函數(shù)極限的計算

1、內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院函數(shù)極限的計算函數(shù)極限的計算極限與連續(xù)極限與連續(xù)三、無窮小量與無窮大量三、無窮小量與無窮大量內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院函數(shù)極限的計算函數(shù)極限的計算極限與連續(xù)極限與連續(xù)內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院函數(shù)極限的計算函數(shù)極限的計算極限與連續(xù)極限與連續(xù)例如例如, 0sinlim0 xx.0sin時的無窮小時的無窮小是當(dāng)是當(dāng)函數(shù)函數(shù)xx, 01lim xx.1時的無窮小時的無窮小是當(dāng)是當(dāng)函數(shù)函數(shù) xx定義定義1 1： 在某個變化過程中在某個變化過程中, ,極限為零極限為零 的函數(shù)的函數(shù), ,稱為在此變化過程中的稱為在此變化過程中的 無窮小量（無窮?。o

2、窮小量（無窮?。?。內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院函數(shù)極限的計算函數(shù)極限的計算極限與連續(xù)極限與連續(xù), 01sinlim2xx.2sin時的無窮小不是當(dāng)函數(shù)xx注意注意（1）無窮小是以極限為零的變量）無窮小是以極限為零的變量,不能與很不能與很（2）說一個函數(shù)是無窮小，必須指明自變量的變）說一個函數(shù)是無窮小，必須指明自變量的變小的常數(shù)混淆小的常數(shù)混淆;（3）常數(shù)中只有零是無窮?。┏?shù)中只有零是無窮小.化趨勢；化趨勢；內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院函數(shù)極限的計算函數(shù)極限的計算極限與連續(xù)極限與連續(xù)2運算性質(zhì)運算性質(zhì)定理定理 在自變量同一變化過程中在自變量同一變化過程中,(1) 有限個無窮小的

3、代數(shù)和仍是無窮小有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小;(2) 有限個無窮小的乘積仍是無窮小有限個無窮小的乘積仍是無窮小;(3) 無窮小與有界函數(shù)的乘積仍是無窮小無窮小與有界函數(shù)的乘積仍是無窮小.)21(lim222nnnnn 212)1(1lim2 nnnn例例內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院函數(shù)極限的計算函數(shù)極限的計算極限與連續(xù)極限與連續(xù)求下列極限 例例11),(lim. 10是常數(shù)nNnxnx解解.00lim0是無窮小時當(dāng)，xxxx. 0lim)2(0nxx知由無窮小的性質(zhì)推論推論 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院函數(shù)極限的計算函數(shù)極

4、限的計算極限與連續(xù)極限與連續(xù)求下列極限 例例11)111lim(. 323xxxx解解.11,123都是無窮小和時xxx，x. 0)111(lim) 1 (23xxxx知由無窮小的性質(zhì)內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院函數(shù)極限的計算函數(shù)極限的計算極限與連續(xù)極限與連續(xù)求下列極限 例例1122sinlim. 4xxx解解不存在雖然xxxx2sinlim,01lim2)2sin(1|2sin|是有界函數(shù)即但xx . 0)2sin1(lim2sinlim22xxxxxx內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院函數(shù)極限的計算函數(shù)極限的計算極限與連續(xù)極限與連續(xù)思考題思考題5301arctanlimxxx求極

5、限解解,0lim30 xx2|1arctan|5x且. 01arctanlim530 xxx內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院函數(shù)極限的計算函數(shù)極限的計算極限與連續(xù)極限與連續(xù)oxyxy1內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院函數(shù)極限的計算函數(shù)極限的計算極限與連續(xù)極限與連續(xù)特殊情形：正無窮大特殊情形：正無窮大(或負(fù)無窮大或負(fù)無窮大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或定義定義2 2： 在某個變化過程中在某個變化過程中, ,絕對值無限絕對值無限 變大的函數(shù)變大的函數(shù), ,稱為在此變化過程中的稱為在此變化過程中的 無窮大量（無窮大）無窮大量（無窮大）。內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院內(nèi)蒙古化

6、工職業(yè)學(xué)院函數(shù)極限的計算函數(shù)極限的計算極限與連續(xù)極限與連續(xù)注意注意（1）無窮大是變量）無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆不能與很大的數(shù)混淆;)(lim20認(rèn)為極限存在）切勿將（xfxx.1,0,是無窮大時當(dāng)例如xyx.ln0是無窮大時當(dāng)x，yx必須指明的是）說一個函數(shù)是無窮大（，3.自變量的變化趨勢內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院函數(shù)極限的計算函數(shù)極限的計算極限與連續(xù)極限與連續(xù)22)(1,)0(1)(,xxfxxfx是無窮小時當(dāng)例如.;亦然反之是無窮大， 意義意義 關(guān)于無窮大的討論關(guān)于無窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小的討論的討論.內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院函數(shù)

7、極限的計算函數(shù)極限的計算極限與連續(xù)極限與連續(xù)求下列極限 例例223lim. 1xx解解01,01lim33xxx且.lim3xx2lim. 2xx解解01,01lim22xxx且.lim2xx內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院函數(shù)極限的計算函數(shù)極限的計算極限與連續(xù)極限與連續(xù),)(,. 2是無窮大如果在自變量的同一過程中xf練習(xí)題練習(xí)題._是無窮小則.1coslim. 30 xxx0)(1xf0內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院函數(shù)極限的計算函數(shù)極限的計算極限與連續(xù)極限與連續(xù)BAxgxfxgxfxxxxxxxxx)(lim)(lim)()(lim2)()()(000法則BAxgxfxgxfx

8、xxxxxxxx)(lim)(lim)()(lim1)()()(000法則)0()(lim)(lim)()(lim3)()()(000BBAxgxfxgxfxxxxxxxxx法則法則1和法則2可推廣到有限個函數(shù)情形.內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院函數(shù)極限的計算函數(shù)極限的計算極限與連續(xù)極限與連續(xù)4.4.147532lim2323xxxxx解解.,分母的極限都是無窮大分母的極限都是無窮大分子分子時時 x)(型型 .,3再再求求極極限限分分出出無無窮窮小小去去除除分分子子分分母母先先用用 x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 (無窮小分出法無窮小分出法

9、)內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院函數(shù)極限的計算函數(shù)極限的計算極限與連續(xù)極限與連續(xù)常數(shù)因子可以提到極限記號外面常數(shù)因子可以提到極限記號外面.)(lim)(lim1)()(00 xfcxfcxxxxxx推論)()(lim)(lim2)()(00Znxfxfnxxxnxxx推論內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院函數(shù)極限的計算函數(shù)極限的計算極限與連續(xù)極限與連續(xù)1.1.531lim232xxxx解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 , 03 531lim232 xxxx)53(lim1limlim2223

10、2 xxxxxx.37 3123 求下列極限 例例33內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院函數(shù)極限的計算函數(shù)極限的計算極限與連續(xù)極限與連續(xù)解解)32(lim21 xxx, 0 商的法則不能用商的法則不能用)14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030 由無窮小與無窮大的關(guān)系由無窮小與無窮大的關(guān)系,得得2.2.3214lim21xxxx.3214lim21 xxxx內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院函數(shù)極限的計算函數(shù)極限的計算極限與連續(xù)極限與連續(xù)解解3.3.321lim221xxxx.,1分母的極限都是零分母的極限都是零分子分子時時x.1后再求極限后再求極限因子因子

11、先約去不為零的無窮小先約去不為零的無窮小 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 )00(型型(約去零因子法約去零因子法)內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院函數(shù)極限的計算函數(shù)極限的計算極限與連續(xù)極限與連續(xù)5.5.3422lim223xxxxx解解.,分母的極限都是無窮大分母的極限都是無窮大分子分子時時 x)(型型 .,3再再求求極極限限分分出出無無窮窮小小去去除除分分子子分分母母先先用用 x323223342211lim3422limxxxxxxxxxxx(無窮小分出法無窮小分出法)02113420211342lim332332xx

12、xxx，xxxxxx且而3422lim223xxxxx故(無窮小與無窮大的關(guān)系無窮小與無窮大的關(guān)系)內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院函數(shù)極限的計算函數(shù)極限的計算極限與連續(xù)極限與連續(xù) 例例55xxxsinlim求解解,1,為無窮小為無窮小時時當(dāng)當(dāng)xx .sin 是有界函數(shù)是有界函數(shù)而而x. 0sinlim xxx(不能用函數(shù)極限的四則運算法則2來求! )內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院函數(shù)極限的計算函數(shù)極限的計算極限與連續(xù)極限與連續(xù) 例例66).(lim,0, 10,1)(02xfxxxxxfx求設(shè)解解兩個單側(cè)極限為兩個單側(cè)極限為是函數(shù)的分段點是函數(shù)的分段點,0 x)1(lim)(lim

13、00 xxfxx , 1 )1(lim)(lim200 xxfxx, 1 左右極限存在且相等左右極限存在且相等,. 1)(lim0 xfx故故內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院函數(shù)極限的計算函數(shù)極限的計算極限與連續(xù)極限與連續(xù)思考題思考題xxxxxxxxsincos2lim223求極限解解xxxxxxxxcos2sinlim232xxxxxxxcos112sin11lim22xxxxxxxxxxcos1lim1lim2sin1lim1lim2200cos112sin1122xxxxxx且xxxxxxxxsincos2lim223內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院函數(shù)極限的計算函數(shù)極限的計算極

14、限與連續(xù)極限與連續(xù)._1arctanlim. 420 xxx._33lim. 132xxx._11lim. 231xxx._5) 3)(2)(1(lim. 33nnnnn練習(xí)題練習(xí)題._12324lim. 5424xxxxxx.)21.41211 (lim. 6nn53510342內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院函數(shù)極限的計算函數(shù)極限的計算極限與連續(xù)極限與連續(xù)內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院函數(shù)極限的計算函數(shù)極限的計算極限與連續(xù)極限與連續(xù)1)()(sinlim:)2(0 xfxfx擴展)0)(xf2sinlim,0sinlim:)4(2xxxxxx比較1sinlim0 xxx型特征00

15、:)1(11sinlim:)3(xxx變形內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院函數(shù)極限的計算函數(shù)極限的計算極限與連續(xù)極限與連續(xù)1 1xxx3sin4sinlim0解解xxxxx33sin344sin4lim0原式xxxxxx33sinlim44sinlim340034求下列極限 例例 內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院函數(shù)極限的計算函數(shù)極限的計算極限與連續(xù)極限與連續(xù)2 2xxxxtancos1lim0解解xxxxxsincos2sin2lim20原式xxxxxxsincos)2(2sinlim21220 xxxxxxxxsinlimcoslim22sinlim21002011121221求下

16、列極限 例例 內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院函數(shù)極限的計算函數(shù)極限的計算極限與連續(xù)極限與連續(xù)3 3xxx23coslim23解解xxx23)23sin(lim23原式求下列極限 例例 xxx23)23sin(lim231內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院函數(shù)極限的計算函數(shù)極限的計算極限與連續(xù)極限與連續(xù)4 4xxx|sinlim0解解求下列極限 例例 1sinlim)sin(lim|sinlim000 xxxxxxxxx1sinlim|sinlim00 xxxxxx不存在故xxx|sinlim0內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院函數(shù)極限的計算函數(shù)極限的計算極限與連續(xù)極限與連續(xù).,)11

17、 (時的變化趨勢當(dāng)我們列表觀察xxyx內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院函數(shù)極限的計算函數(shù)極限的計算極限與連續(xù)極限與連續(xù)exfxfxxx)()()(11 lim:)2(0擴展)(xf),(1)11 (lim:)4(為常數(shù)比較nNnxnnexxx)11(lim型特征1:)1(exxx10)1 (lim:) 3(變形內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院函數(shù)極限的計算函數(shù)極限的計算極限與連續(xù)極限與連續(xù) 例例12 12 求下列極限求下列極限xxx)21 (lim. 1解解22)21 (limxxx22)21(limxxx原式2e)1 (型內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院函數(shù)極限的計算函數(shù)極限的計算極限與連續(xù)極限與連續(xù) 例例12 12 求下列極限求下列極限xxx10)31(lim.2解解3310)3(1 limxxx原式31e)1 (型3310)3(1 lim1xxx內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院函數(shù)極限的計算函數(shù)極限的計算極限與連續(xù)極限與連續(xù) 例例12 12 求下列極限求下列極限xxxx2)23(lim. 3解解)211 ()211(lim422xxxx原式2e422)211 (lim)211 (limxxxxx內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院函數(shù)極限的計算函數(shù)極限的計算極限與連續(xù)極限與連續(xù)._3cotlim. 20 xxx._3sin2sinlim. 10 x