環(huán)的同態(tài)惠州學(xué)院課件

1、近 世 代 數(shù)(Abstract Algebra)授課教師 ： 陳 益 智工作單位 ：惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系 研究方法：近世代數(shù)代數(shù)系統(tǒng) （帶有運(yùn)算的集合）群 環(huán)域 1、 研究其子系統(tǒng)、商系統(tǒng) （從內(nèi)部入手）（從外部入手）2、 研究其同態(tài)和同構(gòu)子系統(tǒng)：子群、子環(huán)、子域商系統(tǒng)：商群、商環(huán)、商域3.5：子環(huán)、環(huán)的同態(tài)教學(xué)目的：3.5：子環(huán)、環(huán)的同態(tài)（1）掌握子環(huán)（子除環(huán)，子整環(huán)，子域） 的定義及其等價(jià)條件；（2）掌握環(huán)的同態(tài)及其若干性質(zhì)；（3）理解并能使用“挖補(bǔ)定理”;（4）掌握類比的數(shù)學(xué)思想.一、子環(huán)定義及等價(jià)條件（與群相類比給出）： 下面我們把環(huán)與群類比，把環(huán)看作是具有一個(gè)乘法運(yùn)算的加群， 即設(shè)想加群

2、是基礎(chǔ)，而乘法是環(huán)的“靈魂”。 甚至在數(shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的工具是歸納和類比。 法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯 類比是通過(guò)兩類不同對(duì)象 A, B間的某些屬性的相似，從而A具有某種其他屬性便猜想B也有這種屬性。在群論中在環(huán)論中定義1：設(shè) ，稱G為群，若G對(duì)其上的一種代數(shù)運(yùn)算滿足：（I）閉合律；（II）結(jié)合律；（III）存在單位元；（IV） G中任一元素存在逆元。定義3：設(shè) 為群，稱G的子集H為G的子群，若對(duì)于G的乘法來(lái)說(shuō)H也作成一個(gè)群。 記作： 。定義2：設(shè) ，且R帶有加法和乘法兩種運(yùn)算，稱R為環(huán)，若R滿足 (i) 為加群；(ii) 為半群；(iii) 分配律成立。定義4：設(shè) ， R為環(huán)（除環(huán)，整環(huán)，域）, 稱

3、R的子集S為的R子環(huán)（子除環(huán)，子整環(huán)，子域），若S對(duì)于R的代數(shù)運(yùn)算來(lái)說(shuō)也作成一個(gè)環(huán)（除環(huán)，整環(huán)，域） 。記作： （S是R的子環(huán)時(shí)）。例1：一個(gè)環(huán) R 至少包含兩個(gè)子環(huán)R和 。 例2：設(shè)R=Z,則 是R的子環(huán)。二、子環(huán)的存在性及其例子：（平凡子環(huán)）例3：設(shè)R = M n (F) (域F上的全矩陣環(huán)），則 是R的子環(huán)。（ 因?yàn)?， 的元素可交換） （子除環(huán)、子域）例4：設(shè) ， ， 。 可以驗(yàn)證，例5：設(shè) 。 則容易驗(yàn)證： 例6：設(shè) ?，F(xiàn)定義 的運(yùn)算： （1）容易驗(yàn)證， 關(guān)于所定義的運(yùn)算 構(gòu)成一個(gè)環(huán)。（2）容易驗(yàn)證令 。定義：設(shè) 和 是兩個(gè)環(huán)，則稱 和 同態(tài) （同構(gòu)），若滿足三、環(huán)的同態(tài)及其若干性質(zhì)

4、（2） 保持運(yùn)算（保持加法和乘法運(yùn)算）此時(shí)記 和 的同態(tài)（同構(gòu)）為： 。（1） 存在滿射（雙射） ；例7：設(shè) ， ,作 。 容易驗(yàn)證 是同態(tài)。例8：設(shè) ， 。現(xiàn)定義 的運(yùn)算： （1）可以驗(yàn)證， 關(guān)于所定義的運(yùn)算 構(gòu)成一個(gè)環(huán)。（2）容易驗(yàn)證 是同態(tài)。 具有同樣多代數(shù)運(yùn)算的代數(shù)系統(tǒng)間的同態(tài)可以保持相應(yīng)的結(jié)合律、交換律和分配律。定理2（ 1.8,P22）：假定， 都是集合A的代數(shù)運(yùn)算， 都是集合 的代數(shù)運(yùn)算， 和 同態(tài)，那么，（i）若 適合第一分配律， 也適合第一分配律；（ii）若 適合第二分配律， 也適合第二分配律。 定理1（ 1.8,P22）：假定，對(duì)于代數(shù)運(yùn)算 和 來(lái)說(shuō)， 和 同態(tài)，那么，（i

5、）若 適合結(jié)合律， 也適合結(jié)合律；（ii）若 適合交換律， 也適合交換律。定理b(P43)：設(shè) ， 為兩個(gè)群，若 ，則有：（1） 的單位元的同態(tài)象是 的單位元；（2） 的元 的逆元的同態(tài)象是 的同態(tài)象的逆元。定理a(P40)：設(shè)G， ，都帶有一種代數(shù)運(yùn)算，且 , 若G為群則 也是一個(gè)群.在群論中在環(huán)論中定理1：設(shè) 與 都帶有加法和乘法兩種運(yùn)算,且 ，若 是環(huán)，則 也是環(huán)。定理2：設(shè) 和 是兩個(gè)環(huán)，若 ，則 有：（1） ；（2） ；（3） 可交換，則 也可交換；（4） 有單位元1，則 也有單位元 ，且 。 由上面的討論我們可以看出，經(jīng)過(guò)了一個(gè)同態(tài)滿射之后，環(huán)的單位元和交換律是可以保持的。 我們知

6、道，若干普通計(jì)算方法在一個(gè)一般的環(huán)里不成立，它們要在有附加條件的環(huán)里才能成立。由3.2知，環(huán)里的三種非常重要附加條件是：交換律、單位元和零因子。 那么現(xiàn)在的問(wèn)題是：一個(gè)環(huán)有沒(méi)有零因子這個(gè)性質(zhì)經(jīng)過(guò)了一個(gè)同態(tài)滿射之后可不可以保持呢？ 例7：設(shè) ， ,作 。 （1）容易驗(yàn)證 是同態(tài)。（2）可以看出 無(wú)零因子，而 卻有零因子，因?yàn)?。注：此例表明： ， 無(wú)零因子，但 卻有零因子。反過(guò)來(lái)，結(jié)論又會(huì)如何呢？ 即若 ， 無(wú)零因子， 是否有零因子呢？例8：設(shè) ， ?，F(xiàn)定義 的運(yùn)算： （1）容易驗(yàn)證， 關(guān)于所定義的運(yùn)算 構(gòu)成一個(gè)環(huán)。作 。（2）容易驗(yàn)證 是同態(tài)。（3）可以看出 無(wú)零因子，而 卻有零因子，因?yàn)閷?duì)于

7、 ，我們有 。注：此例表明： ， 有零因子，但 卻沒(méi)有零因子。 但若把同態(tài)換為同構(gòu)的話，則這個(gè)環(huán)的代數(shù)性質(zhì)當(dāng)然沒(méi)有什么區(qū)別了，所以有： 上兩例表明：一個(gè)環(huán)有沒(méi)有零因子這個(gè)性質(zhì)經(jīng)過(guò)了一個(gè)同態(tài)滿射后不一定能保持的。（除環(huán)、域）（除環(huán)、域）定理3：設(shè) 和 是兩個(gè)環(huán) ，并且 ， 那么若 是整環(huán) ，則 也是整環(huán) 。RRS RS圖1圖2本節(jié)最后，我們介紹在環(huán)論中常用到的一個(gè)定理：挖補(bǔ)定理。R 定理4：(挖補(bǔ)定理）設(shè) 是環(huán) 的一個(gè)子環(huán)，且 與環(huán) 同構(gòu)，即 。又若 ，即 同 在 里的余集 無(wú)公共元素，則存在環(huán) ，使得 ， 。RRS思路分析： (1) 構(gòu)造 ； (2) 作 到 的對(duì)應(yīng)關(guān)系 并證明 是雙射；(4)

8、 證明 。 （只需證明 原有的運(yùn)算和 新定義的運(yùn)算是一致的） (3) 在 中定義兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算，并證明 ; （P99的引理）證明：令 ， 。且在該同構(gòu)之下， 。 的元素我們用 來(lái)表示。這樣，（1）現(xiàn)在我們作一個(gè)新的集合： 并規(guī)定一個(gè)法則： 。 （2）容易驗(yàn)證 是個(gè)雙射。（3）利用這個(gè)雙射在 中定義運(yùn)算： 容易證明，這些運(yùn)算是 的兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算。 事實(shí)上，給定了 ， 因而可在 中找到唯一的 ，從而也可以找到唯一的 。綜上，我們可以得到 。 .(我們只須證明 原有的運(yùn)算和新定義的運(yùn)算是一致的即可） 假設(shè)上 原有的運(yùn)算為 和 ， ，下證： 事實(shí)上，（ 上所定義的加法運(yùn)算）（因?yàn)?為同構(gòu)，從而保持加法運(yùn)算） （因?yàn)?為同構(gòu) ） （由 的定義） （因?yàn)?為同構(gòu)，從而保持乘法運(yùn)算） （由 的定義） （ 上所定義的乘法運(yùn)算）（因?yàn)?為同構(gòu) ） 綜上， 。 證畢RRS例9：設(shè) ， 。現(xiàn)定義 的運(yùn)算： （1）容易驗(yàn)證， 關(guān)于所定義的運(yùn)算 構(gòu)成一個(gè)環(huán)。（2）容易驗(yàn)證 是同態(tài)。令 。作 。 又 ， 因此由挖補(bǔ)定理知， 且 。注：在上例中，實(shí)際上就是把元素 與整數(shù) 完全等同起來(lái)，從而我們有 定理4：(挖補(bǔ)定理）設(shè) 是環(huán) 的一個(gè)子環(huán)，且 與環(huán) 同構(gòu)，即 。又若 ，即 同 在 里的余集 無(wú)公共元素，則存在環(huán) ，使得 ， 。最后我們?cè)俅位仡櫹隆巴谘a(bǔ)定理”。RRS回顧總結(jié)