馬克思再生產(chǎn)圖式的數(shù)理分析_董曉遠

1、經(jīng)濟科學(xué) 1996年第3期馬克思再生產(chǎn)圖式的數(shù)理分析北京大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院董曉遠在馬克思的經(jīng)濟理論中，再生產(chǎn)理論受到了各派經(jīng)濟學(xué)家的普遍推崇。這一理論著重闡明 了：社會再生產(chǎn)要能順利進行下去，社會生產(chǎn)的兩大部類及各部類內(nèi)部各部門之間必須保持一 定的比例關(guān)系。這-深邃的思想，是通過形式極其簡單的再生產(chǎn)圖式予以說明的，并用十分簡 潔的公式進行了精煉的概括。馬克思的再生產(chǎn)圖弍，對于說明他的思想內(nèi)容，無疑是簡潔明快的，是足夠的、充分的，但 當我們用數(shù)理經(jīng)濟學(xué)的觀點對再生產(chǎn)圖式進行審視時我們還是有了新的發(fā)現(xiàn)。讓我們重新審視一下馬克思的再生產(chǎn)圖式，分析其數(shù)例與公式中所蘊含的數(shù)理形式。這對 于我們將他的再生產(chǎn)理論

2、進i步展開，從定性分析過渡到定量分析，具有十分重要的意義。簡 單再生產(chǎn)的著名數(shù)例：I ：4000c+ 1000v +1000m = 6000（“H : 2000c 4- 500v -h 500m = 3000它表示出了兩大部類各自的規(guī)模、有機構(gòu)成以及剩余價值率。由上兩式很容易推知第I部 類產(chǎn)品的每個價值單位中所包含的轉(zhuǎn)移的不變資本價值（£c = |cj,可變資本價值 I 2v = |vj以及剩余價值（= 侗理，第5部類產(chǎn)品的每個價值單位中所包含 的不變資本、可變資本與剩余價值分別為為了將上面數(shù)例一般化，我們用a”, a2|V»a3im與ai2Cta22v»a32m

3、分別表示第1和第I部類產(chǎn)品的單位價值的構(gòu)成:I :a】ic+a2v+a3im=l（2）I ：a12c4-a22v+a32m = l而用x,x2分別表示第I、U部類的規(guī)模，則：I c = anX, I v a2 X, * I m = a31xl *H c = ai2X2t I v = a2:x2 D m=a52X2>這樣,兩大部類的簡單再生產(chǎn)平衡關(guān)系式(3)：r I (c+v+m)= I c+ H cD (c+v + m)= 1 (v + m)+ 1 (v + m) 就可以寫成：Jx1=allxl+a12x2xz=(a?+83i)Xi + (a22l_a3z)xz或?qū)懗删仃嚪匠?72a12

4、豈2十332則上式可進-步簡化為x = Ax(4)這就是簡單再生產(chǎn)條件下兩大部類平衡的條件表達式。同理若把第0部類分為生產(chǎn)基本 生活品與奢侈品的兩個副類嘰和嘰那么我們分別設(shè)這兩個副類的產(chǎn)品單位價值的構(gòu)成n A：alzca22v+a32m=l(5)【b：aI3c-Fa23v+a33m = l而用x2和x3分別表示IL、11.的規(guī)模第I部類的仍用原來字母表示。用5(0W$Wl，i = 1,2,3)分別表示第I、匚、U b部類資本家的必要消費資料占其全部個人消費的比例，則(1一&必為奢侈品所占的比例。那么這時的平衡條件I (c+v + m)= 1 c+ a ac+ n 山v 11 “2+v十

5、m= I (v十認m+ I a(v4-S2m)4- I (v-FS3m) (6)U b(c+v+m)= I (1&)m+ I a( 1E)m+ I b(l83)m 就可以寫成auaua：3或Xz=a2l +§勺 3】+ °2*32磯彳+昭尙彳Lx 3-(l-5i)au(1§2)a32(1 §3)*33x,=anX|4-a|2x24-anX3X2=(a2i+&H)X +(822+6832)x2 + (423 + 33)x3X3 = ( 1 6.比3| X)+ ( 1 0 "32X2+ ( 1 & "33X3x；a

6、ual3aB令乂=X2A=a2) +$】心1322 + 82a32-(1(132)a32(1&)心3則矩陣方程可進一步簡化為：X = AX(8)這就是簡單再生產(chǎn)卜各部類的平衡條件。它與馬克思所列的平衡條件完全一致只不過換了一種表達形式而已。簡單再生產(chǎn)能否順利進行卜去就看能否找到合適的X|、X?、X使各個平衡 條件同時成立即看方程X = AX是否存在有意義的解或者說非負矩陣A是否存在非負特征根。同樣地，擴人再生產(chǎn)的平衡條件也可以進行類似的改寫。令隊禺分別為第I、第I部類的 剩余價值積累率(0<$<1,0<32<1)"|,心2分別為兩大部類產(chǎn)岀的増加額。要

7、增產(chǎn)則兩大部類需要追加的生產(chǎn)資料與消費資料分別為：I Ac=anAx!. I v=a2Ax“I Ac=a12Ax2, 1 Av=a22Ax2 相應(yīng)的，資本家用于個人消費的剩余價偵(:1乎=(1一此”3曲H = ( 1 念)心必2 X則擴大再生產(chǎn)的平衡條件：| 1 (c+v+m)= I (c丄(?)+ H (c + Ac)I (c+v+m)= I j v+Av+乎 j 4- I 卜+Av+¥ 可以寫為(9)(10)(11)73?1994-2017 China Academic Journal Ekclronic Publishing House. All rights reserved

8、 http:ZAJ X =a：i(X + Ax、)+a2(Xg+Ax?)lx2=a21(Xi + Ax】)4-a22(x2+Ax2)4-(lft)a31x1 十(1 32)a32x28】?+的玄2£Lx2 +Ax2(1 Pl)a3)0 w(1p2)a32-Lx2J?1994-2017 China Academic Journal Ekclronic Publishing House. All rights reserved http:ZA或進一步簡化為:X = A(X+X)+DX其中D=-(1Pi)a3i(一認令X為第'期產(chǎn)量XWX+AX)為下-期產(chǎn)量X(+),?1994-2

9、017 China Academic Journal Ekclronic Publishing House. All rights reserved http:ZADX(t) = Y(t + l),則上面的矩陣方程可進一步改寫為：X(t) = AX(t + l)+Y(t + l)(12)那么擴大再生產(chǎn)能否煩利進行下去，關(guān)鍵就在于能否確定岀有意義的X】和X2,使擴大再生產(chǎn) 的平衡條件式同時成立，即關(guān)鍵在于矩陣差分方程X(t)=AX(t + l)+Y(t + l)是否存在有意義的解。相應(yīng)于簡單再生產(chǎn)下把第3部類分為IaUb的情況令R(0<ft<l,i = b2,3)為第I、 、叭部類的

10、剩余價值積累率佝,的意義不變則擴大再生產(chǎn)下各部類的平衡條件'I (c+v+m)= I (c+Ac)+ I °(c+Ac)+ D b(c+Ac)(13)I "(c+v+m)= I i v十Av + h 乎+ I aj v+Av+§2 乎+ I 寸 v + Av+心乎I b(c+v+m)= I (1一&)旦 + I B(l-82)-4- Ibd-Sa)-lXXX可改寫為：fx1=aH(xL+xl)+a12(x24-x2)4-an(x3 + x3)(14)=a2l (Xi+) +8. (1 ft )a3lXj 4-a22 (x2 4-Ax2)(1 ft

11、)a32x2+a23 (x34-Ax3)(1P3)a33X3X3= « ”31X1 +(1 52)(1 92)32X2+(1 53)(1 83)333X3或ai)a2：+® (1 Pi)a.n (13)(1Pi )a3la12a22 + ®(l 一卩2)32(I-2)(1 3?)a32a)3823+63(1卩3”33(1§3)(1卩 3兀33IE!A=Pi)a31-(1)(1P)a31a：2aB巾22 + §2(132)心2包 3+33(1卩3亢33 ，(l-a2)(l-p2)a32(1 一63)(1-卩 3)a 如3ii糾2a"B

12、=a21a 22a23-000 JXiH g= X2X = X(t),X+AX=X(t + l?1994-2017 China Academic Journal Ekclronic Publishing House. All rights reserved http:ZA則上面的矩陣方程可進-步寫為：X = AX十BAX或X(i) = AX(t)十BX(t + l)X(t)這樣，擴大再生產(chǎn)能否順利進行下去，關(guān)鍵就在丁矩陣差分方程:(15)X(t) = AX(t) + BCX(t + l)-X(t)J是否存在有意義的解了=>由此可見，馬克思再生產(chǎn)圖式具體數(shù)例演算中所績含的解決平衡問題的一般

13、原則,乃是對 表現(xiàn)社會再生產(chǎn)過程本質(zhì)聯(lián)系的線性方程式的聯(lián)立求解。卜衡的兩大部類比例關(guān)系即為線性74方程組(或矩陣方程)的解，或者說是某一(相關(guān))矩陣的非負持征向量。馬克思再生產(chǎn)平衡條件 的這-數(shù)理形式矩陣方程式,與現(xiàn)代數(shù)理經(jīng)濟學(xué)中的多部分結(jié)構(gòu)方程式，如動態(tài)投入產(chǎn)出 模塑等具有形式上的高度一致性。靜態(tài)與動態(tài)投入產(chǎn)岀模型稍加變換，即可化為與上面幾個 矩陣方程形式完全一致的方程。(見附錄)從兩大部類及獲相互關(guān)系的甬度與從各個部門相互關(guān)系的角度，對社會再生產(chǎn)平衡條件 進行表述不僅所導(dǎo)出的矩陣方程十分“形似”，而且高度“神似”，部類平衡與部門平衡,實質(zhì)上 是完全相同的，兩大部類內(nèi)部及部類之間的實物替換與

14、價值補償就是各個部門產(chǎn)品的供求平 衡;逆命題也成立。所以兩者是相互包含的完全等價的，兩者的差別主要是俺述問題的角度不 同。當然，從各生產(chǎn)部門的角度進行分析，更有利丁數(shù)據(jù)的收集與處理，更有利于對各產(chǎn)業(yè)部門 間復(fù)雜的投入產(chǎn)出聯(lián)系的全面、準確(定董)把握,其分析結(jié)果也便于實際應(yīng)用。因此，可以認為 馬克思再生產(chǎn)圖式的改進和具體化，就是當代數(shù)理經(jīng)濟學(xué)中的多部門生產(chǎn)模型。附錄：投入產(chǎn)岀模型與再生產(chǎn)平衡短陣方程的形式1致性令x(t)為總產(chǎn)出向為消費向量,A為消耗系數(shù)矩陣,B為資木系數(shù)矩陣，則靜態(tài)與 動態(tài)投入產(chǎn)岀模型分別為：x = Ax + y(1)x(t) = Ax(t) + BCx(t + l) x(t)

15、 3+y(t)(2)設(shè)生產(chǎn)一單位第i種產(chǎn)品需消耗工時為li，則為了產(chǎn)出x(t)所需消耗的總工時為x】(t)x?(t).xd設(shè)每工時的工資率為W,則Lx(t)總工時所得工資總額為wLx(t)0假設(shè)每人每丄時所得 w元所購產(chǎn)品數(shù)量為其中y；,y?-y2為各種產(chǎn)品人均消費結(jié)構(gòu)。那么wLx(t)元?1994-2017 China Academic Journal Ekclronic Publishing House. All rights reserved http:ZAyd)=Lx(t)=L A 1yi1"1二%():iyLJn.1Xn(t)J的工資總.額所消費的各種產(chǎn)品的量為yJlity

16、nlr-yXj Lxn(t)_y弭朋bx2(t)=y°Lx(t) = Cx(t)(3)其中A：=yL稱為投入產(chǎn)出系統(tǒng)的消費系數(shù)矩陣把(3)式代入(1)、(2)式，得x = Ax+y = Ax+Cx = A +Cxx(t)= Ax(t) + Bx(t + 1) x(t) + y(t) =Ax(t) + Bx(t 4- 1) x(t) + Cx(t) =A + Cx(t) + Bx(t + 1) x(l)令A(yù)+C=A】,則、(5)式可分別化為x = Atxx(t) = Atx(t) + Bx(t + 1) x(t)J(4)(5)(6)(7)?1994-2017 China Academic Journal Ekclronic Pub