數(shù)學(xué)分析11冪級(jí)數(shù)

1、第十四章哥級(jí)數(shù)1 1哥級(jí)數(shù)概念：由募函數(shù)序列an(x-x)n所產(chǎn)生的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)二n,、，、2,、nEan(x-xo)=a0+ai(x-x)+a2(x-x)+.+an(x-x)+稱為帚級(jí)數(shù).n衛(wèi)特別地，當(dāng)xo=0時(shí)，有anxn=ao+&x+a2x2+Tanxn+nz0一、哥級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間定理14.114.1: :(阿貝爾定理)若哥級(jí)數(shù)Zanxn在x=x#0處收斂，則對(duì)滿n=0足不等式|x|x|的任何x,哥級(jí)數(shù)n=0anxn發(fā)散.n=0證：設(shè)級(jí)數(shù)Jan1“收斂，從而數(shù)列anxn收斂于0且有界，即n=0存在某正數(shù)M,使得|anxn|M(n=0,1,2,).又對(duì)任一個(gè)滿足不等式|x|的x,可設(shè)

2、r=21,都有x對(duì)滿足不等式|x|x|且使Zanx0n收斂,n=0則an/絕對(duì)收斂，矛盾！n0對(duì)滿足不等式|x|X|的任何x,哥級(jí)數(shù)三anxn發(fā)散.n0|anxn|=-nanxx_1-nI=|anX|xQQMrn.又級(jí)數(shù)2Mrn收斂,nz0設(shè)級(jí)數(shù)一anxnn=0注：由定理14.1可知，哥級(jí)數(shù)Zanxn的收斂域是以原點(diǎn)為中心的區(qū)n舊間.若以2R表示區(qū)間的長(zhǎng)度，則稱R為哥級(jí)數(shù)的收斂半徑.R就是使得哥級(jí)數(shù)anxn收斂的收斂點(diǎn)絕對(duì)值的上確界.所以哥級(jí)數(shù)Zanxnn=0n=0當(dāng)R=0時(shí)，僅在x=0處收斂；當(dāng)R=+0時(shí)，在(-oo,+oo)上收斂；當(dāng)0RR的x,發(fā)散;在x=R處，不確定.(-R,R稱為哥級(jí)

3、數(shù)anxn的收斂區(qū)間.n=0定理14.2:14.2:對(duì)于哥級(jí)數(shù)Zanxn,若lim=p,則當(dāng)n=01(1)0F-時(shí)，哥級(jí)數(shù)工anxn的收斂半徑R,；nNp尸0時(shí)，哥級(jí)數(shù)anxn的收斂半徑R=2；n=0QQ(3)尸”時(shí)，哥級(jí)數(shù)anxn的收斂半徑R=0.n=0證：對(duì)于哥級(jí)數(shù)工anxn,nmn/|anxn|=nmv|an|x|=p|x|,根據(jù)級(jí)數(shù)的根式判別法，當(dāng)p|x|1時(shí)，Janxn收斂.n=0當(dāng)0p+s時(shí)，由p|x|1得哥級(jí)數(shù)anxn的收斂半徑R=1；n=0P當(dāng)尸0時(shí)，R=+；當(dāng)k+oo時(shí)，R=0.注：也可由比式判別法limll=limV|aT|=p,來(lái)求出哥級(jí)數(shù)Zanxn的n產(chǎn)|an|n產(chǎn)nW

4、n例1:求級(jí)數(shù)Zxr的收斂半徑R及收斂域.n解：記an=4,則lim1a|=limn-2-=1,/.R=1.nnn|an|J(n+1)2n,由級(jí)數(shù)Z3收斂，知-r在x=1收斂.n級(jí)數(shù)ZJ的收斂域?yàn)?1,1.nn例2:2:求級(jí)數(shù)匚的收斂半徑n又當(dāng)x=1時(shí)，級(jí)數(shù)ZI發(fā)散；當(dāng)x=-1時(shí)，級(jí)數(shù)nn.,級(jí)數(shù)ZJ 的收斂域?yàn)?1,1).nIn廠注：級(jí)數(shù)與n!xn的收斂半徑分別為R=”與R=0.n=0n!nO又當(dāng)x=i時(shí)，號(hào)!R及收斂域.證：記an=1則lim巴屈n,n|an|=nm言=1,R”定理14.3:14.3:(柯西一阿達(dá)馬定理)對(duì)哥級(jí)數(shù)anxn,設(shè)k網(wǎng)q：|an|,則TnT當(dāng)0Vp+時(shí)，R=1(2

5、)當(dāng)k0時(shí)，R=+;當(dāng)尸+8時(shí)，R=0.p證：對(duì)于任意x,修(|anxn|=nn/|aTi|x|=p|x|,根據(jù)級(jí)數(shù)的根式判別法，當(dāng)p|x|1時(shí)，Janxn收斂.nO當(dāng)0Vp+oo時(shí)，由p|x|+的收斂域.322332432解：丁limnJan|=1,.R=2.n*1n12又當(dāng)x=2時(shí)，原級(jí)數(shù)都發(fā)散，.原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?-2,2).2n例4:4:求級(jí)數(shù)Z二)的收斂域.nmn-3原級(jí)數(shù)的收斂半徑為R=3.2n又當(dāng)x=3時(shí)，原級(jí)數(shù)=色F=-1?0,發(fā)散.n,n-3解：方法1,即|x|0),則Janxn在它的收n月n-0斂區(qū)間(-R,R內(nèi)任一閉區(qū)間a,b上都一致收斂.證：設(shè)152乂忸|,也|6(-R

6、,R)則任一x6a,b,都有|anxn|w|anXn|.zanxn在x絕對(duì)收斂，由優(yōu)級(jí)數(shù)判別法知zanxn在a,b上一致收斂.n=0n=0定理14.5:14.5:若哥級(jí)數(shù)Eanxn的收斂半徑為R(0),且在x=R假x=-R)n=0收斂，則Zanxn在0,R(或卜R,0)上一致收斂.n斗證：設(shè)哥級(jí)數(shù)Zanxn在x=R收斂，對(duì)于x0,R有9axnn=0n=0DO17V、n已知級(jí)數(shù)anRn收斂，函數(shù)列/工在08上遞減且一致有界，即nm產(chǎn))1A工A52AAiXnnA0.由阿貝爾判別法知RRJgQQ工anxn在0,Rh一致收斂.同理可證:n=09anxn在x=-R收斂時(shí)，在卜R,0上一致收斂.n=0例5

7、:5:考察級(jí)數(shù)Z區(qū)一2的收斂域.2n解：lim|a|=lim-jn|=limn=1,R=2.nT|an|nf|2n(n+1)|nf2(n+1)2又當(dāng)x-1=2時(shí)，原級(jí)數(shù)=1發(fā)散；當(dāng)X-1=-2時(shí)，字=包收斂.n2nn x-16卜2,2),原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?1,3).二、哥級(jí)數(shù)的性質(zhì)定理14.6:14.6:(1)哥級(jí)數(shù)anxn的和函數(shù)是(-R,R)t的連續(xù)函數(shù)；n0(2)若哥級(jí)數(shù)9anxn在收斂區(qū)間的左(右)端點(diǎn)上收斂，則其和函數(shù)也在nO=anRnn=0這一端點(diǎn)上右(左)連續(xù).定理14.7:14.7:哥級(jí)數(shù)anxn在收斂區(qū)間(-R,R比逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)求積后nR分別得到哥級(jí)數(shù)：fnanxn-1與J

8、dxn由，它們的收斂區(qū)間都是(-R,R).nWn=0n1證法一：設(shè)x0為哥級(jí)數(shù)Zanxn在收斂區(qū)間(-R,R比任一不為零的點(diǎn)，n20由阿貝爾定理(定理14.1)的證明過(guò)程知，存在正數(shù)M與r(1),對(duì)一切正整數(shù)n,都有|anx0n|Mrn.于是|nanx0n-1|=|anx0n|R,且哥級(jí)數(shù)nanxn-1在x收斂，則必有一數(shù)x,n1使得|x|x|R,由阿貝爾定理，工nanxn-1在x處絕對(duì)收斂.n1(2)f在0與x之間的這個(gè)區(qū)間上可積，且0f(t)dt=ann1xn1但，取nn|X|時(shí)，就有|nanXn-1|=Q|anXn|刁anXn|,x由比較原則得哥級(jí)數(shù)/anxn在X處絕對(duì)收斂，矛盾！n=0

9、哥級(jí)數(shù)Jnanx1在一切滿足不等式|X|R的X都不收斂,n1即哥級(jí)數(shù)anxn與其在收斂區(qū)間(-R,R比逐項(xiàng)求導(dǎo)所得哥級(jí)數(shù)n=0又哥級(jí)數(shù)anxn在收斂區(qū)間(-R,R比逐項(xiàng)求積可得哥級(jí)數(shù)Z2xn卡,nz0n0n1即Janxn是由哥級(jí)數(shù)f3xn*在其收斂區(qū)間上逐項(xiàng)求導(dǎo)所得,nz0nz0n1它們也有相同的收斂區(qū)間證法：由定理14.7知，、:anxn，nanxn-1和丁三Xn中有相同的R.n衛(wèi)n1n=0n-1oOnan4xn-1有相同的收斂區(qū)間(-R,R).證法二：對(duì)于哥級(jí)數(shù)6”anxn=S，R理Fn對(duì)哥級(jí)數(shù)Wnan1n-1xlimnt(n+1)an=limntn1anan1=R.對(duì)哥級(jí)數(shù)、：n=0li

10、mnyann1an1n2anan1=R.得證!定理14.8:14.8:設(shè)Za在收斂區(qū)間(-R,R比的和函數(shù)為f,x6(-R,R)則:QQ(1)f在點(diǎn)x可導(dǎo),且f(x)=n1n-1.nanx,總存在r,使|x|rR,根據(jù)定理14.4,它們?cè)诓穜,r上都一致收斂.根據(jù)逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)求積定理得證！推論1 1:記f為哥級(jí)數(shù)anxn在收斂區(qū)間(-R,R比的和函數(shù)，則在(-R,R)n=0上f具有任何階導(dǎo)數(shù)，且可逐項(xiàng)求導(dǎo)任何次，即：fx)=Zkakxk-1;f(x)=k(k-1)akxk-2;；f(n)(x)=akxk-n；.k1k=2k學(xué)(k-n)!推論2:記f為哥級(jí)數(shù)fanxn在點(diǎn)x=0某鄰域上的和函數(shù)

11、，則an與fn=0在x=0處的各階導(dǎo)數(shù)有如下關(guān)系：a0=f(0),a=匕,(n=1,2,).n!三、哥級(jí)數(shù)的運(yùn)算定義：若哥級(jí)數(shù)fanxn與:fbnxn在點(diǎn)x=0的某鄰域內(nèi)有相同的和函n=0n=0數(shù)，則稱這兩個(gè)哥級(jí)數(shù)在該鄰域內(nèi)相等.定理14.9:14.9:若哥級(jí)數(shù)Zanxn與工bnxn在點(diǎn)x=0的某鄰域內(nèi)相等，則它n=0n=0們同次募項(xiàng)的系數(shù)相等，即an=bn(n=1,2,).xn與丁bnxn的收斂半徑分別為Ra和R,則n=01二xn11no=七一必)，其對(duì)x=-1也成立.注：可通過(guò)的逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)求積間接地求出級(jí)數(shù)的和函數(shù)例7:求級(jí)數(shù)(-1)n-1n2xn的和函數(shù).n10O狂anxnOad=X

12、入冬x,|x|Ra,入為常數(shù)；記nR=minR,Ro,Cn=ZaM*,有k0例6:0aJbn衛(wèi)幾何級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)可得:QQ=E(an土bn)xn;n衛(wèi)Hzbnxn|=ECnxn.|x|R.nzQn，一，一1.Zxn在收斂域(-1,1)上有f(x)=.在(-1,1)上n=01-xf(x)=12=nxn-1;fx)=2!-=n(n-1)xn-2(1-x)n4(1-x)n工在0,x(x1)上逐項(xiàng)求積可得:x=Z13ndt,從而可得:1-tnJ定理14.10:14.10:若哥級(jí)數(shù)Jan=0解：由R=limn-anan11.(-1)n-1nn曾(-1)n(n1)22、2n：/I=1,且x=1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散，

13、知其收斂域?yàn)?-1,1).記S(x)=(-1)n-1n2xn1QQ=xv(-1)n-1n2xn-1=xg(x),x(-1,1),則n1cOxx0g(t)dt=(-1)n-10n1oO2,n-1n-1ntdt=(-1)nxcO=xx(-1)n-1nxn-1=xh(x),貝Un1:h(t)dt=(-1)n-1n:嚴(yán)dt=(-1)n-1xn=X-(-1)n-1nxn-1=-,x6(-1,1).0n40n4n41Xh(x)=-；=-;g(x)=(xh(x)=-J=r；1+xJ(1+x)(1+x)(1+x)2原級(jí)數(shù)的和函數(shù)S(x)=xg(x)=x-x3,x(-1,1).(1x)習(xí)題1、求下列哥級(jí)數(shù)的收斂

14、半徑與收斂區(qū)域:n2_2_-n；(3)翳xn;(4)Zrnxn(0r缶十1-00(noo),R=n呼anan1=n=nw2n(2n+1)=+，收斂域?yàn)?-O，+o)原級(jí)數(shù)發(fā)散.收斂域?yàn)椋?4,4）.(4)二!呼5回|=nm=0，,R=40,收斂域?yàn)?-OO,+oo)xy,1),原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?-4,-|).(7)/1=n.原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?-1,1).且當(dāng)x=1時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂.,.原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?1,1.2、應(yīng)用逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)求積方法求下列哥級(jí)數(shù)的和函數(shù)(應(yīng)同時(shí)指出它們的定義域):(6)R=nimoanan1n1=limn干n3n(-2)nn13n4,(I)n=nmk22、n3)_13+3

15、030212+0|x|；1|x|=1,.R=1,|x|1二二2n1-；，nf2n1(2)xnxn1oO(3)、n(n1)xn1;(4)1n2xn1解：(1)R=limnt1anan12n3.,.=nw2+j又當(dāng)x=1時(shí),級(jí)數(shù)一n-0品發(fā)散;.哥級(jí)數(shù)的和函數(shù)S(x定義在(-1,1),且x.S(x)k，xe(一1.哥級(jí)數(shù)的和函數(shù)S(x定義在(-1,1),且-2xxS(t)dt于.n(n1)tndt=nx=xnxn=-n=1。n1n1(1-x)(4)=nmV|ani=nm療=1,.R=1.又當(dāng)x=1時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散;QQQQ哥級(jí)數(shù)的和函數(shù)S(x定義在(-1,1),且S(x)至一n2xn=xZn2xn-

16、1=xf(x).n1n1:ff(t)dt=xn2tn-1dt=nxn=-,-f(x)=l|-=T0nm0nW(1-x)21(1x)2_(1-x)33、證明：設(shè)f(x)=/anxn當(dāng)|x|R時(shí)收斂，若J.Rn書也收斂，則nz0n“n.1Rf(x)dx=lRn+.應(yīng)用這個(gè)結(jié)論證明：f；dx=ln2=2(-1嚴(yán)L0nz0n101xnTnS伙尸n-02n4、x2n十1,J二2n1xdt1,=gx=，,S(x)=1rv=5lnn-0I-xI-I21xKx(-1,1).limnlan|=limnfn=1,R=1.又當(dāng)x,1時(shí),7n尸*11n聲77原級(jí)數(shù)發(fā)散;哥級(jí)數(shù)的和函數(shù)S(x：定義在(-1,1),且S(

17、x)=fnxn1n=xvnxn-1=xf(x).n4x二-x/二-0fdt=R=+oo,收斂域?yàn)?-oo,+oo)從而在(-OO,+8)逐項(xiàng)微分得:y，=2nj(4n)!_*：、4n-1%x=-oOA=、4n-1x4n-2%x=-；nt(4n-2)!y”=iqnJ(4n-2)!_8=、n14n-3x(4n-3)!4n-3嚴(yán)=)，.：14(n-1)-4n、x,x=,=y.蝦嘰an|=Hm,扁2=0,R=+eo,收斂域?yàn)?-,+)-In,kLxy=rnr(n!)2一n-1=z;n=0(n-1)!n!n-1x，黑_y=n=0IL(n-1)!n!n-2.則QOxy+y=xn1n-2x(n-2)!n!0

18、0+“n1n-1x(n-1)!n!匚:in-1*-：in=Zx2=Z-x=y.xy+y-y=0.nd(n-1)!2nj(n!)2數(shù)僅出現(xiàn)奇次哥的項(xiàng)，若f為偶函數(shù)，則原級(jí)數(shù)僅出現(xiàn)偶次哥的項(xiàng)證：:f(x)=anXn,x6(-R,R);二f(-x)=J(-1)nanXn.n=0n=0若f為奇函數(shù)，即f(-x)=-f(x),則J(-1)nanXn=-JanXn彳#(-1)nan=-an,nn0當(dāng)n=2k-1時(shí)，成立；當(dāng)n=2k時(shí),a2k=0.即f(x)=Za2k-ix2k-1.若f為偶函數(shù)，即f(-x)=f(x),則v(-1)nanxn=0當(dāng)n=2k時(shí),成立；當(dāng)n=2k-1時(shí),a2k-1=0.即f(x

19、)=Za2kx2k.k=0Rnnlimn.n=10,.,原級(jí)數(shù)的x=R發(fā)放，收斂域?yàn)?-R,R).ntab仲炳1m吁小+5I1T=e，一=又當(dāng)x=1時(shí)，limM+1L1?。，.,原級(jí)數(shù)在x=1發(fā)散,enInJeeje收斂域?yàn)?-1,1).ee7、求下列哥級(jí)數(shù)的收斂半徑:n-n(1)3(-)xn;(2)a+bx+a)2+bx3+(0a0,b0);(2)2f1+-iInJ2nnx解：(1)R=limnt0canan1=maxa,b,又當(dāng)|x|=R時(shí),.41=lim=4R=5*4，R4.(2);limn昌|=limnb=1,R=1.nn尸*11n_g78、求下列哥級(jí)數(shù)的收斂半徑及其和函數(shù):ynfn2

20、(1)之；巳n；(3%*xnxx.f(x)=1dt=-ln(1-x);f(x)=-1ln(1-t)dt=(1-x)ln(1-x)+x.1-t1-xLln(1-x)+1,-1x1且x手0 x.S(x)=1,x=10,x=0n2(2)R=limnn歹anan1=lim(n1)(n2)(n3)ntn(n+1)(n+2)=1.又當(dāng)x=1時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂.QQ收斂域?yàn)?1,1.記S(x)=Zn1n(n1)(n,2)1_2-xn1n：；2xn(n1)(x2)5f(x).4nlimnn-s:n解：(1)R=limnanan1=lim(n1)(n2)jn(n+1)=1.又當(dāng)x=1時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂.n收斂域?yàn)?1,1.記S(x)至nn(n1)xn1xnjn(n1)=；f(x).xnn=0又當(dāng)x=1時(shí)，S(1)=limnjn(n+1)11-1=1;當(dāng)x=0時(shí),S(0)=0.n1n1=xxnTn(n1)n1n1=(1-x)1n(1-x)+x. f(x)=|xn4J(n+1)(x+2)一x12321.f(x)=0(1-t)ln(1-t)tdt=-1(1-x)2l