淺談數(shù)學思想方法教學與思維能力的培養(yǎng)

1、淺談數(shù)學思想方法教學與思維能力的培養(yǎng)儋州市2011年度中小學教師各學科教育教學論文評選 數(shù)學科 初中儋州市白馬井中學 符天榜 摘 要:數(shù)學思想方法教學是數(shù)學教育教學本身的需要，是提高學生解題能力的需要。初中數(shù)學教學中要注意在知識發(fā)生過程中滲透數(shù)學思想方法，在思維教學活動過程中挖掘數(shù)學思想方法，數(shù)學思想方法不僅會對數(shù)學思維活動、數(shù)學審美活動起著指導作角，而且會對學生的思維產(chǎn)生深刻影響，形成數(shù)學學習效果的廣泛遷移，甚至包括從數(shù)學領(lǐng)域向非數(shù)學領(lǐng)域的遷移，實現(xiàn)思維能力和思想素質(zhì)的理性發(fā)展關(guān)鍵詞：數(shù)學思想方法 滲透 挖掘 強化 內(nèi)化一、對數(shù)學思想方法的認識。所謂數(shù)學思想，就是對數(shù)學知識和方法的本質(zhì)認識，

2、是對數(shù)學規(guī)律的理性認識。所謂數(shù)學方法，就是解決數(shù)學問題的根本程序，是數(shù)學思想的具體反映。數(shù)學思想是數(shù)學的靈魂，數(shù)學方法是數(shù)學的行為。運用數(shù)學方法解決問題的過程就是感性認識不斷積累的過程，當這種量的積累達到一定程序時就產(chǎn)生了質(zhì)的飛躍，從而上升為數(shù)學思想。若把數(shù)學知識看作一幅構(gòu)思巧妙的藍圖而建筑起來的一座宏偉大廈，那么數(shù)學方法相當于建筑施工的手段，而這張藍圖就相當于數(shù)學思想。通過數(shù)學思想的培養(yǎng)，數(shù)學的能力才會有一個大幅度的提高。掌握數(shù)學思想，就是掌握數(shù)學的精髓。數(shù)學思想方法是從數(shù)學內(nèi)容中提煉出來的數(shù)學學科的精髓，是將數(shù)學知識轉(zhuǎn)化為數(shù)學能力的橋梁。初中數(shù)學思想方法教育，是培養(yǎng)和提高學生素質(zhì)的重要內(nèi)容

3、。新的課程標準(2007年修改稿)突出強調(diào)：“在教學中，應(yīng)當引導學生在學好概念的基礎(chǔ)上掌握數(shù)學的規(guī)律（包括法則、性質(zhì)、公式、公理、定理、數(shù)學思想和方法，不僅掌握基礎(chǔ)知識與基本技能、還要獲得基本活動經(jīng)驗以及滲透基本數(shù)學思想方法。即由“雙基”為“四基”。因此，數(shù)學思想方法教學應(yīng)作為新課改中所必須把握的教學要求。中學數(shù)學知識結(jié)構(gòu)涵蓋了辯證思想的理念，反映出數(shù)學基本概念和各知識點所代表的實體同抽象的數(shù)學思想方法之間的相互關(guān)系。在歷年的中考壓軸題中，它的設(shè)計原理是通過“數(shù)學思想方法”來設(shè)計的。思維經(jīng)歷一個：由“淺”到“深”發(fā)展的過程。因此，在常規(guī)的課堂教學中要注重數(shù)學思想方法的滲透，逐步提高學生的思維能

4、力。數(shù)學實體內(nèi)部各單元之間相互滲透和維系的關(guān)系，升華為具有普遍意義的一般規(guī)律，便形成相對的數(shù)學思想方法，即對數(shù)學知識整體性的理解。數(shù)學思想方法確立后，便超越了具體的數(shù)學概念和內(nèi)容，只以抽象的形式而存在，控制及調(diào)整具體結(jié)論的建立、聯(lián)系和組織，并以其為指引將數(shù)學知識靈活地運用到一切適合的范疇中去解決問題。數(shù)學思想方法不僅會對數(shù)學思維活動、數(shù)學審美活動起著指導作角，而且會對個體的世界觀、方法論產(chǎn)生深刻影響，形成數(shù)學學習效果的廣泛遷移，甚至包括從數(shù)學領(lǐng)域向非數(shù)學領(lǐng)域的遷移，實現(xiàn)思維能力和思想素質(zhì)的飛躍?？梢?，良好的數(shù)學知識結(jié)構(gòu)不完全取決于教材內(nèi)容和知識點的數(shù)量，更應(yīng)注重數(shù)學知識的聯(lián)系、結(jié)合和組織方式，

5、把握結(jié)構(gòu)的層次和程序展開后所表現(xiàn)的內(nèi)在規(guī)律。數(shù)學思想方法能夠優(yōu)化這種組織方式，使各部分數(shù)學知識融合成有機的整體，發(fā)揮其重要的指導作用。因此，新課標明確提出開展數(shù)學思想方法的教學要求，旨在引導學生去把握數(shù)學知識結(jié)構(gòu)的核心和靈魂，其重要意義顯而易見。那么，初中數(shù)學思想方法有哪些呢? 二、認識初中數(shù)學思想方法。初中數(shù)學中蘊含多種的數(shù)學思想方法，關(guān)于數(shù)學山西的提法總說紛紜，但最基本的數(shù)學思想方法是數(shù)形結(jié)合的思想，分類討論思想、轉(zhuǎn)化的思想、方程與函數(shù)的思想，突出這些基本思想方法，就相當于抓住了中學數(shù)學知識的精髓。 1、數(shù)形結(jié)合的思想 數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學思想方法，其應(yīng)用廣泛，靈活巧妙?！睌?shù)缺形時少直

6、觀，形無數(shù)時難入微”是我國著名數(shù)學家華羅庚教授的名言，是對數(shù)形結(jié)合的作用進行了高度的概括 。在數(shù)學教學中，許多定律、定理及公式等?？梢杂脠D形來描述。而利用圖形的直觀，則可以由抽象變具體，模糊變清晰，使數(shù)學問題的難度下降，從而可以從圖形中找到有創(chuàng)意的解題思路。如代數(shù)列方程解應(yīng)用題中的行程問題，往往借助幾何圖形，靠圖形感知來”支持”抽象的思維過程，從而尋求數(shù)量之間的相依關(guān)系。例：求不等式組的自然數(shù)解.分析:欲求不等式組的自然數(shù)解,一般思路是先求出不等式組的解集,再在數(shù)軸上表示出其解集,從而進一步求出問題的答案.解答:解不等式得 解不等式得 所以,原不等式組的解集是,其解集在數(shù)軸上表示如圖1所示 圖

7、1 所以,其自然數(shù)解為0、1、2.評注：自然數(shù)也就是非負整數(shù)，在這里易漏掉0. 分類討論的思想 分類討論思想是根據(jù)數(shù)學對象的本質(zhì)屬性的相同點和不同點，將數(shù)學對象區(qū)分為不同種類的數(shù)學思想。對數(shù)學內(nèi)容進行分類，可以降低學習難度，增強學習的針對性。滲透分類思想，可以訓練思維的條理性2、 因此，在教學中應(yīng)啟發(fā)學生按不同的情況去對同一對象進行能夠分類，幫助他們掌握好分類的方法原則，形成分類的思想。如當取何實數(shù)時，對的值的分類討論:當時，；當3時，。例.等腰三角形的周長為16，其中一條邊的長是6，求另兩條邊的長.分析:由于已知的“一條邊的長是6”，未告之是腰長,還是底邊長,所以應(yīng)分類討論求解.解答：(1)

8、當周長為16，腰長為6時,該等腰三角形的另兩邊：一條邊為腰，長為6，另一條邊為底邊，長為16-6-6=4，即另兩邊分別為6和4； (2)當周長為16，底邊長為6時,該等腰三角形的另兩邊都是腰，其長為（16-6）÷2=5，即另兩邊長為5、5. 評注：求解有關(guān)等腰三角形的邊、角問題時，在題中未附圖形且未指名已知的邊、角是該等腰三角形的底或腰（底角或頂角）的情況下，均需用分類討論思想求解. 3、轉(zhuǎn)化思想 數(shù)學問題的解決過程就是一系列轉(zhuǎn)化的過程，中學數(shù)學處處都體現(xiàn)出轉(zhuǎn)化的思想，如化繁為簡、化難為易，化未知為已知，化高次為低次等，是解決問題的一種最基本的思想。因此在教學中，首先要讓學生認識到常

9、用的很多數(shù)學方法實質(zhì)就是轉(zhuǎn)化的方法，從而確信轉(zhuǎn)化是可能的，而且是必須的；其次結(jié)合具體的教學內(nèi)容進行有意識的訓練，使學生掌握這一具有重大價值的思想方法。例如:當時，求的值。該題可以采用直接代入法，但是更簡易的方法應(yīng)為先化簡再求值，此時原式。4、 函數(shù)與方程的思想 辯證唯物主義認為，世界上一切事物都是處在運動、變化和發(fā)展的過程中，這就要求我們教學中重視函數(shù)的思想方法的教學。華東師大版教材把函數(shù)思想已經(jīng)滲透到初一、二教材的各個內(nèi)容之中。因此，教學上要有意識、有計劃、有目的地培養(yǎng)函數(shù)的思想方法。例如：進行求代數(shù)式的值的教學時，通過強調(diào)解題的第一步“當時”的依據(jù)，滲透函數(shù)的思想方法-字母每取一個值，代數(shù)

10、式就有唯一確定的值。如代數(shù)式x2-4中 ，當x=1時，則x2-4=-3；當x=2，則x2-4=0通過引導學生對以上問題的討論，將靜態(tài)的知識模式演變?yōu)閯討B(tài)的討論，這樣實際上就賦予了函數(shù)的形式，在學生的頭腦中就形成了以運動的觀點去領(lǐng)會，這就是發(fā)展函數(shù)思想的重要途徑。例如.一個多邊形的外角和是內(nèi)角和的，求這個多邊形的邊數(shù).分析:根據(jù)“邊形的內(nèi)角和等于”與“多邊形的外角和等于”和已知條件，列方程可求解.解答:設(shè)多邊形的邊數(shù)為，則根據(jù)題意得方程： 解得 所以，這個多邊形的邊數(shù)為9評注：對方程思想的考查主要有兩個方面：一是列方程（組）解應(yīng)用題；二是列方程（組）解決代數(shù)問題或幾何問題.例4四川5.12特大地

11、震受災(zāi)地區(qū)急需大量賑災(zāi)帳篷，某帳篷生產(chǎn)企業(yè)接到生產(chǎn)任務(wù)后，加大生產(chǎn)投入、提高生產(chǎn)效率，實際每天生產(chǎn)帳篷比原計劃多200頂，已知現(xiàn)在生產(chǎn)3000頂帳篷所用的時間與原計劃生產(chǎn)2000頂?shù)臅r間相同現(xiàn)在該企業(yè)每天能生產(chǎn)多少頂帳篷？分析：和列一元一次方程解應(yīng)用題一樣，尋找等量關(guān)系。抓住關(guān)鍵句：實際每天生產(chǎn)帳篷比原計劃多200頂；現(xiàn)在生產(chǎn)3000頂帳篷所用的時間與原計劃生產(chǎn)2000頂?shù)臅r間相同。解：設(shè)現(xiàn)在該企業(yè)每天能生產(chǎn)頂帳篷，則原計劃每天生產(chǎn)（）頂帳篷由題意，得：解得 經(jīng)檢驗：是原方程的解 原方程的解是 答：現(xiàn)在該企業(yè)每天能生產(chǎn)頂帳篷我們又該如何進行數(shù)學思想方法的教學呢？我認為可著重從以下幾個方面入手:

12、三、數(shù)學思想方法的教學實踐體會。1、在知識發(fā)生過程中滲透數(shù)學思想方法由于初中學生數(shù)學知識比較貧乏，抽象思想能力也較為薄弱，把數(shù)學思想、方法作為一門獨立的課程還缺乏應(yīng)有的基礎(chǔ)。因而只能將數(shù)學知識作為載體，把數(shù)學思想和方法的教學滲透到數(shù)學知識的教學中。教師要把握好滲透的契機，重視數(shù)學概念、公式、定理、法則的提出過程，知識的形成、發(fā)展過程，解決問題和規(guī)律的概括過程，使學生在這些過程中展開思維，從而發(fā)展他們的科學精神和創(chuàng)新意識，形成獲取、發(fā)展新知識，運用新知識解決問題。忽視或壓縮這些過程，一味灌輸知識的結(jié)論，就必然失去滲透數(shù)學思想、方法的一次次良機。如華東師大版第二章有理數(shù)，與原來部編教材相比，它少了

13、一節(jié)“有理數(shù)大小的比較”，而它的要求則貫穿在整章之中。在數(shù)軸教學之后，就引出了“在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大”，“正數(shù)都大于0，負數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負數(shù)”。而兩個負數(shù)比大小的全過程單獨地放在絕對值教學之后解決。教師在教學中應(yīng)把握住這個逐級滲透的原則，既使這一章節(jié)的重點突出，難點分散；又向?qū)W生滲透了形數(shù)結(jié)合的思想，學生易于接受。在滲透數(shù)學思想、方法的過程中，教師要精心設(shè)計、有機結(jié)合，要有意識地潛移默化地啟發(fā)學生領(lǐng)悟蘊含于數(shù)學之中的種種數(shù)學思想方法，切忌生搬硬套，和盤托出，脫離實際等錯誤做法。比如，教學二次不等式解集時結(jié)合二次函數(shù)圖象來理解和記憶，總結(jié)歸納出解集在“兩根之間”

14、、“兩根之外”，利用形數(shù)結(jié)合方法，從而比較順利地完成新舊知識的過渡。2、在思維教學活動過程中，揭示數(shù)學思想方法 數(shù)學課堂教學必須充分暴露思維過程，讓學生參與教學實踐活動，揭示其中隱含的數(shù)學思想，才能有效地發(fā)展學生的數(shù)學思想，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)，下面以“多邊形內(nèi)角和定理”的課堂教學為例，簡要說明。 教學目標：增強運用化歸思想處理多邊形問題的一般策略；掌握運用類比、歸納、猜想思想指導思維，發(fā)現(xiàn)多邊形內(nèi)角和定理的結(jié)論；學會用化歸思想指導探索論證途徑，掌握化歸方法；加強數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用意識。 教學過程：（ 1）創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)探索欲望，蘊涵類比化歸思想。教師：三角形和四邊形的內(nèi)角和分別為多少？四邊

15、形內(nèi)角和是如何探求的？（轉(zhuǎn)化為三角形）那么，五邊形內(nèi)角和你會探索求嗎？六邊形、七邊形 n 邊形內(nèi)角和又是多少呢？（ 2 ）鼓勵大膽猜想，指導發(fā)現(xiàn)方法，滲透類比、歸納、猜想思想。教師：從四邊形內(nèi)角和的探求方法，能給你什么啟發(fā)呢？五邊形如何化歸為三角形？數(shù)目是多少？六邊形 n 邊形呢？你能否用列表的方式給出多邊形內(nèi)角和與它們邊數(shù)、化歸為三角形的個數(shù)之間的關(guān)系？從中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？猜一猜 n 邊形內(nèi)角和有何結(jié)論？類比、歸納、猜想的含義和作用，你能理解和認識嗎？（ 3 ）暴露思維過程、探索論證方法，揭示化歸思想、分類方法。我們?nèi)绾悟炞C或推斷上面猜想的結(jié)論呢？既然多邊形內(nèi)角和可化歸為三角形來處理，那么

16、化歸方法是否唯一的呢？一點與多邊形的位置關(guān)系怎樣？（分類思想指導化歸方法的探索）哪一種對獲取證明最簡潔？（至此，教材中在多邊形內(nèi)任取一點 O ，連結(jié)點O與多邊形的每一個頂點，可得幾個三角形的思維過程得以充分自然地暴露）（ 4 ）反思探索過程，優(yōu)化思維方法，激活化歸思想。教師：從上面的探索過程中，我們發(fā)現(xiàn)化歸思想有很大作用，但是，又是什么啟發(fā)我們用這種思想指導解決問題呢？原來，我們是選擇考察幾個具體的多邊形，如四邊形、五邊形等，發(fā)現(xiàn)特殊情形下的解決方法，再把它運用到一種特殊化思想當中。我們再來考察一下式子： n 邊形內(nèi)角和 =n×180°-360°，你能設(shè)計一個幾何

17、圖形來解釋嗎？對于 n 邊形內(nèi)角和=（n-1）180°-180°，又能作怎樣的幾何解釋呢？(至此，我們又可探索出另一種思維方法，即”在多邊形某一邊上任取一點 O ，連結(jié)點O與多邊形的每一個頂點來分割三角形)讓學生親自參加與探索定理的結(jié)論及證明過程，大大激發(fā)了學生的求知興趣，同時，他們也體驗到“創(chuàng)造發(fā)明”的愉悅，數(shù)學思想在這一過程中得到了有效的發(fā)展。 3、在問題解決過程中強化數(shù)學思想方法3501200BAC 在數(shù)學教學活動中，常常出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象:學生在課堂聽懂了，但課后解題，特別是遇到新題型便無所適從。究其原因就在于教師在教學中僅僅是就題論題，殊不知授之以“漁”比授之以“魚”

18、更為重要。因此，在數(shù)學問題的探索的教學中重要的是讓學生真正領(lǐng)悟隱含于數(shù)學問題探索中的數(shù)學思想方法。針對這種現(xiàn)象，教師應(yīng)全面展示知識發(fā)生發(fā)展過程，并發(fā)揮學生的主體作用，充分調(diào)動學生參與數(shù)學的全過程，讓全體學生能在躬行的探索中理解知識，掌握方法，感悟數(shù)學思想。例如:求下圖中BCA的度數(shù)。 方法1：先求出BAC=600，后利用三角形內(nèi)角和即可得BCA=1800-600-350=850方法2：直接利用三角形外角性質(zhì)，求得BCA=1200-350=850顯然上述的問題解決過程中，學生通過比較不同的方法，體會到了數(shù)學思想在解題中的重要作用，激發(fā)學生的求知興趣，從而加強了對數(shù)學思想的認識。4、及時總結(jié)以逐步

19、內(nèi)化數(shù)學思想方法數(shù)學教材是采用蘊含披露的方式將數(shù)學思想溶于數(shù)學知識體系中，因此，適時對數(shù)學思想做出歸納、概括是十分必要的。概括數(shù)學思想方法要納入教學計劃，應(yīng)有目的、有步驟地引導學生參與數(shù)學思想的提煉概括過程，尤其是在章節(jié)結(jié)束或單元復(fù)習中對知識復(fù)習的同時，將統(tǒng)攝知識的數(shù)學思想方法概括出來，可以加緊學生對數(shù)學思想方法的運用意識，也使其對運用數(shù)學思想解決問題的具體操作方式有更深刻的了解，有利于活化所學知識，形成獨立分析、解決問題的能力。 概括數(shù)學思想一般可分兩步進行：一是揭示數(shù)學思想的內(nèi)容、規(guī)律，即將數(shù)學對象共同具有屬性或關(guān)系抽取出來；二是明確數(shù)學思想方法與知識的聯(lián)系，即將抽取出來的共性推廣到同類的

20、全部對象上去，從而實現(xiàn)從個別性認識上升為一般性認識。比如，通過解方程（ x-2 )2 +(x-2)-2=0，發(fā)現(xiàn)也可用換元法來求解。在此基礎(chǔ)上推廣也可用換元法求解。由此概括出換元法可以將復(fù)雜方程轉(zhuǎn)化為簡單方程，從而認識到化歸思想是對換元法的高度概括，還可進一步認識到數(shù)學思想是數(shù)學的靈魂，它是對數(shù)學知識的高度概括。 由于同一數(shù)學知識可表現(xiàn)出不同的數(shù)學思想方法，而同一數(shù)學思想方法又常常分布在許多不同的知識點里，所以通過課堂小結(jié)、單元總結(jié)或總復(fù)習，甚至是某個概念、定理公式、問題數(shù)學都可以在縱橫兩方面歸納概括出數(shù)學思想方法。第二，有利于記憶。布魯納認為，“除非把一件件事情放進構(gòu)造得好的模型里面，否則很快就會忘記?！薄皩W習基本原理的目的，就在于保證記憶的喪失不是全部喪失，而遺留下來的東西將使我們在需要的時候得以把一件件事情重新構(gòu)思起來。高明的理論不僅是現(xiàn)在用以理解現(xiàn)象的工具，而且也是明天用以回憶那個現(xiàn)象的工具?！庇纱丝梢?，數(shù)學思想、方法作為數(shù)學學科的“一般原理”，在數(shù)學學習中是至關(guān)重要的。無怪乎有人認為，對于中學生“不管他們將來從事什么業(yè)務(wù)工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數(shù)學的精神、數(shù)學的思維方法、研究方法，卻隨時隨地發(fā)生作用，使他們受益終生?！钡谌?，學習基本原理有利于“原理和態(tài)度的遷移”。布魯納認為，“這種類型的遷移應(yīng)該是教育過程的核心用基本的和一般的觀念來不