2019年江蘇省高考數(shù)學一模試卷(解析版)

1、2019年江蘇省淮安市高考數(shù)學一模試卷一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分.把每小題的 答案填在答題紙相應的位置上）.若集合 A=0, 1,集合 B=0, T,則 AUB=.命題：？x6R, x2+2x+mw0”的否定是.復數(shù)Z滿足（1+i） Z=| 1-i| ,是Z的虛部為. 一個社會調(diào)查機構(gòu)就某地居民的月收入調(diào)查了 10000人，并根據(jù) 所得數(shù)據(jù)畫出了如圖所示的頻率分布直方圖， 現(xiàn)要從這10000人中再 用分層抽樣的方法抽出 100人作進一步調(diào)查，則月收入在2500, 3000）（元）內(nèi)應抽出 人.頻率線距。二O.OOOJ二雙3 &.D0C2 |二.二二：一一-一一 - 1Q

2、M 工上 亞 30M S5W 工二 月收入元）5.如圖是一個算法的流程圖，若輸入n的值是10,則輸出S的值是 .6. 一只口袋內(nèi)裝有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球,從中一次性隨機摸出2只球，則摸到同色球的概率為 .已知拋物線y2=8x的焦點是雙曲線、-*=1 (a0)的右焦點, a J則雙曲線的右準線方程.已知函數(shù) 久工):卜(1一*)的定義域是 I +8),則實數(shù)a的值 為一.若函數(shù) f (x) =Asin (沙 0), (A0,(o0, 4 1門工對n N*恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是. 11.在等腰4ABC 中，CA=CB=6, /ACB=120，點M 滿足麗=赤, 則石J庭等

3、于.若對滿足條件 x+y+3=xy (x0, y0)的任意 x, y, (x+y) 2第2頁(共31頁)-a (x+y) +1A0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是.已知圓 C: (x-3) 2+ (y-4) 2=1 和兩點 A (-m, 0), B (m, 0) (m0),若圓上存在點P,使得/ APB=90 ,則m的取值范圍 是.已知 A (xi, yi), B(X2, y2)(XiX2)是函數(shù) f (x) =x3-|x| 圖象上的兩個不同點，且在A, B兩點處的切線互相平行，則年的取 值范圍為二、解答題：(本大題共6道題，計90分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)I冗.已知4A

4、BC的內(nèi)角A, B, C的對邊分別為a, b, c, Z B=y(1)若 a=2, b=2V3,求 c 的值；(2)若tanA=2百，求tanC的值.如圖，在直三棱柱 ABC - A1B1C1中，已知/ ACB=90 , BC=CCbE、F分別為AB、AA1的中點.(1)求證：直線EF/平面BC1A1；(2)求證：EJBQ.ATT.如圖，有一塊扇形草地 OMN,已知半徑為R, Z MON=,現(xiàn) 要在其中圈出一塊矩形場地 ABCD作為兒童樂園使用，其中點A、B 在弧MN上，且線段AB平行于線段MN(1)若點A為弧MN的一個三等分點，求矩形 ABCD的面積S;(2)當A在何處時，矩形ABCD的面積

5、S最大？最大值為多少？.已知直線x - 2y+2=0經(jīng)過橢圓。s+十1 Ob0)的左頂電A a b -和上頂點D,橢圓C的右頂點為B,點S是橢圓C上位于x軸上方 的動點，直線AS, BS與直線:L k寺分別交于M, N兩點.(1)求橢圓C的方程；(2)求線段MN的長度的最小值；(3)當線段MN的長度最小時，在橢圓C上是否存在這樣的點T, 使得ATSB的面積為卷？若存在，確定點T的個數(shù)，若不存在，說明 理由.已知數(shù)列an的首項為a (a?0),前n項和為Sn,且有Sn+ktSn+a(t?0), bn=Sn+1.(I)求數(shù)列an的通項公式；(H)當 t=1, a=2 第4頁(共31頁)時，若對任意

6、n6N*,都有k (+V+昌)wbn,求k的 r 112 0203取值范圍;(m)當t八時，若Cn=2 + bl+b2+ Tbn,求能夠使數(shù)列Cn為等比數(shù)列的所有數(shù)對(a, t).已知函數(shù)f (x) =ex-a (x-1),其中，aS R, e是自然對數(shù)的底數(shù).(1)當a=-1時，求函數(shù)f (x)在點(1, f (1)處的切線方程；(2)討論函數(shù)f (x)的單調(diào)性，并寫出相應的單調(diào)區(qū)間；(3)已知b6 R,若函數(shù)f (x) b對任意x6R都成立，求ab的最大值.數(shù)學n (附加題)A.(幾何證明選講).如圖，AB是半圓的直徑，C是AB延長線上一點，CD切半圓于 點D, CD=2, DELAB,垂

7、足為E,且E是OB的中點，求BC的長.B.(矩陣與變換).已知矩陣;:的屬于特征值b的一個特征向量為求實數(shù)a、 .乙aLkb的值.C.(極坐標與參數(shù)方程)(0為參數(shù),t為常數(shù))化為普工=（巴七+已cos 9.將參數(shù)方程；_Ce1 - e t）sin6通方程(結(jié)果可保留e).D.(不等式選講).設 ai, a2, a3均為正數(shù)，且 ai+a2+a3=1,求證：+ +-+9.三.【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分.請在答 題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.已知一口袋中共有4只白球和2只紅球(1)從口袋中一次任取4只球，取到一只白球得1分，取到一只紅 球

8、得2分，設得分為隨機變量X,求X的分布列與數(shù)學期望；(2)從口袋中每次取一球，取后放回，直到連續(xù)出現(xiàn)兩次白球就停止取球，求6次取球后恰好被停止的概率.26.在平面直角坐標系xoy中，已知焦點為F的拋物線x2=4y上有兩 個動點A、B,且滿足菽標，過A、B兩點分別作拋物線的切線， 設兩切線的交點為M.(1)求：0A屈的值；(2)證明：而忘為定值.參考答案與試題解析一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分.把每小題的 答案填在答題紙相應的位置上）.若集合 A=0, 1,集合 B=0, -1,則 AUB= - 1, 0, 1【考點】并集及其運算.【分析】AUB=x|x6 A或x6B.【解答

9、】解：AUB=-1, 0, 1.故答案為：-1, 0, 1.命題：？ xSR, x2+2x+mw 0的否定是 ？ x6 R, x2+2x+m0 .【考點】命題的否定.【分析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題進行求解即可.【解答】解：命題是特稱命題，則命題的否定是？ x6R, x2+2x+m0”，故答案為 ？ x6 R, x2+2x+m0” 3.復數(shù)Z滿足（1+i） Z=| 1-i| ,是Z的虛部為乎一.【考點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算.【分析】利用復數(shù)的運算法則、模的計算公式、虛部的定義即可得出.【解答】解：復數(shù)Z滿足（1+i） Z=| 1 - i| ,7=3二收工區(qū)一返i1+i Cl+iXl-D

10、22 i.Z的虛部為-春.故答案為：-9.4. 一個社會調(diào)查機構(gòu)就某地居民的月收入調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出了如圖所示的頻率分布直方圖，現(xiàn)要從這10000人中再用分層抽樣的方法抽出100人作進一步調(diào)查，則月收入在2500,3000）（元）內(nèi)應抽出 25 人.，頻率相距。.二江5 0.0MJO.CKiJ &.D0C210M 加工工亞3 35M ;二:：月玩）【考點】用樣本的頻率分布估計總體分布；頻率分布直方圖.【分析】直方圖中小矩形的面積表示頻率，先計算出 2500, 3000） 內(nèi)的頻率，再計算所需抽取人數(shù)即可.【解答】解：由直方圖可得2500, 3000）（元）月收入段共有100

11、00X0.0005X 500=2500人按分層抽樣應抽出2500X=25人.故答案為：25.5.如圖是一個算法的流程圖，若輸入 n的值是10,則輸出S的值是54 .開始能束【考點】程序框圖.【分析】分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是輸出滿足條件n2時，S=10+9+8+ - +2的值.【解答】解：分析程序中各變量、各語句的作用, 再根據(jù)流程圖所示的順序, 可知：該程序的作用是輸出滿足條件 n0)的右焦點， 邕 3則雙曲線的右準線方程 x= .【考點】拋物線的簡單性質(zhì).【分析】根據(jù)拋物線的方程，算出它的焦點為 F (2, 0),即為雙曲 線的右焦點，由此

12、建立關(guān)于a的等式并解出a值，進而可得此雙曲線 的右準線方程.【解答】解：二.拋物線方程為y2=8x,.2p=8,可得拋物線的焦點為F (2, 0).22;拋物線y2=8x的焦點是雙曲線*=1 (a0)的右焦點， a j雙曲線的右焦點為(2, 0),可得c=/ZM=2,解得a2=1, 因此雙曲線的右準線方程為x=1.故答案為：x=T .8.已知函數(shù)小)二1晨1一康)的定義域是 當8),則實數(shù)a的值為/一.【考點】對數(shù)函數(shù)的定義域.【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域，得出x之時，1-言0;由此求出函 數(shù)的自變量xlog2a；令log2a斗，即可求出a的值.【解答】解：.函數(shù)3口晨1一*）的定義域是 告+8）

13、, TOC o 1-5 h z 二當 x時，1泉0； /Z即方1,.alog2a；A .1令 log2a=,I 1得 a=27=/2；.實數(shù)a的值為a. 故答案為：破.9.若函數(shù) f （x） =Asin（3處0）, （A0, e0, | 4三）的部分 圖象如圖所示，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為 16k6, 16k+2 , k6Z .j）2 0 2 48 10.a 7【考點】由丫二人5訪（3奸6的部分圖象確定其解析式.【分析】由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出 A,由周期求出以由五點法作圖求出。的值，可得函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求第11頁（共31頁）得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.【解答】解：由函數(shù)f （x）

14、 =Asin（3壯?。ˋ0,0, 4 ,由2V所以-8n2-4nAtn2,所以t - 8-對n N*恒成立, nt0, y0）的任意 x, y, （x+y） 2-a （x+y） +1A0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是十 .【考點】函數(shù)恒成立問題；基本不等式.【分析】由基本不等式可得，x+y+3=xyw得，從而可求x+y的 范圍，然后由(x+y) 2- a (x+y) +1A0得卡葉葉/恒成立，則只 要awg+P+黑封即可【解答】解：:“。，y0/. x+y+3=xy6由(x+y) 2- a (x+y) +1n0可得 葉片擊恒成立令x+y=t, f (t) =t+4在6, +oo)上單調(diào)遞增，

15、則當t=6時f (t) min=f(6)=37 =&aw37故答案為：a0),若圓上存在點 巳使得/APB=90 ,則m的取值范圍是 4, 6.【考點】直線與圓的位置關(guān)系.【分析】根據(jù)圓心C到O (0, 0)的距離為5,可得圓C上的點到點 O的距離的最大值為6,最小值為4,再由/ APB=90 ,可得Po4) AB=m,從而得到答案.【解答】解：圓C: (x-3) 2+ (y-4) 2=1的圓心C (3, 4),半徑 為1,.圓心C到O (0, 0)的距離為5,圓C上的點到點。的距離的最大值為6,最小值為4,再由/ APB=90，以AB為直徑的圓和圓C有交點，可得POAB=m,故有4 mX2)

16、是函數(shù) f (x) =x3一|x| Xn圖象上的兩個不同點，且在A, B兩點處的切線互相平行，則子的取值范圍為(-1, 0).【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程.【分析】首先把含有絕對值的函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式，然后求導， 通過在A, B兩點處的切線互相平行，即在 A, B兩點處的導數(shù)值相 等，分析出A點在y軸的右側(cè)，B點在y軸的左側(cè).根據(jù)A, B兩點 處的導數(shù)相等，得到X1與X2的關(guān)系式，根據(jù)關(guān)系式得出它表示的曲 線，然后利用式子的幾何意義求解.【解答】解：由題意，f (x) =x3|x| = : K工, 工 0當 XA0 時，f(x) =3x2 1,當 x乂2, 所以x10, x2X2

17、, X20）3 y表示的曲線為雙曲線在第四象限的部分，如圖：工表示這個曲線上的點與原點連線的斜率， si叼由圖可知丁取值范圍是（-1, 0）,故答案為：（-1, 0）. K132二、解答題：（本大題共6道題，計90分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）I冗I.已知4ABC的內(nèi)角A, B, C的對邊分別為a, b, c, / B行（1）若 a=2, b=2*,求 c 的值；（2）若tanA=2百，求tanC的值.【考點】余弦定理；正弦定理.【分析】（1） A ABC中，由條件利用余弦定理可得b2=12=4+c2-4c?cos,由此求得c的值.(2)由 tanA=2, tanB=ta

18、np=6,再根據(jù) tanC=tan (A+B)，計算求得結(jié)果.,由余弦定理【解答】解：（1） A ABC 中，.a=2, b=2js5 / B-可得 b2=12=4+c2 - 4c?co/=4+c2 - 2c,求得c=4,或c= - 2 （舍去），即c=4.(2)若 tanA=23 , / tanB=tan- =/3 , .tanC=tan (A+B)tanA+tanB23+3_-tanAtanfi - 1 -2限 1 5，.如圖，在直三棱柱ABC - A1B1C1中，已知/ ACB=90 , BC=CCi,E、F分別為AB、AA1的中點.（1）求證：直線EF/平面BCiAi;（2）求證：EF

19、XB1C.【考點】直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定.【分析】（1）欲證直線EF/平面BC1A1,只需證明EF平行平面BC1A1中的一條直線即可，由E、F分別為AB、AA1的中點，可知EF/A1B, EF/A1B?平面 BC1A1,問題得證.（2）欲證EF BQ,只需證明EF的平行線A1B垂直于BQ即可，第17頁（共31頁）也即證明BiC垂直于AiB所在的平面BAiCi,又須證明BiC垂直于 平面BAiCi中的兩條相交直線，由三棱柱ABC - AiBiCi為直三棱柱， 以及/ACB=90 , BC=CCi,極易證明 BCiXBiC, AiCiXBiC, 而BCi, AiCi為平面BAi

20、Ci中的兩條相交直線，問題得證.【解答】解：(i) E、F分別為AB、AAi的中點，/. EF/AiB. EF?平面 BCiAi, AiB?平面 BCiAi.EF/平面 BCiAi. . /ACB=90 ,ACBC,.三棱柱ABC-AiBiCi為直三棱柱，ACCCi,.AC，平面 BBiCiC,.AC，BiC,又.AiCi/AC, .AiCiLBiC,. BC=CCi, BCXCCi, /. BCiXBiC.BiC，平面 BAiCi, /. BiCXAiB由(i)知，EF/AiB/. EFXBiC.JCi7.如圖，有一塊扇形草地 OMN,已知半徑為R, /MON二旬，現(xiàn)要在其中圈出一塊矩形場地

21、 ABCD作為兒童樂園使用，其中點A、B在弧MN上，且線段AB平行于線段MN(i)若點A為弧MN的一個三等分點，求矩形 ABCD的面積S;(2)當A在何處時，矩形ABCD的面積S最大？最大值為多少？【考點】扇形面積公式.【分析】（1）作OHLAB于點H,交線段CD于點E,連接OA、OB,求出AB, EH,可得矩形ABCD的面積S；設/AOB與（004r）,求出AB, EH,可得矩形ABCD的面積S,再求最大值.解：（1）如圖,作OHLAB于點H,交線段CD于點E,連接OA、OB,. AB=24sin12OE=DE=-AB=12sinOH=12cosTT12EH=OH-OE=12 (co兀12-

22、siS=AB?EH=144 (2sinjycosj-2sin)，277)=72 (V3 - 1)-IL(2)設/ aob= (0 e0,故可設直線AS的方程為y=k (x+2),從而M曙，號)，由，/2 ,得(1+4k2)x2+16k2x+16k2 4=01F 上 工-42i+a/4kl+4k2得，1+4產(chǎn)4k，從而打又 B (2, 0)廠北10X310y=-3k設 S (Xi, yi),則二七h故-11= -一二1又k0,1皿仁華當且僅當喈4,即此昌時等號成立.舄時，線段MN的長度取最小值日（2）另解：設S （xs, ys）,見廿 y浦依題意，A, S, M三點共線, 且所在直線斜率存在，周

23、 賢d y z由kAM=kAS,可得 二 V 葭*同理可得： /丁） 斗六+第；二12r-r PfC-4 ys 6目 1 16 F a、九n所以，=J W）-刀不仿設 yM0, yN b對任意x6R都成立，求ab的最 大值.【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導數(shù)研究曲線上某點切線 方程.【分析】(1)求出a=- 1的函數(shù)的導數(shù)，求出切線的斜率和切點，由 點斜式方程即可得到；(2)求出導數(shù)，討論當a0時，令導數(shù)大于0,得增區(qū) 間，令導數(shù)小于0,得減區(qū)間；(3)由(2)可得，a0時f (x)取得極小值也為最小值，由恒成 立思想可得 a (2-lna) nb,則 abwa2(2-lna), at

24、=a2(2Tna), 求得導數(shù)，求出極大值也為最大值，即可得到.【解答】解：(1)當a=- 1時，f (x) =ex+x- 1的導數(shù)為f(x) =ex+1, 函數(shù)f (x)在點(1, f (1)處的切線斜率為e+1,又切點為(1, e),則切線方程為y - e= (e+1) (x-1),即為(e+1)x - y - 1=0；(2)函數(shù) f (x) =ex - a (x - 1)的導數(shù) f (x) =ex - a,當aw 0時，f(x) 0, f (x)遞增，則f (x)的增區(qū)間為+)；當 a0 時，f(x) 0,解得，xlna, f(x) 0,解得，xlna.即有f (x)的增區(qū)間為(lna,

25、 +oo),減區(qū)間為(-, lna);(3)由(2)可得，a0時，f (x)在(-8, lna)上遞減，在(lna, +s)上遞增，則f (x)在x=lna處取得極小值也為最小值，且為 a- a (lna-1) =a(2 - lna).函數(shù)f (x) nb對任意x6 R都成立，則有a (2-lna) nb,則 ab a2 (2 - lna),令 t=a2 (2Tna),貝U t =2a2- lna) - a=a (3 2lna),當0a0, t遞增；當a/時，t之0, t遞減.則1在2=年時取得極大，也為最大，且為 e3 (2 )4e3.則ab的最大值為十e3.數(shù)學H (附加題)A.(幾何證明

26、選講)21.如圖，AB是半圓的直徑，C是AB延長線上一點，CD切半圓于點D, CD=2, DELAB,垂足為E,且E是OB的中點，求BC的長.A 0 E B C【考點】弦切角.【分析】連接OD,則ODLDC,在Roed中，。艮.。5。，所以/ODE=30 ,在 RSdc 中，/ DCO=30 ,由 DC=2,能求出 BC 的長.【解答】解：連接OD,則ODXDC在RtzOED中，:E是OB的中點，oeBoCgd所以/ ODE=30在 RtzODC 中，/DCO=30 .DC=2,g 二。（：皿30收J1所以 BC=OC OB =OC- OD=W3 _ 2V3T咨 1_.3 .B.（矩陣與變換）

27、.已知矩陣:的屬于特征值b的一個特征向量為；,求實數(shù)a、 .乙aLkb的值.【考點】特征值與特征向量的計算.【分析】由二階矩陣的特征值與特征向量的概念知；：；卜b；，即 可求實數(shù)a、b的值.=b1【解答】解：由二階矩陣的特征值與特征向量的概念知 所以匿2,解得=3C.（極坐標與參數(shù)方程）廣-（廣+已cos 9.將參數(shù)方程:_（ 0為參數(shù)，t為常數(shù)）化為普產(chǎn)（/- e sin通方程（結(jié)果可保留e）.【考點】參數(shù)方程化成普通方程.【分析】當t=0時，y=0, x=cos 0,即y=0,且1wxw1；當t?0時, .sin 囁J，cos【解答】 解：當t=0時，y=0, x=cos Q即y=0,且一

28、iwxwl； TOC o 1-5 h z 當 t?0 時，sin 8上（七一 一”，cos。圭 f t 公心e222一工1y1所以.Lf t+ -t） Lf -t - 7 巴+匕e ）D.（不等式選講）11 X.設 a1 , a2, a3 均為正數(shù)，且 al+a2+a3=1,求證：% + + 9.【考點】不等式的證明.【分析】由ai, a2, a3均為正數(shù)，且曰+a+由=1,運用乘1法和三元 均值不等式，以及不等式的性質(zhì)，即可得證.【解答】證明：因為a，a2, 與均為正數(shù)，且ai+a2+%=1,所以=匚u十二；.:一十|al a2 a3 123 al a2 a33（七安口戶.J 1 尸二9，（當且僅當已1二七二%用時等號成立）所以占9.31 a2 a3三.【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分.請在答 題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說