振動理論第2章單自由度系統(tǒng)的自由振動課件

1、1 無阻尼自由振動2 能量法3 瑞利法4 等效質(zhì)量和等效剛度6 有粘性阻尼自由振動第1章 單自由度系統(tǒng)的自由振動 5 扭振專題振動：一個彈性系統(tǒng)在平衡位置上，受到一個沖擊（突然施加一個外力或突然除去一個外力）使這個彈性系統(tǒng)脫離原來的平衡位置，在新的位置上系統(tǒng)的彈性力不能與載荷相平衡了，于是就發(fā)生了振動。自由振動：只靠彈簧的彈性力所維持的振動稱為自由振動。 單自由度系統(tǒng)：只用一個坐標(biāo)就可以把振動系統(tǒng)的形態(tài)表明了，這種系統(tǒng)稱 為單自由系統(tǒng).1 無阻尼自由振動或為兩個任意常數(shù)，則通解可寫為：均為周期函數(shù)，故有：1 無阻尼自由振動振動固有周期由式(3)可見振動周期取決于系統(tǒng)的靜變位 ，只要靜變位按理論

2、算出或用實驗方法定出，即可由式（3）確定振動的固有周期振動固有頻率式（2）所代表的振動稱為簡諧振動 (harmonic motion),并由運動的初始條件確定積分常數(shù)時代入式（2）得：則有：固有頻率或固有周期與初始條件無關(guān)，表現(xiàn)出線性系統(tǒng)自由振動的等時性，質(zhì)量愈大，彈簧愈軟，則固有頻率愈低，周期愈長；反之，質(zhì)量愈小，彈簧愈硬，則固有頻率愈高，周期愈短。1 無阻尼自由振動描述簡諧振動的三個特征量1. 振幅 A2. 周期 T 和頻率 f3. 相位 是 t 時刻的相位簡諧振動定義: 特點: (1)等幅振動 (2)周期振動(1) 是 t =0 時刻的相位即初相(2)1 無阻尼自由振動簡諧振動的表示1.

3、以旋轉(zhuǎn)矢量表示的簡諧振動式（5）可寫為：式中：簡諧運動可用模為A的旋轉(zhuǎn)矢量在坐標(biāo)軸x上的投影來表示。1 無阻尼自由振動2.以復(fù)數(shù)表示的簡諧振動模為A的矢量OP旋轉(zhuǎn)，其復(fù)數(shù)表示為根據(jù)歐拉公式式（6）可表示為：比較式（6）（7）簡諧振動是復(fù)數(shù)旋轉(zhuǎn)矢量在虛軸上的投影.在以后的敘述中，對復(fù)數(shù)表達(dá)式不做特殊說明時，即表示取其虛部.1 無阻尼自由振動3.物體運動的速度和加速度為由式（6）（10）（11）可知，當(dāng)物體的位移是簡諧函數(shù)時，它的速度與加速度也是簡諧函數(shù)，它們與位移的頻率相同，速度的相位超前位移，加速度的相位超前位移1 無阻尼自由振動例1. 已知： 求：系統(tǒng)自由振動的振幅A 解：鋼絲靜伸長 1 無

4、阻尼自由振動例2. 已知：重物重W放在一根長為 的梁上，不計梁的質(zhì)量， 試確定彈性常數(shù)以及物體在鉛直方向作自由振動的頻率. lc解：梁重物處的靜變形為 則： 1 無阻尼自由振動例3. 已知：升降機(jī)吊籠，以等速下降，鋼絲繩視為彈簧，若A端突然停止，求鋼繩所受到的最大應(yīng)力。繩子質(zhì)量略去不計。解：等速下降時鋼絲靜伸長 1 無阻尼自由振動1 無阻尼自由振動1 無阻尼自由振動2 能量法能量方程式動能為零時勢能達(dá)到最大值，而勢能為零時動能達(dá)到最大值，則有：工程實際中通常振幅不大的振動，差不多都是簡諧振動，都可用式（1）計算振動的固有頻率。mx能量法計算固有頻率2 能量法例1. 如圖各擺作小振幅振動，不計各

5、桿的質(zhì)量，試用能量法 求各桿擺的振動頻率,并假定重物W的質(zhì)量集中在它的中心上。laall2 能量法擺的動能：擺的勢能是由于重物W的鉛垂位移而產(chǎn)生的2 能量法假定擺的運動方程是：則由：有：擺的動能：擺的勢能包含兩部分即：彈性勢能和重力勢能2 能量法由能量方程有：有：由學(xué)生練習(xí)完成3 瑞利法為了計及這部分質(zhì)量對系統(tǒng)振動固有頻率的影響，利用能量法可對分布質(zhì)量系統(tǒng)作近似計算，方法是先對具有分布質(zhì)量的彈性元件假定一種振動形式，然后將無阻尼自由振動的簡諧規(guī)律代入，即得到等效質(zhì)量和固有頻率，這種近似計算方法稱為瑞利法（為Lord Rayleigh所創(chuàng)）設(shè)彈簧的長度為 ,單位長度的質(zhì)量為 ，假定彈簧的變形與離

6、固定點的距離 成正比，彈筑端點的位移設(shè)為 。將微元長度 的動能在整個彈簧范圍內(nèi)積分，以計算彈簧的動能 ，得到例1. 試計算彈簧的等效質(zhì)量。為彈簧質(zhì)量考慮彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的總動能等效質(zhì)量3 瑞利法假定振動中梁的變位曲線和梁外端加一靜載荷時梁的變位曲線的形狀相同。3 瑞利法例2. 試計算懸臂梁的等效質(zhì)量。設(shè)懸臂梁的長度為 ,單位長度的質(zhì)量為 ，抗彎剛度為 ，其中 和 分別為梁的彈性模量和截面二次矩。計算梁的動能，得到：為梁的質(zhì)量等效質(zhì)量系統(tǒng)的固有頻率為：4 等效質(zhì)量和等效剛度在實際的單自由度振動系統(tǒng)中通常包含有多個彈性元件和慣性元件，為方便振動分析，可將該系統(tǒng)等效為一個由等效剛度和等效質(zhì)量組成的單自由

7、度振動系統(tǒng)。等效的方法有兩種：1)能量法 2)定義法。4 等效質(zhì)量和等效剛度4 等效質(zhì)量和等效剛度4 等效質(zhì)量和等效剛度4 等效質(zhì)量和等效剛度4 等效質(zhì)量和等效剛度平行串聯(lián)、并聯(lián)彈簧的等效剛度4 等效質(zhì)量和等效剛度平行串聯(lián)、并聯(lián)彈簧的等效剛度4 等效質(zhì)量和等效剛度例1 A suspension system of a freight truck with a parallel-spring arrangement. Find the equivalent spring constant of the suspension if each of the three helical springs

8、 is made of and has five effective turns, mean coil diameter and wire diameter 例2 A hoisting drum, carrying a steel wire ripe, is mounted at the end of a cantilever beam. Determine the equivalent spring constant of the system when the suspended length of the wire rope is Assume that the net cross-se

9、ctional diameter of the wire rope is and the Youngs modulus of the beam and the wire rope is 4 等效質(zhì)量和等效剛度4 等效質(zhì)量和等效剛度斜拉彈簧在某個位移方向上的等效彈簧剛度為彈簧的伸長量4 等效質(zhì)量和等效剛度例1 To calculate equivalent stiffness in and directions4 等效質(zhì)量和等效剛度例1.The boom AB of the crane shown in Fig.1.27(a) is a uniform steel bar of length 1

10、0m and area of cross section 2500. A weight W is suspended while the crane is stationary. The cable CDEBF is made of steel and has a cross-sectional area of 100. Neglecting the effect of the cable CDEB. Find the equivalent spring constant of the system in the vertical direction.4 等效質(zhì)量和等效剛度A vertical

11、 displacement x of point B will cause the spring (boom) to deform by an amount (cable) to deform by an amount . and the spring 4 等效質(zhì)量和等效剛度Since the equivalent spring in the vertical direction undergoes a deformation , the potential energy of the equivalent spring is given by 4 等效質(zhì)量和等效剛度Example 1. Th

12、e equivalent mass can be assumed to be located at point A. The linear coordinate specifies the displacement of point A. The static equilibrium position of the system is zero position.The kinetic energy of the original system is The kinetic energy of the equivalent system is By 4 等效質(zhì)量和等效剛度Combination

13、 of MassesIn many practical applications, several masses appear in combination. For a simple analysis, we can replace these masses by a single equivalent mass, as indicated below.Case 1: Translational Masses Connected by a Rigid Bar4 等效質(zhì)量和等效剛度Case 2: Translational and Rotational Masses Coupled Toget

14、her.(1) a single equivalent translational mass (2) a single equivalent rotational mass 1. Equivalent translational mass. 2. Equivalent rotational mass. 4 等效質(zhì)量和等效剛度Example 2 Cam-Follower Mechanism Find : Equivalent mass of the cam-follower system (i) at point A, (ii) at point CApproach : Equivalence

15、of kinetic energy.4 等效質(zhì)量和等效剛度 Similarly, if the equivalent mass is located at point C, 4 等效質(zhì)量和等效剛度1.等直徑軸的扭轉(zhuǎn)振動2.階梯軸的扭轉(zhuǎn)振動12等效成具有軸1直徑的當(dāng)量軸原則：等效前后扭轉(zhuǎn)剛度不變推廣：5 扭振專題3.兩端各帶一轉(zhuǎn)動體軸的扭振周期mnlabJ1J2由動量矩守恒兩端的物體永遠(yuǎn)做相反方向的轉(zhuǎn)動，則必有截面mn是不動的，稱節(jié)截面.截面左右兩部分振動周期相等.5 扭振專題4.傳動系統(tǒng)的扭振周期及等效軸的長度AJAJDBCD略去軸及齒輪的轉(zhuǎn)動慣量兩齒輪外嚙合，運動方向始終相反，故等效軸的節(jié)截

16、面為BC截面5 扭振專題5.驅(qū)動系統(tǒng)的剛度等效問題5 扭振專題6.驅(qū)動系統(tǒng)的慣性等效問題5 扭振專題6 有粘性阻尼的自由振動阻尼:使振動衰減的作用. 阻尼產(chǎn)生原因：材料的內(nèi)摩擦,連接點、支承面等處的外 摩擦及介質(zhì)阻力等.阻尼力：在振動分析當(dāng)中用于代替阻尼作用的阻礙振動的力。粘滯阻尼理論假定阻尼力大小與速度成正比,方向與速度相反。6 有粘性阻尼的自由振動為兩個特解，這兩個解的和或差乘上任何常數(shù)仍是原方程的解。下面分三種情況討論：6 有粘性阻尼的自由振動欠阻尼令阻尼固有頻率特征根為6 有粘性阻尼的自由振動欠阻尼則通解為：6 有粘性阻尼的自由振動欠阻尼由初始條件代入上式有則6 有粘性阻尼的自由振動欠

17、阻尼則令6 有粘性阻尼的自由振動欠阻尼由于阻尼的作用，阻尼自由振動的周期增加了。6 有粘性阻尼的自由振動欠阻尼阻尼系統(tǒng)的自由振動不再是等幅的簡諧振動，是振幅被限制在 之內(nèi)，并按時間指數(shù)衰減的振動，最終完全消失。6 有粘性阻尼的自由振動欠阻尼若 很小的話，阻尼對振動周期的影響并不大。6 有粘性阻尼的自由振動臨界阻尼情況由初始條件代入上式有：則有：6 有粘性阻尼的自由振動臨界阻尼情況按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期運動，不發(fā)生振動，臨界阻尼是區(qū)分振動與不振動的的界線.阻尼比臨界阻尼6 有粘性阻尼的自由振動過阻尼情況由初始條件6 有粘性阻尼的自由振動解里沒有周期性的因子了，不振動，粘性阻尼大到，當(dāng)物體離開平衡

18、位置后，只是緩慢地回到平衡位置。過阻尼情況6 有粘性阻尼的自由振動6 有粘性阻尼的自由振動臨界阻尼和過阻尼系統(tǒng)都不會發(fā)生振動，但臨界阻尼系統(tǒng)的阻尼為最小，所以物塊回到平衡位置所需的時間最短，這一特性在工程中有許多應(yīng)用；例如發(fā)射炮彈的回彈機(jī)構(gòu)在發(fā)射炮彈后是不希望振動的，而且需以較短時間回到靜平衡位置，以備進(jìn)行下一次發(fā)射，這個系統(tǒng)就需要臨界阻尼以滿足這樣的要求。6 有粘性阻尼的自由振動欠阻尼對自由振動有以下兩方面影響：阻尼使系統(tǒng)的周期略有增大阻尼使系統(tǒng)的振幅按幾何級數(shù)衰減任意兩個相鄰振幅的比，振動是衰減的。6 有粘性阻尼的自由振動對數(shù)衰減率若則阻尼測量由上面兩式可得：或?qū)嶋H測量時可計n個循環(huán),則則

19、系統(tǒng)的等效阻尼為：(3)6 有粘性阻尼的自由振動例1: 對圖示體系作自由振動試驗.用鋼絲繩將上端拉離平衡位置2cm,用力16.4kN,將繩突然切斷,開始作自由振動.經(jīng)4周期,用時2秒,振幅降為1cm.求：1.阻尼比 2.剛度系數(shù) 3.無阻尼周期 4.重量 5.阻尼系數(shù)6.若質(zhì)量增加800kg體系的周期和阻尼比2cm解:1.阻尼比2.剛度系數(shù)3.無阻尼周期4.重量6 有粘性阻尼的自由振動5.阻尼系數(shù)6.若質(zhì)量增加800kg,周期和阻尼比6 有粘性阻尼的自由振動解:例1: 對圖示體系作自由振動試驗.用鋼絲繩將上端拉離平衡位置2cm,用力16.4kN,將繩突然切斷,開始作自由振動.經(jīng)4周期,用時2秒,振幅降為1cm.求：1.阻尼比 2.剛度系數(shù) 3.無阻尼周期 4.重量 5.阻尼系數(shù)6.若質(zhì)量增加800kg體系的周期和阻尼比2cm例2: 摩托車沖擊吸振裝置，已知阻尼振動周期質(zhì)量由于路面不平獲得初速度 導(dǎo)致最大位移，求：6 有粘性阻尼的自由振動解：確定阻尼比確定無阻尼自由振動固有角頻率 N.s/m N.s/m N/m 6 有粘性阻尼的自由振動由于 所以上式對