線性代數(shù)第五章特征值、特征向量試題及答案

1、第五章特征值和特征向量一、特征值與特征向量定義1設(shè)A是n階矩陣，為一個(gè)數(shù)，假設(shè)存在非零向量，使A那么稱數(shù) 為矩陣A的特征值，非零向量為矩陣A的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量。定義2: E A f() ?稱為矩陣A的特征多項(xiàng)式，f()= E A0,稱為矩陣A的特征方程，特征方程的根稱為矩陣A的特征根矩陣E A稱為矩陣A的特征矩陣齊次方程組(A E)X 0稱為矩陣A的特征方程組。，性質(zhì)3：設(shè)1,2,-,是A的全體特征值，那么從特征多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)可得到:性質(zhì)h對(duì)等式A作恒等變形，得(AE)0,于是特征向量是齊次方程組AE)X0的非零解向量，由齊次線性方程組有非零解的充要條件知其系數(shù)行列式為零，即 AE0，說明

2、A的特征值為EA0的 根。由此得到對(duì)特征向量和特征值的另一種認(rèn)識(shí)：(1) 是A的特征值 AE0,即(EA)不可逆.(2)是屬于 的特 征向量 是齊次方程組 (AE)XO的非零解.計(jì)算特征值和特征向量的具體步驟為：(1)計(jì)算A的特征多項(xiàng)式，E A f () ( 2)求特征方程f()= E A0的全部根，他們就是 A的全部特征值；(3)然后對(duì)每個(gè)特征值，求齊次方程組(AE)XO的非零解，即屬于的特征向量？"性質(zhì)2： n階矩陣A的相異特征值1, 2m所對(duì)應(yīng)的特征向量1,2線性無關(guān)(1) 1+2+- + n=tr(A)(A的跡數(shù)，即主對(duì)角線上元素之和).(2) 12 n= A .性質(zhì)4：如果

3、是A的特征值，那么(1) f()是A的多項(xiàng)式f(A)的特征值？(2) 如果A可逆，貝V 1/是A'1的特征值；|A|/是A*的特征值？即：如果A的特征值是1, 2,-, n,貝V(1)f(A)的特征值是 f( 1),f( 2),- -,f(n).(2)如果A可逆，貝y A1的特征值是1/因?yàn)锳AA ,A*的特征值是|A|/ 1,|A|/ 2,A|/ n.性質(zhì)5：如果是A的特征向量,特征值為，即A(1)也是A的任何多項(xiàng)式f(A)的特征向量，特征值為f();(2)如果A可逆，貝U也是A-1的1/ ;也是A*的特特征向量，特征值為征向量，特征值為|A|/okAaA bEA 1是A勺特征值，那

4、么：2分別有特征值A(chǔ)2Am,A是A關(guān)于的特征向量，那么也是上述多項(xiàng)式的特征向量。?準(zhǔn)論：(1)對(duì)于數(shù)量矩陣E,任何非零向量都是它的特征向量，特征值都是(2) 上三角、下三角、對(duì)角矩陣的特征值即對(duì)角線上的各元素(3) n階矩陣A與他的轉(zhuǎn)置矩陣 A有相同的特征多項(xiàng)式，從而有相同的特征值，但是它們的特征向量可能不相同A充分條件B 必要條件C充要條件D非充分、非必要條件一、特征值、特征向量1 1 0 11. 設(shè) A 4 3 0 , B 11 0 2 0解：A, A具有相同的特征值征值為:2和1 二重。10且A的特征值為2和1 二重，那么B特征值。2 B AT ,所以B和A具有相同的特征值，B的特2?設(shè)

5、A是n階方陣，A*為A的伴隨矩陣，|A| = 5,那么方陣B AA*的特征值是 一, 特征向量是.解：因?yàn)?AA*A*A | A| E，所以對(duì)于任意n維向量 有AA* | A|E | A|所以|A| = 5是BAA*的特征值,任意n維向量 為對(duì)應(yīng)的特征向量。3?三階方陣A的特征值為1, - 1,2,那么B 2A3 3A2的特征值為 解: 2 1 3 3 1 21, 2( 1 ) 3 3 ( 1 ) 25, 2 23 3 224,解：假設(shè)1, 2,n為A的所有特征值,那么|A|0為A的特征值 A可逆C為答案？6?設(shè)1, 2是矩陣A的兩個(gè)不同的特征值,與是A的分別屬于1 2 n.所以1, 2的特征

6、向量，那么有與是A 線性相關(guān)B 線性無關(guān)7?設(shè)1, 2是矩陣A的兩個(gè)不同的特征值C對(duì)應(yīng)分量成比例D可能有零向量，是A的分別屬于1, 2的特征向量那么(A)對(duì)任意 k10, k20 , k1(B)存在常數(shù) k10, k20 , k1(C)當(dāng) k10,k20 時(shí)，k1D存在惟一的一組常數(shù) k1k2都是A的特征向量k2是A的特征向量k2不可能是A的特征向量0, k20,使 k1k2是A的特征向量3?設(shè)A為n階矩陣，A 0 ,A*為A的伴隨矩陣，E為n階單位矩陣，假設(shè)* nA有特解：12為A的二個(gè)相異的特征值所以存在非零向量前足征值，那么A E必有特征值A(chǔ)1 ,A2?而且線性無關(guān)？? |A|?|A|A

7、|2 2假設(shè)存在滿足:A(k1k2)(k1k2)解:因?yàn)锳,A的特征值為，所以上式的特征值為：(一) 2 1A所以水1水2k1k2 ,即4?設(shè)n階矩陣A的特征值為1,2,n,試求 | 2A E | .(1k1kJ (2k2(2)0解:因?yàn)锳的特征值為1, 2 ,，n,所以2A + E的特征值為/n因?yàn)?線性無關(guān)，所以水1 k = 0,1;1 k2k2 = 0i 12i 1(i 1,2,n).所以 |2A E |(2i 1) o2 ?和12矛盾？所以C為答案？(A)!和 2(B)1 或 2(C)Cl 1 C2 2(Cl,C2 為任意常數(shù))解？因?yàn)辇R次線性方程組(oE A)x 0的根底解系為1和2

8、,所以方程組(0E A)x 0的全部解 為C1 1 C2 2(G,C2為任意常數(shù))，但特征向量不能為零，那么A的屬于0的全部特征向量是：Cl 1 C2 2(Cl,C2為不全為零的 解:U_;任意常數(shù)),(D)為答案.10.設(shè)A是3階矩陣，且矩陣A的各行元素之和均為5,求矩陣A的特征值、特征向41 241 24 0 01 0 0A E02 40 1 20 1 20 1 200 0 00 01的所有特征向量。0 0 0312的特征值，所以r(A E) 2，方程組(A t0 °E)為任意實(shí)數(shù)礎(chǔ)解系所含解向量個(gè)數(shù)為1個(gè)k 0,2,1 T相應(yīng)的方程組為.取X31,得X2 2.所以解向量為0,2

9、,1 T對(duì)應(yīng)于1的全部特征向量為X2 2x30E)x 0根底解系所含解向量個(gè)數(shù)為9?設(shè)1是矩陣A0 t相應(yīng)的方程組為求:(1) t的值；對(duì)應(yīng)于解：因?yàn)?1 A E 0(2) t 0,1 時(shí)0X2 2x310取120120122402400000,得X12所以解向量為9),2,°2x1122 1A 15 15a311b20T21 211.15a 3的的是1b12.設(shè)A是n階滿A2=求A10或者 1解: A2 A 0 A AE 0 A 0或者A E 013.設(shè)向量0，記n階矩陣An T，求:b1)tA b都是非零向量的特滿足與條特征向量。對(duì)應(yīng)于 1 的全部特征向量為k 0,2,1(2)設(shè)

10、為特征值，Ax x , x不為零，Ax Ax xB* A = a所以丸2丄0.因?yàn)閤AOr故幾=0,即矩陣/的特征值全為零任意n個(gè)線性無關(guān)的特征向量都是它的特征向量，可選n個(gè)單位向量。14.設(shè)矩陣° A 5 b 3，其行列式A 1，又A的伴隨矩陣A有一個(gè)特征值o ,屬于o的一個(gè)特征向量為1, 1,1)T，求a、b、c和o的值解：因?yàn)樗缘奶卣髦礎(chǔ)?1，所以也是A的特征向量。c,b 3, o 1又因?yàn)?，代入可?15.設(shè) a1,0, 1T，矩陣Taa ,為正整數(shù)，那么aE An解:因?yàn)槠?0 0-0152 o, 3從而也的三個(gè)特征借為| 口-&1 ?aE j4*|=Ga? (

11、a2?>=/(應(yīng)一:16?假設(shè) 3維列向量，滿足T 2，其中T為的轉(zhuǎn)置，那么矩陣T的非零A A 2A、相似矩陣定義1:設(shè)A B都是n階矩陣 假設(shè)有n階可逆矩陣P使P1AP B。那么稱B是A的相似矩陣 或說矩陣A與B相似，記作As B,可逆矩陣P稱為相似 變換矩陣。相似是矩陣之間的一種重要關(guān)系，它滿足：自反性、對(duì)稱性、傳遞性。相似矩陣的性質(zhì)：A |B ,從而代B同時(shí)可逆或不可逆。r(A) r(B)E A E B ,從而A, B有相同的特征多項(xiàng)式，有相同的特征值，但特征向量不一定相同。tr (A) tr (B)證明：因?yàn)锳與B相似所以有可逆矩陣 P使P1APB因此| B E| |P 1AP

12、E| | P 1AP P 1( E) P| P 1(A E)P| | P 1| | A E| |P| A E|即A與B有相同的特征多項(xiàng)式 假設(shè) AS B,貝 Uf (A) S f ( B)，即 A1 s B-1 , AJS Bt, AKS BK 數(shù)量矩陣只與自己相似？ 因相似的矩陣有相同的秩，即相似的矩陣一定等價(jià)，但等價(jià)的矩陣不一定相似。三、矩陣的相似對(duì)角化定義1 :對(duì)任意n階矩陣A尋求相似變換矩陣 P使P1AP為對(duì)角陣 稱 為矩陣A的 相似對(duì)角化。假設(shè)已經(jīng)找到可逆矩陣 P使P1AP為對(duì)角陣 我們來討論P(yáng)應(yīng)滿足什么關(guān)系 把P用其列 向量表示為P (P1 P2Pn)由P1AP得AP P即2(iP

13、l2 卩 2nPn)2 0 0200A(Pi,P2, ,Pn ) (Pl,P2,Pn) 1 1 /1.矩陣A 0 0 1與B0 y 0相似,那么x =.,y =n01 x0 01于是有AP iiPi ( i 1 2n)2 0 C2 0 0可見i 是 A的特征值而P的列向量pi就是A的對(duì)應(yīng)于特征值i的特征向量解：因?yàn)锳, B相似，所以| A|0 0 12 |B|0 y 02y, y 1反之由上節(jié)知A恰好有n個(gè)特征值 并可對(duì)應(yīng)地求得n個(gè)特征向量 這n個(gè)特征向量即可0 1 x0 0 1構(gòu)成矩陣P使APP (因特征向量不是唯-的所以矩陣P也不是唯的相似矩陣的跡相等：tr(A) 2x tr(B) 2y

14、12于是x 0并且P可能是復(fù)矩陣)即n重特征值i有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，那么n階矩陣A與對(duì)角陣相似否線性無關(guān)，當(dāng)Pl, p2pn線性無關(guān)時(shí)此時(shí)P可逆，那么由AP=P，得PAP ,即A與對(duì)角 陣相似。綜上所述，有：定理1 : n階矩陣A與對(duì)角陣相似即A能對(duì)角化的充分必要條件是 A有n個(gè)線性 無關(guān)的特征向量?準(zhǔn)論：如果n階矩陣A的n個(gè)特征值互不相等那么A與對(duì)角陣相似 且12n當(dāng)A的特征方程有重根時(shí)就不一定有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量從而不一定能對(duì)角化定理2 ：設(shè)m是n階矩陣A的互異特征值，其重?cái)?shù)分別為mri, r2 rm且 n n,貝fj A與對(duì)角陣相似的充要條件為：1.設(shè)，為3維列向量,解：32a

15、s的轉(zhuǎn)置,假設(shè)矩陣2相似于000,那么T0ai 13233 3,相似矩陣的跡相等。1設(shè)aT1,0,k假設(shè)矩陣丁相似于解：3k2與n階單位矩陣E相似的矩陣是(A)數(shù)量矩陣kE (k 1)(B)對(duì)角矩陣D (主對(duì)角元素不為1)(C)單位矩陣E(D)任意n階矩陣A解：令P E,貝I P 1E 所以P 1EP EEE E 所以(C)是答案.3.設(shè)A為2階矩陣,2為線性無關(guān)的2維列向量，A 10,A 22,那么A的非零特征值為解:A0 2a21,2 小，1 , 2 A 1 , A 20,2 10 1AppBp 1Ap B，所以A和B相似，有相同的特征值，Be|0 1 0 210 0AP O 0 230P

16、o211 21241223c29-129- 242322 63626.設(shè)矩陣A與B相似，其中A12 2y00010， B01000x00，14. A, B是n階方陣,且As B,那么(A) A, B的特征矩陣相同(B) A,B的特征方程相同i(C) AB相似于同一個(gè)對(duì)角陣(D)存在正交矩陣T,使得T AT B解：AB，那么存在可逆方陣 P,使得P 1AP B.所以i iI E B| E P AP| |P | E A|P| | E A|所以A, B的有相同的特征方程，(B)是答案.5?設(shè)三階矩陣A滿足A i i i(i 1,2,3)，其中列向量1(1,2,2)T，求x和y的值；求可逆矩陣P,使得

17、P 1AP B解：因?yàn)锳相似于B,所以|A| = |B|,所以x y ;且tr(A) tr(B),所以 x y 2.得 x 1, y 1。(2, 2,1)T，3( 2, 1,2)T， 求矩陣A022022000(A E)x 0,即 020 x 0 ,020010002002001由B的表達(dá)式知：A的二個(gè)特征值為1(1 )當(dāng)1解：PAP1 ,2 2 ,3因?yàn)?,2,3是特征值，p 1APr(A E)2,方程組AE)x0的根底解系只有一個(gè)解向量.TX20相應(yīng)的方程組為取Xi1得特征向量：1,0,0X3O'122 2(A E)x 0,即00 0 x0,r(A E) 1 ,方程組A Ex 0的

18、基00 0取 X-i 1, X20,得 X31 ,取 X10, X21,得 X31121 時(shí)，A E120360得二個(gè)線性無關(guān)的特征向量1,0,1T 0,1,1所以矩陣7?矩陣A= 143的特征值有重根，判斷矩陣A能否相似化，并說明理由有2個(gè)線性無關(guān)的特征向量，可對(duì)角化，21002時(shí)150，3時(shí)，A 2E363502P1,2, 3011P 1 AP1031121 0,01 T, 22, 1,05,1,3解：A E 2(1) 假設(shè)2是重根， 假設(shè)2810當(dāng)2，a 2時(shí)A28 10a02代入2810a 0是重根，4 21 23E000r A0 0 0a 0，得 a 20 a 6E 1當(dāng)a 6，4時(shí)

19、,AE1 03，r AE 2，不能對(duì)角化。0 0 041008.A= 130判斷A能否對(duì)角化，假設(shè)能對(duì)角化那么求可逆矩陣P361化A為相似標(biāo)準(zhǔn)形。解：A E21 20有2個(gè)線性無關(guān)的特征向量，可對(duì)角化3 633229.設(shè)Ak1k(1)問k為M可值時(shí)423U-1AU是對(duì)角矩巨陣解:E121021當(dāng)1k，當(dāng)1 21AEk0000011U1 2 ,31001U AU121A可對(duì)角化？(2)此時(shí)作可逆矩陣U使得k 0, r A 1，所以k 0，可對(duì)角化1111且(1, 1,1,) T, (1 , 0, -1 ) T,(1, -1, 0)T是A的3個(gè)特征向量，求A111 11解：a21a22a2311

20、, 13,2 0 ,30a31a32a331110. 3階矩陣A的第一行兀素全疋1P AP 011?設(shè)A為3階矩陣 1, 2, 3是線性無關(guān)的3維列向量組,滿足12.設(shè)矩陣A 111可逆，向量T?1,b,1是矩陣A的一個(gè)特征向量，對(duì)應(yīng)的特征值，其中A?是矩陣A的伴隨矩陣，試求 a,b的值。1求作矩陣B,使得A 11,2, 3B求A的特征值。解：由于矩陣A可逆，A可逆，于是解: A( 1, 2, 3)(12a22 23 3)1 0 0(1 ,2, 3，因?yàn)?, 2, 3是線性A(aitaisaA =1 2 2j 1 3. 無關(guān)的，所以C可逆，所以A CBC求作可逆矩陣P,使得P-1AP為對(duì)角矩陣

21、。所以A和B相似，相似的矩陣有相同的特征值。AA2 1 1"_rU|1 2 1bbi L11 a11或b a=x-100 |肚 _旳=-1 z-2 -2 =A-l:z-4 = 0r1-1 乂 - S對(duì)應(yīng)于4=a=1,解齊次茲性方？aE-BX=O.得根底解系1 丄 Of, = -1W/ ；因?yàn)镼 1BQ11，又因?yàn)锳C4CBB C 1AC對(duì)應(yīng)f A ； =4i解齊次線性方程組4H-BX=0?需早礎(chǔ)解系A(chǔ)3 =丄11 2 0(1, 2,3) 1 0 10 1 11 1Q C ACQP CQA = 1= 3a-2 = 4Ab = -2 時(shí) * = 4.13設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，P是n階可逆

22、矩陣， n維列向量是A的屬于特 征值的特征向量，那么矩陣 p 1 Ap屬于特征值的特征向量是CPa解:p 1 ApAP TP 1PTJtp1 1 TPTA pT 1又因?yàn)锳PTAPTA pTPTA14設(shè)矩陣A,B PAP ,求B+2E的特征值與特征向量，其中為A的伴隨矩陣，E為3階單位矩陣.解：設(shè)A特征值為,特征向量為，即.由于A 70,所以0又因 A* AAE, A*所以B的特征值為,B+2E的特征值為P 1A1A* P(P 1所以：(B 2E)P 12)P因此B+2E的特征值為1,對(duì)應(yīng)的特征向量為 P 1由于(1)2(7),故A的特征值為2137的特征值是,A7 ,所以A的特征值是7, 7

23、, 1o因此，B+2E的三個(gè)特征值分別為 9, 9, 3.121時(shí)，A對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)特征向量可取為11,1,01,0,1 當(dāng)7時(shí)，A對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為1,1,11，得 P 1 11 , P 10B+2E對(duì)應(yīng)于特征值9的全部特征向量為ki p 1kJ 1,0k2p 1 2 k2 1, 1,1，其中kjk2是不全為零的任意常數(shù)B+2E對(duì)應(yīng)特征值3全部特征向量為k3P或者用另一種方法：222由A可得A*2又由P可得2 352E3 0,1,1 , k3是不為零的任意常數(shù)？9)2(3),可知B+2E的特征值為153階矩陣A與三維向量3A x 3Ax 2A(1)記根據(jù) E(B + 2E)|9,3.同樣方

24、法求特征向量。使得X、AX、A 線性無關(guān)，且滿足2 1(x, Ax, A x)，求 3 階矩陣 B ,使 A PBP ；(2) 計(jì)算行列式解：A PBPAP PB2 2AP A x, Ax, A x Ax, A3x, A x2 2Ax, A x,3AxA(x, Ax, A x) (Ax, A x, A x) 0(Ax, A x,3Ax2AX)002(x, Ax, A x) 100, APP 103 PB00 30 121 22由1知，A與B相似，故A+E與B+E也相似，于是有1 0 0A E |B E 11340 1 1四、實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)：1 特征值全是實(shí)數(shù)，特征向量是

25、實(shí)向量；2不同特征值的特征向量必定正交；3k重特征值必定有k個(gè)線性無關(guān)的特征向量；4必存在n階正交矩陣Q,使Q 1AQ QTAQ =4把這n個(gè)兩兩正交的單位特征向量作為列向量，排成一個(gè)n階方陣Q,便有Q 1AQ QTAQ =，注意 中對(duì)角元的排列次序應(yīng)與 P中列向量的排列次序相對(duì) 應(yīng)。五、矩陣的合同定義：設(shè)A，B為兩個(gè)n階方陣，假設(shè)有n階可逆陣P使得PTAP B，那么稱矩陣A與B合同，記為A也B。合同也是矩陣之間的一種關(guān)系，它具有以下性質(zhì)：自反性、對(duì)稱性、傳遞性。定理 1 :假設(shè)A為實(shí)對(duì)稱矩陣，貝U A 一定與對(duì)角陣合同。生質(zhì)1 :合同的矩陣有相同的秩，即合同的矩陣一定等價(jià)，但等價(jià)的矩陣不定合

26、同。三、實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化1.設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值為1、2、3,1,1,-1 T和-1,2,1 T分別是屬于1和2的特征向量，求屬于 3的特征向量，并且求解：根據(jù)不同特征值的的特征向量相互正交，設(shè)3的特征向量為a,b,c0,1 1T,1,0,0T , A( 1 , 2, 3n1, 2n，為矩陣A的特征值。于是，我們得出：實(shí)對(duì)稱矩陣可對(duì)角化，并且可以用正交矩陣將其對(duì)角化？設(shè)A是實(shí)對(duì)稱矩陣，構(gòu)造正交矩陣 Q使得dAQ是對(duì)角矩陣的步驟：1 求出A的全部互不相等的特征值1 2s它們的重?cái)?shù)依次為 k1 k2ks k1 k2ks n 。2對(duì)每個(gè)ki重特征值i求方程A E x 0根底解系 得ki個(gè)線性

27、無關(guān)特征向量。3 利用施密特正交化方法，把對(duì)應(yīng)于每一個(gè)i的線性無關(guān)的特征向量先正交化再單位化 得ki個(gè)兩兩正交的單位特征向量，他們?nèi)詾榫仃嘇的對(duì)應(yīng)于i的特征向 量。a 2b1,0,1TP 1AP1 , 2, 3 )13252 10252132.三階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為1對(duì)應(yīng)于 1的特征向量為0,1,1 T ,:求 A。解：設(shè)31對(duì)應(yīng)的特征向量為:TX1, X2,X2X30X33(1A ( 1 1 ,2 2 , 33X1 ,2 ,3)1有01 0011010 010 110100 110 110101 0設(shè)2,3為B的屬于2特征向量相互正交，所以:的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量，因?yàn)椴煌卣髦档?.3

28、階實(shí)對(duì)稱矩陣 A的秩為 2,又一是它的 二重特征值，向量(1,1,0) T和(2,1,1)t和(-12-3)T都是屬于6的特征向量。(1)求A的另一個(gè)特征值與相應(yīng)的特征向量? 2)求A.解：因?yàn)閞A2A 00是它的一個(gè)特征值。6的3個(gè)向量中，任意2個(gè)都是線性無關(guān)的，可選向量(1,1,0)T和(2,1,1) T設(shè)站=0所時(shí)應(yīng)的持征向盤為口= 曲,冷*冷 則有a/fl = 0 t a = O1X1(1, 1,1)X2X30，可取2 =B的全部特征值的特征向量為的任意常數(shù)k13= 0 ?11 , k2k3 0,其中k10 ,是不為零k2,k3是不冋時(shí)為零的任意常數(shù)曲十旳13十七=0,=0.(k為任盍

29、不為零的常 故).5.設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣求可逆矩陣P,(6、6尸-11 2 161 1W 1 】7.0/<:1-11 13351 1 1 < 333；P 2 2)2-2行列式A E的值。4?設(shè)3階對(duì)稱矩陣A的特征值11, 2 2,2,(11,1)T是A的屬于Z-A：-1-1A-a-111的一個(gè)特征向量，記5BA5陣B的特征向量，并求34A3 E其中E為3階單位矩陣(I)驗(yàn)證(II)求矩陣B .B的全部特征值與特征向量.1是矩解：B的3個(gè)特征值為2,因?yàn)锳 11 1，所以A51 , 31,A3(A5 4A3 E) 11，所以的特征向量,p 1Ap為對(duì)角型矩陣，并計(jì)算對(duì)于特征值上二久二門十t

30、町得對(duì)應(yīng)的兩個(gè)線性無關(guān)的特征 向晝a =0-0)N=(W対卜特征值人=柑尸=(坷禺， 務(wù)=一生可1 生可1 0 11 1襯對(duì)應(yīng)的特征向量,A =a+1口=(-1,1,1/Ft A的特征值可得/ 一刪枯汗值為是齊次方程組Bx 0的解向量，求Bx 0的解空間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基。解：r B2，所以根底解系含有2個(gè)向量。3個(gè)向量中任意2個(gè)都是線性無關(guān)的所 AA-E = a2(a-3).我們可以取6?設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣A(2)求正交陣Q,解：11 , ( 1 )求可逆陣P，01AQ QTAQ為對(duì)角陣。2,P 1AP為對(duì)角陣r-fIr1i112cL F并4323?1 -310設(shè)：1,113,1 11 221,

31、1, 11 0,1,1T、212, 1,1-67?設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣A=(1)求可逆陣P，2 0,1,1 T'-2A Lw AE12AA|59 ?設(shè) A 21 21求 An解：P1APAnPPP 1 nPA10100P31001 1 3n2 1 3n1 3n1 3n1AP為對(duì)角陣1(2)求正交陣Q,使Q AQQt AQ為對(duì)角陣解：A EP 1 , 233222需14v53512010.設(shè)A=020，求 A100211解：AE11 261501P0350典 100 fJ00AP211001011, 22,3110112 2 08.設(shè) B 是秩為 2 的 5 4 矩陣，311,1,2,3 T

32、,a21,1,4, 1 T,a35, 1, 8,9 TP1121005 1000 1 2311.設(shè)矩陣A1 0 1020，矩陣B (kE A) 2,其中k為實(shí)數(shù),E為單位矩陣,求1 0 1故0是A的2重特征值，其對(duì)應(yīng)的特征向量為意實(shí)數(shù))；3是A的1重特征值，其對(duì)應(yīng)的特征向量為k, 1 , k2 2( k1,k2為不全為零的任ks(k3為任意非零實(shí)數(shù))對(duì)角矩陣,使得B與 相似,并求k為何值時(shí),B為正定矩陣(2 )將2正交化解：A E 0220,0,232所以B的特征值為:(2 , 1 )1)1,202-)T,(1,2, 1)T,6 6 62 2 22,3 (k 2).其中 2,3 (k 2)為二

33、重根?(丄2丄丁(、12,0，2)T因?yàn)锳為實(shí)對(duì)稱矩陣，所以2 TB為實(shí)矩陣。T 2kE AkE實(shí)對(duì)稱矩陣必與對(duì)角陣相似:E(k 2)20 (k2)2 03(.6， .6,，2.616(36T)T131313QtAQ0k2k 2, k 0時(shí),b的特征值都為正，此時(shí)，B為正定陣12.設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣A的各行元素之和均為3,向量,1,2, 1 T, 20, 1,1T01L'門1 1備31 1 1是線性方程組 Ax=0的兩個(gè)解,(I )求A的特征值與特征向量(n )求正交矩陣Q和對(duì)角矩陣，使得QTAQ ( 3)求A及A E , E為3階單位矩陣。2J<$ 亍i1 1 *Ipi1-111

34、16*£=rJ264解:A的各行元素之和均為3, A 0,必有特征值為0,丿向量1T1,2, 1 , 2旳=(L 1J Y的眉于特征值3的軒征向量T0, 1,1 ,是線性方程組 Ax=0的兩個(gè)解，13.設(shè)A為3階矩陣，a1,a2為A的分別屬于特征值A(chǔ)aa a2 a3，證明(1)印赴趨線性無關(guān)；(2)令P證法一：假設(shè)1, 2, 3線性相關(guān)，因?yàn)樗?禾口 2是屬于矩陣A的特征值0的特征向量。故1, 2線性無關(guān)，那么1,1特征向量，向量a3滿足682 ,a3，求 P AP.1, 2分別屬于不同特征值的特征向量，3可由1 , 2線性表出，不妨設(shè)3 1 1 1 12 2其中l(wèi)i, I2不全為

35、零(假設(shè)同時(shí)為特征向量都是非0向量，矛盾)因?yàn)閍t,a2 A的分別屬于特征值0,貝u 3為0,由A 33可知0，而2 11 11211 1 12 22 11 1 12盾.所以，3線性無關(guān).證法二：設(shè)存在數(shù)kk2,k3，使得用A左乘(1)的兩邊并由A 1(1) (2)得1,1特征向量，所以2，又 A 3整理得:k1 1k2A(1 12)21i i2 k3122線性相關(guān)，矛(1)假設(shè)，求秩r(A-E)及行列式|A+2E|.解：設(shè)k1k2k3,由題設(shè)i i(i 1,2,3),于是123123 ,2 2112233 ,代入整理得2 22(kk2 1k3 1)1( k1k2 2k3 2)2(勺 +k2

36、3 +k3 3 )301, A 22 得 k1 1(k2k3)k330因?yàn)? ,2,3是三個(gè)不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量 ，必線性無關(guān)，于是有因?yàn)?1,2是A的屬于不同特征值的特征向量，所以1,2線性無關(guān)，從而k1 k22k3 10,k1 k2220,其系數(shù)行列式2k130.必有k1k2k3212223k1k30,代入(1)得 k2 20，又由于20,所以k20,故1, 2, 3線性線性無關(guān)無關(guān)？由(II)記 P ( 1, 2, 3)，那么 P 可逆，AP A( 1, 2(A 1, A 2 , A 3)(1， 2, 23)100100d100(1 ,2 ,3)011P 0111所以P 1AP011

37、001001001令P=，貝U P可逆，因?yàn)?AP=PB , P-1AP=0 =B.114.設(shè)A為三階矩陣，1, 2, 3是A的三個(gè)不同特征值，對(duì)應(yīng)特征向量為即 AB，于是 A-EB-EA+2EB+2E.2 ,3，令3。(1)證明線性無關(guān);從而有r(A- E)=r(B-E)=r 101 1 1 0=2，|A+2E|=|B+2E|= i2 0 02 1 =6.1l-f7此題綜合考查了行列式、矩陣的秩、線性無關(guān)、特征值與特征向量以及相似矩 陣I-a的性質(zhì)等多個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)？四、綜合性題型1.2.1依次加到其他任意一行11111 1 1 110 1-11-10 0曲-1)110 1(w-1)0 0 1

38、 * 1110000-I解：把任意一列都加到第一列，然后第一行第二行第一列中的1為0，ti創(chuàng)】？B解：把任意一列都加到第一列，然后第一行1依次加到其他任意一行因?yàn)閞A n1 A3?設(shè)n階矩陣A的元素全為1或者a1，那么A的個(gè)特征值是，當(dāng)E=(1111 L 1，所以矩陣l A 0勺n個(gè)特征值是n和0 n-1重。n-1n= n4.設(shè)齊次線性方程組Lp 亠 t?A ?應(yīng)一0. L=0.其屮心£ d占衣o申蘭工武i扌論為何值irt舟程組僅肖零解、有無窮 務(wù)組解？求汕全部解.井用琳礎(chǔ)帥乖農(nóng)旅金時(shí)郵解b bb b=+ (鬥一 l)b ( 口一占"1.時(shí).方程組僅有 零解<2) A

39、a = b時(shí)對(duì)系數(shù)粗陣abb-b1babb0bbIf i>IIbbb坊A作初等變換，11 r0 Q00 0 0_b)X1a2X2a3X3LanXnaiX1(a2b)X2a3X3LanXnaXa2X23b)X3LanXnL LL L LL LaiX1a2X2a3X3L(anb)X滿足何種關(guān)系時(shí),(1)方程組僅有零解0,0,其中nai 0.試討論a-i,a2丄,an和b0.(2)方程組有非零解，在有非零解時(shí)，求此方1,1.0.0T,21,01,00x - qflj +徑+g*(q心心為任急常數(shù))1,0,0,0.1T程組的一個(gè)根底解系H) 1-L,1(】一訓(xùn)bi1I1b(1-Ff) &

40、i1 11-n1bb1 11(M.(1-啪2變化是把最后一行1加到其余各行，也可把把第一行100.0-10100-1001-0-1:000- 1-1111-11-J1000-10100-1001-0-L0001-10000其根底解栗為0 = (1丄1) 丁x = cfl (C為任盍當(dāng)數(shù))5?齊次線性方程組F00 0- n0o 0n00一禪0n00o -J?n1I1 11-ji1加到其余各行。胞和旳1的通解方 丹組為N =>?二耳，LVi =方程組的全部特解宦ai ba1a2 a2 basasLLanan1 naiaibba2 a2 baaaaLLanan|A|a1a2a3 bLan1 n

41、MMMM1aiba2a3 bLanqa2a3Lan bnMMMM13iba2a3Lan b解：方程組的系數(shù)行列式n1a2a3Lan1aza3Larn1a2 ba3Lann0b0LC(aib1a2a3 bLan(ai b)00bLCi 1 )MMMMi 1MMMM1a2a3Lan b000Lbnbn1( ai b).i 1n(1)當(dāng) b 0 且 a b 0 時(shí),| A|.i 10,方程組僅有零解當(dāng)b=0時(shí)，原方程組的同解方程組為:a/ a?X2 LanXn 0.由ai0可知a(i=i,2,，n)不全為零，不妨設(shè)ai 0 .因?yàn)橹萺(A)=1 ,取i 1n ana 0 0X2,X3丄,Xn為自由未

42、知量，可得方程組根底解系為印二卜乞1QQ廠 內(nèi)二塵01衛(wèi)幾 皿二卜玉 QQ?)(7,a.a.nn當(dāng)baj時(shí)，由aii 1i 1n叮三耳氣 -XI-円 工? 叫-円?4甌 業(yè) 題 馮-U?0 知 b 0,系數(shù)矩陣可化為" 簾勺壬t嗎珂叫3-1-1 1 & 0-1 01-0-1 O 0 1將0)第1行的-1倍加到其余善年-1 1 0 "0"-1 0 1 - 0-100 10 0 0 - 0第n行-乙倍到第2行的一也倍加到第1行，再將第1行移到垠后一行由此得壓方思組的同解方程組為孔二眄，叫，？耳二帀+可得Ax=0的根底解系為(1,1,1L,1)T1 a111 1a1 11a 22aa 0A2220B.當(dāng)a=0時(shí)，r(A)=1<n，故方程組有非零解，其同解方程組為:X1 X2Xn根底解糸為:1 (1,1,0, ,0)T,2(1,0,1,0)T,n 1 (1,0,0, ,1)T,于是方程組的通解為：x k1 1kn 1 n 1 7其中 k1,kn 1為任意常數(shù).當(dāng)a 0時(shí)，對(duì)矩陣B作初等行變換,有3x1nx1X30,由此得根底解系為.xn0,(1,2, n)T1 a1 11a n(n1) 000