中南大學(xué)概率論課件大數(shù)定理與中心極限定理

1、大大 數(shù)數(shù) 定定 律律 在大量的隨機(jī)現(xiàn)象中，隨機(jī)事件的在大量的隨機(jī)現(xiàn)象中，隨機(jī)事件的頻率具有穩(wěn)定性頻率具有穩(wěn)定性. 大量的隨機(jī)現(xiàn)象的大量的隨機(jī)現(xiàn)象的平均結(jié)果具有穩(wěn)定性平均結(jié)果具有穩(wěn)定性. 概率論中用來闡明大量隨機(jī)現(xiàn)象概率論中用來闡明大量隨機(jī)現(xiàn)象平均結(jié)果的平均結(jié)果的穩(wěn)定性穩(wěn)定性的一系列定理，稱為的一系列定理，稱為大數(shù)定律大數(shù)定律（law of large number)4.6.1 4.6.1 切比雪夫（切比雪夫（ChebyshevChebyshev) )不等式不等式 22P XEX切比雪夫不等式切比雪夫不等式 證明證明 設(shè)設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為為連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為 ( )f

2、 x則則 ( )x EXP XEXf x dx221P XEX 或或 定理定理4.3 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望具有數(shù)學(xué)期望E(X)=和方和方差差D(X)=2,則對任意正數(shù)則對任意正數(shù)，有，有22()( )x EXxEXf x dx222()( )xEXDXf x dx證畢證畢 切比雪夫（切比雪夫（ChebyshevChebyshev) )不等式的應(yīng)用不等式的應(yīng)用 在隨機(jī)變量在隨機(jī)變量X的的分布未知分布未知的情況下，只利用的情況下，只利用X的期望的期望和方差，即可對和方差，即可對X的概率分布進(jìn)行估值。的概率分布進(jìn)行估值。例例 已知正常男性成人血液中，每毫升白細(xì)胞數(shù)的平均已知正常男性成人

3、血液中，每毫升白細(xì)胞數(shù)的平均值是值是7300，均方差是，均方差是700，利用切比雪夫不等式估計每，利用切比雪夫不等式估計每毫升血液含白細(xì)胞數(shù)在毫升血液含白細(xì)胞數(shù)在52009400之間的概率。之間的概率。解解 設(shè)設(shè)X表示每毫升血液中含白細(xì)胞個數(shù)，則表示每毫升血液中含白細(xì)胞個數(shù)，則 7300,()700EXXDX則則 5200940073002100PXP X173002100P X 2270017300210021009P X 而而 8520094009PX所以所以 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的方差為的方差為2.5，利用切比雪夫不等式估計概率利用切比雪夫不等式估計概率7.5P XEX 練習(xí)練習(xí) 設(shè)隨

4、機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的方差為的方差為2.5，利用切比，利用切比雪夫不等式估計概率雪夫不等式估計概率7.5P XEX解解 22.57.57.5P XEX17.522.5P XEX4.6.2 大數(shù)定律大數(shù)定律定義定義4.8 若存在常數(shù)若存在常數(shù) ,對任意正數(shù)對任意正數(shù) 有有,lim |1,nnP Yaa則稱隨機(jī)變量序列則稱隨機(jī)變量序列 依概率收斂于依概率收斂于 記記為為 nY, a.PnYa 性質(zhì)性質(zhì) 設(shè)設(shè),PnYb .PnXa 若若( , )g x y在點(diǎn)在點(diǎn)( , )a b連續(xù)，則連續(xù)，則(,)( , )Pnng XYg a b 定理定理4.4（切比雪夫定理的特殊情況）（切比雪夫定理的特殊情況）

5、設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量12,nXXX相互獨(dú)立，且具有相同相互獨(dú)立，且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差：的數(shù)學(xué)期望和方差：2(),()(1,2,).kkE XD Xk作前作前n個隨機(jī)變量的算術(shù)平均個隨機(jī)變量的算術(shù)平均11,nkkYXn則對任意正則對任意正數(shù)數(shù),有有l(wèi)im |1nnP Y即序列即序列11nkkYXn依概率收斂于依概率收斂于伯努利大數(shù)定理（頻率的穩(wěn)定性）伯努利大數(shù)定理（頻率的穩(wěn)定性） lim0nnPpn 定理定理4.5 設(shè)設(shè) 是是n次獨(dú)立試驗中事件次獨(dú)立試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，發(fā)生的次數(shù)，p是事件是事件A在每次試驗中發(fā)生的概率，則對于任意正數(shù)在每次試驗中發(fā)生的概率，則對于任意正數(shù)恒有恒有n 定

6、理的應(yīng)用定理的應(yīng)用：可通過多次重復(fù)一個試驗，確定：可通過多次重復(fù)一個試驗，確定事件事件A在每次試驗中出現(xiàn)的概率在每次試驗中出現(xiàn)的概率( )npP An樣本平均數(shù)穩(wěn)定性定理樣本平均數(shù)穩(wěn)定性定理 定理定理4.6 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，Xn，相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，且服從同一分布，并具有數(shù)學(xué)期望且服從同一分布，并具有數(shù)學(xué)期望 及方差及方差 ，則對于，則對于任意正數(shù)任意正數(shù) ，恒有，恒有211lim1niniPXn觀測量觀測量X在相同的條件下重復(fù)觀測在相同的條件下重復(fù)觀測n次，次，當(dāng)當(dāng)n充分大時充分大時，“觀測值的算術(shù)平均值接近于期望觀測值的算術(shù)平均值接近于期望”是一是一大概率事件大概率事件。即

7、即 11niixn依概率收斂于依概率收斂于 即即n充分大時，充分大時，11niixxn辛欽大數(shù)定理辛欽大數(shù)定理 4.6.3 4.6.3 中心極限定理（中心極限定理（Central limit Central limit theoemtheoem) ) 客觀背景：客觀實(shí)際中，許多隨機(jī)變量是由大量客觀背景：客觀實(shí)際中，許多隨機(jī)變量是由大量相互獨(dú)立的偶然因素的綜合影響所形成，每一個微小相互獨(dú)立的偶然因素的綜合影響所形成，每一個微小因素，在總的影響中所起的作用是很小的，但總起來，因素，在總的影響中所起的作用是很小的，但總起來，卻對總和有顯著影響，這種隨機(jī)變量往往近似地服從卻對總和有顯著影響，這種隨機(jī)變

8、量往往近似地服從正態(tài)分布。正態(tài)分布。 概率論中有關(guān)論證獨(dú)立隨機(jī)變量的和的極限分布概率論中有關(guān)論證獨(dú)立隨機(jī)變量的和的極限分布是正態(tài)分布的一系列定理稱為是正態(tài)分布的一系列定理稱為中心極限定理中心極限定理。設(shè)設(shè)12,nXXX相互獨(dú)立，且相互獨(dú)立，且2(),()0(1,2,).kkkkE XD Xk21,nkk2n令B則當(dāng)則當(dāng)定理定理4.7（李雅普諾夫定理）（李雅普諾夫定理）n 時，隨機(jī)變量時，隨機(jī)變量11nnkkkknnXZB的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為221lim( )lim ( )2txnnnnF xP Zxedtx 定理定理4.8 4.8 獨(dú)立同分布的中心極限定理獨(dú)立同分布的中心極限定理 設(shè)隨機(jī)變

9、量設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，Xn相互獨(dú)立相互獨(dú)立，服從同一分服從同一分布布，且有有限的數(shù)學(xué)期望，且有有限的數(shù)學(xué)期望 和方差和方差 ，則隨機(jī)變量，則隨機(jī)變量 的分布函數(shù)的分布函數(shù) 滿足如下極限式滿足如下極限式1niiXnYn( )nF x22121lim( )lim2ntixinnnXnF xPxedtn( )x 定理的應(yīng)用定理的應(yīng)用：對于獨(dú)立的隨機(jī)變量序列：對于獨(dú)立的隨機(jī)變量序列 ，不管，不管 服從什么分布，只要它們是同分布，服從什么分布，只要它們是同分布，且有有限的數(shù)學(xué)期望和方差，那么，當(dāng)且有有限的數(shù)學(xué)期望和方差，那么，當(dāng)n充分大時，這充分大時，這些隨機(jī)變量之和些隨機(jī)變量之和 近似地服從正態(tài)分布

10、近似地服從正態(tài)分布nX(1,2, )iX in1niiX2,N nn例例1 一部件包括一部件包括10部分，每部分的長度是一個隨機(jī)變部分，每部分的長度是一個隨機(jī)變量，相互獨(dú)立，且具有同一分布。其數(shù)學(xué)期望是量，相互獨(dú)立，且具有同一分布。其數(shù)學(xué)期望是2mm，均方差是均方差是0.05mm，規(guī)定總長度為，規(guī)定總長度為200.1mm時產(chǎn)品合時產(chǎn)品合格，試求產(chǎn)品合格的概率。格，試求產(chǎn)品合格的概率。解解 設(shè)部件的總長度為設(shè)部件的總長度為X，每部分的長度為，每部分的長度為 Xi（i=1,2,10)，則，則()2iE X()0.05iX101iiXX由定理由定理4.5可知：可知：X近似地服從正態(tài)分布近似地服從正態(tài)

11、分布 210 2,10 0.05N即即 20,0.025N續(xù)解續(xù)解 則產(chǎn)品合格的概率為則產(chǎn)品合格的概率為 200.119.920.1P XPX20.1 2019.9200.0250.025 0.1210.025 0.4714定理定理4.9 4.9 棣莫弗棣莫弗拉普拉斯中心極限定理拉普拉斯中心極限定理 (De (De MoivreMoivre-Laplace) -Laplace) 定理定理 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 服從二項分布服從二項分布 ，則對，則對于任意區(qū)間于任意區(qū)間 ，恒有，恒有n( , )B n p , a b221lim(1)2tbnannpP abedtnpp二項分布的極限分布是正態(tài)分

12、布二項分布的極限分布是正態(tài)分布 即如果即如果( , )XB n p，則，則 221( )( )(1)2tbnanpP abedtbanpp ()()(1)(1)bnpanpnppnpp 一般地，一般地，如果如果( , )XB n p，則，則(1)(1)(1)anpXnpbnpP aXbPnppnppnpp例例2 現(xiàn)有一大批種子，其中良種占現(xiàn)有一大批種子，其中良種占1/6，今在其中任，今在其中任選選6000粒，試問在這些種子中良種所占的比例與粒，試問在這些種子中良種所占的比例與1/6之之差小于差小于1%的概率是多少？的概率是多少？解解 設(shè)取出的種子中的良種粒數(shù)為設(shè)取出的種子中的良種粒數(shù)為X，則，

13、則 1(6000, )6XB所求概率為所求概率為 10.0160006XP9401060PX1060 1000940 10001000 5 61000 5 6 22.078510.9625 續(xù)例續(xù)例 種子中良種占種子中良種占1/6，我們有，我們有99%的把握斷定在的把握斷定在6000粒種子中良種所占的比例與粒種子中良種所占的比例與1/6之差是多少？這時相應(yīng)的之差是多少？這時相應(yīng)的良種數(shù)落在哪個范圍？良種數(shù)落在哪個范圍？解解 設(shè)良種數(shù)為設(shè)良種數(shù)為X，則，則 1(6000, )6XB設(shè)良種所占比例與設(shè)良種所占比例與1/6的差值為的差值為 ，則依題意有，則依題意有 160006XP600060001000 5 61000 5 6 10006000P X6000210.991000 5 6 60002.581000 5 6查表得查表得 60000.99501000 5 60.0124此時有此時有 100074.4X 9251074X即即 解解 設(shè)設(shè)100根木材中長度不短于根木材中長度不短于3米的根數(shù)為米的根數(shù)為X，則，則 例例