的.注意事項(xiàng)：勾股定理的使用前提是直角三角形， 而本題需對(duì)三角形做出判斷，判斷的依 據(jù)是勾定理的逆定理，其形式為“若a2 b2 c2，則C 90 .學(xué)生容易不先對(duì) 三角形做出判斷而直接應(yīng)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算.目的：通過對(duì)四大問題的探究，培養(yǎng)同學(xué)們歸納知識(shí)

13、的能力，并將各種數(shù)學(xué)基本思 想方法滲透其中，如對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的滲透，鼓勵(lì)學(xué)生由代數(shù)表示聯(lián)想到幾何圖 形，由幾何圖形聯(lián)想到有關(guān)代數(shù)表示， 從而認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系.如對(duì)分類討論 的滲透，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)態(tài)度.效果：探究四綜合運(yùn)用勾股定理及其逆定理解決實(shí)際問題，這種貼近生活的實(shí)例， 訓(xùn)練學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，通過學(xué)生的解答和討論，讓學(xué)生自我解決疑難， 既是對(duì)所學(xué)知識(shí)的鞏固應(yīng)用，又讓學(xué)生體驗(yàn)成功的喜悅.第四環(huán)節(jié)：拓展提升內(nèi)容：我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖1）.圖2由“弦圖”變化得到，它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成.記圖中正方形ABCD，正

14、方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3,若 S1+S2+S3=10，貝U S2 的值是 （答案為）3目的：學(xué)生可以進(jìn)一步了解勾股定理的悠久歷史和廣泛應(yīng)用， 了解我國(guó)古代人民的 聰明才智，在我們的數(shù)學(xué)史上，好多結(jié)論的發(fā)現(xiàn)都是這樣一個(gè)過程， 都是從幾個(gè) 或大量的特例中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，大膽猜想出結(jié)論，然后以前面的理論作為基礎(chǔ)，證明 猜想，一個(gè)偉大的成果就誕生了，掌握這種研究數(shù)學(xué)的方法，大膽創(chuàng)新，刻苦鉆 研，說不一定你就是未來的商高，第二個(gè)趙爽.效果：運(yùn)用勾股定理和方程思想解決實(shí)際問題， 讓學(xué)生體會(huì)生活中處處皆數(shù)學(xué)，并 且使新知得到了鞏固，能力得到了訓(xùn)練，認(rèn)識(shí)得到了升華.第五環(huán)節(jié)：交流小結(jié)

15、內(nèi)容：師生相互交流總結(jié)：1.本章知識(shí)要點(diǎn)及在學(xué)習(xí)中用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？2 你在學(xué)習(xí)過程中是否積極參與？是否與同伴進(jìn)行了有效的合作交流？目的：鼓勵(lì)學(xué)生結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)談自己的收獲和感想， 體會(huì)到勾股定理及其逆定 理的廣泛應(yīng)用及它們的悠久歷史.效果：學(xué)生暢所欲言自己的切身感受與實(shí)際收獲， 總結(jié)解決問題的思路與方法，并贊嘆我國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就.第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)1 .課本復(fù)習(xí)題.2思考題：一個(gè)正方體物體沿斜坡向下滑動(dòng)，其截面如圖所示.正方形DEFH 的邊長(zhǎng)為2 m 坡角 A 30, B 90 , BC 6 m當(dāng)正方形DEFH運(yùn)動(dòng)到什么 位置，即當(dāng)AE= m 時(shí)，有DC2 AE2 BC2 .（答案為

16、：.）3四、教學(xué)設(shè)計(jì)反思本節(jié)課是復(fù)習(xí)課，利用勾股定理和勾股逆定理來解決實(shí)際問題. 勾股定理是 在學(xué)生已經(jīng)掌握了直角三角形的有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的，它揭示了一個(gè)三角形三條邊之間的數(shù)量關(guān)系，而勾股定理逆用的作用是判定某一個(gè)三角形是否是 直角三角形.針對(duì)我班學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)和心理特征，本節(jié)課的設(shè)計(jì)思路是引導(dǎo)學(xué) 生“做數(shù)學(xué)”，先由淺入深，在學(xué)生的自主探究與合作交流中解決問題，這 樣既遵循了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，又充分體現(xiàn)了 “學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人、 教師是數(shù) 學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者”的教學(xué)理念 .本節(jié)課圍繞激趣引入，歸納知 識(shí)-綜合練習(xí)，應(yīng)用知識(shí)一課堂小結(jié)三部分，發(fā)展學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)與能力， 增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的愿望和信心. 讓學(xué)生自己繪制知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖，進(jìn)一步體會(huì)本 章所學(xué)知識(shí)之間的前后聯(lián)系，并培養(yǎng)