冪級數(shù)及泰勒展開習(xí)題解答

1、冪級數(shù)及泰勒展開一、求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間1. 解： 當(dāng)時，因 ， 所以收斂，當(dāng)時， 絕對收斂， 收斂區(qū)間為。 2. 解： 當(dāng)時，為收斂的交錯級數(shù)，當(dāng)時， 發(fā)散， 收斂區(qū)間為。 3. 解：， 當(dāng)時，通項不趨于零， 收斂區(qū)間為。 4. 解：故當(dāng)，即時級數(shù)絕對收斂。當(dāng)時， 發(fā)散，當(dāng)時， 為收斂的交錯級數(shù)， 收斂區(qū)間為。 5. 解：故當(dāng)，即時級數(shù)絕對收斂。當(dāng)時，因為，所以 收斂，當(dāng)時，因為當(dāng)時 所以發(fā)散， 收斂區(qū)間為。 6. 解：故當(dāng)，即時級數(shù)絕對收斂。 當(dāng)時， 為收斂的交錯級數(shù)，當(dāng)時， 為收斂的交錯級數(shù)， 收斂區(qū)間為。二、求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間并求和函數(shù)1. 解：故當(dāng)時級數(shù)絕對收斂，當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散

2、。當(dāng)時， 為收斂的交錯級數(shù)，當(dāng)時， 為收斂的交錯級數(shù)， 收斂區(qū)間為。令2. 解：故當(dāng)時級數(shù)絕對收斂，當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散。當(dāng)時， 發(fā)散，當(dāng)時， 發(fā)散， 收斂區(qū)間為。令3. 解： 當(dāng)時，發(fā)散；當(dāng)時，發(fā)散， 收斂區(qū)間為。 令4. 解：故當(dāng)時級數(shù)絕對收斂，當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散。當(dāng)時， （通項不趨于零）發(fā)散， 收斂區(qū)間為。令故另解 三、求下列級數(shù)的和1. 也可以考慮利用冪級數(shù) 2. 四、利用直接展開法將下列函數(shù)展開成冪級數(shù)1.解：，故該級數(shù)的收斂區(qū)間為。再由因有界，是收斂級數(shù)的一般項，所以對任意的上式均成立。2. 解：，由 故該級數(shù)的收斂區(qū)間為。再由因為絕對收斂級數(shù)的一般項，所以對任意的上式均成立。五、使用間接展

3、開法將下列函數(shù)展開成冪級數(shù)常用冪級數(shù)展式：（1）（2）（3）（4）（6）（7）基本方法：代數(shù)法，即代換；利用冪級數(shù)性質(zhì). 對復(fù)雜函數(shù)可以先求導(dǎo)看是否為冪級數(shù)展式已知的簡單函數(shù)，再積分可得原函數(shù)的冪級數(shù)展式。1解：由，令得 。2. 解：由，令得。3. 解：由，及令得。4. 解：時，均為收斂的交錯級數(shù)。5. 解：由及，令得 6. 解：由，得7. 解： 。六、在指定點處將下列函數(shù)展開成冪級數(shù)1. 解：由及，令得。2. 解：。七、求函數(shù)在處的階導(dǎo)數(shù)解：。八、設(shè)有兩條拋物線和，記它們的交點橫坐標(biāo)的絕對值為（1）求的表達(dá)式（2）求這兩條拋物線所圍成的圖形的面積（3）求級數(shù)的和解：（1）;（2）;（3）由，

4、得冪級數(shù)部分習(xí)題課常用冪級數(shù)展式：（1）（2）（3）（4）（6）（7）基本方法：代數(shù)法，即代換；利用冪級數(shù)性質(zhì). 對復(fù)雜函數(shù)可以先求導(dǎo)看是否為冪級數(shù)展式已知的簡單函數(shù)，再積分可得原函數(shù)的冪級數(shù)展式。補(bǔ)充例題一、 把下列函數(shù)展成的冪級數(shù)1. 解：。2. 解：由及。3. 解：由及 。4. 解：而 故 。二、 把下列函數(shù)在指定點展成冪級數(shù)1. 在處解：2. 在處解：故3. 在處解： 。4. 在處解：由及三、 冪級數(shù)求和步驟：1. 求出給定級數(shù)的收斂區(qū)間； 2. 兩種途徑：適當(dāng)變形逐項積分 常見函數(shù)之冪級數(shù)（幾何級數(shù)等）逐項求導(dǎo)得和函數(shù)適當(dāng)變形逐項求導(dǎo)常見函數(shù)之冪級數(shù)（幾何級數(shù)等）逐項積分得和函數(shù)1解：由，可知，故收斂區(qū)間為，設(shè)，逐項積分得 。2.