四川省木里縣中學(xué)高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)動(dòng)點(diǎn)軌跡問題新人教A版

1、動(dòng)點(diǎn)軌跡問題一專題內(nèi)容：求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程實(shí)質(zhì)上是建立動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系式，首先要分析形成軌跡的點(diǎn)和已知條件的內(nèi)在聯(lián)系，選擇最便于反映這種聯(lián)系的坐標(biāo)形式，尋求適當(dāng)關(guān)系建立等式，常用方法有： （1）等量關(guān)系法：根據(jù)題意，列出限制動(dòng)點(diǎn)的條件等式，這種求軌跡的方法叫做等量關(guān)系法，利用這種方法時(shí)，要求對(duì)平面幾何中常用的定理和解析幾何中的有關(guān)基本公式很熟悉 （2）定義法：如果動(dòng)點(diǎn)滿足的條件符合某種已知曲線（如圓錐曲線）的定義，可根據(jù)其定義用待定系數(shù)法求出軌跡方程 （3）轉(zhuǎn)移代入法：如果所求軌跡上的點(diǎn)是隨另一個(gè)在已知曲線：上的動(dòng)點(diǎn)的變化而變化，且能用表示，即，則將代入已知曲線，化簡后即為所求的軌跡方程 （

2、4）參數(shù)法：選取適當(dāng)?shù)膮?shù)（如直線斜率等），分別求出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)與參數(shù)的關(guān)系式，得出所求軌跡的參數(shù)方程，消去參數(shù)即可 （5）交軌法：即求兩動(dòng)直線交點(diǎn)的軌跡，可選取同一個(gè)參數(shù)，建立兩動(dòng)直線的方程，然后消去參數(shù)，即可（有時(shí)還可以由三點(diǎn)共線，斜率相等尋找關(guān)系） 注意：軌跡的完備性和純粹性！一定要檢驗(yàn)特殊點(diǎn)和線！二相關(guān)試題訓(xùn)練（一）選擇、填空題1（ ）已知、是定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是 （A）橢圓 （B）直線 （C）圓 （D）線段2（ ）設(shè)，的周長為36，則的頂點(diǎn)的軌跡方程是（A）（） （B）（）（C）（） （D）（）3與圓外切，又與軸相切的圓的圓心軌跡方程是 ；4P在以、為焦點(diǎn)的雙曲線上運(yùn)動(dòng)，則的重

3、心G的軌跡方程是 ；5已知圓C：內(nèi)一點(diǎn)，圓C上一動(dòng)點(diǎn)Q， AQ的垂直平分線交CQ于P點(diǎn)，則P點(diǎn)的軌跡方程為 6ABC的頂點(diǎn)為、，ABC的內(nèi)切圓圓心在直線上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是 ；（）變式：若點(diǎn)為雙曲線的右支上一點(diǎn)，、分別是左、右焦點(diǎn)，則的內(nèi)切圓圓心的軌跡方程是 ；推廣：若點(diǎn)為橢圓上任一點(diǎn)，、分別是左、右焦點(diǎn)，圓與線段的延長線、線段及軸分別相切，則圓心的軌跡是 ；7已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到直線的距離少1，則點(diǎn)的軌跡方程是 8拋物線的一組斜率為的平行弦的中點(diǎn)的軌跡方程是 （）9過拋物線的焦點(diǎn)作直線與拋物線交于P、Q兩點(diǎn)，當(dāng)此直線繞焦點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，弦中點(diǎn)的軌跡方程為 解法分析：解法1 當(dāng)直線的斜率存在

4、時(shí)，設(shè)PQ所在直線方程為與拋物線方程聯(lián)立，消去得設(shè)，中點(diǎn)為，則有消得 當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，易得弦的中點(diǎn)為，也滿足所求方程故所求軌跡方程為解法2設(shè)，由得，設(shè)中點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，有，又，所以，即當(dāng)時(shí)，易得弦的中點(diǎn)為，也滿足所求方程故所求軌跡方程為10過定點(diǎn)作直線交拋物線于A、B兩點(diǎn), 過A、B分別作拋物線C的切線交于點(diǎn)M, 則點(diǎn)M的軌跡方程為_（二）解答題1一動(dòng)圓過點(diǎn)，且與圓相內(nèi)切，求該動(dòng)圓圓心的軌跡方程（定義法）2過橢圓的左頂點(diǎn)作任意弦并延長到，使，為橢圓另一頂點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程（直接法、定義法；突出轉(zhuǎn)化思想）3已知、是橢圓的長軸端點(diǎn)，、是橢圓上關(guān)于長軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，求直線和的交點(diǎn)的軌跡

5、（交軌法）4已知點(diǎn)G是ABC的重心，在軸上有一點(diǎn)M，滿足，（1）求點(diǎn)C的軌跡方程；（2）若斜率為的直線與點(diǎn)C的軌跡交于不同兩點(diǎn)P、Q，且滿足，試求的取值范圍解：（1）設(shè)，則由重心坐標(biāo)公式可得 ，點(diǎn)在軸上， ，即 故點(diǎn)的軌跡方程為（）（直接法）（2）設(shè)直線的方程為（），、，的中點(diǎn)為由消，得 ，即 又， ， ， ，即 ， ，又由式可得 ， 且 且，解得且故的取值范圍是且5已知平面上兩定點(diǎn)、，為一動(dòng)點(diǎn)，滿足（）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（直接法）（）若A、B是軌跡上的兩動(dòng)點(diǎn)，且過A、B兩點(diǎn)分別作軌跡的切線，設(shè)其交點(diǎn)為，證明為定值解：()設(shè)由已知，,，3分，整理，得 即動(dòng)點(diǎn)的軌跡為拋物線，其方程為6已知O為

6、坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)、，動(dòng)點(diǎn)、滿足（），求點(diǎn)M的軌跡W的方程 解：， MN垂直平分AF又， 點(diǎn)M在AE上， ， ， 點(diǎn)M的軌跡W是以E、F為焦點(diǎn)的橢圓，且半長軸，半焦距， 點(diǎn)M的軌跡W的方程為（）7設(shè)，為直角坐標(biāo)系內(nèi)軸正方向上的單位向量，若向量， 且（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（定義法）（2）過點(diǎn)作直線與曲線交于、兩點(diǎn)，設(shè)，是否存在這樣的直線，使得四邊形是矩形？若存在，求出直線的方程，若不存在，試說明理由解：（1）；（2）因?yàn)檫^軸上的點(diǎn)若直線是軸，則兩點(diǎn)是橢圓的頂點(diǎn)，所以與 重合，與四邊形是矩形矛盾故直線的斜率存在，設(shè)方程為，由 消得此時(shí)恒成立，且，所以四邊形是平行四邊形若存在直線，使得四邊形是矩形，則，

7、即， 即 ，得故存在直線：，使得四邊形是矩形8如圖，平面內(nèi)的定點(diǎn)F到定直線l的距離為2，定點(diǎn)E滿足：=2，且于G，點(diǎn)Q是直線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M滿足：，點(diǎn)P滿足：，（I）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；（II）若經(jīng)過點(diǎn)E的直線與點(diǎn)P的軌跡交于相異兩點(diǎn)A、B，令，當(dāng)時(shí)，求直線的斜率的取值范圍解：（1）以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，則， ， ，即所求點(diǎn)的軌跡方程為（2）設(shè)點(diǎn)設(shè)AF的斜率為，BF的斜率為，直線的方程為 由6分 7分 8分10分由于11分 解得13分直線斜率k的取值范圍是9如圖所示，已知定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，并延長到點(diǎn)，且，（1）求動(dòng)點(diǎn)的

8、軌跡方程；（2）直線與動(dòng)點(diǎn)的軌跡交于、兩點(diǎn)，若，且，求直線的斜率的取值范圍解：（1）設(shè)，由得，又，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（2）10已知點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，為動(dòng)點(diǎn)，滿足，（1）求點(diǎn)軌跡的方程；（2）將（1）中軌跡按向量平移后得曲線，設(shè)是上任一點(diǎn)，過作圓的兩條切線，分別交軸與、兩點(diǎn)，求的取值范圍解：（1）設(shè)、，則、由題意得 ，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（2）11如圖和兩點(diǎn)分別在射線、上移動(dòng)，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足（1）求的值； （2）求點(diǎn)的軌跡的方程，并說明它表示怎樣的曲線？（3）若直線l過點(diǎn)交（2）中曲線于、兩點(diǎn)，且，求的方程解：（1）由已知得， （2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（），由得 ， 消去，可得，又因，

9、P點(diǎn)的軌跡方程為它表示以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在軸上，且實(shí)軸長為2，焦距為4的雙曲線的右支（3）設(shè)直線l的方程為，將其代入C的方程得 即 ，易知（否則，直線l的斜率為，它與漸近線平行，不符合題意） 又，設(shè)，則 l與C的兩個(gè)交點(diǎn)在軸的右側(cè) ， ，即，又由同理可得 ， 由得 ， 由得， 由得，消去得 考慮幾何求法！解之得： ，滿足故所求直線l存在，其方程為：或12設(shè)A，B分別是直線和上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并且，動(dòng)點(diǎn)P滿足記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為C（I） 求軌跡C的方程；（II）若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，16），M、N是曲線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：（I）設(shè)，因?yàn)锳、B分別為直線和上的點(diǎn)，故可設(shè)， 又， 即曲

10、線C的方程為 （II） 設(shè)N（s，t），M（x，y），則由，可得（x，y-16）= (s，t-16) 故， M、N在曲線C上， 消去s得 由題意知，且，解得 又 ， 解得 （） 故實(shí)數(shù)的取值范圍是（）13設(shè)雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，離心率為2（1）求此雙曲線的漸近線、的方程；（）（2）若A、B分別為、上的動(dòng)點(diǎn)，且，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程，并說明是什么曲線（）提示：，又，則，又 ，代入距離公式即可（3）過點(diǎn)是否存在直線，使與雙曲線交于、兩點(diǎn)，且，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由（不存在）14已知點(diǎn)，直線，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到直線的距離為，已知，且 （1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；（2）若，求向量

11、與的夾角；（3）如圖所示，若點(diǎn)G滿足，點(diǎn)M滿足，且線段MG的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)P，求PGF的面積15如圖，直線與橢圓（）交于A、B兩點(diǎn)，以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OAPB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）（1）若，且四邊形OAPB為矩形，求的值；（）（2）若，當(dāng)變化時(shí)（），求點(diǎn)P的軌跡方程（）16雙曲線C：（，）的離心率為2，其中，且（1）求雙曲線C的方程；（2）若雙曲線C上存在關(guān)于直線：對(duì)稱的點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：（I）依題意有：解得：所求雙曲線的方程為6分（）當(dāng)k=0時(shí)，顯然不存在7分當(dāng)k0時(shí)，設(shè)雙曲線上兩點(diǎn)M、N關(guān)于直線l對(duì)稱由lMN，直線MN的方程為則M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組由 消去y得9分顯然，

12、即 設(shè)線段MN中點(diǎn)D（）則D（）在直線l上，即 把帶入中得 ，解得或或即或，且k0k的取值范圍是14分17已知向量=(2，0)，=(0，1)，動(dòng)點(diǎn)M到定直線y =1的距離等于d，并且滿足·=K(·-d2)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，K為參數(shù).（）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并判斷曲線類型；（）如果動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是一條圓錐曲線，其離心率e滿足e，求實(shí)數(shù)K的取值范圍.18過拋物線的焦點(diǎn)作兩條弦、，若，（1）求證：直線過定點(diǎn)；（2）記（1）中的定點(diǎn)為，求證為鈍角；（3）分別以、為直徑作圓，兩圓公共弦的中點(diǎn)為，求的軌跡方程，并指出軌跡是什么曲線19（05年江西）如圖，是拋物線上上的一點(diǎn)，動(dòng)弦、分別交

13、軸于、兩點(diǎn)，且（1）若為定點(diǎn)，證明：直線的斜率為定值；（2）若為動(dòng)點(diǎn)，且，求的重心的軌跡思路分析：（1）由直線（或）方程與拋物線方程組成的方程組解出點(diǎn)F和點(diǎn)的坐標(biāo)，利用斜率公式來證明；（2）用點(diǎn)的坐標(biāo)將、點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來，進(jìn)而表示出點(diǎn)坐標(biāo)，消去即得到的軌跡方程（參數(shù)法）.解：（1）法一：設(shè)，直線的斜率為（），則直線的斜率為，方程為由，消得，解得， ，(定值)所以直線的斜率為定值法二：設(shè)定點(diǎn)，、，由 得 ，即；同理 ， ，即， 所以，（定值）第一問的變式：過點(diǎn)作傾斜角互補(bǔ)的直線ME、MF，則直線EF的斜率為定值；根據(jù)不同的傾斜角，可得出一組平行弦（2）直線ME的方程為由得同理可得設(shè)重心G（x, y），則有消去參數(shù)得點(diǎn)評(píng)：這是一道重要的數(shù)學(xué)問題,幾乎是高考數(shù)學(xué)每年的必考內(nèi)容之一,此類問題一定要“大膽假設(shè),細(xì)心求解”,根據(jù)題目要求先將題目所涉及的未知量都可以設(shè)出來,然后根據(jù)題目把所有的條件都變成等式,一定可以求出來,當(dāng)然求的