2014考研數二真題與解析

1、2014年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學二試題、選擇題18小題每小題4分,共32分.11當x0時若In(12x),(1cosx)均是比x高階的無窮小，則的可能取值范圍是()11(A)(2，)(B)(1,2)(C)(J)(D)(0,)2212112【詳解】In(12x)2x，是階無窮小,(1cosx)-x是階無窮小，由題意可知212所以的可能取值范圍是(1,2)，應該選(B).2.下列曲線有漸近線的是(A)yxsinx(b)yx2sinx(C)yx.1sinx2.1(D)yxsinx【詳解】對于yx1sin，可知lim$1且lim(yx)limsin0，所以有斜漸近線yxxxxxxx應該選(C)

2、3設函數f(x)具有二階導數，g(x)f(0)(1x)f(1)x,則在0,1上()(A)當f'(x)0時,f(x)g(x)(B)當f'(x)0時,f(x)g(x)(C)當f(x)0時,f(x)g(x)(D)當f(x)0時,f(x)g(x)【分析】此題考查的曲線的凹凸性的定義及判斷方法.【詳解1】如果對曲線在區(qū)間a,b上凹凸的定義比較熟悉的話，可以直接做出判斷.顯然g(x)f(0)(1x)f(1)x就是聯(lián)接(0,f(0),(1,f(1)兩點的直線方程.故當f(x)0時,曲線是凹的也就是f(x)g(x),應該選(D)【詳解2】如果對曲線在區(qū)間a,b上凹凸的定義不熟悉的話，可令F(x

3、)f(x)g(x)f(x)f(0)(1x)f(1)x,則F(0)F(1)0,且F"(x)f"(x),故當f(x)0時,曲線是凹的，從而F(x)F(0)F(1)0,即F(x)f(x)g(x)0,也就是f(x)g(x)，應該選(D)x4.曲線yt2t27,4t1上對應于t1的點處的曲率半徑是(A).10"5q"(B)霧(C)1010(D)510【詳解】曲線在點(x,f(x)處的曲率公式Ky",2、3y)，曲率半徑本題中等2t罟2t4,所以dx2t42t對應于t1的點處y'3,y"1,所以12t|y"|d2ydx2_2J：

4、2t應該選5設函數f(x)arctanx，若f(x)(A)1(B)-3【詳解】注意(1)1f'(x)廠由于f(x)xf'()所以可知K=、(1y'2)3xf'(C),曲率半徑10.10R11010f'()2)，則00(D)0時,arctanxf(x)xo(x3)arctanxxarctanx(arctanx)22lim2x0x2arxtanx6設2u2xxlim2x0x(arctanx)xlimx0(x133x)o(x)J3xu(x,y)在平面有界閉區(qū)域D上連續(xù)，在D的內部具有二階連續(xù)偏導數，且滿足)(A)u(x,y)的最大值點和最小值點必定都在區(qū)域D的

5、邊界上;(B)u(x,y)的最大值點和最小值點必定都在區(qū)域D的內部;(C)u(x,y)的最大值點在區(qū)域D的內部，最小值點在區(qū)域D的邊界上;(D)u(x,y)的最小值點在區(qū)域D的內部，最大值點在區(qū)域D的邊界上.【詳解】u(x,y)在平面有界閉區(qū)域D上連續(xù)，所以u(x,y)在D內必然有最大值和最小值并且如果在內部存在駐點(x0,y0)也就是0,在這個點處A24,cx222uuu2,B，由條件,yxyyx顯然ACB20,顯然u(x,y)不是極值點當然也不是最值點，所以u(x,y)的最大值點和最小值點必定都在區(qū)域D的邊界上.所以應該選(A).0aba007行列式0cdc00(A)(adbe)2(B)(

6、adbc)2(C)a2d2.22/、bc(D)adbc【詳解】0ab0a0ba0ba00babab2a0d0b0c0adbc(adbc)0cd0cdcdc0dc0dc00d應該選(B)&設1,2J3是三維向量，則對任意的常數k，l，向量1k3，2l3線性無關是向量1,2,3線性無關的(A)必要而非充分條件(B)充分而非必要條件(C)充分必要條件(D)非充分非必要條件【詳解】若向量1,2,3線性無關，則10(1k3，2l3)(1,2,3)。1(1,2,3)K,對任意的常數k,l，矩陣K的秩都等于2kl所以向量1k3，2l3疋線性無關.100而當10,21,30時,對任意的常數k,l,向量

7、1k3，2l3線性無關但1,2,3000線性相關；故選擇(A)、填空題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分.把答案填在題中橫線上)9.1一1dxx22x5111【詳解】dxx2x5dx(x1)24xarctan210設f(X)為周期為4的可導奇函數，且f'(x)2(x1),x0,2，則f(7)【詳解】當x0,2時，f(x)2(x1)dxx22xC,由f(0)0可知Cf(x)x22x;f(x)為周期為4奇函數，故f(7)f(1)f(1)11.設zz(x,y)是由方程e2yzz確定的函數4，則dz|11,'222yz【詳解】設F(x,y,z)x?Fx1,Fy2ze2yz2y,Fz

8、2ye2yz1,當xFyFz£，所以dz|11dxdy.2212.曲線L的極坐標方程為，則L在點(r,)處的切線方程為【詳解】先把曲線程化為參xr(yr()cos)sincos,于是在sin處,x0，ycdHsincoscossin|2L在點(r,)越處的切線方程為y-(x0),即y213.一根長為1的細棒位于x軸的區(qū)間0,1上,若其線密度(x)2x1,則該細棒的質心坐標【詳解】質心坐標x1x010(x)dx(x)dx1J120(x22x1)dxx32x2x)dx11125112014.設二次型f(xX2,x3)xf2ax1x34x2x3的負慣性指數是1,則a的取值范圍是.【詳解】由

9、配方法可知f(Xi,X2,X3)2Xi2X22ax1x34x2x3(Xi2222ax3)(X22x3)(4a)X3由于負慣性指數為1,故必須要求4a120,所以a的取值范圍是2,2.三、解答題15.(本題滿分10分)1:(t得方程通解為：-y3:(t得方程通解為：-y3(J1)t)dt求極限limX21Xln(1-)x，然后利用洛必達法則求未定型極限.【分析】先用等價無窮小代換簡化分母詳解】imIXimIX1一te/V2IL/VX1Xln(1X2(11X2xoX2mHXlim1-te/V2IL/VX1ILIL丄Xe/V2XmHXX16.(本題滿分10分)已知函數yy(x)滿足微分方程已知函數y

10、y(x)滿足微分方程x2y'，且y(2)0,求y(x)的極大值和極小值.【詳解】解：把方程化為標準形式得到(12X，這是一個可分離變量的一階微分方程，兩邊分別積分可C,由y(2)0得C即32x2y0,得1,且可知d2y2x(1dx22、22、2y)2y(1x)；3；(1y)當X1時,可解得y1,y"10,函數取得極大值y1；當x1時,可解得y0,y"20,函數取得極小值y0.設平面區(qū)域D(x,y)|12y4,x0.y0.計算xsin(2y2)dxdyxy【詳解】由對稱性可得22xsin(、xy)dxd22xsin(、xy)dxdysin(ix2y2)dxdxysin

11、(.x2y2)(xy)sin(3y2)dxdydxdo2d2rsin1rdr18.(本題滿分10分)設函數f(u)具有二階連續(xù)設函數f(u)具有二階連續(xù)f(excosy)滿2z-2x2z2y(4zexcosy)e2x.若f(0)0,f'(0)0,求f(u)的表達式.【詳解】設Uxecosy,貝Uzf(u)f(excosy),zf'(u)excosy,2z22X2f"(u)ecosyf'(u)excosy;xx2zf'(u)exsiny,z22x2f"(u)esinyf'(u)excosy;yy22zzf"(u)e2xf&qu

12、ot;(excosy)e2xxy22由條件一zz(4zexcosy)e2x,xy可知f"(u)4f(u)u這是一個二階常用系數線性非齊次方程.對應齊次方程的通解為：f(u)Oe2uC2e2u其中G,C2為任意常數.1對應非齊次方程特解可求得為y*u.4故非齊次方程通解為f(u)C1e2uC2e2u】u.4將初始條件f(0)0,f'(0)0代入，可得C1£,6116所以f(u)的表達式為f(u)丄e2u16丄e2u1619.(本題滿分10分),0g(x)1,證明:(1)x0g(t)dtxaa,xa,b；bg(t)dtb(2)aaf(x)dxaf(x)g(x)dxa【詳

13、解】(1)證明：因為0g(x)1,所以x0dxaxag(t)dt即0xag(t)dtxa,xa,b.xxag(t)dt(2)令F(x)af(u)g(u)duaaaf(u)du,a.b上連續(xù)，且f(x)單調增加設函數f(x),g(x)在區(qū)間x1dtxa,b.a則可知F(a)0,且F'(x)f(x)g(x)g(x)faxag(t)dt,因為0g(t)dtxaa,且f(x)單調增加，所以fxag(t)dtaf(axa)f(x).從而F'(x)f(x)g(x)xg(x)fag(t)dtf(x)g(x)g(x)f(x)0,xa,ba也是F(x)在a,b單調增加，則F(b)F(a)0,即得

14、到xbag(t)dtaabf(x)dxf(x)g(x)dx.a20.(本題滿分11分)設函數f(x)x,xx0,1，定義函數列f1(x)f(x),f2(x)f(f1(x),fn(x)f(fn1(x),設Sn是曲線yfn(x),直線x1,y0所圍圖形的面積求極限limnS.n【詳解】,f2(X),f2(X)f1(X)1f1(x)X1x11xxx飛,f3(x)飛利用數學歸納法可得fn(x)兀nx1Sn0fn(x)dx1xdx01nx1o(11)dx1nx-(1nln(1n)n，limnSnlim1nnln(1n)n21.(本題滿分11分)已知函數f(x,y)滿足2(y1),且yf(y,y)(y1)

15、2(2y)lny,求曲線f(x,y)0所成的圖形繞直線y1旋轉所成的旋轉體的體積.【詳解】由于函數由于函數f(x,y)滿足-2(y1),所以f(x,y)y2yC(x),其中C(x)為待定的連續(xù)函數.又因為f(y,y)(y1)2(2y)lny，從而可知C(y)1(2y)lny.得到f(x,y)y22yC(x)y22y1(2x)lnx.令f(x,y)0,可得(y1)2(2x)lnx.且當y1時,x11,x22.曲線f(x,y)0所成的圖形繞直線y1旋轉所成的旋轉體的體積為221(y1)dx221(y1)dx2i(2x)lnxdx5(2ln2-)4求方程組AX0的一個基礎解系;22.(本題滿分11分

16、)123設A01112041,E為三階單位矩陣.3(1)(2)求滿足ABE的所有矩陣.【詳解】(1)對系數矩陣A進行初等行變換如下:1234123412341001A011101110111010212得到方程組AX0300同解方程組43100130013X1X2X3X42x43x4得到AX0的一個基礎解系1（2）顯然B矩陣是一個43矩陣，設BX1y1Z1X2y2Z2X3y3Z3X4y4Z4123410012341(AE)011101001110120300104311123410010012601110100102130013141001314由方程組可得矩陣B對應的三列分別為X121y161Z11X212y232Z21C1C2C3X313'y343Z31X401y401乙0即滿足ABE的所有矩陣為2C16C21C31B2C132C212C313c143c213c3C1C2C3（AE）進行進行初等行變換如下:對矩陣0101111231其中G,c2,c3為任意常數.23.（本題滿分11分）2相似