概率論(隨機變量的分布函數(shù))

1、第三節(jié) 隨機變量的分布函數(shù)一、概念的一、概念的引入引入需要知道需要知道 X 在任意有限區(qū)間在任意有限區(qū)間(a, b)內(nèi)取值的概率內(nèi)取值的概率.21xXxP 12xXPxXP )(2xF)(1xF21xXxP 分布分布函數(shù)函數(shù) ).()(12xFxF ?例如例如.,(21內(nèi)的概率內(nèi)的概率落在區(qū)間落在區(qū)間求隨機變量求隨機變量xxX |xX x二、定義二、定義設設X 是隨機變量，是隨機變量，x為任意實數(shù)，稱函數(shù)為任意實數(shù)，稱函數(shù))(xXPxF)(x為為X 的分布函數(shù)的分布函數(shù)(distribution function)記作記作 X F(x) 或或 FX(x) 如果將如果將 X 看作數(shù)軸上隨機點的坐

2、標，那么分看作數(shù)軸上隨機點的坐標，那么分布函數(shù)布函數(shù) F(x) 的值就表示的值就表示 X落在區(qū)間落在區(qū)間,(x的概率的概率.三、分布函數(shù)的性質(zhì)三、分布函數(shù)的性質(zhì)1 1 單調(diào)不減單調(diào)不減即即 若若 x1 1 x2 2，則則F(F(x1 1) F() F(x2 2) )；0( ) 1,(),lim( )()0,lim( )()1xxF xxF xFF xF 且2.非負有界非負有界F(x+0)=F(x)3.右連續(xù)右連續(xù)性質(zhì)性質(zhì)1-3是鑒別一個函數(shù)是否是某隨機變量的是鑒別一個函數(shù)是否是某隨機變量的分布函數(shù)的分布函數(shù)的充分必要條件充分必要條件.例例1 1 一袋中有一袋中有6 6個球，個球，其中其中2 2

3、個個標號為標號為1 1，3 3個個標號為標號為2 2，1 1個個標號為標號為3, 3, 任取任取1 1個球，以個球，以X X表示取表示取出的出的球球的的標號標號，求，求X X的分布函數(shù)；并求的分布函數(shù)；并求 P P2 X 32 X 3解解：由已知由已知X X的可能值為的可能值為1, 2, 31, 2, 3 PX=1= 2/6, PX=2=3/6, PX=3=1/6.PX=1= 2/6, PX=2=3/6, PX=3=1/6.所以所以X X的分布律為的分布律為 X X 1 2 3 1 2 3 p pk k2/6 3/6 1/62/6 3/6 1/6 0 1 2 3F(x)xF(x)的圖形的圖形為

4、為 3 , 132 , 6521 , 6 21 , 0 xxxxxF)( 3 , 132 , 2X1X21 , 1X1 , 0 xxPPxPxxF )( 1 ）（643232 2 XPXPXP）（它的圖形是一條右連續(xù)的階梯型曲線它的圖形是一條右連續(xù)的階梯型曲線在隨機變量的每一個可能取值點在隨機變量的每一個可能取值點 x=xk(k=1,2,),該圖形都有一個跳躍，跳躍高度為該圖形都有一個跳躍，跳躍高度為pk 一般地，對于離散型隨機變量一般地，對于離散型隨機變量X 來講，如果其概來講，如果其概率分布律為率分布律為 , , k=1,2, 其中其中x1x2則則X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為kkpxXPxx

5、kxxkkkpxXPxXPxF)(例例2 2 一個靶子是半徑為一個靶子是半徑為2 2米米的圓盤的圓盤, ,設擊中設擊中靶上任一同心圓靶上任一同心圓盤盤上上的的點的點的概率與該圓盤的半徑平方成正比概率與該圓盤的半徑平方成正比, ,并設并設射擊都射擊都能中靶能中靶, ,以以X X表示彈著點與圓心的距離表示彈著點與圓心的距離. .試求試求（1 1） 隨機變量隨機變量X X的分布函數(shù)的分布函數(shù).1212 XP）（解解 (1) (1) 求隨機變量求隨機變量X的分布函數(shù)的分布函數(shù)F(x)當當00 x22時，時，P0X x= =c cx2 2 (c (c為待定常數(shù)為待定常數(shù)) ) 又因為又因為00X2X2為

6、必然事件為必然事件, ,故故 1= 1= P0X2P0X2 故故 于是于是 41c400)(2xxXPXPxXPxF 當當x022時時, , X X x為必然事件為必然事件, ,于是于是 F(F(x)= PX )= PX x=1=1綜上所述綜上所述 , 2 , 1 , 20 , 4, 0 , 0)(2xxxxxFx0 1 2 3F(x)的圖形的圖形F(x) 11/21634/1)2/1 (41)21() 1 (12122 FFXP）（.)()( xdttfxF可可證證 . , 020 , 2)(其其它它tttf【注【注】本例中分布函數(shù)】本例中分布函數(shù)F( (x) )的圖形是一條連續(xù)曲的圖形是一

7、條連續(xù)曲線，且線，且除除x=2=2外，外， 20 , 020 , 2)(xxtttF或或補充定義補充定義x=2=2處函數(shù)值為處函數(shù)值為0 0后，后，得到得到第四節(jié)第四節(jié) 連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量及其及其 概率密度概率密度.,)(,d)()(, )(, )(簡稱概率密度簡稱概率密度密度函數(shù)密度函數(shù)的概率的概率稱為稱為其中其中為連續(xù)型隨機變量為連續(xù)型隨機變量則稱則稱有有使對任意實數(shù)使對任意實數(shù)非負可積函數(shù)非負可積函數(shù)存在存在的分布函數(shù)的分布函數(shù)如果對于隨機變量如果對于隨機變量XxfXttfxFxxfxFXx一、一、定義定義probability density.注：注：(1)(1)由定義知道，

8、改變概率密度由定義知道，改變概率密度f (x) )在個別點的函數(shù)值在個別點的函數(shù)值不影響分布函數(shù)不影響分布函數(shù)F( (x) )的取值，因此的取值，因此概率密度不是唯一的概率密度不是唯一的. .(2)(2)連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量的的分布函數(shù)分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù). .)()()3(1221xFxFxXxP ;d)(21xxfxx 二、二、 性質(zhì)性質(zhì);0)()1( xf;1d)()2( xxf(1),(2)用于驗證一個函用于驗證一個函數(shù)是否為概率密度數(shù)是否為概率密度注注 (4)(4)式及連續(xù)性隨機變量分布函數(shù)的定義式及連續(xù)性隨機變量分布函數(shù)的定義表示表示了分布函數(shù)與概率密度間的兩個關系

9、利用這些了分布函數(shù)與概率密度間的兩個關系利用這些關系，可以根據(jù)分布函數(shù)和概率密度中的一個推關系，可以根據(jù)分布函數(shù)和概率密度中的一個推出另一個出另一個(4) (4) 若若f( (x) )在點在點 x 處處連續(xù)連續(xù)，則則有有)()(xfxF連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)與概率密度的幾何連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)與概率密度的幾何意義：意義：3. 性質(zhì)性質(zhì)(3)表示表示Px10.1。 解解: (1): (1)由于由于 dxxf)(于是于是X的概率密度為的概率密度為 0003)(3xxexfx，解得，解得k=3.dxkex0313k(2)(2)從而從而 )(xF 0001)(3xxexFx即即1 . 0)(dx

10、xfdttfx)( 00013303xxedtexxt1 . 03XP）（3 . 01 . 033edxex的概率密度為知已X .,0,43,22,30,6)(其其他他xxxxxf練習練習.x)F) 1 (（的分布函數(shù)求 X得得由由 xxxfxFd)()( . 4, 1, 43,d22d6, 30,d6, 0, 0)(3030 xxttttxttxxFxx . 4, 1, 43,423, 30,12, 0, 0)(22xxxxxxxxF即即解解(1)271)2( XP求271)2( XP)1()27(FF .4841 例例2:2: 連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量X X的分布函數(shù)的分布函數(shù)00)(

11、xAeBxAexFxx（1 1）求）求A A，B B（2 2）求）求X X的概率密度（的概率密度（3 3）P-1X2 P-1X0,t0有有,|tXPsXtsXP則稱則稱X的分布具有無記憶性的分布具有無記憶性.指數(shù)分布具有無記憶性指數(shù)分布具有無記憶性 2. 指數(shù)分布有著重要應用指數(shù)分布有著重要應用.如動植物的壽命、無線電元件的壽命，以及如動植物的壽命、無線電元件的壽命，以及隨機服務系統(tǒng)中的服務時間等都可用指數(shù)分隨機服務系統(tǒng)中的服務時間等都可用指數(shù)分布來描述布來描述.例例4 4 設某種燈泡的使用壽命為設某種燈泡的使用壽命為X，其概率密度為，其概率密度為 求求(1)此種燈泡使用壽命超過此種燈泡使用壽

12、命超過100小時的概率小時的概率. (2)任取任取5只產(chǎn)品只產(chǎn)品, 求有求有2只壽命大于只壽命大于100小時的概率小時的概率.0 , 00 , 1001)(100 xxexfx解解: (1)1100010010001001 100111001100eedxeXPXPxx或或11001001001001001100eedxeXPxx(2)設設Y Y表示表示5 5只產(chǎn)品中壽命大于只產(chǎn)品中壽命大于100100小時的只數(shù)小時的只數(shù), , 則則), 5(1ebY故故312125)1 ()(2eeCYP解：分析：關鍵：解：分析：關鍵：t0t0時時,Tt=N(t)=0. 時間間隔大于時間間隔大于t t，在，

13、在00，tt時間內(nèi)未發(fā)生故障。時間內(nèi)未發(fā)生故障。 因為因為Tt=N(t)=0,Tt=N(t)=0,! 0)(0)(0tettNPtTP 所以所以)(1tFetTPt 0001)(ttetFt所以服從參數(shù)為服從參數(shù)為的指數(shù)分布。的指數(shù)分布。例例4 4 設設備在任何長為設設備在任何長為t t 時間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)時間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)N(t) (t) N(t) (t) 的的possionpossion分布分布, ,求相繼兩次故求相繼兩次故障間的時間間隔障間的時間間隔T T的分布函數(shù)。的分布函數(shù)。 .其中其中 , ( 0) 為常數(shù)為常數(shù), 則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 , 的正的正態(tài)分布，記為態(tài)分布，記為 . xexfx , 21)(222)( ),(2 NX顯然，顯然，f(x)0，且可以證明且可以證明參數(shù)參數(shù) 的意義將在后面的章節(jié)中給出的意義將在后面的章節(jié)中給出1)(dxxf,若隨機變量若隨機變量X的概率密度為的概率密度為u 正態(tài)分布的概率密度函數(shù)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)f( (x) )的性質(zhì)的性質(zhì)(1) 曲線關于直線曲線關于直線 x= 對稱對稱 .hXPXhP這表明這表明(2) 當當 x= 時，時，f(x)取得最大值取得最大值;(3) 在在 x= 處處曲線有拐點，且以曲線有拐點，且以x軸為漸近線軸為漸近線 ;Of(x)x 21(4) 對固定的對固定的 ,改變