基于卡爾曼濾波器的雷達(dá)目標(biāo)跟蹤

1、隨機(jī)數(shù)字信號處理期末大作業(yè)（報告）基于卡爾曼濾波器的雷達(dá)目標(biāo)跟蹤RadartargettrackingbasedonKalmanfilter學(xué)院（系）：創(chuàng)新實驗學(xué)院專業(yè)：信息與通信工程學(xué)生姓名：李潤順學(xué)號:21424011任課教師：殷福亮完成日期：20成年7月14日大連理工大學(xué)DalianUniversityofTechnology摘要雷達(dá)目標(biāo)跟蹤環(huán)節(jié)的性能直接決定雷達(dá)系統(tǒng)的安全效能。由于卡爾曼濾波器在狀態(tài)估計與預(yù)測方面具有強(qiáng)大的性能，因此在目標(biāo)跟蹤領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，同時也是是現(xiàn)階段雷達(dá)中最常用的跟蹤算法。本文先介紹了雷達(dá)目標(biāo)跟蹤的應(yīng)用背景以及研究現(xiàn)狀，然后在介紹卡爾曼濾波算法和分析卡爾曼濾波器

2、性能的基礎(chǔ)上，將其應(yīng)用于雷達(dá)目標(biāo)跟蹤，雷達(dá)在搜索到目標(biāo)并記錄目標(biāo)的位置數(shù)據(jù)，對測量到的目標(biāo)位置數(shù)據(jù)（稱為點(diǎn)跡）進(jìn)行處理，自動形成航跡，并對目標(biāo)在下一時刻的位置進(jìn)行預(yù)測。最后對在一個假設(shè)的情境給出基于卡爾曼濾波的雷達(dá)目標(biāo)跟蹤算法對單個目標(biāo)航跡進(jìn)行預(yù)測的MATLAB仿真,對實驗的效果進(jìn)行評估，分析預(yù)測誤差。關(guān)鍵詞：卡爾曼濾波器；雷達(dá)目標(biāo)跟蹤；航跡預(yù)測；預(yù)測誤差；MATLAB仿真1引言1.1 研究背景及意義雷達(dá)目標(biāo)跟蹤是整個雷達(dá)系統(tǒng)中一個非常關(guān)鍵的環(huán)節(jié)。跟蹤的任務(wù)是通過相關(guān)和濾波處理建立目標(biāo)的運(yùn)動軌跡。雷達(dá)系統(tǒng)根據(jù)在建立目標(biāo)軌跡過程中對目標(biāo)運(yùn)動狀態(tài)所作的估計和預(yù)測，評估船舶航行的安全態(tài)勢和機(jī)動試操船

3、的安全效果。因此，雷達(dá)跟蹤環(huán)節(jié)工作性能的優(yōu)劣直接影響到雷達(dá)系統(tǒng)的安全效能10鑒于目標(biāo)跟蹤在增進(jìn)雷達(dá)效能中的重要作用，各國在軍用和民用等領(lǐng)域中一直非常重視發(fā)展這一雷達(dá)技術(shù)。機(jī)動目標(biāo)跟蹤理論有了很大的發(fā)展，尤其是在跟蹤算法的研究上，理論更是日趨成熟。在跟蹤算法中，主要有線性自回歸濾波、兩點(diǎn)外推濾波、維納濾波、加權(quán)最小二乘濾波、a-P濾波和卡爾曼濾波，其中卡爾曼濾波算法在目標(biāo)跟蹤理論中占據(jù)了主導(dǎo)地位。雷達(dá)跟蹤需要處理的信息種類多種多樣。除了目標(biāo)的位置信息外，一般還要對目標(biāo)運(yùn)動速度進(jìn)行估計，個別領(lǐng)域中的雷達(dá)還要對目標(biāo)運(yùn)動姿態(tài)進(jìn)行跟蹤。雷達(dá)跟蹤的收斂速度、濾波精度和跟蹤穩(wěn)定度等是評估雷達(dá)跟蹤性能的重要參

4、數(shù)。因此提高雷達(dá)跟蹤的精度、收斂速度和穩(wěn)定度也就一直是改善雷達(dá)跟蹤性能的重點(diǎn)。隨著科技的發(fā)展，各類目標(biāo)的運(yùn)動性能和材質(zhì)特征有了大幅度的改善和改變，這就要求雷達(dá)跟蹤能力要適應(yīng)目標(biāo)特性的這種變化。在不斷提高雷達(dá)跟蹤性能的前提下，降低雷達(dá)跟蹤系統(tǒng)的成本也是現(xiàn)代雷達(dá)必須考慮的問題。特別是在民用領(lǐng)域中由于雷達(dá)造價不能過高，對目標(biāo)跟蹤進(jìn)行快收斂性、高精度和高穩(wěn)定性的改良在硬件上是受到一些制約的，因此雷達(dá)跟蹤算法的研究就越來越引起學(xué)者們的關(guān)注。通過跟蹤算法的改進(jìn)來提高雷達(dá)的跟蹤性能還有相當(dāng)大的挖掘潛力?？紤]到雷達(dá)設(shè)備的造價，民用雷達(dá)的跟蹤系統(tǒng)首要的方法就是對于雷達(dá)的跟蹤算法進(jìn)行開發(fā)。1.2 雷達(dá)目標(biāo)跟蹤濾波

5、算法研究現(xiàn)狀當(dāng)運(yùn)動目標(biāo)模型建立之后，就要對目標(biāo)跟蹤算法進(jìn)行設(shè)計，這也是雷達(dá)跟蹤系統(tǒng)中核心的部分。對目標(biāo)的跟蹤最主要的還是對目標(biāo)的距離信息，方位角信息，高度角信息,以及速度信息進(jìn)行跟蹤，估計和預(yù)測目標(biāo)的運(yùn)動參數(shù)以及運(yùn)動狀態(tài)，這樣有利于我們針對特定目標(biāo)拿出特定應(yīng)對方案?；镜母櫈V波與預(yù)測方法是跟蹤系統(tǒng)最基本的要素，也是形成自適應(yīng)跟蹤濾波的前提和基礎(chǔ)。這些方法包括線性自回歸濾波、兩點(diǎn)外推濾波、維納濾波、加權(quán)最小二乘濾波、-P濾波和卡爾曼濾波。其中線性自回歸濾波、兩點(diǎn)外推濾波、維納濾波由于限制性強(qiáng)而在現(xiàn)階段的雷達(dá)中很少應(yīng)用，但是維納濾波在濾波算法上有著里程碑的標(biāo)志?，F(xiàn)階段最常用的就是加權(quán)最小二乘濾波

6、、a-P濾波和卡爾曼濾波1。1.2.1 加權(quán)最小二乘濾波采用何種濾波方法，主要取決于事先能掌握多少先驗信息。當(dāng)先驗統(tǒng)計特性一無所知時，一般采用最小二乘濾波。如果僅僅掌握測量誤差的統(tǒng)計特性，可以采馬爾可夫估計，即加權(quán)陣為R(k)的最小二乘濾波，其中R(k)是測量噪聲的協(xié)方差矩陣。忽略狀態(tài)噪聲的影響，測量噪聲V(k)是均值為0,協(xié)方差矩陣為R(k)的高斯白噪聲向量序列；R(k)為對角陣，則加權(quán)最小二乘濾波公式為0(k/k)=:(k/k-1)+k(k)b(k)-H(k)0(k/k1)(1)寅(k/k1)=d(k/k-1)?(k-1/k-1)(2)K(k)=P(k/k-1)HT(k)R，(k)(3)P

7、(k/k)=P(k/k-1)-k(k)H(k)P(k/k-1)(4)其中K(k)、P(k/k)和P(k/k-1)分別為濾波增益矩陣、協(xié)方差矩陣和預(yù)測協(xié)方差矩陣。1.2.2 aP濾波當(dāng)目標(biāo)作等速直線運(yùn)動時，描述目標(biāo)運(yùn)動狀態(tài)X是兩維向量，即X=x,xT,這里的x和x分別是位置和速度的分量。設(shè)目標(biāo)狀態(tài)方程為X(k)=X(k-1)Gw(k-1)(5)其中=1TI,g=12/2I式中狀態(tài)噪聲w為均值為0的高斯白噪聲序列。測量方程I。1一1T.為Z(k)=H(k)X(k)+v(k)(6)其中H=1,0,式中v(k)是0均值的高斯白噪聲。-P濾波方程為火(k/k)=火(k/k1)+kZ(k)H(k)火(k/

8、k1)】(7)(8)(9)寅(k/k-1)=W(k-1/k-1)-aIk=一_/T近幾十年來，基于以上濾波算法的變形算法發(fā)展非常迅速，尤其是自適應(yīng)的卡爾曼算法更是占據(jù)了現(xiàn)代雷達(dá)中跟蹤算法的主導(dǎo)地位。對于卡爾曼濾波算法將在下一節(jié)中詳細(xì)敘述1.3目標(biāo)跟蹤技術(shù)的困境1.3.1 卡爾曼濾波的穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性數(shù)據(jù)偏差是普遍存在的，這就是導(dǎo)致了濾波穩(wěn)定性的問題?？柭鼮V波的穩(wěn)定性問題是濾波器能否應(yīng)用的一個關(guān)鍵問題。由于卡爾曼濾波不但存在對系統(tǒng)模型的強(qiáng)依賴性與魯棒性差的缺陷，而且在系統(tǒng)達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài)時將喪失對突變狀態(tài)的跟蹤能力，因此該方法對機(jī)動目標(biāo)的跟蹤能力有限。而喪失對突變狀態(tài)的跟蹤能力，就是一種很嚴(yán)重的算法

9、丟跟蹤狀態(tài)。如果實際濾波過程中，在某一過程或者某種條件下測量值出現(xiàn)奇值，那么濾波結(jié)果會受到很大干擾。有時直接導(dǎo)致以后的濾波值不收斂，以至目標(biāo)跟蹤丟失。因此，如何解決好目標(biāo)跟蹤的穩(wěn)定性（即濾波過程的穩(wěn)定性）也是我們所面臨的問題。1.3.2 收斂速度的問題卡爾曼濾波算法中都很注意濾波的收斂速度問題，濾波收斂快慢直接影響到目標(biāo)跟蹤的穩(wěn)定度和對目標(biāo)的鎖定速度，因此，濾波的收斂速度是評價一個濾波器性能的重要指標(biāo)。1.3.3 濾波過程中系統(tǒng)偏差的問題在相同的測量條件下做一系列觀測，若誤差的大小及符號表現(xiàn)出系統(tǒng)性，或者按照一定的規(guī)律變化，這類誤差為系統(tǒng)偏差。系統(tǒng)偏差對測量結(jié)果影響很大，且一般具有積累性，應(yīng)該

10、盡可能消除或者限制到最小程度，我們一般解決這個問題的方法都是用離線或者稱為后處理的方法，所以不能在線處理誤差。非線性濾波問題往往用狀態(tài)變量方程來描述，從而可采用卡爾曼濾波的方法，并由此帶來了一系列的方便。若該系統(tǒng)偏差事先已經(jīng)知道，只要觀測值減去該偏差然后再進(jìn)行濾波即可。但如果該偏差存在而且未知，就需要在線處理這些系統(tǒng)偏差。2卡爾曼濾波理論2.1 卡爾曼濾波的基本算法卡爾曼濾波在近20年來取得了長足的發(fā)展。把目標(biāo)的位置，速度和加速度作為目標(biāo)狀態(tài)矢量，通過目標(biāo)的動力學(xué)方程來描述目標(biāo)狀態(tài)的變化，利用遞推的計算方法，目標(biāo)的狀態(tài)可以方便的估計出來，這樣目標(biāo)的航跡就可以建立起來2-3。建立在非線性運(yùn)動模型

11、上的卡爾曼濾波稱為擴(kuò)展的卡爾曼濾波。在雷達(dá)跟蹤系統(tǒng)中，我們所用到的是離散型卡爾曼濾波。離散卡爾曼濾波的狀態(tài)方程、測量方程以及推廣方程如下4-5:狀態(tài)方程：X(k)=(k/k-1)X(k-1)+T(k/k-1)w(k-1)(10)測量方程：Z(k)=H(k)X(k)+v(k)(11)上兩式中，X(k)為k時刻系統(tǒng)狀態(tài)，(k/k-1)和(k/k-1)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，w(k)為協(xié)方差矩陣為Q的狀態(tài)噪聲，Z(k)為k時刻的測量狀態(tài)，H(k)為測量轉(zhuǎn)移矩陣，v(k)為協(xié)方差矩陣為R的測量噪聲。狀態(tài)預(yù)測方程：X7k/k-1)=*(k/k-1)?(k-1/k-1)(12)其中央(k/k-1)是上一狀態(tài)的預(yù)測

12、結(jié)果，義(k-1/k-1)是上一狀態(tài)的最優(yōu)結(jié)果。預(yù)測估計值協(xié)方差矩陣：P(k/k1)=欠k/k-1)P(k-1/k-1)*T(k/k-1)+T(k/k-1)Q(k-1)rT(k/k-1)(13)卡爾曼增益矩陣：k(k)=P(k/k1)HT(k)h(k)P(k/k-1)HT(k)+R(k)廣(14)濾波估計值：必(k/k)=W(k/k-1)k(k)Z(k)-H(k)火(k/k-1)1(15)濾波估計值協(xié)方差矩陣：P(k/k)=P(k/k-1)-k(k)H(k)P(k/k-1)(16)在卡爾曼濾波過程中，只有確定了狀態(tài)估計初始值(0)和濾波估計值協(xié)方差矩陣的初始值P(0),整個濾波過程才能啟動。一

13、般情況下，我們將初始估計值的值定為整個系統(tǒng)的第一次觀測值Z(0),將濾波估計值的協(xié)方差矩陣P(0)的初始值可以擬訂為一個對角陣，雖然大多數(shù)實際情況并非如此，但是這樣做也是符合理論要求的，并且對于我們的運(yùn)算也有簡化作用。整個濾波循環(huán)過程如下圖：x1k/k)p圖1卡爾曼濾波循環(huán)過程2.2 卡爾曼濾波器的性質(zhì)由卡爾曼濾波器的推導(dǎo)過程可知，卡爾曼濾波器具有以下性質(zhì)：(1)被估計值系統(tǒng)的第k+1時刻的狀態(tài)值X(k+1)的卡爾曼濾波值*(k+1/k+1),就是X(k+1)的無偏的最小方差估計。而且，濾波誤差方差陣P(k+1)是基于X(k+1)的所有線性估計中的最小均方誤差陣。(2)對于一維的情況，測量噪聲

14、協(xié)方差矩陣增大時，增益矩陣k變小。這就表明，如果測量噪聲越大，該增益取的越小，以減弱測量噪聲對估計值的影響，而使預(yù)測值所占最后的結(jié)果比重加大。(3)從這5個推導(dǎo)公式中可以看出，當(dāng)矩陣P(k/k-1),Q,R,同乘以一個常數(shù)時，增益矩陣K的值不變。(4)由推導(dǎo)過程我們還可以看出，當(dāng)P(k-1/k-1)或者Q矩陣變小，或者同時變小的時候，P(k/k-1)也變小，K矩陣也減小。從直觀上看，這是自然的，因為P=E(X-X)(X-X)T,P變小表示估計值或者預(yù)測值比較好，又因為Q=E(WWT)Q變小表示狀態(tài)轉(zhuǎn)移隨機(jī)波動減小。所以新的測量值對狀態(tài)的估計值的矯正影響減弱，于是增益矩陣K應(yīng)當(dāng)變小。從上面性質(zhì)的

15、直觀分析可知，增益陣K與Q成正比，與R成反比?？梢詺w納為：當(dāng)R越大，測量噪聲越大，因此測量值不準(zhǔn)確性更大，所以K要變小，以保證測量值在最后估計結(jié)果中所占的比重比較?。憾诒容^大的時候，說明狀態(tài)噪聲比較大，因此預(yù)測值受狀態(tài)噪聲干擾比較嚴(yán)重，所以K值比較大，以保證預(yù)測值在最后估計結(jié)果中所占的比重比較小。狀態(tài)噪聲越大，狀態(tài)噪聲協(xié)方差矩陣Q的值越大，這樣更有利于捕捉目標(biāo)機(jī)動狀態(tài)，濾波收斂速度快，減少丟失跟蹤的概率，但是這樣所得到的濾波結(jié)果精度比較差；相反,狀態(tài)噪聲越小，狀態(tài)噪聲協(xié)方差矩陣Q的值越小，這樣所得到的濾波結(jié)果精度比較好，但是濾波收斂速度慢，當(dāng)目標(biāo)發(fā)生大機(jī)動狀態(tài)運(yùn)動時，丟失跟蹤的可能性比較大。

16、3基于卡爾曼濾波的雷達(dá)目標(biāo)檢測3.1 情景假設(shè)假定有一個二座標(biāo)雷達(dá)對一平面上運(yùn)動的目標(biāo)進(jìn)行觀測，目標(biāo)在t=0400秒沿y軸作恒速直線運(yùn)動，運(yùn)動速度為-15米/秒，目標(biāo)的起始點(diǎn)為(2000米,10000米)，在t=400600向x軸方向做900的慢轉(zhuǎn)彎，加速度均為0.075米/秒2,完成慢轉(zhuǎn)彎后加速度將降為零，從t=610秒開始做900的快轉(zhuǎn)彎，加速度為0.3米/秒；在660秒結(jié)束轉(zhuǎn)彎，加速度降至零。雷達(dá)掃描周期T=2秒，x和y獨(dú)立地進(jìn)行觀測，觀測噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差均為100米。3.2 卡爾曼濾波算法分析為了簡單起見，僅對x軸方向進(jìn)行考慮，且考慮位移和速度兩個狀態(tài)。首先，目標(biāo)運(yùn)動沿x軸方向的運(yùn)動可以用

17、下面的狀態(tài)方程描述6：x(k+1)=x(k)+T*k)+(T2/2)ux(k)1為x(k1)=x(k)Tux(k)其中x(k)表示k時刻的位移，x(k)表示k時刻的速度，Ux(k)表示加速度。用矩陣的形式表述狀態(tài)方程為X(k+1)=6X(k)+W(k)(18)-x(k)1-1T11T2在上式中，X(k)=J/，=,=2，W(k)=ux。X(k)一01一1T考慮雷達(dá)的觀測，得出觀測方程為Z(k)=C(k)X(k)+V(k)(19)其錯誤！未找到引用源。中，C(k)=110，V(k)為零均值的噪聲序列，方差已知。對目標(biāo)進(jìn)行預(yù)測，由相關(guān)理論可得到下面的迭代式：(20)寅(k/k-1)=寅(k-1/k

18、-1)其中錯誤！未找到引用源。，寅(k/k1)=EX(k)|Zk,反映了由前k1各觀測值對目前狀態(tài)的估計。而預(yù)測的誤差協(xié)方差可表示為PX(k/k1)=PX(k1/k1沖T+rQ(k-1)rT(21)對于最佳濾波，迭代表達(dá)式為*(k/k)=)?(k/k-1)+K(k)Z(k)-C(k)?(k/k-1)(22)在上式錯誤！未找到引用源。中，K(k)為卡爾曼增益。而濾波誤差的協(xié)方差為PX(k/k)=I-K(k)C(k)PX(k/k-1)(23)在應(yīng)用上面的公式進(jìn)行卡爾曼濾波時，需要指定初值。由于實際中通常無法得到目標(biāo)的初始狀態(tài)，我們可以利用前幾個觀測值建立狀態(tài)的初始估計，比如采用前兩個觀測值得到第二

19、個狀態(tài)的最優(yōu)估計為(24)(25)X*(2/2)=工(2)Izx(2)-Zx(1)/T|T此時，估計誤差為X(2/2=)而誤差協(xié)方差矩陣為,仃P(guān)x(2/2)=_2：x二2/T/T2/T(26)3.3仿真實驗3.3.1 實驗準(zhǔn)備為了真實地反映出Kalman濾波的效果，采用了Monte-Carlo方法，采用多次實驗取均值的方法進(jìn)行研究，可以計算出估計的誤差均值和方差，其表達(dá)式為ex(k)=M”xi(k)-患(k|k)i1(27)而誤差的標(biāo)準(zhǔn)差可以表示為受Xi(k)?(k|k)2e2(k)(28)Mi4在錯誤！未找到引用源。上式錯誤！未找到引用源。中，M就是進(jìn)行Monte-Carlo仿真的次數(shù)，而k

20、為取樣點(diǎn)數(shù)。當(dāng)仿真的次數(shù)越多時，實驗的效果越接近于實際，但是計算的速度會明顯變慢。在仿真時，需要根據(jù)實際適當(dāng)選取。在本程序中，取M=50。另外，在仿真過程中，為了進(jìn)一步研究目標(biāo)的航跡，在660秒后又進(jìn)行了一段時間的勻速運(yùn)動仿真。實驗仿真基于MATLAB實現(xiàn)，程序參考網(wǎng)絡(luò)文獻(xiàn)7實現(xiàn)。3.3.2 實驗結(jié)果與分析圖2-圖4給出了在給定情境下，目標(biāo)的運(yùn)動真實軌跡、雷達(dá)觀測數(shù)據(jù)及卡爾曼濾波估計圖。圖5-圖8給出了卡爾曼濾波估計在x方向和y方向的誤差均值和標(biāo)準(zhǔn)差。100004000-2000真實軌跡80006000200001500200025003000350040004500x/m圖2目標(biāo)運(yùn)動真實軌跡

21、圖3雷達(dá)觀測數(shù)據(jù)圖4卡爾曼濾波估計x萬向的誤差均值50100150200250300350400450雷達(dá)掃描次數(shù)n（每次掃描需2s）加燉500050瓦0050005022111122-值均差誤圖5卡爾曼濾波在x方向上的估計誤差均值y方向的誤差均值0000000000000321123-值均差誤40045050100150200250300350雷達(dá)掃描次數(shù)n（每次掃描需2s）圖6卡爾曼濾波在y方向上的估計誤差均值50100150200250300350400450雷達(dá)掃描次數(shù)n（每次掃描需2s）x方向的誤差標(biāo)準(zhǔn)差8765/ooooO差準(zhǔn)標(biāo)差誤O210oO圖7卡爾曼濾波在x方向上的估計誤差標(biāo)準(zhǔn)差y方向的誤差標(biāo)準(zhǔn)差255O差準(zhǔn)標(biāo)差誤45050100150200250300350400雷達(dá)掃描次數(shù)n（每次掃描需2s）圖8卡爾曼濾波在y方向上的估計誤差標(biāo)準(zhǔn)差由圖可知，