數(shù)學(xué)必修五-三角函數(shù)應(yīng)用舉例-教學(xué)設(shè)計(jì)

1、數(shù)學(xué)必修五 三角函數(shù)應(yīng)用舉例 教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)分析本章通過章頭圖中的古建筑和臺風(fēng)問題實(shí)例，引入要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識，由此可見實(shí)際測量在本章的中心地位實(shí)際上解斜三角形知識在實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用，如測量、航海等都要用到這方面的知識對于解斜三角形的實(shí)際問題，我們要在理解一些術(shù)語(如坡角、仰角、俯角、方位角、方向角等)的基礎(chǔ)上，正確地將實(shí)際問題中的長度、角度看成三角形相應(yīng)的邊和角，創(chuàng)造可解的條件，綜合運(yùn)用三角函數(shù)知識以及正弦定理和余弦定理來解決教學(xué)時(shí)要充分利用數(shù)形結(jié)合的方法，充分利用多媒體課件給學(xué)生以動(dòng)態(tài)演示，加強(qiáng)直觀感知學(xué)習(xí)這部分知識有助于增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和提高解決實(shí)際問題的能力本節(jié)教材提出了四個(gè)

2、問題：問題1和問題2為測量題這類問題在我們的日常生活中比比皆是，學(xué)生對實(shí)際背景非常熟悉，這給教學(xué)帶來了極大的便利由于底部不可到達(dá)，這類問題不能直接用解直角三角形的方法來解決，但用正弦定理和余弦定理就可以計(jì)算出建筑物頂部或底部到一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題問題3是介紹解決平衡力系的數(shù)學(xué)方法學(xué)習(xí)此題教師應(yīng)先引導(dǎo)學(xué)生簡要地復(fù)習(xí)一下向量求和的平行四邊形法則和三角形法則問題4是解三角形方法用于天氣預(yù)報(bào)的一個(gè)典型例子，有很好的教育價(jià)值本節(jié)學(xué)習(xí)可增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性由于解決的是一些實(shí)際問題，在進(jìn)行近似計(jì)算時(shí)，要求學(xué)生算法要簡練、清楚，計(jì)算要準(zhǔn)確本節(jié)后的練

3、習(xí)和習(xí)題都是解三角形應(yīng)用的基本題，應(yīng)要求學(xué)生全部掌握三維目標(biāo)1通過巧妙的設(shè)疑，結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，采用“提出問題引發(fā)思考探索猜想總結(jié)規(guī)律反饋訓(xùn)練”的教學(xué)過程，使學(xué)生能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識解決一些有關(guān)測量距離的實(shí)際問題同時(shí)通過多媒體課件直觀演示，加強(qiáng)學(xué)生的動(dòng)態(tài)感知，幫助學(xué)生掌握常規(guī)解法，能夠通過類比解決實(shí)際問題2通過對解斜三角形在實(shí)際中應(yīng)用的講解，讓學(xué)生體會具體問題可以轉(zhuǎn)化為抽象的數(shù)學(xué)問題，以及數(shù)學(xué)知識在生產(chǎn)、生活實(shí)際中所發(fā)揮的重要作用，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用圖形、數(shù)學(xué)符號表達(dá)題意和應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問題的能力3通過本節(jié)的探究，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過自己的數(shù)學(xué)活動(dòng)，從實(shí)際問題中提取數(shù)學(xué)模型，使學(xué)生經(jīng)

4、歷發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程，進(jìn)一步拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)空間，發(fā)展學(xué)生“做數(shù)學(xué)”“用數(shù)學(xué)”的意識重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：掌握應(yīng)用正弦定理和余弦定理解決測量問題的一般方法，并能應(yīng)用正弦定理、余弦定理列方程求解一些實(shí)際問題，進(jìn)一步熟悉數(shù)學(xué)建模的方法步驟，提高解決實(shí)際問題的能力教學(xué)難點(diǎn)：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即根據(jù)實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型課時(shí)安排2課時(shí)教學(xué)過程第1課時(shí)導(dǎo)入新課思路1.(問題導(dǎo)入)本章引言中就提出了經(jīng)常縈繞著我們的這么一個(gè)問題：“遙不可及的月亮離我們地球究竟有多遠(yuǎn)呢？”在古代，天文學(xué)家沒有先進(jìn)的儀器就已經(jīng)估算出了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個(gè)奧秘的呢？我們知道，對于未知的距離、高度等，存在著許多

5、可供選擇的測量方案，比如可以借助解直角三角形等方法，但由于在實(shí)際測量問題的真實(shí)背景下，某些方法不能實(shí)施上面的問題用以前的方法是不能解決的那么我們用剛剛學(xué)習(xí)的正弦定理、余弦定理就可以解決以前不能解決的問題，究竟如何測量呢？下面我們就來探究這個(gè)問題，由此展開新課思路2.(情境導(dǎo)入)你有坐汽車(或者火車)經(jīng)過山前水平公路的經(jīng)歷嗎？如果身邊帶著測角儀，那么根據(jù)路標(biāo)(100米桿)就會立即測算出你所看到的山的高度利用正弦定理、余弦定理你也會馬上算出來，在學(xué)生急切想知道如何測算山高的期待中展開新課推進(jìn)新課(1)提示學(xué)生先回顧正弦定理、余弦定理，并提問：若已知三角形的兩邊及其中一邊的對角用哪個(gè)定理解三角形？若

6、已知三角形的兩角及其夾邊又可選用哪個(gè)定理解三角形呢？(2)回憶過去的一些測量方法，如測量兩點(diǎn)間的距離都有哪些測量方法？(3)如果底部可到達(dá)，如電線桿的高度應(yīng)怎樣測量？如果底部不能到達(dá)，如工廠的煙囪的高度應(yīng)怎樣測量呢？(4)對解題中的近似值要怎樣處理才能減小誤差呢？(5)解決實(shí)際問題的一般程序是什么？活動(dòng)：教師先讓學(xué)生回憶正弦定理、余弦定理的內(nèi)容，學(xué)生很快回憶起來，若已知三角形的兩邊及其中一邊的對角，則用正弦定理較好，鼓勵(lì)學(xué)生多動(dòng)手畫圖，特別是對想象能力較弱的學(xué)生，更應(yīng)畫出圖形，在圖形上標(biāo)出已知的數(shù)據(jù)以加強(qiáng)直觀感知對于底部可到達(dá)的物體的高度問題，如測量電線桿的高度，利用初中的知識即可解決如圖1，

7、只要測出B及BC即可算出AC的高度對于底部不能到達(dá)的物體的高度又該怎樣測量呢？圖1圖2教師引導(dǎo)學(xué)生分組討論，充分發(fā)揮學(xué)生的想象力學(xué)生會提出許多的方案教師可一一指導(dǎo)，選出其中有代表性的方案作為本節(jié)教學(xué)的切入點(diǎn)，比如有的學(xué)生會提出：既然底部不可到達(dá)，則BC就不可測出，但解三角形至少需有一邊，如此可否使原來的B點(diǎn)后退至B點(diǎn)，測量BB的距離如圖2，引導(dǎo)學(xué)生深入探究，效果將會更好在具體解題過程中，教師可針對解題中的近似值處理問題，適時(shí)地提醒學(xué)生注意：(1)應(yīng)根據(jù)題中對精確度的要求，合理選擇近似值；(2)為避免誤差的積累，解題過程中應(yīng)盡可能地使用原始(已知)數(shù)據(jù)，少用間接求出的量討論結(jié)果：(1)(4)略(

8、5)解決實(shí)際問題的一般程序是：(1)審題，逐字逐句地閱讀題目，弄清題目的條件、要求，找出其中的數(shù)學(xué)關(guān)系；(2)建模，分析題目的變化趨勢，選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型；(3)求解，也就是對所建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行數(shù)學(xué)解答得到數(shù)學(xué)結(jié)論；(4)還原，即把數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問題的解答，包括檢驗(yàn)是否符合實(shí)際意義等本節(jié)所研究的問題都是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成解三角形的問題，然后利用正弦定理、余弦定理、三角函數(shù)等來解決例1(教材問題1)活動(dòng)：教師借助多媒體，引導(dǎo)學(xué)生觀看實(shí)物圖片，讓學(xué)生明確建筑物的底部不可到達(dá)，需在宮墻外護(hù)城河畔的馬路邊選擇一個(gè)觀測點(diǎn)，移動(dòng)測量儀再選擇一個(gè)觀測點(diǎn)在動(dòng)態(tài)的演示中讓學(xué)生充分理解我們?yōu)槭裁匆@樣做然后教

9、師指導(dǎo)學(xué)生畫出平面示意圖，并在圖上標(biāo)出相關(guān)的數(shù)據(jù)，讓學(xué)生自己思考怎樣根據(jù)正弦定理和余弦定理計(jì)算出建筑物的高度點(diǎn)評：解完本例后讓學(xué)生總結(jié)測量的方法，本例的關(guān)鍵是選擇觀測點(diǎn)和測量的基線，與實(shí)物的實(shí)際高度僅有0.3 m的誤差，可讓學(xué)生分析誤差產(chǎn)生的原因變式訓(xùn)練如圖，在山頂鐵塔上B處測得地面上一點(diǎn)A的俯角54°40，在塔底C處測得A處的俯角50°1.已知鐵塔BC部分的高為27.3 m，求出山高CD.(精確到1 m)解：如下圖，在ABC中，BCA90°，BAC，BAD.根據(jù)正弦定理，所以AB.解RtABD，得BDABsinBAD.將測量數(shù)據(jù)代入上式，得BD177(m)，CD

10、BDBC17727.3150(m)答：山的高度約為150 m.例2(教材問題2)活動(dòng)：教師借助多媒體，引導(dǎo)學(xué)生觀看實(shí)物圖片，明確要解決的問題在實(shí)際生活中，這樣的問題隨處可見，如學(xué)生熟悉的河兩岸的某兩點(diǎn)之間的距離在例1的類比下，學(xué)生很容易想到選擇一個(gè)觀測點(diǎn)，移動(dòng)測量儀再選擇一個(gè)觀測點(diǎn)本例可讓學(xué)生畫圖探究教師給予適時(shí)點(diǎn)撥點(diǎn)評：結(jié)合例1可對這類測量問題進(jìn)行小結(jié)，解決這類測量問題的關(guān)鍵是選擇觀測點(diǎn)和測量的基線可讓學(xué)生進(jìn)一步探究，除了教材中的測量方法和計(jì)算，還有其他的方法嗎？變式訓(xùn)練如圖，為了測量隧道口AB的長度，給定下列四組數(shù)據(jù)，測量時(shí)應(yīng)當(dāng)用數(shù)據(jù)()A，a，b B，aCa，b， D，b答案：C解析：由

11、a，b，利用余弦定理可求出AB.例3如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測得公路北側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在西偏北15°的方向上，行駛5 km后到達(dá)B處，測得此山頂在西偏北25°的方向上，仰角為8°，求此山的高度CD.活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生充分理解題目背景，引導(dǎo)學(xué)生畫出圖形首先理解什么是仰角，西偏北25°是什么意思本題的圖形是一個(gè)立體幾何圖形，讓學(xué)生充分理解圖形中的各個(gè)已知量和要求的量解：在ABC中，A15°，C25°15°10°，根據(jù)正弦定理，BC7.452 4(km)，CDBC×tanDBCBC&#

12、215;tan8°1 047(m)答：山的高度約為1 047 m.點(diǎn)評：此例即為本課導(dǎo)入時(shí)思路2提出的問題，切入生活實(shí)際教師可提醒學(xué)生總結(jié)，我們是如何根據(jù)已知條件及所求的邊長，恰當(dāng)?shù)剡x取我們需要的三角形的1為了測量河的寬，在河岸的一邊選取兩點(diǎn)A和B，觀測對岸標(biāo)記C點(diǎn)，測得CAB45°，CBA75°，AB120 m，則河寬為_ m.答案：20(3)解析：由題意畫出示意圖，如下圖，則ACB180°45°75°60°，由正弦定理，知，AC·12020(3)在RtACD中，CDACsin45°20(3)，即河的寬

13、為20(3) m.2如圖，測量河對岸的塔高AB時(shí)，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測點(diǎn)C與D.測得BCD15°，BDC30°，CD30米，并在點(diǎn)C測得塔頂A的仰角為60°，則塔高AB_.答案：15米解析：在DBC中，CBD180°15°30°135°.由正弦定理得，BC15.在RtABC中，ABBC·tan60°15×15(米)，即塔高為15米先由學(xué)生自己回顧本節(jié)所學(xué)的測量底部不可到達(dá)的建筑物高度和測量地面上兩個(gè)不能到達(dá)的地方之間的距離的方法，是如何從實(shí)際問題情境中尋求到解決問題的方案的，你是

14、否能根據(jù)題意準(zhǔn)確地畫出示意圖？你沒有畫出的原因是什么呢？在學(xué)生自己總結(jié)歸納而對本節(jié)有了一個(gè)整體認(rèn)識的時(shí)候，教師可作進(jìn)一步的歸納解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，特別是畫出示意圖是準(zhǔn)確迅速解這類數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵，也是本節(jié)要體現(xiàn)的技能，這在高考中體現(xiàn)得很突出，需要在反復(fù)的練習(xí)和動(dòng)手操作中提高這方面的能力課本本節(jié)習(xí)題12A組1、2、3.設(shè)計(jì)感想本教案設(shè)計(jì)以情境教學(xué)、問題教學(xué)為主，教師引導(dǎo)和學(xué)生積極參與探究相結(jié)合，充分體現(xiàn)以學(xué)為主、逐步領(lǐng)悟的原則日常生活中的實(shí)例體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的生動(dòng)運(yùn)用通過合作學(xué)習(xí)和相互提問補(bǔ)充的方法讓學(xué)生多感受問題的演變過程，通過多媒體課件的演示讓學(xué)生切身感受實(shí)際問題所反映的數(shù)學(xué)本質(zhì)，

15、讓學(xué)生在輕松愉快的互動(dòng)氣氛中學(xué)到知識，提高能力本教案設(shè)計(jì)的中心主線是在學(xué)生探究活動(dòng)中提煉數(shù)學(xué)建模，不要求學(xué)生死記硬背解決實(shí)際問題的方法步驟本教案的設(shè)計(jì)始終抓住本節(jié)乃至本章的這一重點(diǎn)，不在一些細(xì)枝末節(jié)上浪費(fèi)時(shí)間通過本節(jié)探究，學(xué)生基本上熟悉了解決實(shí)際問題的思想方法，下一步教師要在規(guī)范步驟等方面加以關(guān)注備課資料一、拓展資源1利用余弦定理證明正弦定理在ABC中，已知a2b2c22bccosA，b2c2a22cacosB，c2a2b22abcosC，求證：.證明：由a2b2c22bccosA，得cosA，sin2A1cos2A1.記該式右端為M，同理可得M，M，.2如圖，P為ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PABPB

16、CPCA，記BCa，CAb，ABc，求證：.證明：在PAC中，由正弦定理，得.APC180°(A)180°A.從而SPABc·APsinc··sinbcsinA·SABC·.同理可得SPBCSABC·，SPCASABC·.相加后即得SABCSABC().二、備用習(xí)題1在一幢20 m高的樓頂測得對面一塔頂?shù)难鼋菫?0°，塔基的俯角為45°，則塔高為()A20(1) m B20(1) mC10() m D20() m2如圖，在河岸AC測量河的寬度BC，測量下列四組數(shù)據(jù)，較適宜的是()Aa，

17、c， Bb，c，Cc， Db，3如圖，B、C、D三點(diǎn)在地面同一直線上，DCa，從C、D兩點(diǎn)測得A點(diǎn)的仰角分別是、()，則A點(diǎn)離地面的高AB等于 ()A. B.C. D.4如圖，有一長為10 m的斜坡，它的傾斜角是75°，在不改變坡高和坡頂?shù)那疤嵯?，通過加長坡面的方法將它的傾斜角改為30°，則坡底要延伸()A5 m B10 m C10 m D10 m5如下圖，我炮兵陣地位于地面A處，兩觀察所分別位于地面點(diǎn)C和D處，已知CD6 000 m，ACD45°，ADC75°，目標(biāo)出現(xiàn)于地面點(diǎn)B處時(shí)，測得BCD30°，BDC15°，求炮兵陣地到目標(biāo)

18、的距離(結(jié)果保留根號)6如下圖，測量人員沿直線MNP的方向測量，測得A點(diǎn)的仰角分別是AMB30°，ANB45°，APB60°，且MNPN500 m，求塔高AB.參考答案：1B解析：如圖，AB為樓，CD為塔，AM為水平線，則有AB20.DAM45°，CAM60°，MD20，AM20，CM20.CD20(1)(m)2D解析：由，b可利用正弦定理求出BC.3B解析：在ABC中，CDa，DAC，由正弦定理，得，AC.在RtABC中，ABAC·sin.4C解析：在ABC中，由正弦定理，可知，x10 m.5解：在ACD中，CAD180°

19、ACDADC60°，CD6 000 m，ACD45°，由正弦定理，有AD·CD.同理，在BCD中，CBD180°BCDBDC135°，CD6 000，BCD30°.由正弦定理，有BDCD.又在ABD中，ADBADCBDC90°，根據(jù)勾股定理，得AB·CDCD1 000 m.答：炮兵陣地到目標(biāo)的距離為1 000 m.6解：設(shè)AB的高為x.AB與地面垂直，ABM，ABN，ABP均為直角三角形BMx·cot30°x，BNx·cot45°x，BPx·cot60°x

20、.在MNB中，BM2MN2BN22MN·BN·cosMNB，在PNB中，BP2NP2BN22NP·BN·cosPNB，又BNM與PNB互補(bǔ)，MNNP500，3x2250 000x22×500x·cosMNB，x2250 000x22×500x·cosPNB.，得x2500 0002x2，x250(m)答：塔高AB為250 m.第2課時(shí)導(dǎo)入新課思路1.(本章章頭圖導(dǎo)入)有的學(xué)生可能要問：正弦定理探究完了，余弦定理也探究完了，那么本章開始引言中提出的問題究竟怎樣解決呢？也就是怎樣算出幾小時(shí)后某城市開始受到臺風(fēng)的侵襲和怎

21、樣測出海上航行的輪船的航速和航向呢？學(xué)過本節(jié)后就簡單清晰了，由此展開新課思路2.(猜想導(dǎo)入)上節(jié)課我們探究了怎樣測量不可到達(dá)的點(diǎn)的距離，又解決了怎樣測量底部不可到達(dá)的建筑物高度的問題，這些都是距離問題，那么能否借助正弦定理、余弦定理測量一些角度的問題呢？回答是肯定的，由此展開新課推進(jìn)新課(1)回憶前面是如何測量距離和高度的？(2)在測量距離和高度時(shí)，是怎樣由三角形的一些已知邊和角來求其他邊的？(3)回憶上冊中向量求和的平行四邊形法則和三角形法則.(4)日常生活中還有一個(gè)例子，如航海，在浩瀚無垠的海面上如何確保輪船不迷失方向，同時(shí)保持一定的航速和航向前進(jìn)，還有如何預(yù)防臺風(fēng)的侵襲等，這些可否像前面

22、探究的距離和高度那樣，轉(zhuǎn)化為解三角形模型來解決呢？活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生再次回憶正弦定理、余弦定理為了提高學(xué)生興趣，可換個(gè)提法，前面解決實(shí)際問題的順序是“實(shí)際問題數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)模型的解實(shí)際問題的解”，我們?nèi)绻话催@個(gè)步驟進(jìn)行結(jié)果會怎樣？通過這樣反復(fù)強(qiáng)化，使學(xué)生的“數(shù)學(xué)建?！币庾R得以鞏固，這里關(guān)鍵是找出已知量和未知量，畫好平面示意圖，確定需要解決的三角形三角形模型應(yīng)用很廣泛，像航海確定方向等都離不開角，當(dāng)然也就離不開解三角形，也就需要用正弦定理、余弦定理等有關(guān)的三角形知識來解決它討論結(jié)果：(1)(4)略例1(教材問題3)活動(dòng)：本例題是解三角形與向量結(jié)合的典例，教師可引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)向量的相關(guān)知識利用多媒體

23、課件明確所要探究問題的已知量和未知量，指導(dǎo)學(xué)生畫出平面示意圖，這是解好本問題的關(guān)鍵點(diǎn)評：本例背景是我們?nèi)巳硕际煜さ娜切螣艏?，目的是讓學(xué)生熟悉解決平衡力系的數(shù)學(xué)方法，解決問題的關(guān)鍵是把受力情況和角度都放在三角形中，然后用正弦定理解決變式訓(xùn)練有兩根柱子相距20 m，分別位于電車的兩側(cè)，在兩柱之間連接一條水平的繩子，電車的送電線就懸掛在繩子的中點(diǎn)，如果送電線在這點(diǎn)垂直向下的作用力是17.8 N，則這條成水平的繩子的中點(diǎn)下降0.2 m，求此時(shí)繩子所受的張力解：如圖所示，設(shè)重力作用點(diǎn)為C，繩子AC、BC所承受的力分別記為、，重力記為.由C為繩子的中點(diǎn)，知|.由，知四邊形CFGE為菱形又cosFCGco

24、sDCB0.02，|445，即繩子所受的張力為445 N.例2如圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75°的方向航行67.5 n mile后到達(dá)海島B，然后從B出發(fā)，沿北偏東32°的方向航行54.0 n mile后到達(dá)海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C，此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行，需要航行多少距離？(角度精確到0. 1°，距離精確到0.01 n mile)活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意畫出平面示意圖，這是解決本類題目很重要的一方面教師可就此點(diǎn)撥學(xué)生注意：畫圖、用圖、識圖是學(xué)好數(shù)學(xué)的一項(xiàng)基本功，能否準(zhǔn)確畫出示意圖直接決定著解題的成敗，這項(xiàng)基本功較弱的同學(xué)可就此加強(qiáng)自己的補(bǔ)弱

25、訓(xùn)練我們前面學(xué)習(xí)時(shí)有過這樣的經(jīng)歷：有些選擇題，甚至解答題，只要畫出示意圖，解答結(jié)果很快就出來了，這就是數(shù)形結(jié)合的強(qiáng)大威力之所在，提醒學(xué)生關(guān)注這一點(diǎn)解：在ABC中，ABC180° 75° 32°137°，根據(jù)余弦定理，AC113.15.根據(jù)正弦定理， ，sinCAB0.325 5，所以CAB19.0°，75°CAB56.0°.答：此船應(yīng)該沿北偏東56.0°的方向航行，需要航行113.15 n mile.點(diǎn)評：本例綜合運(yùn)用了正、余弦定理，體現(xiàn)了正弦定理、余弦定理在解斜三角形中的重要作用解完本例后教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思領(lǐng)悟

26、，讓學(xué)生把重點(diǎn)放在數(shù)學(xué)建模這一共性上和對一般方法的掌握上變式訓(xùn)練如圖，港口A北偏東30°方向的C處有一觀測站，港口正東方向的B處有一輪船，測得BC為31 n mile，該輪船從B處沿正西方向航行20 n mile后到D處，測得CD為21 n mile，問此時(shí)輪船離港口A還有多遠(yuǎn)？解：由條件知CAD60°，設(shè)ACD，CDB，在BCD中，由余弦定理，得cos.sin.sinsin(60°)sincos60°cossin60°.在ABC中，由正弦定理，得，AD15 n mile.答：此時(shí)輪船離港口還有15 n mile.例3(教材問題4)活動(dòng)：為降低

27、難度，本題已經(jīng)給出了平面示意圖，教學(xué)時(shí)，可先不讓學(xué)生看這個(gè)圖形，讓學(xué)生通過閱讀題意自己畫出圖形，然后對照題目給出的圖形，以便找出偏差或者教師以幻燈片的形式打出題意，稍后再出示示意圖，留給學(xué)生足夠的思考空間點(diǎn)評：(1)本例右邊的邊注可作為本例的變式訓(xùn)練在教材圖116中，延長PQ到Q，使AQQ40.3°，臺風(fēng)沿PQ方向過點(diǎn)Q時(shí)，則臺風(fēng)終止侵襲A城侵襲A城的時(shí)間為臺風(fēng)經(jīng)過Q到Q所用的時(shí)間解AQQ，求出Q與Q的距離，然后除以臺風(fēng)移動(dòng)的速度就可得到侵襲A城的時(shí)間(2)解完此題后教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)應(yīng)用正、余弦定理解斜三角形的解題方法在解三角形的應(yīng)用題時(shí)，通常會遇到兩種情況：已知量與未知量全部集中在

28、一個(gè)三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之已知量與未知量涉及兩個(gè)或幾個(gè)三角形，這時(shí)需要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先研究，再逐步在其余的三角形中求出問題的解1已知a、b、c為ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對邊，向量m(，1)，n(cosA，sinA)若mn，且acosBbcosAcsinC，則B_.2如圖所示，海中小島A周圍38海里內(nèi)有暗礁，一船正在向南航行，在B處測得小島A在船的南偏東30°，航行30海里后，在C處測得小島在船的南偏東45°，如果此船不改變航向，繼續(xù)向南航行，有無觸礁的危險(xiǎn)？答案：1.解析：由題意，得cosAsinA0，即tanA.又0A，A.由正弦定理，得si

29、nAcosBsinBcosAsin2C，即sinCsin2C.sinC0，sinC1.又0C，C.B().2解：在ABC中，BC30，B30°，ACB135°，A15°.由正弦定理，知AC60cos15°15()，A到BC所在直線的距離為AC×sin45°15(1)40.98(海里)40.98海里38海里，船繼續(xù)向南航行，沒有觸礁的危險(xiǎn)先讓學(xué)生回顧本節(jié)所探究的有關(guān)角度的知識過程，熟悉有關(guān)角的概念；回顧在本節(jié)實(shí)際問題的探究中，是怎樣畫出方位角的，是如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的，又是怎樣靈活地選用正弦定理、余弦定理的通過本節(jié)利用物體受力

30、情況和航海、臺風(fēng)侵襲等實(shí)際問題，我們感受到數(shù)學(xué)模型可以有效地描述自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象；數(shù)學(xué)是人類的一種文化，它的內(nèi)容、思想、方法和語言是現(xiàn)代文明的重要組成部分課本本節(jié)習(xí)題12A組4；習(xí)題12B組3.設(shè)計(jì)感想本教案是根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，內(nèi)容的安排而設(shè)計(jì)的，由于本節(jié)課的前面已經(jīng)有了舉例探究經(jīng)驗(yàn)，因此設(shè)計(jì)的活動(dòng)主要都是通過學(xué)生自己完成；只是教材一開始就呈現(xiàn)出臺風(fēng)侵襲城市的背景圖，涉及到方位角，學(xué)生對圖形難以把握，特別從空間的視角去審視的時(shí)候有些困難因此教師應(yīng)充分利用多媒體課件演示，讓學(xué)生從動(dòng)態(tài)中發(fā)現(xiàn)實(shí)物背景下的數(shù)學(xué)圖形及有關(guān)的角度問題，引導(dǎo)學(xué)生自己畫出平面示意圖這是解決本例的關(guān)鍵所在，教師不

31、要怕在此浪費(fèi)時(shí)間本教案的設(shè)計(jì)意圖還在于，通過本節(jié)課的展示，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)離不開生活，生活離不開數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)知識來源于生活而最終服務(wù)于生活；數(shù)學(xué)課堂的最后呈現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)不是學(xué)生成為解題能手，而是讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值備課資料一、備用習(xí)題1從A處望B處的仰角為，從B處望A處的俯角為，則、的關(guān)系是()A B C90° D180°2已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40°，燈塔B在觀察站C的南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的()A北偏東10° B北偏西10°C南偏東10° D南偏西10°3如圖

32、，有兩條相交成60°角的直線XX、YY，交點(diǎn)是O，甲、乙分別在OX、OY上，起初甲在離O點(diǎn)3千米的A點(diǎn)，乙在離O點(diǎn)1千米的B點(diǎn)，后來兩人同時(shí)以每小時(shí)4千米的速度，甲沿XX方向，乙沿YY方向步行(1)起初，兩人的距離是多少？(2)用包含t的式子表示t小時(shí)后兩人的距離；(3)什么時(shí)候兩人的距離最短？4如圖，當(dāng)甲船位于A處時(shí)獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營救甲船立即前往救援，同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C處的乙船，試問乙船應(yīng)朝北偏東多少度的方向沿直線前往B處救援(角度精確到1°)5如圖，已知A、B兩點(diǎn)的距離為100海里，B在A

33、的北偏東30°處，甲船自A以50海里/時(shí)的速度向B航行，同時(shí)乙船自B以30海里/時(shí)的速度沿方位角150°方向航行問航行幾小時(shí)，兩船之間的距離最近？ 6在某時(shí)刻，A點(diǎn)西400千米的B處是臺風(fēng)中心，臺風(fēng)以每小時(shí)40千米的速度向東北方向直線前進(jìn)，以臺風(fēng)中心為圓心、300千米為半徑的圓稱為“臺風(fēng)圈”，從此時(shí)刻算起，經(jīng)過多長時(shí)間A進(jìn)入臺風(fēng)圈？A處在臺風(fēng)圈中的時(shí)間有多長？7在一個(gè)特定時(shí)段內(nèi)，以點(diǎn)E為中心的7海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域，點(diǎn)E正北55海里處有一個(gè)雷達(dá)觀測站A.某時(shí)刻測得一般勻速直線行駛的船位于點(diǎn)A北偏東45°，且與點(diǎn)A相距40海里的位置B，經(jīng)過40分鐘又測得該船已

34、行駛到點(diǎn)A北偏東45°(其中sin，0°90°)且與點(diǎn)A相距10海里的位置C.(1)求該船的行駛速度；(單位：海里/時(shí))(2)若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛，判斷它是否會進(jìn)入警戒水域，并說明理由參考答案：1B2B解析：由題意可畫出平面示意圖，如圖，則ACB80°，ACBC，ABC50°.因此燈塔A在燈塔B的北偏西10°.3解：(1)甲、乙兩人起初的位置是A、B，則AB2OA2OB22OA·OBcos60°32122×3×1×7，起初兩人的距離是千米(2)設(shè)甲、乙兩人t小時(shí)后的位置分別是P

35、、Q，則AP4t，BQ4t，當(dāng)0t時(shí)，PQ2(34t)2(14t)22(34t)(14t)cos60°48t224t7；當(dāng)t時(shí)，PQ2(4t3)2(14t)22(4t3)(14t)cos120°48t224t7，PQ.(3)PQ248t224t748(t)24，當(dāng)t時(shí)，即在第15分鐘末，PQ最短答：在第15分鐘末，兩人的距離最短4解：連結(jié)BC，由余弦定理，得BC22021022×20×10×cos120°700，于是BC10.由，sinACB.ACB90°，ACB41°.乙船應(yīng)朝北偏東71°方向沿直線前往

36、B處救援5解：設(shè)航行x小時(shí)后甲船到達(dá)C點(diǎn)，乙船到達(dá)D點(diǎn)，在BCD中，BC(10050x)海里，BD30x海里(0x2)，CBD60°，由余弦定理，得CD2(10050x)2(30x)22·(10050x)·30x·cos60°4 900x213 000x10 000.當(dāng)x1(小時(shí))時(shí)，CD2最小，從而得CD最小航行1小時(shí)，兩船之間距離最近6解：如圖，以AB為邊，B為頂點(diǎn)作ABP45°(點(diǎn)P在B點(diǎn)的東北方向上)，射線BP即臺風(fēng)中心B的移動(dòng)方向，以A點(diǎn)為圓心，300千米為半徑畫弧交射線BP于C、D兩點(diǎn)，顯然當(dāng)臺風(fēng)中心從B點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，A點(diǎn)開始進(jìn)入臺風(fēng)圈，臺