六年級奧數(shù)抽屜原理ABC級教師版

1、抽屜原理知識框架知識點(diǎn)介紹抽屜原理有時也被稱為鴿籠原理，它由德國數(shù)學(xué)家狄利克雷首先明確提出來并用來證明一些數(shù)論中的問題，因此，也被稱為狄利克雷原則.抽屜原理是組合數(shù)學(xué)中一個重要而又基本的數(shù)學(xué)原理，利用它可以解決很多有趣的問題，并且常常能夠起到令人驚奇的作用.許多看起來相當(dāng)復(fù)雜，甚至無從下手的問題,在利用抽屜原則后，能很快使問題得到解決.抽屜原理的定義（1）舉例桌上有十個蘋果，要把這十個蘋果放到九個抽屜里，無論怎樣放，有的抽屜可以放一個，有的可以放兩個，有的可以放五個，但最終我們會發(fā)現(xiàn)至少我們可以找到一個抽屜里面至少放兩個蘋果。（2）定義一般情況下，把n+1或多于n+1個蘋果放到n個抽屜里，其中

2、必定至少有一個抽屜里至少有兩個蘋果。我們稱這種現(xiàn)象為抽屜原理。三、抽屜原理的解題方案（一）、利用公式進(jìn)行解題蘋果+抽屜=商余數(shù)余數(shù)：（1）余數(shù)=1,結(jié)論：至少有（商+1）個蘋果在同一個抽屜里(2)余數(shù)=x1pxpn結(jié)論：至少有（商+1）個蘋果在同一個抽屜里(3)余數(shù)=0,結(jié)論：至少有“商”個蘋果在同一個抽屜里（二）、利用最值原理解題將題目中沒有闡明的量進(jìn)行極限討論,將復(fù)雜的題目變得非常簡單，也就是常說的極限思想“任我意”方法、特殊值方法.重難點(diǎn)抽屜原理是一種特殊的思維方法，不但可以根據(jù)它來做出許多有趣的推理和判斷，同時能夠幫助同學(xué)證明很多看似復(fù)雜的問題。本講的主要教學(xué)目標(biāo)是:Page1of17

3、(1) 理解抽屜原理的基本概念、基本用法；(2) 掌握用抽屜原理解題的基本過程；(3) 能夠構(gòu)造抽屜進(jìn)行解題；(4) 利用最不利原則進(jìn)行解題；(5) 利用抽屜原理與最不利原則解釋并證明一些結(jié)論及生活中的一些問題。但例題精講(一)、直接利用公式進(jìn)行解題(1)求結(jié)論【例1】6只鴿子要飛進(jìn)5個籠子，每個籠子里都必須有1只，一定有一個籠子里有2只鴿子.對嗎?【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】1星【題型】解答【解析】6只鴿子要飛進(jìn)5個籠子，如果每個籠子裝1只，這樣還剩下1只鴿子.這只鴿子可以任意飛進(jìn)其中的一個籠子，這樣至少有一個籠子里有2只鴿子.所以這句話是正確的.利用剛剛學(xué)習(xí)過的抽屜原理來解釋這個問題，把鴿籠看

4、作抽屜”，把鴿子看作革果”,651LL1,112(只)把6個蘋果放到5個抽屜中，每個抽屜中都要有1個蘋果，那么肯定有一個抽屜中有兩個蘋果，也就是一定有一個籠子里有2只鴿子.【答案】對【鞏固】年級一班學(xué)雷鋒小組有13人.教數(shù)學(xué)的張老師說：你們這個小組至少有2個人在同一月過生日.你知道張老師為什么這樣說嗎？【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】1星【題型】解答【解析】略.【總結(jié)】題目中并沒有說明什么是抽屜”，什么是物品”，解題的關(guān)鍵是制造抽屜”，確定假設(shè)的物品”,根據(jù)抽屜少，物品多”轉(zhuǎn)化為抽屜原理來解.【答案】從題目可以看出，這道題顯然與月份有關(guān).我們知道，一年有12個月，把這12個月看成12個抽屜，這道題就相

5、當(dāng)于把13個蘋果放入12個抽屜中.根據(jù)抽屜原理，至少有一個抽屜放了兩個蘋果.因此至少有兩個同學(xué)在同一個月過生日.【例2人的頭發(fā)平均有12萬根，如果最多不超過20萬根，那么13億中國人中至少有人的頭發(fā)的Page2of17根數(shù)相同?！究键c(diǎn)】抽屜原理【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】2009年，第7屆，希望杯，4年級，1試【解析】這是一道抽屜原理的題目，所以要先分清楚什么是抽屜，什么是蘋果。此題中的抽屜是人的頭發(fā)：有20萬個，中國的人數(shù)是蘋果：13億人，所以至少應(yīng)有：13000000002000006500（人）?！敬鸢浮?500人【鞏固】向陽小學(xué)有730個學(xué)生，問：至少有幾個學(xué)生的生日是同一天?【

6、考點(diǎn)】抽屜原理【難度】2星【題型】解答【解析】略.【答案】一年最多有366天，可看做366個抽屜，730個學(xué)生看做730個蘋果.因?yàn)?303661LL364,所以，至少有1+1=2（個）學(xué)生的生日是同一天【例3】五年級數(shù)學(xué)小組共有20名同學(xué)，他們在數(shù)學(xué)小組中都有一些朋友，請你說明：至少有兩名同學(xué),他們的朋友人數(shù)一樣多.【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】3星【題型】解答【解析】略.【答案】數(shù)學(xué)小組共有20名同學(xué)，因此每個同學(xué)最多有19個朋友；又由于他們都有朋友，所以每個同學(xué)至少有1個朋友.因此，這20名同學(xué)中，每個同學(xué)的朋友數(shù)只有19種可能：1,2,3,；19.把這20名同學(xué)看作20個蘋果”，又把同學(xué)的朋

7、友數(shù)目看作19個抽屜”，根據(jù)抽屜原理，至少有2名同學(xué)，他們的朋友人數(shù)一樣多試說明：在游園的【鞏固】六一”兒童節(jié)，很多小朋友到公園游玩，在公園里他們各自遇到了許多熟人.小朋友中，至少有兩個小朋友遇到的熟人數(shù)目相等.【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】3星【題型】解答Page3of17【解析】略.【答案】假設(shè)共有n個小朋友到公園游玩，我們把他們看作n個蘋果”，再把每個小朋友遇到的熟人數(shù)目看作抽屜”，那么，n個小朋友每人遇到的熟人數(shù)目共有以下n種可能：0,1,2,；n1.其中0的意思是指這位小朋友沒有遇到熟人；而每位小朋友最多遇見n1個熟人，所以共有n個抽屜”.下面分兩種情況來討論：如果在這n個小朋友中，有一些

8、小朋友沒有遇到任何熟人，這時其他小朋友最多只能遇上n2個熟人，這樣熟人數(shù)目只有n1種可能：0,1,2,；n2.這樣，蘋果”數(shù)（n個小朋友）超過抽屜”數(shù)（n1種熟人數(shù)目），根據(jù)抽屜原理，至少有兩個小朋友，他們遇到的熟人數(shù)目相等.如果在這n個小朋友中，每位小朋友都至少遇到一個熟人，這樣熟人數(shù)目只有n1種可能：1,2, 3,；n1.這時，蘋果”數(shù)（n個小朋友）仍然超過抽屜”數(shù)（n1種熟人數(shù)目），根據(jù)抽屜原理，至少有兩個小朋友，他們遇到的熟人數(shù)目相等.總之，不管這n個小朋友各遇到多少熟人（包括沒遇到熟人），必有兩個小朋友遇到的熟人數(shù)目相等【例4】在任意的四個自然數(shù)中，是否其中必有兩個數(shù)，它們的差能被3

9、整除？【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】3星【題型】解答【解析】略.【答案】因?yàn)槿魏握麛?shù)除以3,其余數(shù)只可能是0,1,2三種情形.我們將余數(shù)的這三種情形看成是三個抽屜”.一個整數(shù)除以3的余數(shù)屬于哪種情形，就將此整數(shù)放在那個抽屜”里.將四個自然數(shù)放入三個抽屜，至少有一個抽屜里放了不止一個數(shù)，也就是說至少有兩個數(shù)除以3的余數(shù)相同（需要對學(xué)生利用余數(shù)性質(zhì)進(jìn)行解釋：為什么余數(shù)相同，則差就能被整除）.這兩個數(shù)的差必能被3整除【鞏固】四個連續(xù)的自然數(shù)分別被3除后，必有兩個余數(shù)相同，請說明理由.【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】2星【題型】解答【解析】略.【答案】想一想，不同的自然數(shù)被3除的余數(shù)有幾類？在這道題中，把什么當(dāng)作抽

10、屜呢？把這四個連續(xù)的自然數(shù)分別除以3,其余數(shù)不外乎是0,1,2,把這3個不同的余數(shù)當(dāng)作3個抽屜”，把這4個連續(xù)的自然數(shù)按照被3除的余數(shù)，分別放入對應(yīng)的3個抽屜”中，根據(jù)抽屜原理，至少有兩個自然數(shù)在同一個抽屜里，也就是說，至少有兩個自然數(shù)除以3的余數(shù)相同【例5】求證：可以找到一個各位數(shù)字都是4的自然數(shù)，它是1996的倍數(shù).Page4of17【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】4星【題型】解答【解析】略.【答案】19964499,下面證明可以找到1個各位數(shù)字都是1的自然數(shù)，它是499的倍數(shù).取500個數(shù)：1,11,111,；1111(500個1).用499去除這500個數(shù)，得到500個余數(shù)q,82,83,，3

11、500.由于余數(shù)只能取0,1,2,，498這499個值，所以根據(jù)抽屜原則，必有2個余數(shù)是相同的，這2個數(shù)的差就是499的倍數(shù)，差的前若干位是1,后若干位是0：11-100-.0又499和10是互質(zhì)的，所以它的前若干位由1組成的自然數(shù)是499的倍數(shù)，將它乘以4,就得到一個各位數(shù)字都是4的自然數(shù)，這是1996的倍數(shù)【鞏固】求證：對于任意的8個自然數(shù)，一定能從中找到6個數(shù)a,b,c,d,e,f,使得(ab)(cd)(ef)是105的倍數(shù).【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】3星【題型】解答【解析】略.【答案】105357.對于任意的8個自然數(shù)，必可選出2個數(shù)，使它們的差是7的倍數(shù)；在剩下的6個數(shù)中，又可選出2個

12、數(shù)，使它們的差是5的倍數(shù)；在剩下的4個數(shù)中，又可選出2個數(shù)，使它們的差是3的倍數(shù)(2)求抽屜【例6】某班有16名學(xué)生，每個月教師把學(xué)生分成兩個小組.問最少要經(jīng)過幾個月，才能使該班的任意兩個學(xué)生總有某個月份是分在不同的小組里？【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】2星【題型】解答【解析】經(jīng)過第一個月，將16個學(xué)生分成兩組，至少有8個學(xué)生分在同一組，下面只考慮這8個學(xué)生.經(jīng)過第二個月，將這8個學(xué)生分成兩組，至少有4個學(xué)生是分在同一組，下面只考慮這4個學(xué)生.經(jīng)過第三個月，將這4個學(xué)生分成兩組，至少有2個學(xué)生仍分在同一組，這說明只經(jīng)過3個月是無法滿足題目要求的.如果經(jīng)過四個月，將每個月都一直保持同組的學(xué)生一分為二，

13、放人兩個組，那么第一個月保持同組的人數(shù)為16+2=8人，第二個月保持同組的人數(shù)為8+2=4人，第三個月保持同組人數(shù)為4+2=2人，這說明照此分法，不會有2個人一直保持在同一組內(nèi)，即滿足題目要求，故最少要經(jīng)過4個月.【答案】4個月【鞏固】100個蘋果最多分給多少個學(xué)生，能保證至少有一個學(xué)生所擁有的蘋果數(shù)不少于12個.Page5of17【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】2星【題型】解答【解析】從不利的方向考慮：當(dāng)分蘋果的學(xué)生多余某一個數(shù)時，有可能使每個學(xué)生分得的學(xué)生少于12個,求這個數(shù).100個按每個學(xué)生分蘋果不多于11個（即少于12個）蘋果，最少也要分10人（9人11個蘋果，還有一人一個蘋果），否則9X1

14、1100,所以只要分蘋果的學(xué)生不多余9人就能使保證至少有一個學(xué)生所擁有的蘋果數(shù)不少于12個（即多于11個）.【答案】9（3）求蘋果【例7】一次數(shù)學(xué)競賽出了10道選擇題，評分標(biāo)準(zhǔn)為：基礎(chǔ)分10分，每道題答對得3分，答錯扣1分，不答不得分。問：要保證至少有4人得分相同，至少需要多少人參加競賽？【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】2星【題型】解答【解析】由題目條件這次數(shù)學(xué)競賽的得分可以從10-10=0分到10+3X10=4防，但注意到39、38、35這3個分?jǐn)?shù)是不可能得到的，要保證至少有4人得分相同，至少需要3X（41-3）+1=115人.【答案】115人【鞏固】一次測驗(yàn)共有10道問答題，每題的評分標(biāo)準(zhǔn)是：回答

15、完全正確，得5分；回答不完全正確，得3分，回答完全錯誤或不回答，得0分.至少人參加這次測驗(yàn)，才能保證至少有3人得得分相同.【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】（第十屆小數(shù)報(bào)數(shù)學(xué)競賽決賽）【解析】根據(jù)評分標(biāo)準(zhǔn)可知，最高得分為50分，最低得分為0分，在050分之間，1分，2分，4分，7分，47分，49分不可能出現(xiàn).共有51645（種）不同得分.根據(jù)抽屜原理，至少有452191（人）參賽，才能保證至少有3人得分相同.3（二）、構(gòu)造抽屜利用公式進(jìn)行解題例8在一只口袋中有紅色、黃色、藍(lán)色球若干個，小聰明和其他六個小朋友一起做游戲，每人可以從口袋中隨意取出2個球，那么不管怎樣挑選，總有兩個小

16、朋友取出的兩個球的顏色完全一樣.你能說明這是為什么嗎？Page6of17【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】2星【題型】解答【解析】略.【答案】從三種顏色的球中挑選兩個球，可能情況只有下面6種：紅、紅；黃、黃；藍(lán)、藍(lán)；紅、黃；紅、藍(lán)；黃、藍(lán)，我們把6種搭配方式當(dāng)作6個抽屜”，把7個小朋友當(dāng)作7個蘋果”，根據(jù)抽屜原理，至少有兩個蘋果”要放進(jìn)一個抽屜”中，也就是說，至少有兩個人挑選的顏色完全一樣【鞏固】幼兒園買來許多牛、馬、羊、狗塑料玩具，每個小朋友任意選擇兩件，但不能是同樣的，問：至少有多少個小朋友去拿，才能保證有兩人所拿玩具相同？【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】2星【題型】解答【解析】從四種玩具中挑選不同的兩件，

17、所有的搭配有以下6組：牛、馬；牛、羊；牛、狗；馬、羊；馬、狗；羊、狗.把每一組搭配看作一個抽屜”，共6個抽屜.根據(jù)抽屜原理，至少要有7個小朋友去拿，才能保證有兩人所拿玩具相同.【答案】7個【例9】從2、4、6、8、L、50這25個偶數(shù)中至少任意取出多少個數(shù)，才能保證有2個數(shù)的和是52?【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】2星【題型】解答【解析】構(gòu)造抽屜：2,50,4,48,6,46,8,44,L,24,28,26,共13種搭配，即13個抽屜，所以任意取出14個數(shù)，無論怎樣取，有兩個數(shù)必同在一個抽屜里，這兩數(shù)和為52,所以應(yīng)取出14個數(shù).或者從小數(shù)入手考慮，2、4、6、L、26,當(dāng)再取28時，與其中的一個去

18、陪，總能找到一個數(shù)使這兩個數(shù)之和為52.14【鞏固】請證明：在1,4,7,10,，100中任選20個數(shù)，其中至少有不同的兩組數(shù)其和都等于104.【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】2星【題型】解答【解析】略.【答案】1,4,7,10,，100共有34個數(shù)，將其分為(4,100),(7,97),，(49,55),(1),(52),共有18個抽屜.從這18個抽屜里面任意抽取20個數(shù)，則至少有18個數(shù)取自前16個抽屜，所以至少有4個數(shù)取自某兩個抽屜中，而屬于同一抽屜”的兩個數(shù)，其和是104Page7of17【例10】從1,2,3，2010,2011這些自然數(shù)中，最多可以取出多少個數(shù)，使得其中每兩個數(shù)的差不等于4

19、?【解析】1,2,3,4,9,10,11,12,17,18,19,20,25，在這些數(shù)種中任何兩個數(shù)的差都不等于4,可以看出這些數(shù)是從每8個連續(xù)的數(shù)中選出前面的4個連續(xù)的數(shù)那么有2011+8=2513,所以最多可以選251X4+3=1007個數(shù)。（對于這類問題，一種方法是先盡可能的多選，然后再找出這些數(shù)的規(guī)律，再計(jì)算出最多可以選出多少個?！眷柟獭繌?至2013這2013個自然數(shù)中最多能取出多少個數(shù)，使得其中任意的兩數(shù)都不連續(xù)且差不等于4?【解析】1,3,6,8,11,13,16,18,21,這些數(shù)中任何兩個數(shù)不連續(xù)且差不等于4,這些數(shù)是每5個連續(xù)的數(shù)中選擇第一、三個數(shù)。2012+5=4023,

20、所以最多可以選402X2+2=805個數(shù)。（如果選擇1,4,6,9,即每5個連續(xù)的數(shù)中選擇第1、4個數(shù)。但是此時最多能選出402X2+1=804個數(shù)。）【例11】從1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11和12中至多選出個數(shù)，使得在選出的數(shù)中，每一個數(shù)都不是另一個數(shù)的2倍.【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】2008年，第八屆，春蕾杯，小學(xué)數(shù)學(xué)邀請賽，決賽【解析】把這12個數(shù)分成6個組：第1組：1,2,4,8第2組：3,6,12第3組：5,10第4組：7第5組：9第6組：11每組中相鄰兩數(shù)都是2倍關(guān)系，不同組中沒有2倍關(guān)系.選沒有2倍關(guān)系的數(shù)，第1組最多2個（1,4或2,8

21、或1,8）,第2組最多2個（3,12）,第3組只有1個，第4,5,6組都可以取，一共2211118個.如果任意取9個數(shù)，因?yàn)榈?,4,5,6組一共5個數(shù)中，最多能取4個數(shù)，剩下945個數(shù)在Page8of172個組中，根據(jù)抽屜原理，至少有3個數(shù)是同一組的，必有2個數(shù)是同組相鄰的數(shù)，是2倍關(guān)系.【答案】8個數(shù)【鞏固】從1到20這20個數(shù)中，任取11個不同的數(shù)，必有兩個數(shù)其中一個是另一個數(shù)的倍數(shù).【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】3星【題型】解答【解析】略.【答案】把這20個數(shù)分成以下10組，看成10個抽屜：(1,2,4,8,16),(3,6,12),(5,10,20),(7,14),(9,18),(11),

22、(13),(15),(17),(19),前5個抽屜中，任意兩個數(shù)都有倍數(shù)關(guān)系.從這10個抽屜中任選11個數(shù)，必有一個抽屜中要取2個數(shù)，它們只能從前5個抽屜中取出，這兩個數(shù)就滿足題目要求【例12】有蘋果和桔子若干個，任意分成5堆，能否找到這樣兩堆，使蘋果的總數(shù)與桔子的總數(shù)都是偶【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】3星【題型】解答【解析】需先跟學(xué)生介紹奇偶性：奇數(shù)奇數(shù)偶數(shù)；奇數(shù)偶數(shù)奇數(shù)；偶數(shù)偶數(shù)偶數(shù)。先用列表法進(jìn)行搭配。由于題目只要求判斷兩堆水果的個數(shù)關(guān)系，因此可以從水果個數(shù)的奇、偶性上來考慮抽屜的設(shè)計(jì).對于每堆水果中的蘋果、桔子的個數(shù)分別都有奇數(shù)與偶數(shù)兩種可能，所以每堆水果中蘋果、桔子個數(shù)的搭配就有4種情形

23、：(奇，奇)，(奇，偶)，(偶,奇)，(偶，偶)，其中括號中的第一個字表示蘋果數(shù)的奇偶性，第二個字表示桔子數(shù)的奇偶性.將這4種情形看成4個抽屜，現(xiàn)有5堆水果，根據(jù)抽屜原理可知，這5堆水果里至少有2堆屬于上述4種情形的同一種情形.由于奇數(shù)加奇數(shù)為偶數(shù)，偶數(shù)加偶數(shù)仍為偶數(shù)，所以在同一個抽屜中的兩堆水果，其蘋果的總數(shù)與桔子的總數(shù)都是偶數(shù).【答案】能【鞏固】在20米長的水泥陽臺上放12盆花，隨便怎樣擺放，請你說明至少有兩盆花它們之間的距離小于2米.【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】2星【題型】解答【解析】略.【答案】第1盆花放在一個端點(diǎn)上，第2盆花放在距第1盆花恰為2米處(這是兩盆花之間最近的距離了，再近就說明

24、題目已經(jīng)正確了一一兩盆花之間距離小于2米).第3盆花放在距離第2盆花的距離2米處，這樣每隔2米放1盆花，直到陽臺的另一個盡頭，恰好放第11盆花.至此，陽臺上的11盆Page9of17花中任意兩盆花之間的距離都按你的設(shè)想不小于2米放好了.現(xiàn)在考慮最后1盆花，它只能放在已放好的11盆花所留出的10個空檔內(nèi)了，這已說明必有兩盆花之間的距離小于2米.題目的結(jié)論是正確的【例13】時鐘的表盤上按標(biāo)準(zhǔn)的方式標(biāo)著1,2,3,，11,12這12個數(shù)，在其上任意做n個120°的扇n個扇形中總能恰形，每一個都恰好覆蓋4個數(shù)，每兩個覆蓋的數(shù)不全相同.如果從這任做的好取出3個覆蓋整個鐘面的全部12個數(shù)，求n的

25、最小值.【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】3星【題型】解答【解析】(1)當(dāng)n8時，有可能不能覆蓋12個數(shù)，比如每塊扇形錯開1個數(shù)擺放，蓋住的數(shù)分別是：(12,1,2,3);(1,2,3,4);(2,3,4,5);(3,4,5,6);(4,5,6,7);(5,6,7,8);(6,7,8,9);(7,8,9,10),都沒蓋住11,其中的3個扇形當(dāng)然也不可能蓋住全部12個數(shù).(2)每個扇形覆蓋4個數(shù)的情況可能是：(1,2,3,4)(5,6,7,8)(9,10,11,12)覆蓋全部12個數(shù)(2,3,4,5)(6,7,8,9)(10,11,12,1)覆蓋全部12個數(shù)(3,4,5,6)(7,8,9,10)(11,1

26、2,1,2)覆蓋全部12個數(shù)(4,5,6,7)(8,9,10,11)(12,1,2,3)覆蓋全部12個數(shù)當(dāng)n9時，至少有3個扇形在上面4個組中的一組里，恰好覆蓋整個鐘面的全部12個數(shù).所以n的最小值是9.【鞏固】如圖，在時鐘的表盤上任意作9個120°的扇形，使得每一個扇形都恰好覆蓋4個數(shù)，且每兩個扇形覆蓋的數(shù)不全相同，求證：一定可以找到3個扇形，恰好覆蓋整個表盤上的數(shù).并舉一個反例說明，作8個扇形將不能保證上述結(jié)論成立.Page10of17【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】2009年，清華附中，入學(xué)測試【解析】略.【答案】在表盤上共可作出12個不同的扇形，且112中的

27、每個數(shù)恰好被4個扇形覆蓋.將這12個扇形分為4組，使得每一組的3個扇形恰好蓋住整個表盤.那么，根據(jù)抽屜原理，從中選擇9個扇形，9必有913個扇形屬于同一組，那么這一組的3個扇形可以覆蓋整個表盤.另一方面，作84個扇形相當(dāng)于從全部的12個扇形中去掉4個，則可以去掉蓋住同一個數(shù)的4個扇形，這樣這個數(shù)就沒有被剩下的8個扇形蓋住，那么這8個扇形不能蓋住整個表盤【例14】從1,2,3,49,50這50個數(shù)中取出若干個數(shù)，使其中任意兩個數(shù)的和都不能被7整除,則最多能取出多少個數(shù)？【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】3星【題型】填空【解析】此題是結(jié)合數(shù)論余數(shù)部分知識與抽屜原理而成，既然題目中說任意兩數(shù)和不能被7整除，那

28、么便從除以7的余數(shù)入手：余0:(7,14,21,28,35,42,49);余1:(1,8,15,22,29,36,43,50);余2:(2,9,16,23,30,37,44);余3:(3,10,17,24,31,38,45);余4:(4,11,18,25,32,39,46);余5:(5,12,19,26,33,40,47);余6:(6,13,20,27,34,41,48);第一組內(nèi)的數(shù)最多只能取一個；如果取第二組，那么不能取第七組內(nèi)任何一個數(shù)；取第三組，不能取第六組內(nèi)任何一個數(shù)；取第四組，不能取第五組內(nèi)任意一個數(shù)。第二、三、四、五、六、七組分別有8、7、7、7、7、7個數(shù)，所以最多可以取1+8

29、+7+7=23個數(shù)。(三)、最不利原則【例15】定美”主試委員會為三八年級準(zhǔn)備決賽試題.每個年級12道題，并且至少有8道題與其他各年級都不同.如果每道題出現(xiàn)在不同年級，最多只能出現(xiàn)3次.本屆活動至少要準(zhǔn)備道決賽試題.【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】3星【題型】填空Page11of17【關(guān)鍵詞】2008年，第六屆，走美杯，決賽【解析】每個年級都有自己8道題目，然后可以三至五年級共用4道題目，六到八年級共用4道題目，總共有864256（道）題目.【答案】56【鞏固】一個口袋中裝有500粒珠子，共有5種顏色，每種顏色各100粒。如果你閉上眼睛，至少取出多少粒珠子才能保證其中有5粒顏色相同？【考點(diǎn)】抽屜原理【

30、難度】3星【題型】解答【解析】至少要?。?1）5121（粒）【答案】21?！纠?6】有紅、黃、藍(lán)、白4色的小球各10個，混合放在一個布袋里.一次摸出小球8個，其中至少有幾個小球的顏色是相同的？【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】3星【題型】解答【解析】從最不利的情況考慮，摸出的8個小球中有4個小球的顏色各不相同，那么余下的4個小球無論各是什么顏色，都必與之前的4個小球中的某一個顏色相同.即這8個小球中至少有2個小球的顏色是相同的.【答案】2個小球【鞏固】在100張卡片上不重復(fù)地編寫上1100,請問至少要隨意抽出幾張卡片才能保證所抽出卡片上的數(shù)相乘后之乘積可被4整除？【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】3星【題型】解答

31、【解析】當(dāng)抽出50個奇數(shù)的時候，乘積還是奇數(shù)，最多再抽出2張偶數(shù)，乘積即可被4整除，也就是抽出52個數(shù)可以保證乘積能被4整除.【答案】52個數(shù)【例17】一個口袋里分別有紅、黃、黑球4,7,8個，為保證取出的球中有6個同色，則至少要取小球個。Page12of17【題型】填空14題【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】3星【關(guān)鍵詞】2008年，希望杯，第六屆，五年級，一試，第【解析】如果要保證取到6個同色的球，至少要取4+5+5+1=15個【答案】15個【鞏固】一幅撲克牌有54張，最少要抽取幾張牌，方能保證其中至少有2張牌有相同的點(diǎn)數(shù)？【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】2星【題型】解答【解析】點(diǎn)數(shù)為1(A)、2、3、4、

32、5、6、7、8、9、10、11(J)12(Q)、13(K)的牌各取1張，再取大王、小王各1張，一共15張，這15張牌中，沒有兩張的點(diǎn)數(shù)相同.這樣，如果任意再取1張的話，它的點(diǎn)數(shù)必為113中的一個，于是有2張點(diǎn)數(shù)相同.【答案】16張【綜合題】從1,2,3,4,5,，99,100這100個數(shù)中任意選出51個數(shù)，證明：(1)在這51個數(shù)中，一定有兩個數(shù)互質(zhì)；(2)在這51個數(shù)中，一定有兩個數(shù)的差等于50;(3)在這51個數(shù)中，一定存在9個數(shù)，他們的最大公約數(shù)大于1.【解析】(1)我們將1100分成(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)(97,98)(99,100)這50組,每組內(nèi)的數(shù)相鄰，而相鄰的

33、兩個自然數(shù)互質(zhì)。將這50組數(shù)作為50個抽屜，同一個抽屜內(nèi)的兩個數(shù)互質(zhì)。而現(xiàn)在51個數(shù)，放進(jìn)50個抽屜里，則必定有兩個數(shù)在同一個抽屜，于是這兩個數(shù)互質(zhì)。問題得證。(2)我們將1100分成(1,51)(2,52)(3,53)(40,90)(50,100)這50組，每組內(nèi)的數(shù)相差50.將這50組數(shù)視為抽屜，則現(xiàn)在有51個數(shù)放進(jìn)50個抽屜內(nèi)，則必定有2個數(shù)在同一抽屜，那么這兩個數(shù)的差為50.問題得證(3)我們將1100按2的倍數(shù)、3的倍數(shù)、既不是2又不是3的倍數(shù)的情況分組，有(2,4,6,8,98,100),(3,9,15,21,27,93,99),(5,7,11,13,17,19,23,95,97)

34、這三組，第一、二、三組分別有50、17、33個元素。最不利的情況下，51個數(shù)中有33個元素在第三組，那么剩下的18個數(shù)分到第一、二兩組內(nèi)，那么至少有9個數(shù)在同一組，所以這9個數(shù)的最大公約數(shù)為2或3或他們的倍數(shù)，顯然大于1.問題得證。Page13of17課堂檢測【隨練1】把9條金魚任意放在8個魚缸里面，請你說明至少有一個魚缸放有兩條或兩條以上金魚.【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】1星【題型】解答【解析】略.【答案】在8個魚缸里面，每個魚缸放一條，就是8條金魚；還剩下的一條，任意放在這8個魚缸其中的任意一個中，這樣至少有一個魚缸里面會放有兩條金魚.【隨練2】證明：任取8個自然數(shù)，必有兩個數(shù)的差是7的倍數(shù).

35、【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】3星【題型】解答【解析】略.【答案】在與整除有關(guān)的問題中有這樣的性質(zhì)，如果兩個整數(shù)a、b,它們除以自然數(shù)m的余數(shù)相同，那么它們的差ab是m的倍數(shù).根據(jù)這個性質(zhì)，本題只需證明這8個自然數(shù)中有2個自然數(shù)，它們除以7的余數(shù)相同.我們可以把所有自然數(shù)按被7除所得的7種不同的余數(shù)0、1、2、3、4、5、6分成七類.也就是7個抽屜.任取8個自然數(shù)，根據(jù)抽屜原理，必有兩個數(shù)在同一個抽屜中，也就是它們除以7的余數(shù)相同，因此這兩個數(shù)的差一定是7的倍數(shù)【隨練3】把十只小兔放進(jìn)至多幾個籠子里，才能保證至少有一個籠里有兩只或兩只以上的小兔？【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】2星【題型】解答【解析】要想保

36、證至少有一個籠里有兩只或兩只以上的小兔，把小兔子當(dāng)作物品“，把籠子“當(dāng)作抽屜”,根據(jù)抽屜原理，要把10只小兔放進(jìn)1019個籠里，才能保證至少有一個籠里有兩只或兩只以上的小兔.【答案】9家庭作業(yè)【作業(yè)1】用五種顏色給正方體各面涂色（每面只涂一種色）,請你說明：至少會有兩個面涂色相同.Page14of17【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】2星【題型】解答【解析】略.【答案】五種顏色最多只能涂5個不同顏色的面，因?yàn)檎襟w有6個面，還有一個面要選擇這五種顏色中的任意一種來涂，不管這個面涂成哪種顏色，都會和前面有一個面顏色相同，這樣就有兩個面會被涂上相同的顏色.也可以把五種顏色作為5個抽屜”，六個面作為六個物品，

37、當(dāng)把六個面隨意放入五個抽屜時，根據(jù)抽屜原理，一定有一個抽屜中有兩個或兩個以上的面，也就是至少會有兩個面涂色相同【作業(yè)2】證明：任取6個自然數(shù)，必有兩個數(shù)的差是5的倍數(shù)?！究键c(diǎn)】抽屜原理【難度】3星【題型】解答【解析】略?！敬鸢浮堪炎匀粩?shù)按照除以5的余數(shù)分成5個剩余類，即5個抽屜.任取6個自然數(shù)，根據(jù)抽屜原理，至少有兩個數(shù)屬于同一剩余類，即這兩個數(shù)除以5的余數(shù)相同，因此它們的差是5的倍數(shù)【作業(yè)3】袋中有外形安全一樣的紅、黃、藍(lán)三種顏色的小球各10個，每個小朋友只能從中摸出1個小球,至少有個小朋友摸球，才能保證一定有兩個人摸的球顏色一樣.【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】2007年，第5屆，走美杯，3年級，初賽【解析】本題屬于抽屜原理中構(gòu)造抽屜解決問題，每個小朋友從中摸一個小球，小球的顏色可能為紅、黃、藍(lán)三種情況，故為三個抽屜，若想保證一定有兩個人摸的球顏色一樣，必須有21314（個）小朋友?！敬鸢浮?【作業(yè)4】班