離散型隨機(jī)變量的期望與方差(同步)..

1、離散型隨機(jī)變量的期望與方差“知識(shí)回顧1. 離散型隨機(jī)變量的期望公式是什么，它反映了什么？E(x)=xp+xp+xp,1122nn離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望刻畫了這個(gè)離散型隨機(jī)變量的平均取值水平.2. 離散型隨機(jī)變量的方差公式是什么，它反映了什么？D(X)=(x一E(x)2p+(x一E(x)2p+(x一E(x)2p1122nn離散型隨機(jī)變量的方差反映了離散隨機(jī)變量的取值相對(duì)于期望的平均波動(dòng)的大小(離散程度).3. 二項(xiàng)分布的的期望與方差分別是什么？若離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布，則E(X)=np,D(x)=npq(q=1-p).知識(shí)講解離散型隨機(jī)變量的期望與方差1. 離散型隨機(jī)變量的

2、數(shù)學(xué)期望定義：一般地，設(shè)一個(gè)離散型隨機(jī)變量X所有可能的取的值是x,x,，x,這些值對(duì)應(yīng)的12n概率是p，p，p，則E(x)=xp+xp+xp，叫做這個(gè)離散型隨機(jī)變量X的均值或數(shù)12n1122nn學(xué)期望(簡稱期望).離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望刻畫了這個(gè)離散型隨機(jī)變量的平均取值水平.2. 離散型隨機(jī)變量的方差一般地，設(shè)一個(gè)離散型隨機(jī)變量X所有可能取的值是x,x，.,x,這些值對(duì)應(yīng)的概率是p,p，.，12n12p，則D(為=x-(Ex2p+-Ex2(p+(片x-Ex2p叫做這個(gè)離散型隨機(jī)變量X的方差.離n1122nn散型隨機(jī)變量的方差反映了離散隨機(jī)變量的取值相對(duì)于期望的平均波動(dòng)的大小(離散程度).D(

3、X)的算術(shù)平方根、芮叫做離散型隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，它也是一個(gè)衡量離散型隨機(jī)變量波動(dòng)大小的量.3. X為隨機(jī)變量，a,為常數(shù)，則e(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X)；4. 典型分布的期望與方差：1/16KB紅智康1對(duì)同步課程離散型隨機(jī)變量的期望與方差在n次二點(diǎn)分(1) 二點(diǎn)分布：在一次二點(diǎn)分布試驗(yàn)中，離散型隨機(jī)變量X課的期望取值為機(jī)變量的期望與萬差布試驗(yàn)中，離散型隨機(jī)變量X的期望取值為np.(2)二項(xiàng)分布：若離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布，則E(X)=np,D(x)=npq(q=1-p).(3)超幾何分布：若離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為N,M,n的超幾何分布，n

4、Mn(Nn)(NM)MN2(N1)題型一選擇填空【例1】下面說法中正確的是()A. 離散型隨機(jī)變量g的期望E(g)反映了g取值的概率的平均值B. 離散型隨機(jī)變量g的方差D(g)反映了g取值的平均水平C. 離散型隨機(jī)變量g的期望E(g)反映了g取值的平均水平D. 離散型隨機(jī)變量g的方差D(g)反映了g取值的概率的平均值【例2】投擲1枚骰子的點(diǎn)數(shù)為g，則g的數(shù)學(xué)期望為()A.3B.3.5C.4D.4.5【例3】已知隨機(jī)變量x的分布列為X123P0.40.20.4則D(X)等于()A.0B.0.8C.2D.1【例4】隨機(jī)變量g的分布列如下：g101Pabc其中a,b,c成等差數(shù)列，若Eg=1.則Dg

5、的值是【例5】樣本共有五個(gè)個(gè)體，其值分別為a,1?23若該樣本的均值為1,則樣本方差為(A.B.-5D.2g78910Px00y.1.3【例6】某射手射擊所得環(huán)數(shù)g的分布列如下:已知g的期望E(g)=8.9，則y的值為.題型二、綜合題【例7】編號(hào)1，2，3的三位學(xué)生隨意入座編號(hào)為1，2，3的三個(gè)座位，每位學(xué)生坐一個(gè)座位，設(shè)與座位編號(hào)相同的學(xué)生的個(gè)數(shù)是X.求隨機(jī)變量X的概率分布；求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望和方差.3/16 !口 !口紅智康1對(duì)同步課程離散型隨機(jī)變量的期望與方差【例8】學(xué)校游園活動(dòng)有這樣一個(gè)游戲項(xiàng)目：甲箱子里裝有3個(gè)白球、2個(gè)黑球，乙箱子里裝有1個(gè)白球、2個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同

6、，每次游戲從這兩個(gè)箱子里各隨機(jī)摸出2個(gè)球，若摸出的白球不少于2個(gè)，則獲獎(jiǎng).（每次游戲結(jié)束后將球放回原箱）（I）求在1次游戲中，（i）摸出3個(gè)白球的概率；（ii）獲獎(jiǎng)的概率；（II）求在2次游戲中獲獎(jiǎng)次數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）.【來源】（2011天津理）【例9】某校組織“上海世博會(huì)”知識(shí)競賽.已知學(xué)生答對(duì)第一題的概率是0.6,答對(duì)第二題的概率是0.5,并且他們回答問題相互之間沒有影響.（I）求一名學(xué)生至少答對(duì)第一、二兩題中一題的概率；（II）記g為三名學(xué)生中至少答對(duì)第一、二兩題中一題的人數(shù)，求g的分布列及數(shù)學(xué)期望Eg.【來源】（2011年豐臺(tái)區(qū)期末理）I同步課程離散型隨機(jī)變量的期望與方差【

7、例10】甲、乙、丙三人參加了一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約，甲表示只要面試合格就簽約.乙、丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約.設(shè)每人面試合格的概率都是，且面試是否合格互不影響.求簽約人數(shù)g的數(shù)學(xué)期望.2【例11】某項(xiàng)考試按科目A、科目B依次進(jìn)行，只有當(dāng)科目A成績合格時(shí)，才可繼續(xù)參加科目B的考試.已知每個(gè)科目只允許有一次補(bǔ)考機(jī)會(huì)，兩個(gè)科目成績均合格方可獲得證書.現(xiàn)某人參加這項(xiàng)考試，科目A每次考試成績合格的概率均為2，科目B每次考試成績合格的概率均為1假32設(shè)各次考試成績合格與否均互不影響.在這項(xiàng)考試過程中，假設(shè)他不放棄所有的考試機(jī)會(huì)，記他參加考試的次數(shù)為g，求g的數(shù)學(xué)

8、期望Eg.【來源】（2008福建）【例12】某商場經(jīng)銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客采用的付款期數(shù)g的分布列為12345P0.40.20.20.10.1商場經(jīng)銷一件該商品，采用1期付款，其利潤為200元；分2期或3期付款，其利潤為250元;分4期或5期付款，其利潤為300元.耳表示經(jīng)銷一件該商品的利潤.(1) 求事件A:“購買該商品的3位顧客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；(2) 求耳的分布列及期望劭.【例13】在某次測試中，甲、乙、丙三人能達(dá)標(biāo)的概率分別為).4，0.5，0.8，在測試過程中，甲、乙、丙能否達(dá)標(biāo)彼此間不受影響.(1) 求甲、乙、丙三人均達(dá)標(biāo)的概率；(2) 求甲、乙

9、、丙三人中至少一人達(dá)標(biāo)的概率；(3) 設(shè)X表示測試結(jié)束后達(dá)標(biāo)人數(shù)與沒達(dá)標(biāo)人數(shù)之差的絕對(duì)值，求X的概率分布及數(shù)學(xué)期望EX.6/16紅智康1對(duì)同步課程離散型隨機(jī)變量的期望與方差【例14】某商場舉行抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，抽獎(jiǎng)規(guī)則是：從裝有9個(gè)白球、1個(gè)紅球的箱子中每次隨機(jī)地摸出一個(gè)球，記下顏色后放回，摸出一個(gè)紅球可獲得獎(jiǎng)金io元；摸出兩個(gè)紅球可獲得獎(jiǎng)金50元現(xiàn)有甲、乙兩位顧客，規(guī)定：甲摸一次，乙摸兩次，令X表示甲、乙兩人摸球后獲得的獎(jiǎng)金總額求：(1) X的概率分布；(2)X的期望.I1對(duì)同步課程離散型隨機(jī)變量的期望與方差【例15】A,兩個(gè)代表隊(duì)進(jìn)行乒乓球?qū)官悾筷?duì)三名隊(duì)員，A隊(duì)隊(duì)員是A,A,A,B隊(duì)隊(duì)員是

10、123B，B，B，按以往多次比賽的統(tǒng)計(jì)，對(duì)陣隊(duì)員之間勝負(fù)概率如下：123對(duì)陣隊(duì)員A隊(duì)隊(duì)員勝的概率A隊(duì)隊(duì)員負(fù)的概率A對(duì)B211133A對(duì)B232255A對(duì)B233355現(xiàn)按表中對(duì)陣方式出場，每場勝隊(duì)得1分，負(fù)隊(duì)得0分.設(shè)A隊(duì)、B隊(duì)最后總分分別為g，.求g，的期望.1對(duì)同步課程離散型隨機(jī)變量的期望與方差【例16】下圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染,某人隨機(jī)選擇3月1日至3月13日中的某一天到達(dá)該市,并停留2天.200150100501s2ssb4a5beh?s8a9aioan012m3b14a日期（I）求此

11、人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染的概率；仃I）設(shè)X是此人停留期間空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（III）由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大?（結(jié)論不要求證明）【來源】（2013北京高考）9/16紅智康【例17】甲、乙兩支排球隊(duì)進(jìn)行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的步課程比賽離散型隨束機(jī)除第五期望與方差勝的概率是2外,其余每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率都是3，假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.（I）分別求甲隊(duì)以3:0,3:1,3:2勝利的概率；仃I）若比賽結(jié)果為3:0或3:1,則勝利方得3分,對(duì)方得0分;若比賽結(jié)果為3:2,則勝利方得2分、對(duì)方得1分求乙隊(duì)得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望.【來源】（201

12、3山東卷理）1對(duì)同步課程離散型隨機(jī)變量的期望與方差J隨堂練習(xí)J丿【練1】某班有甲、乙兩個(gè)學(xué)習(xí)小組，兩組的人數(shù)如下:別甲乙男32女52現(xiàn)采用分層抽樣的方法(層內(nèi)采用簡單隨機(jī)抽樣)從甲、乙兩組中共抽取3名同學(xué)進(jìn)行學(xué)業(yè)檢測.(I) 求從甲組抽取的同學(xué)中恰有1名女同學(xué)的概率；(II) 記X為抽取的3名同學(xué)中男同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【來源】(2013西城一模理)11/16口紅智康1對(duì)同步課程離散型隨機(jī)變量的期望與方差【練2】某班聯(lián)歡會(huì)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，現(xiàn)有六張分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6六個(gè)數(shù)字的形狀相同的卡片,其中標(biāo)有偶數(shù)數(shù)字的卡片是有獎(jiǎng)卡片，且獎(jiǎng)品個(gè)數(shù)與卡片上所標(biāo)數(shù)字相同，游戲規(guī)

13、則如下：每人每次不放回抽取一張，抽取兩次.（I）求所得獎(jiǎng)品個(gè)數(shù)達(dá)到最大時(shí)的概率；（II）記獎(jiǎng)品個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.C.3,5D.4,5【來源】（2013東城一模理）I紅智康1對(duì)同步課程離散型隨機(jī)變量的期望與方差【練3】在某大學(xué)自主招生考試中，所有選報(bào)II類志向的考生全部參加了“數(shù)學(xué)與邏輯”和“閱讀與表達(dá)”兩個(gè)科目的考試，成績分為A,B,C,D,E五個(gè)等級(jí).某考場考生兩科的考試成績的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下圖所示，其中“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的成績?yōu)锽的考生有10人.(I)求該考場考生中“閱讀與表達(dá)”科目中成績?yōu)锳的人數(shù)；(II)若等級(jí)A,B,C,D,E分別對(duì)應(yīng)5分，4分，3分，2分，1分.

14、(i) 求該考場考生“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的平均分；(ii) 若該考場共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分.從這10人中隨機(jī)抽取兩人，求兩人成績之和的分布列和數(shù)學(xué)期望.【來源】(2013海淀一模理) EH KB17/16紅智康I【練4】一個(gè)盒子中裝有5張卡片，每張卡片上寫有一個(gè)數(shù)字同步分別是散型隨機(jī)變量5的現(xiàn)從盒子中隨機(jī)抽取卡片.(I) 從盒子中依次抽取兩次卡片，每次抽取一張，取出的卡片不放回，求兩次取到的卡片的數(shù)字都為奇數(shù)或偶數(shù)的概率；(II) 若從盒子中有放回的抽取3次卡片，每次抽取一張，求恰有兩次取到卡片的數(shù)字為奇數(shù)的概率；(III) 從盒子中依次抽取卡片，每次抽取一

15、張，取出的卡片不放回，當(dāng)取到記有奇數(shù)的卡片即停止抽取，否則繼續(xù)抽取卡片，求抽取次數(shù)X的分布列和期望.B.I=AJBC.I=BU(JA)D.I=AU(JB)【來源】(2011昌平二模理16)19/16紅智康1對(duì)同步課程離散型隨機(jī)變量的期望與方差【題1】課后作業(yè)同時(shí)拋擲兩枚相同的均勻硬幣，隨機(jī)變量g=1表示結(jié)果中有正面向上，g=表示結(jié)果中沒有正面向上，則Eg=【題2】已知離散型隨機(jī)變量X的分布如下表若e(x)=0，d(x)=1，則a=，b=IX1012Pabc112【題3】在某校組織的一次籃球定點(diǎn)投籃比賽中，兩人一對(duì)一比賽規(guī)則如下：若某人某次投籃命中，則由他繼續(xù)投籃，否則由對(duì)方接替投籃.現(xiàn)由甲、乙兩人進(jìn)行一對(duì)一投籃比賽，甲和乙每次投籃命中的概率分別是1，1.兩人共投籃3次，且第一次由甲開始投籃.假設(shè)每人每次投籃32命中與