2019年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)解析全國(guó)一卷

1、-. z.2019年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)解析一、選擇題：此題共12小題，每題5分，共60分。在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的。1.集合，則=A. B. C. D. 【答案】C【分析】此題考察集合的交集和一元二次不等式的解法，滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)采取數(shù)軸法，利用數(shù)形結(jié)合的思想解題【詳解】由題意得，則應(yīng)選C總結(jié)：不能領(lǐng)會(huì)交集的含義易致誤，區(qū)分交集與并集的不同，交集取公共局部，并集包括二者局部2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，z在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(*，y)，則A. B. C. D. 【答案】C【分析】此題考點(diǎn)為復(fù)數(shù)的運(yùn)算，為根底題目，難度偏易此題可采用幾何法，根據(jù)點(diǎn)*，y和點(diǎn)(0

2、，1)之間的距離為1，可選正確答案C【詳解】則應(yīng)選C總結(jié)：此題考察復(fù)數(shù)的幾何意義和模的運(yùn)算，滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)采取公式法或幾何法，利用方程思想解題3.，則A. B. C. D. 【答案】B【分析】運(yùn)用中間量比擬，運(yùn)用中間量比擬【詳解】則應(yīng)選B總結(jié)：此題考察指數(shù)和對(duì)數(shù)大小的比擬，滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)采取中間變量法，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題4.古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是0.618，稱(chēng)為黃金分割比例)，著名的斷臂維納斯便是如此此外，最美人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比也是假設(shè)*人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例，且腿長(zhǎng)為105cm，頭頂

3、至脖子下端的長(zhǎng)度為26 cm，則其身高可能是A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190cm【答案】B【分析】理解黃金分割比例的含義，應(yīng)用比例式列方程求解【詳解】設(shè)人體脖子下端至腿根的長(zhǎng)為* cm，肚臍至腿根的長(zhǎng)為y cm，則，得又其腿長(zhǎng)為105cm，頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為26cm，所以其身高約為4207+515+105+26=17822，接近175cm應(yīng)選B總結(jié)：此題考察類(lèi)比歸納與合情推理，滲透了邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)采取類(lèi)比法，利用轉(zhuǎn)化思想解題5.函數(shù)f(*)=在，的圖像大致為A. B. C. D. 【答案】D【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，得是奇函數(shù)，排除A，再注意到選

4、項(xiàng)的區(qū)別，利用特殊值得正確答案【詳解】由，得是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)又應(yīng)選D總結(jié)：此題考察函數(shù)的性質(zhì)與圖象，滲透了邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)采取性質(zhì)法或賦值法，利用數(shù)形結(jié)合思想解題6.我國(guó)古代典籍周易用卦描述萬(wàn)物的變化每一重卦由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽(yáng)爻和陰爻，如圖就是一重卦在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻的概率是A. B. C. D. 【答案】A【分析】此題主要考察利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理與排列組合計(jì)算古典概型問(wèn)題，滲透了傳統(tǒng)文化、數(shù)學(xué)計(jì)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，重卦中每一爻有兩種情況，根本領(lǐng)件計(jì)算是住店問(wèn)題，該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻是一樣元素的排列問(wèn)題，利用直接法即可計(jì)算【詳解】由

5、題知，每一爻有2中情況，一重卦的6爻有情況，其中6爻中恰有3個(gè)陽(yáng)爻情況有，所以該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻的概率為=，應(yīng)選A總結(jié)：對(duì)利用排列組合計(jì)算古典概型問(wèn)題，首先要分析元素是否可重復(fù)，其次要分析是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題此題是重復(fù)元素的排列問(wèn)題，所以根本領(lǐng)件的計(jì)算是住店問(wèn)題，滿足條件事件的計(jì)算是一樣元素的排列問(wèn)題即為組合問(wèn)題7.非零向量a，b滿足=2，且abb，則a與b的夾角為A. B. C. D. 【答案】B【分析】此題主要考察利用平面向量數(shù)量積數(shù)量積計(jì)算向量長(zhǎng)度、夾角與垂直問(wèn)題，滲透了轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)學(xué)計(jì)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)先由得出向量的數(shù)量積與其模的關(guān)系，再利用向量夾角公式即可計(jì)算出向量夾角【詳解】因?yàn)?，?/p>

6、以=0，所以，所以=，所以與的夾角為，應(yīng)選B總結(jié)：對(duì)向量夾角的計(jì)算，先計(jì)算出向量的數(shù)量積及各個(gè)向量的摸，在利用向量夾角公式求出夾角的余弦值，再求出夾角，注意向量夾角圍為8.如圖是求的程序框圖，圖中空白框中應(yīng)填入A. A=B. A=C. A=D. A=【答案】A【分析】此題主要考察算法中的程序框圖，滲透閱讀、分析與解決問(wèn)題等素養(yǎng)，認(rèn)真分析式子構(gòu)造特征與程序框圖構(gòu)造，即可找出作出選擇【詳解】執(zhí)行第1次，是，因?yàn)榈谝淮螒?yīng)該計(jì)算=，=2，循環(huán)，執(zhí)行第2次，是，因?yàn)榈诙螒?yīng)該計(jì)算=，=3，循環(huán)，執(zhí)行第3次，否，輸出，故循環(huán)體為，應(yīng)選A總結(jié)：秒殺速解認(rèn)真觀察計(jì)算式子的構(gòu)造特點(diǎn)，可知循環(huán)體為9.記為等差數(shù)列

7、的前n項(xiàng)和，則A. B. C. D. 【答案】A【分析】等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式此題還可用排除，對(duì)B，排除B，對(duì)C，排除C對(duì)D，排除D，應(yīng)選A【詳解】由題知，解得，應(yīng)選A總結(jié)：此題主要考察等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，滲透方程思想與數(shù)學(xué)計(jì)算等素養(yǎng)利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)公式即可列出關(guān)于首項(xiàng)與公差的方程，解出首項(xiàng)與公差，在適當(dāng)計(jì)算即可做了判斷10.橢圓C的焦點(diǎn)為，過(guò)F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn).假設(shè)，則C的方程為A. B. C. D. 【答案】B【分析】可以運(yùn)用下面方法求解：如圖，由可設(shè)，則，由橢圓的定義有在和中，由余弦定理得，又互補(bǔ)，兩式消去，得，解得所求橢圓方程為，應(yīng)選B【詳解】

8、如圖，由可設(shè)，則，由橢圓的定義有在中，由余弦定理推論得在中，由余弦定理得，解得所求橢圓方程為，應(yīng)選B總結(jié)：此題考察橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單性質(zhì)，考察數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，很好的落實(shí)了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)11.關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論：f(*)是偶函數(shù)f(*)在區(qū)間,單調(diào)遞增f(*)在有4個(gè)零點(diǎn)f(*)的最大值為2其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是A. B. C. D. 【答案】C【分析】畫(huà)出函數(shù)的圖象，由圖象可得正確，應(yīng)選C【詳解】為偶函數(shù)，故正確當(dāng)時(shí)，它在區(qū)間單調(diào)遞減，故錯(cuò)誤當(dāng)時(shí)，它有兩個(gè)零點(diǎn)：；當(dāng)時(shí)，它有一個(gè)零點(diǎn)：，故在有個(gè)零點(diǎn)：，故錯(cuò)誤當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，又為偶函數(shù)，的最大值為，故正確綜上所

9、述，正確，應(yīng)選C總結(jié)：化簡(jiǎn)函數(shù)，研究它的性質(zhì)從而得出正確答案12.三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC，ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，PB的中點(diǎn)，CEF=90，則球O的體積為A. B. C. D. 【答案】D【分析】此題也可用解三角形方法，到達(dá)求出棱長(zhǎng)的目的適合空間想象能力略差學(xué)生設(shè)，分別為中點(diǎn)，且，為邊長(zhǎng)為2等邊三角形，又中余弦定理，作于，為中點(diǎn)，又，兩兩垂直，應(yīng)選D.【詳解】為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為正三棱錐，又，分別、中點(diǎn)，又，平面，平面，為正方體一局部，即，應(yīng)選D總結(jié)：此題考察學(xué)生空間想象能力，補(bǔ)型法解決外接球問(wèn)題可通過(guò)線面垂直定理，得到三棱兩兩互

10、相垂直關(guān)系，快速得到側(cè)棱長(zhǎng)，進(jìn)而補(bǔ)型成正方體解決二、填空題：此題共4小題，每題5分，共20分。13.曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)【答案】.【分析】此題根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，通過(guò)求導(dǎo)數(shù)，確定得到切線的斜率，利用直線方程的點(diǎn)斜式求得切線方程【詳解】詳解：所以，所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即總結(jié)：準(zhǔn)確求導(dǎo)數(shù)是進(jìn)一步計(jì)算的根底，此題易因?yàn)閷?dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則掌握不熟，二導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤求導(dǎo)要慢，計(jì)算要準(zhǔn)，是解答此類(lèi)問(wèn)題的根本要求14.記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和假設(shè)，則S5=_【答案】.【分析】此題根據(jù)條件，列出關(guān)于等比數(shù)列公比的方程，應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算得到題目的難度不大，注重了根底知識(shí)、根本計(jì)算能力的

11、考察【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，所以又，所以所以總結(jié)：準(zhǔn)確計(jì)算，是解答此類(lèi)問(wèn)題的根本要求此題由于涉及冪的乘方運(yùn)算、繁分式分式計(jì)算，局部考生易出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤15.甲、乙兩隊(duì)進(jìn)展籃球決賽，采取七場(chǎng)四勝制當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽完畢根據(jù)前期比賽成績(jī)，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為主主客客主客主設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.6，客場(chǎng)取勝的概率為0.5，且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以41獲勝的概率是_【答案】0.216.【分析】此題應(yīng)注意分情況討論，即前五場(chǎng)甲隊(duì)獲勝的兩種情況，應(yīng)用獨(dú)立事件的概率的計(jì)算公式求解題目有一定的難度，注重了根底知識(shí)、根本計(jì)算能力及分類(lèi)討論思想的考察【詳解】前五場(chǎng)中有一場(chǎng)客場(chǎng)

12、輸時(shí)，甲隊(duì)以獲勝的概率是前五場(chǎng)中有一場(chǎng)主場(chǎng)輸時(shí)，甲隊(duì)以獲勝的概率是綜上所述，甲隊(duì)以獲勝概率是總結(jié)：由于此題題干較長(zhǎng)，所以，易錯(cuò)點(diǎn)之一就是能否靜心讀題，正確理解題意；易錯(cuò)點(diǎn)之二是思維的全面性是否具備，要考慮甲隊(duì)以獲勝的兩種情況；易錯(cuò)點(diǎn)之三是是否能夠準(zhǔn)確計(jì)算16.雙曲線C：左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)假設(shè)，則C的離心率為_(kāi)【答案】2.【分析】此題考察平面向量結(jié)合雙曲線的漸進(jìn)線和離心率，滲透了邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)采取幾何法，利用數(shù)形結(jié)合思想解題【詳解】如圖，由得又得OA是三角形的中位線，即由，得則有又OA與OB都是漸近線，得則又漸近線OB的斜

13、率為，所以該雙曲線的離心率為總結(jié)：此題假設(shè)不能求出直角三角形的中位線的斜率將會(huì)思路受阻，即便知道雙曲線漸近線斜率和其離心率的關(guān)系，也不能順利求解，解題需要結(jié)合幾何圖形，關(guān)鍵得到即得到漸近線的傾斜角為從而突破問(wèn)題障礙三、解答題：共70分。解容許寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。一必考題：共60分。17.的角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)1求A；2假設(shè)，求sinC【答案】1；2.【分析】1利用正弦定理化簡(jiǎn)邊角關(guān)系式可得：，從而可整理出，根據(jù)可求得結(jié)果；2利用正弦定理可得，利用、兩角和差正弦公式可得關(guān)于和的

14、方程，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系解方程可求得結(jié)果.【詳解】1即：由正弦定理可得：2，由正弦定理得：又，整理可得：解得：或因?yàn)樗?，?2法二：，由正弦定理得：又，整理可得：，即或且總結(jié)：此題考察利用正弦定理、余弦定理解三角形的問(wèn)題，涉及到兩角和差正弦公式、同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是能夠利用正弦定理對(duì)邊角關(guān)系式進(jìn)展化簡(jiǎn)，得到余弦定理的形式或角之間的關(guān)系.18.如圖，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn)1證明：MN平面C1DE；2求二面角A-MA1-N的正弦值【答案】1見(jiàn)解析；2.【分析】1利用三角形中位線和

15、可證得，證得四邊形為平行四邊形，進(jìn)而證得，根據(jù)線面平行判定定理可證得結(jié)論；2以菱形對(duì)角線交點(diǎn)為原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)取中點(diǎn)，可證得平面，得到平面的法向量；再通過(guò)向量法求得平面的法向量，利用向量夾角公式求得兩個(gè)法向量夾角的余弦值，進(jìn)而可求得所求二面角的正弦值.【詳解】1連接，分別為，中點(diǎn)為的中位線且又為中點(diǎn)，且且四邊形為平行四邊形，又平面，平面平面2設(shè)，由直四棱柱性質(zhì)可知：平面四邊形為菱形則以為原點(diǎn)，可建立如下列圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則：，D0，-1,0取中點(diǎn)，連接，則四邊形為菱形且為等邊三角形又平面，平面平面，即平面為平面的一個(gè)法向量，且設(shè)平面的法向量，又，令，則，二面角的正弦值為：

16、總結(jié)：此題考察線面平行關(guān)系的證明、空間向量法求解二面角的問(wèn)題.求解二面角的關(guān)鍵是能夠利用垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，從而通過(guò)求解法向量夾角的余弦值來(lái)得到二面角的正弦值，屬于常規(guī)題型.19.拋物線C：y2=3*的焦點(diǎn)為F，斜率為的直線l與C的交點(diǎn)為A，B，與*軸的交點(diǎn)為P1假設(shè)|AF|+|BF|=4，求l的方程；2假設(shè)，求|AB|【答案】1；2.【分析】1設(shè)直線：，；根據(jù)拋物線焦半徑公式可得；聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用韋達(dá)定理可構(gòu)造關(guān)于的方程，解方程求得結(jié)果；2設(shè)直線：；聯(lián)立直線方程與拋物線方程，得到韋達(dá)定理的形式；利用可得，結(jié)合韋達(dá)定理可求得；根據(jù)弦長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.【詳解】1設(shè)直線方程為

17、：，由拋物線焦半徑公式可知：聯(lián)立得：則，解得：直線的方程為：，即：2設(shè)，則可設(shè)直線方程為：聯(lián)立得：則，則總結(jié)：此題考察拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線的綜合應(yīng)用問(wèn)題，涉及到平面向量、弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用.關(guān)鍵是能夠通過(guò)直線與拋物線方程的聯(lián)立，通過(guò)韋達(dá)定理構(gòu)造等量關(guān)系.20.函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)證明：1在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；2有且僅有2個(gè)零點(diǎn)【答案】1見(jiàn)解析；2見(jiàn)解析分析】1求得導(dǎo)函數(shù)后，可判斷出導(dǎo)函數(shù)在上單調(diào)遞減，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可判斷出，使得，進(jìn)而得到導(dǎo)函數(shù)在上的單調(diào)性，從而可證得結(jié)論；2由1的結(jié)論可知為在上的唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，首先可判斷出在上無(wú)零點(diǎn)，再利用零點(diǎn)存在定理得到在上的單調(diào)性，可知，不存在零點(diǎn)；

18、當(dāng)時(shí)，利用零點(diǎn)存在定理和單調(diào)性可判斷出存在唯一一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，可證得；綜合上述情況可證得結(jié)論.【詳解】1由題意知：定義域?yàn)椋呵伊?，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞減又，使得當(dāng)時(shí)，；時(shí)，即在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減則為唯一的極大值點(diǎn)即：在區(qū)間上存在唯一的極大值點(diǎn).2由1知：，當(dāng)時(shí)，由1可知在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減又為在上的唯一零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減又在上單調(diào)遞增，此時(shí)，不存在零點(diǎn)又，使得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減又，在上恒成立，此時(shí)不存在零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞減在上單調(diào)遞減又，即，又在上單調(diào)遞減在上存在唯一零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，即在上不存在零點(diǎn)綜上所述：有且僅有個(gè)零點(diǎn)總結(jié)：此題考察導(dǎo)數(shù)與

19、函數(shù)極值之間的關(guān)系、利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題.解決零點(diǎn)問(wèn)題的關(guān)鍵一方面是利用零點(diǎn)存在定理或最值點(diǎn)來(lái)說(shuō)明存在零點(diǎn)，另一方面是利用函數(shù)的單調(diào)性說(shuō)明在區(qū)間零點(diǎn)的唯一性，二者缺一不可.21.為了治療*種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)展動(dòng)物試驗(yàn)試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)展比照試驗(yàn)對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn)當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停頓試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效為了方便描述問(wèn)題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，假設(shè)施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分；

20、假設(shè)施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分；假設(shè)都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分甲、乙兩種藥的治愈率分別記為和，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為*1求的分布列；2假設(shè)甲藥、乙藥在試驗(yàn)開(kāi)場(chǎng)時(shí)都賦予4分，表示甲藥的累計(jì)得分為時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效的概率，則，其中，假設(shè)，(i)證明：為等比數(shù)列；(ii)求，并根據(jù)的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性【答案】1見(jiàn)解析；2i見(jiàn)解析；ii.【分析】1首先確定所有可能的取值，再來(lái)計(jì)算出每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，從而可得分布列；2i求解出的取值，可得，從而整理出符合等比數(shù)列定義的形式，問(wèn)題得證；ii列出證得的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，采用累加的方式，結(jié)合和的值可求得；再次利用累加法可求出.【詳解】1由題意可知所有可能的取值為：，；則的分布列如下