人教版高中數(shù)學(xué)必修四2.5.1 平面幾何中的向量方法集體備課教學(xué)設(shè)計(jì)

1、課題名稱：2.5.1 平面幾何中的向量方法備課時(shí)間：學(xué)科：數(shù)學(xué)組 備課組：高一數(shù)學(xué)主備教師：龍清華 備課組長(zhǎng)：龍清華 組員：黃澤專、趙明烈、邱建成、張秋花、保德懷、張國(guó)彪教師二次備課教學(xué)背景分析一課標(biāo)的理解與把握1.掌握用向量方法解決簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題、力學(xué)問(wèn)題等一些實(shí)際問(wèn)題(重點(diǎn)) 2.學(xué)會(huì)用向量方法解決實(shí)際問(wèn)題的根本方法(難點(diǎn))二教材分析：本節(jié)的目的是讓學(xué)生加深對(duì)向量的認(rèn)識(shí),更好地體會(huì)向量這個(gè)工具的優(yōu)越性.對(duì)于向量方法,就思路而言,幾何中的向量方法完全與幾何中的代數(shù)方法一致,不同的只是用“向量和向量運(yùn)算來(lái)代替“數(shù)和數(shù)的運(yùn)算.這就是把點(diǎn)、線、面等幾何要素直接歸結(jié)為向量,對(duì)這些向量借助于它們之間的

2、運(yùn)算進(jìn)行討論,然后把這些計(jì)算結(jié)果翻譯成關(guān)于點(diǎn)、線、面的相應(yīng)結(jié)果.代數(shù)方法的流程圖可以簡(jiǎn)單地表述為:那么向量方法的流程圖可以簡(jiǎn)單地表述為:這就是本節(jié)給出的用向量方法解決幾何問(wèn)題的“三步曲,也是本節(jié)的重點(diǎn).三學(xué)情分析：“授人以魚，不如授人以漁，最有價(jià)值的知識(shí)是關(guān)于方法的知識(shí)。學(xué)生作為教學(xué)活動(dòng)的主題，在學(xué)習(xí)過(guò)程中的參與狀態(tài)和參與度是影響教學(xué)效果最重要的因素。在教法學(xué)法方面，采用啟發(fā)式、探討式的教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生自主探究，合作交流。教師創(chuàng)造疑問(wèn)，學(xué)生想方法解決疑問(wèn)，通過(guò)教師的啟發(fā)點(diǎn)撥，學(xué)生以自己的努力找到了解決問(wèn)題的方法。教學(xué)目標(biāo)1知識(shí)與技能1.通過(guò)平行四邊形這個(gè)幾何模型,歸納總結(jié)出用向量方法解決平面

3、幾何問(wèn)題的“三步曲.2過(guò)程與方法通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí),讓學(xué)生深刻理解向量在處理有關(guān)平面幾何問(wèn)題中的優(yōu)越性,活潑學(xué)生的思維,開(kāi)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí),激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,并體會(huì)向量在幾何和現(xiàn)實(shí)生活中的意義.教學(xué)中要求盡量引導(dǎo)學(xué)生使用信息技術(shù)這個(gè)現(xiàn)代化手段.3情感、態(tài)度與價(jià)值觀培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用向量解決其它問(wèn)題的意識(shí)和能力教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：用向量方法解決實(shí)際問(wèn)題的根本方法;向量法解決幾何問(wèn)題的“三步曲.難點(diǎn)：如何將幾何等實(shí)際問(wèn)題化歸為向量問(wèn)題.教學(xué)準(zhǔn)備、教學(xué)資源和主要教學(xué)方法采用啟發(fā)式、探討式的教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生自主探究，合作交流。教學(xué)過(guò)程 教學(xué)環(huán)節(jié)教師為主的活動(dòng)學(xué)生為主的活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖導(dǎo)入新課思路1.(直接導(dǎo)入)

4、向量的概念和運(yùn)算都有著明確的物理背景和幾何背景,當(dāng)向量和平面坐標(biāo)系結(jié)合后,向量的運(yùn)算就完全可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算.這就為我們解決物理問(wèn)題和幾何研究帶來(lái)了極大的方便.本節(jié)專門研究平面幾何中的向量方法. 思路2.(情境導(dǎo)入)由于向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有鮮明的幾何背景,平面幾何圖形的許多性質(zhì),如平移、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角等都可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來(lái),因此,可用向量方法解決平面幾何中的一些問(wèn)題.下面通過(guò)幾個(gè)具體實(shí)例,說(shuō)明向量方法在平面幾何中的運(yùn)用.創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生感受周期現(xiàn)象豐富的實(shí)際背景，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，拉近了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的距離目標(biāo)引領(lǐng)板在黑板的右上角，并對(duì)目標(biāo)進(jìn)行解讀活動(dòng)導(dǎo)學(xué)提出

5、問(wèn)題(例1)圖1 圖2證明:方法一:如圖2.作CEAB于E,DFAB于F,那么RtADFRtBCE.AD=BCACAE2+CE2=(AB+BE)2+CE2=AB2+2ABBE+BE2+CE2=AB2+2ABBE+BC2.BD2=BF2+DF2=(AB-AF)2+DF2=AB2-2ABAF+AF2+DF2=AB2-2ABAF+AD2=AB2-2ABBE+BC2.AC2+BD2=2(AB2+BC2).圖3方法二:如圖3.以AB所在直線為x軸,A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系.設(shè)B(a,0),D(b,c),那么C(a+b,c).|AC|2=(a+b)2+c2=a2+2ab+b2+c2,|BD|2=(a-b

6、)2+(-c)2=a2-2ab+b2+c2.|AC|2+|BD|2=2a2+2(b2+c2)=2(|AB|2+|AD|2). 用向量方法推導(dǎo)了平行四邊形的兩條對(duì)角線與兩條鄰邊之間的關(guān)系.在用向量方法解決涉及長(zhǎng)度、夾角的問(wèn)題時(shí),常?？紤]用向量的數(shù)量積.通過(guò)以下推導(dǎo)學(xué)生可以發(fā)現(xiàn),由于向量能夠運(yùn)算,因此它在解決某些幾何問(wèn)題時(shí)具有優(yōu)越性,它把一個(gè)思辨過(guò)程變成了一個(gè)算法過(guò)程,學(xué)生可按一定的程序進(jìn)行運(yùn)算操作,從而降低了思考問(wèn)題的難度,同時(shí)也為計(jì)算機(jī)技術(shù)的運(yùn)用提供了方便.教學(xué)時(shí)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)向量帶來(lái)的優(yōu)越性.因?yàn)槠叫兴倪呅螌?duì)角線平行且相等,考慮到向量關(guān)系=-,=+,教師可點(diǎn)撥學(xué)生設(shè)=a,=b,其他線段對(duì)應(yīng)向

7、量用它們表示,涉及長(zhǎng)度問(wèn)題常?？紤]向量的數(shù)量積,為此,我們計(jì)算|2與|2.因此有了方法三.方法三:設(shè)=a,=b,那么=a+b,=a-b,|2=|a|2,|2=|b|2.|2=(a+b)(a+b)=aa+ab+ba+bb=|a|2+2ab+|b|2. 同理|2=|a|2-2ab+|b|2. 觀察兩式的特點(diǎn),我們發(fā)現(xiàn),+得|2+|2=2(|a|2+|b|2)=2(|2+|2),即平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍.至此,為解決重點(diǎn)問(wèn)題所作的鋪墊已經(jīng)完成,向前開(kāi)展可以說(shuō)水到渠成.教師充分讓學(xué)生對(duì)以上各種方法進(jìn)行分析比擬,討論認(rèn)清向量方法的優(yōu)越性,適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生歸納用向量方法處理平面幾

8、何問(wèn)題的一般步驟.由于平面幾何經(jīng)常涉及距離(線段長(zhǎng)度)、夾角問(wèn)題,而平面向量的運(yùn)算,特別是數(shù)量積主要涉及向量的模以及向量之間的夾角,因此我們可以用向量方法解決局部幾何問(wèn)題.解決幾何問(wèn)題時(shí),先用向量表示相應(yīng)的點(diǎn)、線段、夾角等幾何元素.然后通過(guò)向量的運(yùn)算,特別是數(shù)量積來(lái)研究點(diǎn)、線段等元素之間的關(guān)系.最后再把運(yùn)算結(jié)果“翻譯成幾何關(guān)系,得到幾何問(wèn)題的結(jié)論.這就是用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲,即(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素,將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題;(2)通過(guò)向量運(yùn)算,研究幾何元素之間的關(guān)系,如距離、夾角等問(wèn)題;(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯成幾何關(guān)系.討論結(jié)果:能

9、.能想出至少三種證明方法.略.圖4例2 如圖4, ABCD中,點(diǎn)E、F分別是AD、DC邊的中點(diǎn),BE、BF分別與AC交于R、T兩點(diǎn),你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之間的關(guān)系嗎? 活動(dòng):解:如圖4,設(shè)=a,=b,=r,=t,那么=a+b.由于與共線,所以我們?cè)O(shè)r=n(a+b),nR.又因?yàn)?-=a-b,與共線,所以我們?cè)O(shè)=m=m(a-b).因?yàn)?所以r=b+m(a-b).因此n(a+b)=b+m(a-b),即(n-m)a+(n+)b=0.由于向量a、b不共線,要使上式為0,必須解得n=m=.所以=,同理=.于是=.所以AR=RT=TC.點(diǎn)評(píng):教材中本例重在說(shuō)明是如何利用向量的方法找出這個(gè)相等關(guān)系的,因

10、此在書寫時(shí)可簡(jiǎn)化一些程序.指導(dǎo)學(xué)生在今后的訓(xùn)練中,不必列出三個(gè)步驟.課堂小結(jié)1.由學(xué)生歸納總結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)有哪些:平行四邊形向量加、減法的幾何模型,用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的步驟,即“三步曲.特別是這“三步曲,要提醒學(xué)生理解領(lǐng)悟它的實(shí)質(zhì),到達(dá)熟練掌握的程度.2.本節(jié)都學(xué)習(xí)了哪些數(shù)學(xué)方法:向量法,向量法與幾何法、解析法的比擬,將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題的化歸的思想方法,深切體會(huì)向量的工具性這一特點(diǎn).教師引導(dǎo)學(xué)生猜測(cè)平行四邊形對(duì)角線的長(zhǎng)度與兩鄰邊長(zhǎng)度之間有什么關(guān)系.利用類比的思想方法,猜測(cè)平行四邊形有沒(méi)有相似關(guān)系.指導(dǎo)學(xué)生猜測(cè)出結(jié)論:平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和.教師引

11、導(dǎo)學(xué)生探究證明方法,并點(diǎn)撥學(xué)生對(duì)各種方法分析比擬,平行四邊形是學(xué)生熟悉的重要的幾何圖形,在平面幾何的學(xué)習(xí)中,學(xué)生得到了它的許多性質(zhì),有些性質(zhì)的得出比擬麻煩,有些性質(zhì)的得出比擬簡(jiǎn)單.讓學(xué)生體會(huì)研究幾何可以采取不同的方法,這些方法包括綜合方法、解析方法、向量方法.為了培養(yǎng)學(xué)生的觀察、發(fā)現(xiàn)、猜測(cè)能力,讓學(xué)生能動(dòng)態(tài)地發(fā)現(xiàn)圖形中AR、RT、TC之間的相等關(guān)系,教學(xué)中可以充分利用多媒體,作出上述圖形,測(cè)量AR、RT、TC的長(zhǎng)度,讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)AR=RT=TC,拖動(dòng)平行四邊形的頂點(diǎn),動(dòng)態(tài)觀察發(fā)現(xiàn),AR=RT=TC這個(gè)規(guī)律不變,因此猜測(cè)AR=RT=TC.事實(shí)上,由于R、T是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn),要判斷AR、RT、T

12、C之間的關(guān)系,只需分別判斷AR、RT、TC與AC的關(guān)系即可.又因?yàn)锳R、RT、TC、AC共線,所以只需判斷與之間的關(guān)系即可.探究過(guò)程對(duì)照用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲很容易地可得到結(jié)論.教師引導(dǎo)學(xué)生答復(fù)下列問(wèn)題平行四邊形是表示向量加法和減法的幾何模型,如圖1,你能觀察、發(fā)現(xiàn)并猜測(cè)出平行四邊形對(duì)角線的長(zhǎng)度與兩鄰邊長(zhǎng)度之間有什么關(guān)系嗎？你能利用所學(xué)知識(shí)證明你的猜測(cè)嗎？能利用所學(xué)的向量方法證明嗎？試一試可用哪些方法?你能總結(jié)一下利用平面向量解決平面幾何問(wèn)題的根本思路嗎？.第一步,建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用向量表示問(wèn)題中的幾何元素,將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題;第二步,通過(guò)向量運(yùn)算,研究幾何元素之間的關(guān)系;第三步,把運(yùn)算結(jié)果“翻譯成幾何關(guān)系:AR=RT=TC通過(guò)小結(jié)，使學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)系統(tǒng)化、條理化，便于學(xué)生記憶當(dāng)堂評(píng)價(jià)圖5 如圖5,A