第二講--函數(shù)的概念與表示

1、函數(shù)的概念與表示【知識要點】 一映射1. 定義：設A、B是兩個非空 集合，如果按照某種對應關(guān)系 f,對于集合A中的任何一個元素，在集合B中都有惟一的元素和它對應，那么，這樣的對應包括集合A， B,以及集合A到集合B的對應關(guān)系f叫做集合A到集合B的映射，記作f:A t B.理解：A中的不同元素允許對應 B中的相同元素，即映射允許“多對一、“一對一，但不允許“一對多 .2. 象和原象給定一個集合 A到B的映射，且a A,b B,如果元素a和元素b對應，那么我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象.3映射f:A tb必須滿足：A中元素無剩余，即 A中任何元素必須有象且惟一； B中元 素可以

2、有剩余，即B中元素不一定有原象；映射f:A t b與映射f：B t a不一定是同一個映射；假設集合 A中有m個元素，集合B中有n個元素，那么可構(gòu)成的映射f:A t b有nm個，映射f: 4a有m個。二函數(shù)1 函數(shù)的定義設A, B是兩個非空的數(shù)集，如果按某個確定的對應關(guān)系 f,使對于集合A中的任何一個數(shù)x, 在集合B中都有惟一確定的數(shù) y和它對應，稱f:A tb為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作 y=f(x).使函數(shù)有意義的x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域，函數(shù)值的集合f(x)|x A叫做 函數(shù)的值域 .注：映射和函數(shù)的聯(lián)系和區(qū)別：映射和函數(shù)對應關(guān)系都是“多對一或“一對一 ； 函數(shù)是特殊的映射，映

3、射是函數(shù)的推廣。2. 函數(shù)的三要素定義域、值域和對應關(guān)系稱為函數(shù)的三要素 . 其中，函數(shù)的定義域和對應關(guān)系確定函數(shù)的值 域. 因此，判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)，只需判斷兩個函數(shù)的定義域和對應關(guān)系這兩個要 素是否相同即可 .3. 函數(shù)的表示法 表示函數(shù)的常用方法有：解析法、列表法、圖象法 .三. 復合函數(shù)如果 y=f(u),u=g(x) ，那么 y=fg(x) 叫做 f 和 g 的復合函數(shù)，其中 u=g(x) 叫做內(nèi)函數(shù)， y=f(u) 叫外函數(shù) .四求函數(shù)解析式的常用方法1定義法：由條件 f g(x) : =Fx，可將F(x)改寫成g(x)的表達式，然后以 x代 替 g(x) ，即可得出 f(

4、x) 的表達式 .2待定系數(shù)法：對于題中給出的函數(shù)特征，求解函數(shù)的解析式， 可使用待定系數(shù)法求解 .3換元法： 由條件 fg(x) =F(x) ，可令 t=g(x) ，然后反解出 x=g-1(t) ，再代入 F(x) 即得 f(x) 的表達式 .4方程組法：fx滿足某個等式，這個等式除fx是未知量外，還有其他1相關(guān)未知量如f X 、f-丨等，此時，通過“互換的方法如：將X與X1X互換、將X與-互換等構(gòu)造關(guān)于fX的方程組，解該方程組求得fXX5賦值法：對于抽象函數(shù) f(x)，如果滿足條件對一切實數(shù)都成立，那么對于特殊值也一 定成立，這樣就可以賦予特殊值，進而求出函數(shù)解析式6圖象法：根據(jù)根本函數(shù)圖

5、象，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式?！镜淅v】題型一映射與函數(shù)的概念【例1】(1)以下對應是不是從 A到B的映射1A= B= N* , f: xty=|x 3| ; A=N , B=Q, f: x f y=;xA=x|1 w xw 2, B=y|2 < y < 5, f: xf y=2x。 設f: Af B是從A到B的一個映射，其中A=B=(x, y)|x, y R,f： (x, y)f (2xy, 2y x)。求A中元素(一1,2)的象；求B中元素(3, 3)的原象。(3)以下列圖中，可作為函數(shù)圖象的是題型二函數(shù)的三要素及其應用【例2】判斷以下各組函數(shù)是否為同一函數(shù)2(1) f(

6、x)=|x| , g(x)=( x)2； f(x)=X , g(x)=x；xf(x) =x2 2x+2, g(t)=t2 2t+2。 f(x)= . x 1 x 1 , g(x)= x21 ；題型三 求函數(shù)的解析式【例3】a,b為常數(shù)，假設 W"'='-"貝y 5位_占二。(2) f(x)是一次函數(shù)，且 ff(x)=9x+1 ，求 f(x)；(3) 設二次函數(shù)f(x)滿足f(x 2) f (2 x)且f(x) =0的兩實根平方和為 10,圖象過點(0,3),求f(x)的解析式；4 f( x +1)=x+2 x，求 f(x)1 2 1 f(x ) x 2，求f

7、(x)的解析式；xx6如果函數(shù) f(x)滿足方程 2f(x)+f( l)=3x , x R且0,那么 f(x)=x(7)設f(x)是R上的函數(shù)，且滿足f(0)=1 ，并且對任意實數(shù) x、y有f(x y)(8)y=f(x)的圖象如下列圖，求f(x)=f(x) y(2x y+1)，求 f(x)的表達式；【精品作業(yè)】1.設集合 M=x|O < x w 2 , N=y|O < y< 2，那么下面的M到集合N的函數(shù)關(guān)系的有()4個圖形中，能表示集合yirI 1c1£ Fc1n *32A .A x|x 0, B R, f : x | y | x2B. A 2,0,2, B 4,

8、 f : x y xC. A R, B y | y 0, f : x y 2 x3. 以下各組函數(shù)是同一函數(shù)的是()|x|A.y= 與 y=1B.y=|x-1|xxD. A 0,2, B 0,1, f : x y -2- x 1,x >1與y=1 x, x <1C.y=|x|+|x-1| 與 y=2x-1D.y=3x x .2 與 y=xx 1A.B. C. D.f中，構(gòu)成從集合 A到集合B的映射是4.假設 g(x)=1-2x ,g(x)=x1°'那么f 2等于A.1C.155.設集合A和B都是坐標平面上的點集x,y|x R,y R,映射f:AB使集合A中的元素x

9、,y丨映射成集合B中的元素x+y,x-y，那么在映射f下，象2,1的原象是6.試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)?1f(x)Jx2 ,g(x) Vx3；2f xx,g(x)1x0,x1x0;3f(x)2n 1 2nVx1 , g(x)/2n 1 廠、2n 1(<x)nN*；4f(x)仮血1，g(x)Jx2X ; 5f(x)x22x1,g(t) t2 2t 17.求函數(shù)解析式(1) f(x)= -(x R且 xm 1), g(x)=x2+2(x R)。 1 x求f g(2)的值；求f g(x)的表達式。(2) f(x)是一次函數(shù),且滿足 3f(x+1) 2f(x 1)=2x+17,求 f(x);(3) f (x)是二次函數(shù)，且 f (0) =2, f (x+1) f(x)= x,求 f (x);f寧=字*,求 f (x);(5)