三維設(shè)計(jì)新課標(biāo)高考數(shù)學(xué)理大一輪復(fù)習(xí)精品講義函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用_第1頁(yè)
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1、第二章函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第一節(jié)函數(shù)及其表示基礎(chǔ)盤查一函數(shù)的有關(guān)概念(一)循綱憶知1了解構(gòu)成函數(shù)的要素,會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域,了解映射的概念2在實(shí)際情境中,會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)(二)小題查驗(yàn)1判斷正誤(1)函數(shù)是建立在其定義域到值域的映射()(2)函數(shù)yf(x)的圖象與直線xa最多有2個(gè)交點(diǎn)()(3)函數(shù)f(x)x22x與g(t)t22t是同一函數(shù)()(4)若兩個(gè)函數(shù)的定義域與值域相同,則這兩個(gè)函數(shù)是相等函數(shù)()(5)若AR,Bx|x>0,f:xy|x|,其對(duì)應(yīng)是從A到B的映射()答案:(1)(2)×(3)(4)×

2、(5)×2(人教A版教材復(fù)習(xí)題改編)函數(shù)f(x)的定義域是_答案:4,5)(5,)3已知函數(shù)yf(n),滿足f(1)2,且f(n1)3f(n),nN*,則f(4)_.答案:54基礎(chǔ)盤查二分段函數(shù)(一)循綱憶知了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù),并能簡(jiǎn)單應(yīng)用(函數(shù)分段不超過三段)(二)小題查驗(yàn)1判斷正誤(1)函數(shù)f(x)是分段函數(shù)()(2)若f(x)則f(x)()答案:(1)(2)2分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的_,其值域等于各段函數(shù)的值域的_答案:并集并集3已知函數(shù)f(x)若f(x)2,則x_.答案:|(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)自主練透)必備知識(shí)1函數(shù)的定義設(shè)A、B為兩個(gè)非空的數(shù)集,如果按照某種確定的

3、對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,在集合B中都有唯一的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng),那么就稱f:AB為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù),記作yf(x)2函數(shù)的三要素題組練透1下列四組函數(shù)中,表示同一函數(shù)的是()Ayx1與yBy與yCy4lgx與y2lgx2Dylgx2與ylg答案:D2下列所給圖象是函數(shù)圖象的個(gè)數(shù)為()A1B2C3D4解析:選B中當(dāng)x>0時(shí),每一個(gè)x的值對(duì)應(yīng)兩個(gè)不同的y值,因此不是函數(shù)圖象,中當(dāng)xx0時(shí),y的值有兩個(gè),因此不是函數(shù)圖象,中每一個(gè)x的值對(duì)應(yīng)唯一的y值,因此是函數(shù)圖象,故選B.類題通法兩個(gè)函數(shù)是否是同一個(gè)函數(shù),取決于它們的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同,只有當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義

4、域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全相同時(shí),才表示同一函數(shù)另外,函數(shù)的自變量習(xí)慣上用x表示,但也可用其他字母表示,如:f(x)2x1,g(t)2t1,h(m)2m1均表示同一函數(shù)|(常考常新型考點(diǎn)多角探明)多角探明函數(shù)的定義域是使函數(shù)有意義的自變量取值的集合,它是函數(shù)不可缺少的組成部分,研究函數(shù)問題必須樹立“定義域優(yōu)先”的觀念求給定函數(shù)的定義域往往轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問題,在解不等式(組)取交集時(shí)可借助于數(shù)軸.常見的命題角度有:(1)求給定函數(shù)解析式的定義域;(2)求抽象函數(shù)的定義域;(3)已知定義域確定參數(shù)問題.角度一:求給定函數(shù)解析式的定義域1函數(shù)f(x)(a0且a1)的定義域?yàn)開解析:由0x2,故所求函數(shù)

5、的定義域?yàn)?0,2答案:(0,22(2013·安徽高考)函數(shù)yln的定義域?yàn)開解析:要使函數(shù)有意義,需即即解得0<x1,所以定義域?yàn)?0,1答案:(0,1角度二:求抽象函數(shù)的定義域3若函數(shù)yf(x)的定義域是1,2 014,則函數(shù)g(x)的定義域是()A0,2 013B0,1)(1,2 013C(1,2014 D1,1)(1,2 013解析:選B令tx1,則由已知函數(shù)的定義域?yàn)?,2 014,可知1t2014.要使函數(shù)f(x1)有意義,則有1x12014,解得0x2013,故函數(shù)f(x1)的定義域?yàn)?,2 013所以使函數(shù)g(x)有意義的條件是解得0x<1或1x2013.

6、故函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?,1)(1,2 013故選B.4若函數(shù)f(x21)的定義域?yàn)?,1,則f(lgx)的定義域?yàn)?)A1,1B1,2C10,100D0,lg 2解析:選C因?yàn)閒(x21)的定義域?yàn)?,1,則1x1,故0x21,所以1x212.因?yàn)閒(x21)與f(lgx)是同一個(gè)對(duì)應(yīng)法則,所以1lgx2,即10x100,所以函數(shù)f(lgx)的定義域?yàn)?0,100故選C.角度三:已知定義域確定參數(shù)問題5(2015·合肥模擬)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,則a的取值范圍為_解析:函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,所以2x22axa10對(duì)xR恒成立,即2x22axa20,x22axa0恒成立,

7、因此有(2a)24a0,解得1a0.答案:1,0類題通法簡(jiǎn)單函數(shù)定義域的類型及求法(1)已知函數(shù)的解析式,則構(gòu)造使解析式有意義的不等式(組)求解(2)對(duì)實(shí)際問題:由實(shí)際意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式(組)求解(3)已知f(x)的定義域是a,b,求f(g(x)的定義域,是指滿足ag(x)b的x的取值范圍,而已知f(g(x)的定義域是a,b,指的是xa,b|(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)師生共研)必備知識(shí)(1)函數(shù)的解析式是表示函數(shù)的一種方法,對(duì)于不是yf(x)的形式,可根據(jù)題目的條件轉(zhuǎn)化為該形式(2)求函數(shù)的解析式時(shí),一定要注意函數(shù)定義域的變化,特別是利用換元法求出的解析式,不注明定義域往往導(dǎo)致錯(cuò)誤典題例析

8、(1)已知fx2,求f(x)的解析式;(2)已知flgx,求f(x)的解析式;(3)已知f(x)是二次函數(shù),且f(0)0,f(x1)f(x)x1,求f(x);(4)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,),且f(x)2f·1,求f(x)解:(1)由于fx222,所以f(x)x22,x2或x2,故f(x)的解析式是f(x)x22,x2或x2.(2)令1t得x,代入得f(t)lg,又x>0,所以t>1,故f(x)的解析式是f(x)lg,x>1.(3)設(shè)f(x)ax2bxc(a0),由f(0)0,知c0,f(x)ax2bx,又由f(x1)f(x)x1,得a(x1)2b(x1)a

9、x2bxx1,即ax2(2ab)xabax2(b1)x1,所以解得ab.所以f(x)x2x,xR.(4)在f(x)2f1中,用代替x,得f2f(x)1,將f1代入f(x)2f1中,可求得f(x).類題通法求函數(shù)解析式常用的方法(1)配湊法:由已知條件f(g(x)F(x),可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式,然后以x替代g(x),便得f(x)的表達(dá)式;(2)換元法:已知復(fù)合函數(shù)f(g(x)的解析式,可用換元法,此時(shí)要注意新元的取值范圍;(3)待定系數(shù)法:若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法;(4)消去法:已知關(guān)于f(x)與f或f(x)的表達(dá)式,可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)

10、等式組成方程組,通過解方程求出f(x)演練沖關(guān)1已知f(1)x2,求f(x)的解析式解:法一:設(shè)t1,則x(t1)2,t1,代入原式有f(t)(t1)22(t1)t22t12t2t21.故f(x)x21,x1.法二:x2()2211(1)21,f(1)(1)21,11,即f(x)x21,x1.2設(shè)yf(x)是二次函數(shù),方程f(x)0有兩個(gè)相等實(shí)根,且f(x)2x2,求f(x)的解析式解:設(shè)f(x)ax2bxc(a0),則f(x)2axb2x2,a1,b2,f(x)x22xc.又方程f(x)0有兩個(gè)相等實(shí)根,44c0,解得c1.故f(x)x22x1.|(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)師生共研)必備知識(shí)若函數(shù)在其

11、定義域內(nèi),對(duì)于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間,有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系,這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)提醒分段函數(shù)雖然由幾部分組成,但它表示的是一個(gè)函數(shù)典題例析1已知f(x)且f(0)2,f(1)3,則f(f(3)()A2B2C3D3解析:選B由題意得f(0)a0b1b2,解得b1.f(1)a1ba113,解得a.故f(3)319,從而f(f(3)f(9)log392.2已知實(shí)數(shù)a0,函數(shù)f(x)若f(1a)f(1a),則a的值為_解析:當(dāng)a>0時(shí),1a<1,1a>1.這時(shí)f(1a)2(1a)a2a,f(1a)(1a)2a13a.由f(1a)f(1a)得2a13a,解得a.不合題意,舍去當(dāng)a&

12、lt;0時(shí),1a>1,1a<1,這時(shí)f(1a)(1a)2a1a,f(1a)2(1a)a23a.由f(1a)f(1a)得1a23a,解得a.綜上可知,a的值為.答案:類題通法分段函數(shù)“兩種”題型的求解策略(1)根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值首先確定自變量的值屬于哪個(gè)區(qū)間,其次選定相應(yīng)的解析式代入求解(2)已知函數(shù)值或函數(shù)值范圍求自變量的值或范圍應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解,但要注意檢驗(yàn)所求自變量的值或范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍提醒當(dāng)分段函數(shù)的自變量范圍不確定時(shí),應(yīng)分類討論演練沖關(guān)(2015·榆林二模)已知f(x)使f(x)1成立的x的取值范圍是_解析:由題意知或解得4

13、x0或0x2,故x的取值范圍是4,2答案:4,2一、選擇題1(2015·大同調(diào)研)設(shè)全集為R,函數(shù)f(x)ln的定義域?yàn)镸,則RM()A(1,1)B(,1)(1,)C(,11,) D1,1解析:選C由f(x)ln,得到>0,即(x1)(x1)<0,解得1<x<1,即M(1,1),全集為R,RM(,11,)2已知函數(shù)f(x)若f(f(1)4a,則實(shí)數(shù)a等于()A.B.C2D4解析:選Cf(1)2,f(f(1)f(2)42a4a,解得a2.故選C.3若二次函數(shù)g(x)滿足g(1)1,g(1)5,且圖象過原點(diǎn),則g(x)的解析式為()Ag(x)2x23xBg(x)3

14、x22xCg(x)3x22xDg(x)3x22x解析:選B(待定系數(shù)法)設(shè)g(x)ax2bxc(a0),g(1)1,g(1)5,且圖象過原點(diǎn),解得g(x)3x22x,選B.4函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?)A1,10B1,2)(2,10C(1,10 D(1,2)(2,10解析:選D要使函數(shù)f(x)有意義,則x需滿足即所以不等式組的解集為(1,2)(2,10故選D.5根據(jù)統(tǒng)計(jì),一名工人組裝第x件某產(chǎn)品所用的時(shí)間(單位:分鐘)為f(x)(A,c為常數(shù))已知工人組裝第4件產(chǎn)品用時(shí)30分鐘,組裝第A件產(chǎn)品用時(shí)15分鐘,那么c和A的值分別是()A75,25B75,16C60,25D60,16解析:選D因?yàn)榻M裝

15、第A件產(chǎn)品用時(shí)15分鐘,所以15,所以必有4<A,且30.聯(lián)立解得c60,A16.6.具有性質(zhì):ff(x)的函數(shù),我們稱為滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù),下列函數(shù):yx;yx;y其中滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)是()ABCD解析:選B對(duì)于,f(x)x,fxf(x),滿足;對(duì)于,fxf(x),不滿足;對(duì)于,f即f故ff(x),滿足綜上可知,滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)是.二、填空題7(2015·太原月考)已知yf(2x)的定義域?yàn)?,1,則yf(log2x)的定義域是_解析:函數(shù)f(2x)的定義域?yàn)?,1,1x1,2x2.在函數(shù)yf(log2x)中,log2x2,x4.答案:,48設(shè)函數(shù)f(x)滿足

16、f(x)1flog2x,則f(2)_.解析:由已知得f1f·log22,則f,則f(x)1·log2x,故f(2)1·log22.答案:9已知函數(shù)yf(x21)的定義域?yàn)?,則函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)開解析:yf(x21)的定義域?yàn)椋瑇,x211,2,yf(x)的定義域?yàn)?,2答案:1,210(2015·岳陽(yáng)模擬)已知奇函數(shù)f(x)則f(2)的值為_解析:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為奇函數(shù),所以f(0)30a0,即a1.所以f(2)g(2)f(2)(321)8.答案:8三、解答題11(1)如果f,則當(dāng)x0且x1時(shí),求f(x)的解析式;(2)已知f(x)是一次函數(shù),且

17、滿足3f(x1)2f(x1)2x17,求f(x)的解析式解:(1)令t,得x(t0且t1),f(t),f(x)(x0且x1)(2)設(shè)f(x)axb(a0),則3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2bax5ab,即ax5ab2x17不論x為何值都成立,解得f(x)2x7.12如圖1是某公共汽車線路收支差額y元與乘客量x的圖象(1)試說明圖1上點(diǎn)A、點(diǎn)B以及射線AB上的點(diǎn)的實(shí)際意義;(2)由于目前本條線路虧損,公司有關(guān)人員提出了兩種扭虧為贏的建議,如圖2、3所示你能根據(jù)圖象,說明這兩種建議的意義嗎?(3)此問題中直線斜率的實(shí)際意義是什么?(4)圖1、圖2、圖3中的票價(jià)分別是多少元?解:

18、(1)點(diǎn)A表示無人乘車時(shí)收支差額為20元,點(diǎn)B表示有10人乘車時(shí)收支差額為0元,線段AB上的點(diǎn)表示虧損,AB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)表示贏利(2)圖2的建議是降低成本,票價(jià)不變,圖3的建議是提高票價(jià)(3)斜率表示票價(jià)(4)圖1、2中的票價(jià)是2元圖3中的票價(jià)是4元第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值基礎(chǔ)盤查一函數(shù)的單調(diào)性(一)循綱憶知1理解函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義2會(huì)運(yùn)用基本初等函數(shù)的圖象分析函數(shù)的性質(zhì)(二)小題查驗(yàn)1判斷正誤(1)所有的函數(shù)在其定義域上都具有單調(diào)性()(2)函數(shù)f(x)為R上的減函數(shù),則f(3)>f(3)()(3)在增函數(shù)與減函數(shù)的定義中,可以把“任意兩個(gè)自變量”改為“存在兩個(gè)自變量”()(4)

19、函數(shù)y的單調(diào)遞減區(qū)間是(,0)(0,)()(5)函數(shù)yf(x)在1,)上是增函數(shù),則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是1,)()答案:(1)×(2)(3)×(4)×(5)×2(人教A版教材習(xí)題改編)函數(shù)yx22x(x2,4)的增區(qū)間為_答案:2,43若函數(shù)y(2k1)xb在(,)上是減函數(shù),則k的取值范圍是_答案:基礎(chǔ)盤查二函數(shù)的最值(一)循綱憶知1理解函數(shù)最大值、最小值及其幾何意義2會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的最值(二)小題查驗(yàn)1判斷正誤(1)所有的單調(diào)函數(shù)都有最值()(2)函數(shù)y在1,3上的最小值為()答案:(1)×(2)2(人教A版教材例題改編)已知

20、函數(shù)f(x)(x2,6),則函數(shù)的最大值為_答案:2|(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)自主練透)必備知識(shí)1定義法設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮,區(qū)間DI,如果對(duì)于任意x1,x2D,且x1<x2,則有:(1)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)f(x1)<f(x2);(2)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)f(x1)>f(x2)2導(dǎo)數(shù)法在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi),如果f(x)0,那么函數(shù)yf(x)在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增;如果f(x)0,那么函數(shù)yf(x)在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減題組練透1下列四個(gè)函數(shù)中,在(0,)上為增函數(shù)的是()Af(x)3xBf(x)x23xCf(x)Df(x)|x|解析:選C當(dāng)x>0時(shí),f(x)3

21、x為減函數(shù);當(dāng)x時(shí),f(x)x23x為減函數(shù),當(dāng)x時(shí),f(x)x23x為增函數(shù);當(dāng)x(0,)時(shí),f(x)為增函數(shù);當(dāng)x(0,)時(shí),f(x)|x|為減函數(shù)故選C.2討論函數(shù)f(x)(a0)在x(1,1)上的單調(diào)性解:設(shè)1x1x21,則f(x1)f(x2).1x1x21,a>0,x2x10,x1x210,(x1)(x1)0.f(x1)f(x2)0,即f(x1)>f(x)2,故函數(shù)f(x)在(1,1)上為減函數(shù)類題通法對(duì)于給出具體解析式的函數(shù),證明其在某區(qū)間上的單調(diào)性有兩種方法:(1)可以結(jié)合定義(基本步驟為取值、作差或作商、變形、判斷)求解(2)可導(dǎo)函數(shù)則可以利用導(dǎo)數(shù)判斷但是,對(duì)于抽象

22、函數(shù)單調(diào)性的證明,只能采用定義法進(jìn)行判斷|(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)師生共研)必備知識(shí)單調(diào)區(qū)間的定義若函數(shù)yf(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù),則稱函數(shù)yf(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,區(qū)間D叫做yf(x)的單調(diào)區(qū)間典題例析求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:(1)yx22|x|1;(2)ylog(x23x2)解:(1)由于y即y畫出函數(shù)圖象如圖所示,單調(diào)遞增區(qū)間為(,1和0,1,單調(diào)遞減區(qū)間為1,0和1,)(2)令ux23x2,則原函數(shù)可以看作ylogu與ux23x2的復(fù)合函數(shù)令ux23x20,則x1或x2.函數(shù)ylog(x23x2)的定義域?yàn)?,1)(2,)又ux23x2的對(duì)稱軸x,且開口向上ux23x

23、2在(,1)上是單調(diào)減函數(shù),在(2,)上是單調(diào)增函數(shù)而ylogu在(0,)上是單調(diào)減函數(shù),ylog(x23x2)的單調(diào)遞減區(qū)間為(2,),單調(diào)遞增區(qū)間為(,1)類題通法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與確定單調(diào)性的方法一致(1)利用已知函數(shù)的單調(diào)性,即轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的和、差或復(fù)合函數(shù),求單調(diào)區(qū)間(2)定義法:先求定義域,再利用單調(diào)性定義(3)圖象法:如果f(x)是以圖象形式給出的,或者f(x)的圖象易作出,可由圖象的直觀性寫出它的單調(diào)區(qū)間(4)導(dǎo)數(shù)法:利用導(dǎo)數(shù)取值的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間提醒單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示,不能用集合或不等式表示;如有多個(gè)單調(diào)區(qū)間應(yīng)分別寫,不能用并集符號(hào)“”聯(lián)結(jié),也不能用“或”聯(lián)結(jié)演練

24、沖關(guān)1若將典例(1)中的函數(shù)變?yōu)椤皔|x22x1|”,則結(jié)論如何?解:函數(shù)y|x22x1|的圖象如圖所示由圖象可知,函數(shù)y|x22x1|的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,1)和(1,);單調(diào)遞減區(qū)間為(,1)和(1,1)2設(shè)函數(shù)yf(x)在(,)內(nèi)有定義對(duì)于給定的正數(shù)k,定義函數(shù)fk(x)取函數(shù)f(x)2|x|.當(dāng)k時(shí),求函數(shù)fk(x)的單調(diào)遞增區(qū)間解:由f(x)>,得1<x<1.由f(x),得x1或x1.所以f(x)故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(,1)|(??汲P滦涂键c(diǎn)多角探明)必備知識(shí)函數(shù)的最值(1)函數(shù)最大(小)值的幾何意義:函數(shù)的最大值對(duì)應(yīng)圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo);函數(shù)的最小值對(duì)應(yīng)圖象最

25、低點(diǎn)的縱坐標(biāo)(2)利用函數(shù)單調(diào)性求最值的常用結(jié)論:如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a,b上單調(diào)遞增,在區(qū)間b,c上單調(diào)遞減,則函數(shù)yf(x),xa,c在xb處有最大值f(b);如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a,b上單調(diào)遞減,在區(qū)間b,c上單調(diào)遞增,則函數(shù)yf(x),xa,c在xb處有最小值f(b)多角探明高考對(duì)函數(shù)單調(diào)性的考查多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),有時(shí)也應(yīng)用于解答題中的某一問中.函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,歸納起來常見的命題角度有:(1)求函數(shù)的值域或最值;(2)比較兩個(gè)函數(shù)值或兩個(gè)自變量的大?。?3)解函數(shù)不等式;(4)利用單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍或值.角度一:求函數(shù)的值域或最值1函數(shù)f(x)的最大值為_解析

26、:當(dāng)x1時(shí),函數(shù)f(x)為減函數(shù),所以f(x)在x1處取得最大值,為f(1)1;當(dāng)x1時(shí),易知函數(shù)f(x)x22在x0處取得最大值,為f(0)2.故函數(shù)f(x)的最大值為2.答案:2角度二:比較兩個(gè)函數(shù)值或兩個(gè)自變量的大小2已知函數(shù)f(x)log2x,若x1(1,2),x2(2,),則()Af(x1)<0,f(x2)<0Bf(x1)<0,f(x2)>0Cf(x1)>0,f(x2)<0Df(x1)>0,f(x2)>0解析:選B函數(shù)f(x)log2x在(1,)上為增函數(shù),且f(2)0,當(dāng)x1(1,2)時(shí),f(x1)<f(2)0,當(dāng)x2(2,)時(shí)

27、,f(x2)>f(2)0,即f(x1)<0,f(x2)>0.角度三:解函數(shù)不等式3f(x)是定義在(0,)上的單調(diào)增函數(shù),滿足f(xy)f(x)f(y),f(3)1,當(dāng)f(x)f(x8)2時(shí),x的取值范圍是()A(8,) B(8,9C8,9D(0,8)解析:選B211f(3)f(3)f(9),由f(x)f(x8)2,可得fx(x8)f(9),因?yàn)閒(x)是定義在(0,)上的增函數(shù),所以有解得8x9.角度四:利用單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍或值4已知函數(shù)f(x)滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)x1x2,都有<0成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A(,2)B.C(,2 D.解析:選B由題意可知,函數(shù)

28、f(x)是R上的減函數(shù),于是有由此解得a,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.類題通法函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用問題的常見類型及解題策略(1)比較大小比較函數(shù)值的大小,應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi),然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決(2)解不等式在求解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式時(shí),往往是利用函數(shù)的單調(diào)性將“f”符號(hào)脫掉,使其轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解此時(shí)應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域(3)利用單調(diào)性求參數(shù)視參數(shù)為已知數(shù),依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義,確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù);需注意若函數(shù)在區(qū)間a,b上是單調(diào)的,則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的(4)利用單調(diào)性求最值應(yīng)先確定函數(shù)的單調(diào)性,然后再由單調(diào)性求出最值一、選擇題

29、1(2014·北京高考)下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,)上為增函數(shù)的是()AyBy(x1)2Cy2xDylog0.5(x1)解析:選A顯然y是(0,)上的增函數(shù);y(x1)2在(0,1)上是減函數(shù),在(1,)上是增函數(shù);y2xx在xR上是減函數(shù);ylog0.5(x1)在(1,)上是減函數(shù),故選A.2函數(shù)f(x)|x2|x的單調(diào)減區(qū)間是()A1,2B1,0C0,2D2,)解析:選A由于f(x)|x2|x結(jié)合圖象可知函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是1,23(2015·黑龍江牡丹江月考)設(shè)函數(shù)f(x)定義在實(shí)數(shù)集上,它的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱,且當(dāng)x1時(shí),f(x)3x1,則()Af<f<f

30、Bf<f<fCf<f<fDf<f<f解析:選B由題設(shè)知,當(dāng)x<1時(shí),f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x1時(shí),f(x)單調(diào)遞增,而x1為對(duì)稱軸,ffff,又<<<1,ff>f,即f>f>f.4.定義新運(yùn)算:當(dāng)ab時(shí),aba;當(dāng)a<b時(shí),abb2,則函數(shù)f(x)(1x)x(2x),x2,2的最大值等于()A1B1C6D12解析:選C由已知得當(dāng)2x1時(shí),f(x)x2,當(dāng)1<x2時(shí),f(x)x32.f(x)x2,f(x)x32在定義域內(nèi)都為增函數(shù)f(x)的最大值為f(2)2326.5已知函數(shù)f(x)則“c1”是“函數(shù)f(x)

31、在R上遞增”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析:選A若函數(shù)f(x)在R上遞增,則需log21c1,即c1.由于c1c1,但c1/c1,所以“c1”是“f(x)在R上遞增”的充分不必要條件故選A.6(2015·長(zhǎng)春調(diào)研)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x)0,且在(,0)上單調(diào)遞增,如果x1x2<0且x1x2<0,則f(x1)f(x2)的值()A可能為0B恒大于0C恒小于0D可正可負(fù)解析:選C由x1x2<0不妨設(shè)x1<0,x2>0.x1x2<0,x1<x2<0.由f(x)f(x)0知f(

32、x)為奇函數(shù)又由f(x)在(,0)上單調(diào)遞增得,f(x1)<f(x2)f(x2),所以f(x1)f(x2)<0.故選C.二、填空題7已知函數(shù)f(x)為R上的減函數(shù),若f<f(1),則實(shí)數(shù)x的取值范圍是_解析:由題意知f(x)為R上的減函數(shù)且f<f(1);則>1,即|x|<1,且x0.故1<x<1且x0.答案:(1,0)(0,1)8已知函數(shù)f(x)x22ax3在區(qū)間1,2上具有單調(diào)性,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_解析:函數(shù)f(x)x22ax3的圖象開口向上,對(duì)稱軸為直線xa,畫出草圖如圖所示由圖象可知,函數(shù)在(,a和a,)上都具有單調(diào)性,因此要使函數(shù)f(

33、x)在區(qū)間1,2上具有單調(diào)性,只需a1或a2,從而a(,12,)答案:(,12,)9設(shè)函數(shù)f(x)g(x)x2f(x1),則函數(shù)g(x)的遞減區(qū)間是_解析:由題意知g(x)函數(shù)圖象如圖所示,其遞減區(qū)間是0,1)答案:0,1)10使函數(shù)y與ylog3(x2)在(3,)上具有相同的單調(diào)性,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_解析:由ylog3(x2)的定義域?yàn)?2,),且為增函數(shù),故在(3,)上是增函數(shù)又函數(shù)y2,使其在(3,)上是增函數(shù),故4k<0,得k<4.答案:(,4)三、解答題11已知f(x)(xa)(1)若a2,試證明f(x)在(,2)內(nèi)單調(diào)遞增;(2)若a>0且f(x)在(1,)上

34、單調(diào)遞減,求a的取值范圍解:(1)證明:任設(shè)x1<x2<2,則f(x1)f(x2).(x12)(x22)>0,x1x2<0,f(x1)<f(x2),f(x)在(,2)上單調(diào)遞增(2)任設(shè)1<x1<x2,則f(x1)f(x2).a>0,x2x1>0,要使f(x1)f(x2)>0,只需(x1a)(x2a)>0在(1,)上恒成立,a1.綜上所述知a的取值范圍是(0,112已知定義在區(qū)間(0,)上的函數(shù)f(x)滿足ff(x1)f(x2),且當(dāng)x>1時(shí),f(x)<0.(1)求f(1)的值;(2)證明:f(x)為單調(diào)遞減函數(shù);(

35、3)若f(3)1,求f(x)在2,9上的最小值解:(1)令x1x2>0,代入得f(1)f(x1)f(x1)0,故f(1)0.(2)證明:任取x1,x2(0,),且x1>x2,則>1,由于當(dāng)x>1時(shí),f(x)<0,所以f<0,即f(x1)f(x2)<0,因此f(x1)<f(x2),所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,)上是單調(diào)遞減函數(shù)(3)f(x)在(0,)上是單調(diào)遞減函數(shù)f(x)在2,9上的最小值為f(9)由ff(x1)f(x2)得,ff(9)f(3),而f(3)1,所以f(9)2.f(x)在2,9上的最小值為2.第三節(jié)函數(shù)的奇偶性及周期性基礎(chǔ)盤查一函數(shù)

36、的奇偶性(一)循綱憶知1結(jié)合具體函數(shù),了解函數(shù)奇偶性的含義2會(huì)運(yùn)用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性(二)小題查驗(yàn)1判斷正誤(1)若f(x)是定義在R上的奇函數(shù),則f(x)f(x)0()(2)偶函數(shù)圖象不一定過原點(diǎn),奇函數(shù)的圖象一定過原點(diǎn)()(3)如果函數(shù)f(x),g(x)為定義域相同的偶函數(shù),則F(x)f(x)g(x)是偶函數(shù)()(4)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件()答案:(1)(2)×(3)(4)2(人教A版教材習(xí)題改編)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x0時(shí),f(x)x(1x),則x<0時(shí),f(x)_.答案:x(1x)3.已知f(x)ax2bx是

37、定義在a1,2a上的偶函數(shù),那么ab的值是_答案:基礎(chǔ)盤查二函數(shù)的周期性(一)循綱憶知了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義,會(huì)判斷、應(yīng)用簡(jiǎn)單函數(shù)的周期性(二)小題查驗(yàn)1判斷正誤(1)若T是函數(shù)的一個(gè)周期,則nT(nZ,n0)也是函數(shù)的周期()(2)函數(shù)f(x)在定義域上滿足f(xa)f(x),則f(x)是周期為2a(a>0)的周期函數(shù)()答案:(1)(2)2若函數(shù)f(x)是周期為5的奇函數(shù),且滿足f(1)1,f(2)2,則f(8)f(14)_.答案:1|(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)自主練透)必備知識(shí)函數(shù)的奇偶性的定義如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有f(x)f(x)或f(x)f(x),那么函

38、數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)(奇函數(shù))提醒定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件題組練透判斷下列函數(shù)的奇偶性(1)f(x);(2)f(x);(3)f(x)3x3x;(4)f(x);(5)f(x)解:(1)由得x±1,f(x)的定義域?yàn)?,1又f(1)f(1)0,f(1)f(1)0,即f(x)±f(x)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋魂P(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)(3)f(x)的定義域?yàn)镽,f(x)3x3x(3x3x)f(x),所以f(x)為奇函數(shù)(4)由得2x2且x0.f(x)的定義域?yàn)?,0)(0,2,f(x),f

39、(x)f(x),f(x)是奇函數(shù)(5)易知函數(shù)的定義域?yàn)?,0)(0,),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,又當(dāng)x>0時(shí),f(x)x2x,則當(dāng)x<0時(shí),x>0,故f(x)x2xf(x);當(dāng)x<0時(shí),f(x)x2x,則當(dāng)x>0時(shí),x<0,故f(x)x2xf(x),故原函數(shù)是偶函數(shù)類題通法判定函數(shù)奇偶性的常用方法及思路1定義法:2圖象法:3性質(zhì)法:(1)“奇奇”是奇,“奇奇”是奇,“奇·奇”是偶,“奇÷奇”是偶;(2)“偶偶”是偶,“偶偶”是偶,“偶·偶”是偶,“偶÷偶”是偶;(3)“奇·偶”是奇,“奇÷偶”是奇提醒(1)

40、“性質(zhì)法”中的結(jié)論是在兩個(gè)函數(shù)的公共定義域內(nèi)才成立的(2)判斷分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分段分別證明f(x)與f(x)的關(guān)系,只有對(duì)各段上的x都滿足相同的關(guān)系時(shí),才能判斷其奇偶性|(題點(diǎn)多變型考點(diǎn)全面發(fā)掘)必備知識(shí)1周期函數(shù)對(duì)于函數(shù)yf(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí),都有f(xT)f(x),那么就稱函數(shù)yf(x)為周期函數(shù),稱T為這個(gè)函數(shù)的周期2最小正周期如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù),那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期一題多變典型母題設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且對(duì)任意實(shí)數(shù)x,恒有f(x2)f(x)當(dāng)x0,2時(shí),f(x)2xx2.(1)

41、求函數(shù)的最小正周期;(2)計(jì)算f(0)f(1)f(2)f(2015)解(1)f(x2)f(x),f(x4)f(x2)f(x)f(x)的最小正周期為4.(2)f(0)0,f(1)1,f(2)0,f(3)f(1)f(1)1.又f(x)是周期為4的周期函數(shù),f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2012)f(2013)f(2014)f(2015)0,f(0)f(1)f(2)f(2015)0.題點(diǎn)發(fā)散1本例條件若改為:設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x),且當(dāng)x0,2)時(shí),f(x)2xx2.試計(jì)算f(0)f(1)f(2)f(2015)的值解:因?yàn)閒(x2)f(

42、x),所以周期T2.又f(0)0,f(1)1,所以f(0)f(2)f(4)f(2014)0,f(1)f(3)f(5)f(2015)1,所以f(0)f(1)f(2)f(2015)1008.題點(diǎn)發(fā)散2若本例中條件變?yōu)椤癴(x2)”,求函數(shù)f(x)的最小正周期解:對(duì)任意xR,都有f(x2),f(x4)f(x22)f(x),f(x)是以4為周期的周期函數(shù)題點(diǎn)發(fā)散3在本例條件下,求f(x)(x2,4)的解析式解:當(dāng)x2,0時(shí),x0,2,由已知得f(x)2(x)(x)22xx2,又f(x)是奇函數(shù),f(x)f(x)2xx2.f(x)x22x.又當(dāng)x2,4時(shí),x42,0,f(x4)(x4)22(x4)又f(

43、x)是周期為4的周期函數(shù),f(x)f(x4)(x4)22(x4)x26x8.故x2,4時(shí),f(x)x26x8.類題通法1判斷函數(shù)周期性的兩個(gè)方法(1)定義法(2)圖象法2周期性三個(gè)常用結(jié)論對(duì)f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x:(1)若f(xa)f(x),則T2a;(2)若f(xa),則T2a;(3)若f(xa),則T2a.(a>0)提醒應(yīng)用函數(shù)的周期性時(shí),應(yīng)保證自變量在給定的區(qū)間內(nèi)|(??汲P滦涂键c(diǎn)多角探明)多角探明高考對(duì)于函數(shù)性質(zhì)的考查,一般不會(huì)單純地考查某一個(gè)性質(zhì),而是對(duì)奇偶性、周期性、單調(diào)性的綜合考查.歸納起來常見的命題角度有:(1)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合;(2)周期性與奇偶性結(jié)合;(3

44、)單調(diào)性、奇偶性與周期性結(jié)合.角度一:?jiǎn)握{(diào)性與奇偶性結(jié)合1(2015·洛陽(yáng)統(tǒng)考)下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在(,0)上單調(diào)遞增的是()Ayx2By2|x|Cylog2Dysinx解析:選C函數(shù)yx2在(,0)上是減函數(shù);函數(shù)y2|x|在(,0)上是減函數(shù);函數(shù)ylog2log2|x|是偶函數(shù),且在(,0)上是增函數(shù);函數(shù)ysinx不是偶函數(shù)綜上所述,選C.2已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,2,且在區(qū)間2,0上遞減,求滿足f(1m)f(1m2)<0的實(shí)數(shù)m的取值范圍解:f(x)的定義域?yàn)?,2,解得1m.又f(x)為奇函數(shù),且在2,0上遞減,f(x)在2,2上遞減,f(1m)<

45、;f(1m2)f(m21)1m>m21,解得2<m<1.綜合可知,1m<1.即實(shí)數(shù)m的取值范圍是1,1)角度二:周期性與奇偶性結(jié)合3(2015·石家莊一模)已知f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù),若f(1)1,f(5),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A(1,4) B(2,0)C(1,0) D(1,2)解:選Af(x)是定義在R上的周期為3的偶函數(shù),f(5)f(56)f(1)f(1),f(1)1,f(5),1,即0,解得1a4,故選A.角度三:?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性與周期性結(jié)合4已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x4)f(x),且在區(qū)間0,2上是增函數(shù),則()Af(

46、25)f(11)f(80) Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25) Df(25)f(80)<f(11)解:選Df(x)滿足f(x4)f(x),f(x8)f(x),函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù),則f(25)f(1),f(80)f(0),f(11)f(3)由f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且滿足f(x4)f(x),得f(11)f(3)f(1)f(1)f(x)在區(qū)間0,2上是增函數(shù),f(x)在R上是奇函數(shù),f(x)在區(qū)間2,2上是增函數(shù),f(1)f(0)f(1),即f(25)f(80)f(11)類題通法函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用問題的常見類型及解題策略(1)函數(shù)單調(diào)性與奇偶

47、性結(jié)合注意函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的定義,以及奇、偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性(2)周期性與奇偶性結(jié)合此類問題多考查求值問題,常利用奇偶性及周期性進(jìn)行交換,將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解(3)周期性、奇偶性與單調(diào)性結(jié)合解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間,然后利用奇偶性和單調(diào)性求解一、選擇題1(2015·河南信陽(yáng)二模)函數(shù)f(x)lg|sinx|是()A最小正周期為的奇函數(shù)B最小正周期為2的奇函數(shù)C最小正周期為的偶函數(shù)D最小正周期為2的偶函數(shù)解析:選C易知函數(shù)的定義域?yàn)?,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,又f(x)lg|sin(x)|lg|sinx|lg|sinx|f(x),所以f(

48、x)是偶函數(shù),又函數(shù)y|sinx|的最小正周期為,所以函數(shù)f(x)lg|sinx|是最小正周期為的偶函數(shù)2(2015·大連測(cè)試)下列函數(shù)中,與函數(shù)y3|x|的奇偶性相同,且在(,0)上單調(diào)性也相同的是()AyBylog2|x|Cy1x2Dyx31解析:選C函數(shù)y3|x|為偶函數(shù),在(,0)上為增函數(shù),選項(xiàng)B的函數(shù)是偶函數(shù),但其單調(diào)性不符合,只有選項(xiàng)C符合要求3(2015·唐山統(tǒng)考)f(x)是R上的奇函數(shù),當(dāng)x0時(shí),f(x)x3ln(1x)則當(dāng)x0時(shí),f(x)()Ax3ln(1x)Bx3ln(1x)Cx3ln(1x) Dx3ln(1x)解析:選C當(dāng)x0時(shí),x0,f(x)(x)3ln(1x),f(x)是R上的奇函數(shù),當(dāng)x0時(shí),f(x)f(x)(x)3ln(1x),f(x)x3ln(1x)4(2015·長(zhǎng)春調(diào)研)已知函數(shù)f(x),若f(a),則f(a)()A.BC.D解析:選C根據(jù)題意,f(x)1,而h(x)是奇函數(shù),故f(a)1h(a)1h(a)21h(a)2f(a)2,故選C.5(2015·甘肅天水一模)已知函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù),g(x)是R上的奇函數(shù),且g(x)f(x1),若f(2)2,則

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